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本研究建立了Bailey的易感-感染-移除（SIR）流行病模型的变分表述，采用Jacobi最后乘子（Jacobi last multiplier）方法。推导出一个显式的一阶拉格朗日量（Lagrangian），其欧拉-拉格朗日方程（Euler–Lagrange
本研究建立了Bailey的易感-感染-移除（SIR）流行病模型的变分表述，采用Jacobi最后乘子（Jacobi last multiplier）方法。推导出一个显式的一阶拉格朗日量（Lagrangian），其欧拉-拉格朗日方程（Euler–Lagrange equations）再现了易感-感染子系统，而移除仓室则通过总人口守恒得以恢复。该拉格朗日量的自洽性产生了一个非平凡的首次积分（first integral），为流行病相曲线提供了描述。研究还表明，约化动力学允许一种非正则哈密顿（noncanonical Hamiltonian）表述。这些结果揭示了经典流行病学模型中潜在的变分与几何结构，而该模型通常被视为非保守系统。
SIR流行病模型的变分结构：一项基于Jacobi最后乘子法的理论研究
一、研究背景与问题提出
在数学与物理学中，为动力系统寻求变分表述长期以来占据核心地位，它为理解系统结构、对称性与守恒律提供了统一框架。相比之下，数学生物学中涌现的模型通常以现象学原理推导出的一阶常微分方程组形式呈现，往往被视为本质上非变分的系统。尽管如此，重要的生物学模型可能允许拉格朗日描述。
围绕这一问题的文献沿三个相关方向展开：其一，Trubatch和Franco研究了种群动力学的一般一阶变分表示，Paine则利用变分自伴性建立了此类表示存在的充分必要条件；其二，Jacobi最后乘子方法已被用于构造标量二阶方程和可积系统的拉格朗日量、积分因子、首次积分及精确解；其三，针对生物系统已获得显式拉格朗日表述，特别是Fernández-Nú?ez证明了二维Lotka–Volterra系统允许一个速度线性的拉格朗日量，Nucci和Tamizhmani则阐明了Jacobi最后乘子在此类构造中的核心作用。
本研究的贡献并非提出Jacobi最后乘子的一般新理论，而是将该方法应用于Bailey的标准发生率SIR（易感-感染-移除，Susceptible–Infected–Removed）模型，获得显式乘子、一阶对数拉格朗日量、守恒量及非正则哈密顿结构。这为经典流行病系统提供了具体的变分与几何描述，区别于先前针对Lotka–Volterra和标量二阶方程的构造。
1975年，Bailey提出了如下SIR仓室模型，其中x代表易感个体数，y代表感染个体数，z代表移除个体数：? = ?bxy/(x+y)，? = bxy/(x+y) ? cy，? = cy，其中b, c ∈ ???，初始条件x(t?) = x? > 0，y(t?) = y? > 0，z(t?) = z? ≥ 0，状态变量在所考虑的时间区间上非负。总人口N = x + y + z为常数。Bailey的SIR模型近期引起了越来越多的关注。
流行病模型通常被表述为非保守的一阶系统，因此从其生物学推导来看，拉格朗日描述并不显而易见。然而在本例中，自治拉格朗日量通过时间平移不变性和Noether定理立即产生一个首次积分，其水平集描述了流行病相曲线，同一构造还提供了非正则哈密顿表示。因此，变分表述通过系统性地揭示结构信息，补充了标准常微分方程分析。所得不变量也为未来保持结构的离散化方法提供了可评估的精确量。
二、主要技术方法
本研究的方法论基于Jacobi最后乘子方法，这是Jacobi本人于1844年引入的经典方法，被公认为寻找微分方程首次积分、构造常微分方程拉格朗日量、研究可积性、推导守恒律以及获得精确解的有效工具。研究人员考虑一般一阶系统?? = f?(t, x?, …, x?)，运用该方法针对Bailey SIR模型的易感-感染正子系统构造显式乘子，进而推导出一阶对数拉格朗日量，并通过Noether定理获得守恒量，最终建立非正则哈密顿结构。
三、研究结果
定理1：SIR子系统的变分表述
研究人员利用Jacobi最后乘子方法，推导出Bailey SIR模型正的易感-感染子系统的变分表述。具体而言，获得了该子系统的显式一阶拉格朗日量，其欧拉-拉格朗日方程精确再现了易感-感染动力学方程。移除仓室则通过总人口守恒关系加以重构，从而完整恢复了三维SIR系统的全部动力学。
首次积分与相曲线描述
由于所构造的拉格朗日量具有自治性，即不显含时间变量，根据Noether定理，时间平移对称性对应一个非平凡的首次积分。该守恒量的水平集恰好描述了流行病在易感-感染相平面上的相曲线，为理解疫情演化轨迹提供了几何刻画。
非正则哈密顿结构
研究进一步表明，约化后的易感-感染动力学允许一种非正则哈密顿表述。这一哈密顿结构不同于标准辛几何框架下的正则哈密顿系统，体现了该系统特有的几何性质，为从辛几何角度理解流行病模型开辟了新途径。
四、讨论与结论
本研究的变分表述补充了标准常微分方程分析，通过系统性地揭示结构信息，为经典流行病模型提供了新的理论视角。所得守恒不变量为未来结构保持离散化方法（如变分积分器）的精度评估提供了精确的基准量。这些结果揭示了通常被视为非保守的经典流行病学模型中潜在的变分与几何结构，表明即使是非保守的一阶生物系统，也可能在适当的数学框架下获得变分描述，从而为数学流行病学与几何力学、变分法的交叉研究提供了新的方向。
