通过主动变形实现张拉整体结构的弹性刚度主导承载能力

《Engineering Structures》：Elastic stiffness-dominated load resistance of tensegrities via active deformation

　　

•揭示变形张拉整体结构中弹性刚度主导的抗载机制。
•提出一种量化弹性刚度对抗载贡献的度量方法。
•开发一种针对目标变形与刚度优化的双目标策略。
•实现低预应力的抗载能力，减少对几何刚度的依赖。

引言

张拉整体结构由Fuller [1]提出，指的是一类由受压杆件和受拉索缆组成的铰接系统 [2]、[3]。根据Calladine [4]和Pellegrino [5]的研究，张拉整体结构具有固有的无穷小机构特性，这赋予了它们卓越的柔顺性和大规模主动变形的潜力 [6]。这一特性已在多学科领域展现出广阔的应用前景，包括航空航天工程 [7]、[8]、机械超材料 [9]、[10]、[11]，尤其在软体操作臂领域表现突出 [12]、[13]。例如，Zhang等人 [14]受高可变形大象鼻的启发，提出了一种用于软体操作臂的模块化预可编程刚度张拉整体结构。Yang等人 [15]、[16]基于蠕虫的运动特性，开发了一种多运动模式的张拉整体移动机器人。Zhao等人 [17]遵循模块化设计理念，进一步引入了一类可变形、轻质、可展开的张拉整体操作臂，能够在户外尺度下工作并承受外部载荷。然而，根据结构稳定理论，固有的机构特性导致弹性刚度矩阵奇异，使得机构位移方向上的弹性刚度为零 [18]。为了在运动过程中维持载荷，张拉整体结构必须依赖预应力诱导的几何刚度，以确保切线刚度矩阵的正定性 [19]。

抗载能力是张拉整体工程应用的基本要求 [20]、[21]、[22]。当前的理论和工程实践通常将抗载刚度直接与预应力的量级相关联。在传统的土木工程应用中，如大跨度柔性结构（包括索网 [23]、[24]和索穹顶 [25]、[26]、[27]），增加预应力被广泛用作提高结构刚度和满足挠度要求的直接策略。这些柔性预应力系统与张拉整体结构具有相似的力学特性。然而，它们的实际构型调整通常受到更为严格的几何、边界、驱动和连接条件的限制。在变形张拉整体结构的数值研究中，特别是张拉整体操作臂，杆件的轴向力往往远超外部载荷以维持足够的抗载刚度。例如，为了限制载荷引起的位移，一个在变形过程中仅承受200 N载荷的悬臂张拉整体结构，需要某些杆件的轴向力超过60,000 N [28]。类似地，对于由6根杆和24根索组成的张拉整体模块，即使杆件预应力普遍超过1000 N，在小于190 N的外部载荷下仍会发生跳跃失稳 [29]。显然，仅依靠增加预应力和几何刚度来实现抗载是极其低效的。长期的高预应力还会带来工程挑战，包括杆件截面过大和连接构型复杂 [30]、[31]、[32]。更为关键的是，对于以大规模主动变形为核心优势的变形张拉整体结构，高预应力直接意味着柔顺性的丧失，伴随过大的驱动能耗 [33]、[34]。这构成了变形张拉整体结构抗载能力的核心矛盾。

自然界生物系统在承受极端外部载荷时，展现出一种截然不同且高效的抗载策略。在人类举重运动中，运动员并非仅通过极度的肌肉收缩来抵抗重物，这类似于大幅增加张拉整体结构的预应力。相反，他们利用体态重构来实现最优的结构刚度，而肌肉群主要提供驱动来协调姿态并维持稳定性 [35]。极端外部载荷被有效地传递到骨骼系统中，后者随后通过其高弹性刚度直接主导抗载。这一生物力学机制可以通过基于张拉整体结构的生物力学模型进行解释 [36]、[37]、[38]，并启发了仿生关节 [39]、[40]和机器人手 [41]、[42]的设计。

基于这一生物力学机制，可以提出一种不同于传统高预应力方法的变形张拉整体结构替代抗载策略。该策略利用张拉整体结构的卓越主动变形能力，使弹性刚度主导抗载。尽管张拉整体结构的弹性刚度矩阵中必然存在零空间，但这并不意味着所有方向的弹性刚度完全丧失 [43]。事实上，该零空间的正交补，即弹性刚度矩阵的列空间，涵盖了由材料主导的、表现出显著弹性刚度的方向，从而提供充分的抗载能力。在结构拓扑和杆件截面属性固定的情况下，弹性刚度矩阵仅取决于几何构型 [44]、[45]。相应地，张拉整体结构可以通过主动变形重构弹性刚度矩阵的特征空间，使外部载荷与其列空间对齐，从而实现弹性刚度主导的抗载。

张拉整体结构可以通过调整杆件长度，即杆件长度驱动，实现大规模主动变形 [46]、[47]、[48]。Mao和Deng [49]提出了一种基于人工势场的路径规划方法，用于杆件长度驱动的张拉整体操作臂，能够实现避障。Hong和Deng [29]建立了杆件自然长度与张拉整体结构刚度矩阵之间的敏感性关系，并利用杆件长度驱动在外部载荷下维持稳定性。此外，作为复杂的多自由度系统，张拉整体结构通常涉及许多活动杆件，其长度可调整，且数量往往远超满足特定目标所需的自由度 [50]、[51]。在满足变形目标后，仍可利用冗余驱动空间进一步优化抗载性能 [52]、[53]。因此，通常被分开处理的运动学变形目标和静力学抗载目标，可以通过杆件长度驱动这一统一变量进行整合。这突显了张拉整体结构作为预应力机构的独特自适应能力。

本文揭示了张拉整体结构通过主动变形利用弹性刚度主导抗载的独特力学机制。基于这一特性，提出了一种基于杆件长度驱动的综合策略，以同时满足变形目标和抗载要求。本文余下部分组织如下：第2节推导了杆件长度驱动下张拉整体结构的主动变形，并分析了满足变形目标后的冗余驱动空间。第3节通过弹性刚度矩阵的特征分解，量化了弹性刚度对抗载的贡献。第4节提出了一种双目标策略，首先满足变形目标，然后利用冗余驱动实现弹性刚度主导的抗载。第5节以模块化张拉整体操作臂为例，验证了所提策略的有效性和适用性。最后，第6节得出主要结论。

章节节选

平衡条件与主动变形

假设线弹性材料模型。对于一个具有n个自由度（DOFs）和b根杆件的张拉整体结构，在构型X下的杆件轴向力向量t∈?^b×1为：

t = diag(m)diag(r)?1·(l?r)

其中，m∈?^b×1为杆件轴向刚度向量，假设为常数；r∈?^b×1为杆件自然长度向量；diag(·)表示由括号内向量构成的对角矩阵；l∈?^b×1为当前构型X下的杆件长度向量。l与节点坐标之间的关系为：

刚度矩阵与抗载能力

张拉整体结构的主动变形导致其结构刚度的变化。根据Guest [44]的研究，切线刚度矩阵可以分解为：

K_T = K_e + K_g

其中K_e∈?^n×n为弹性刚度矩阵，表示为：

K_e = AMA^T

其中M = diag(m)diag(l)?1∈?^b×b为当前构型下的杆件轴向刚度矩阵，K_g∈?^n×n为几何刚度矩阵，表示为：

K_g = C^TQC?I

其中C∈?^b×n?为杆件连接矩阵，n?为张拉整体结构的节点数；Q=

通过弹性刚度实现抗载

张拉整体结构要在低预应力下实现高效抗载，一个必要条件是外部载荷p必须完全位于弹性刚度矩阵的列空间内。在工程实践中，外部载荷通常是给定的且不可调节的，而弹性刚度矩阵由张拉整体结构的几何构型唯一确定。因此，可以引入主动变形来调整节点坐标x并操控弹性刚度矩阵……

张拉整体操作臂

为了验证本文提出的主动变形策略的有效性，采用了一种准模块化张拉整体操作臂 [57]作为示例，其构建过程和几何构型如图4所示。该操作臂基于经典的四杆柱体张拉整体结构堆叠构建。每个模块的上表面相对于下表面绕z轴旋转θ=π/8，奇数层模块旋转……

结论

本文研究了张拉整体结构中通过主动变形实现的弹性刚度主导抗载机制。由于张拉整体结构的固有机构特性，其弹性刚度矩阵中必然存在零空间。当抗载依赖于该零空间内的刚度分量时，通常需要极高的预应力来提供足够的几何刚度，这严重损害了张拉整体结构的柔顺性，作为……

作者贡献声明

Hong Hao：撰写—初稿、软件、方法论、形式分析、数据整理、概念设计。
Huang Li：撰写—审阅与编辑、验证、资源、调查。
Deng Hua：撰写—审阅与编辑、监督、资源、方法论、资金获取、概念设计。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

致谢

本研究得到国家自然科学基金（批准号52478217）的支持。

Hao Hong | Li Huang | Hua Deng