提升多联赛体育赛程安排的灵活性

《European Journal of Operational Research》：Increased scheduling flexibility for multi-league sports scheduling

　　

**在编排多个体育赛事联赛时，尊重场地容量是一项挑战性的工作。增加赛程编排的灵活性可以减少违规次数，但会增加计算难度。改进的整数规划（IP）和邦德斯分解法可以求解涉及多达10个联赛的实例。引入间歇期和主客场模式的灵活性最多可以减少60%的违规。这些收益可能需要更多的比赛日和更长的赛季。**

**引言**

大多数关于体育赛程编排的文献每次只考虑一个联赛，而在实际应用中，往往需要同时编排多个联赛，因为它们在很大程度上彼此关联。本文对多联赛体育赛程编排问题（MLSP）做出了贡献，该问题需要同时为多个联赛确定双循环赛制时间表（即每个联赛中的每支球队与另一支球队各进行一次主场和一次客场比赛）。目标是尽可能尊重各俱乐部的场地容量限制（Davari等，2020年）。其核心思想是，例如在业余和青少年体育中，大多数俱乐部拥有多支球队（按年龄、性别和/或实力水平分类），这些球队共享俱乐部的基础设施。当俱乐部需要在特定时间点举办超过其可用球场所能承载的比赛数量时，就会引发场地容量问题（Davari等，2020年；Devriesere和Goossens，2025年；Grabau，2012年；Li和Goossens，2025年；Moody等，2010年）。类似的逻辑也适用于职业体育，其中联赛通过俱乐部共享同一警察辖区或体育场而相互关联（Kendall，2008年）。联赛之间的其他依赖关系可能源于球队共享部分球员（Sch?nberger，2015年；Sch?nberger，2017年），或者因为需要在拥有多支球队的俱乐部之间平衡旅行距离（G.A. Durán等，2021年）。关于多联赛赛程编排问题的详细描述，请参阅第2节。

在处理MLSP时，文献中通常强制执行以下假设：（i）同一联赛中的球队同时进行比赛；（ii）一旦联赛开始，就必须不间断地继续进行；（iii）每支球队需要遵循所谓的"主客场模式"（HAP），该模式指定每一轮是进行主场比赛还是客场比赛，HAP来自为每个联赛给定的固定HAP集合。特别是，假设该集合中HAP的数量等于联赛中的球队数量，并且给定的HAP集合是可行的，即已知存在一种兼容的对手分配方式，使得每轮都满足所有约束条件。因此，MLSP仅专注于球队与模式的分配，完全忽略了对手分配问题（Davari等，2020年）。这些僵化的假设可能是为了应对多联赛体育赛程编排的计算难度而引入的，但它们远不足以反映真实世界赛程编排的需求和现实情况。此外，它们还可能排除了那些在实践中可行且能够大幅减少场地短缺问题的赛程方案。

我们的主要贡献在于探索如何通过放松这些假设、增加赛程编排的灵活性来减少场地容量违规。具体而言，我们研究了以下因素的影响——放松给定的HAP集合是可行的这一假设，通过考虑更大的主客场模式集合，为球队在主场和客场比赛的排序上提供更多选择；允许在联赛赛程层面出现间歇期，即在中断最多两轮后恢复联赛；以及转向所谓的"时间松弛赛程"（参见Van Bulck & Goossens，2020a；Knust，2010年），后者使用比严格需要的更多轮次，允许将比赛从场地容量超载的时间段移至问题较少的时间段。

我们注意到，Li等（2023年）已经研究了将常用的标准HAP集合作为给定集合的影响，用更"灵活"的HAP集合来替代它（参见Lambers等，2023年），其设置包括一个16支球队的联赛和两个8支球队的联赛。尽管如此，他们发现使用标准HAP集合可以为所有联赛实现最小的场地容量违规。我们的研究在以下方面扩展了这一工作：我们不假设使用一个给定的、所有联赛通用的可行HAP集合，而是使用大量HAP来构建每个联赛的任何合理HAP集合（参见第3.2节）。此外，与Li等（2023年）不同，我们考虑了具有不同联赛规模和组成的实例（参见第5.1节）。间歇期与所谓的"补赛轮"或"缓冲区"略有相关，后者已在单联赛文献中作为因突发事件而重新安排比赛的手段进行了研究（参见Yi等，2020年）。时间松弛赛程已由Grabau（2012年）和Sch?nberger（2015年）在多联赛赛程编排的背景下进行了研究，但是针对相当特定的问题设置（分别基于乒乓球和垒球）和针对所研究赛事量身定制的目标。此外，他们的研究从未将时间松弛赛程与任何其他方法进行对比，使得难以评估时间松弛格式增加的灵活性。最后，我们的研究补充了Devriesere和Goossens（2025年）和Li等（2025年）的工作，他们提出通过重新设计锦标赛，将所有球队放在一个大型联赛中，进行不完整的循环赛赛程，以减少场地容量违规。

为了清晰了解每种增加的灵活性设置的影响，我们需要计算（近）最优解。然而，多联赛赛程编排问题的计算量很大（Li等，2023年），上述广义化处理显然并没有使该问题变得更简单。为此，我们为MLSP提出了一种改进的整数规划模型，以及一种邦德斯分解方法，该方法通过为每个联赛单独的子问题来检验所生成HAP集合的可行性。此外，我们将研究范围限定在最多包含10个联赛的实例上，这些实例与Li等（2023年）生成的实例相同。尽管青少年和业余体育可能有更多联赛，但这种规模的实例并不少见。例如，Sch?nberger（2017年）研究的业余乒乓球比赛包含三个各有10支球队的联赛，而Grabau（2012年）研究的业余垒球比赛则由8个联赛组成。这种规模的实例在职业体育中也非常常见。例如，英格兰职业足球体系包含四个职业级别：英超联赛、英格兰足球甲级联赛（EFL Championship）、EFL League One和EFL League Two，其中来自不同联赛的某些俱乐部共用主场赛场的体育场和/或警察辖区。然而，职业体育赛程编排通常还受到许多额外约束条件的限制，例如转播要求、收入考虑以及与国际赛事相关的承诺，这些进一步增加了赛程编排的复杂性（Van Bulck等，2020年）。

本文的贡献如下：第2节正式描述了在不同赛程灵活性程度下多联赛赛程编排问题。我们改进了基础MLSP案例的数学模型，并为每种MLSP变体开发了新的模型（参见第3节）。在第4节中，我们展示了如何在"先分割后编排"（FBTS）框架中使用邦德斯分解法更高效地求解其中几种模型。基于使用文献基准实例的计算实验，我们确定了考虑更大HAP集合、联赛层面的间歇期以及时间松弛赛程可能带来的收益（参见第5节）。我们还讨论了引入赛程灵活性的弊端，探讨了其对从业者的影响，并在第6节中给出了结论。

**问题描述**

设??和??分别表示联赛集合和俱乐部集合。给定的球队集合??被划分为??中的联赛，并被划分为??中的俱乐部：$\bar{T}_l$ 表示哪些球队属于联赛 $l$，$\hat{T}_c$ 表示哪些球队属于俱乐部 $c$（俱乐部可以拥有任意数量的球队）。为了避免串通和操纵比赛，并与文献保持一致，我们假设来自同一俱乐部的球队不在同一联赛中比赛（Burrows和Tuffley，2015年；G.A. Durán等，2021年；Li和

**数学模型**

本节介绍了前一节概述的不同问题变体的数学模型。在这些模型中，我们使用集合 $M_t$ 表示球队 $t \in T$ 的比赛日集合（即 $M_t = \{1, \ldots, 2(s_t^l - 1)\}$）。此外，我们使用二元参数 $U_{h,m}$ 来表示HAP $h \in \mathcal{H}_l$ 的第 $m$ 场比赛是主场（'H'）还是客场（'A'）。

**先分割后编排：邦德斯分解方法**

验证HAP可行性所需的大量额外变量和约束说明了MLSP文献传统上假设有给定的可行HAP集合的原因。与其直接求解完整模型，我们现在展示如何通过"先分割后编排"（FBTS）分解法更高效地求解TC、TC-m、TCI、TCI-m和TR-b。FBTS分两个阶段进行：首先构建HAP集合，然后为该HAP集合确定兼容的对手赛程。

**计算研究**

在本节中，我们报告了将提出的数学模型应用于Li等（2023年）现有基准实例所得到的结果。所有计算均在基于CentOS 7.9 GNU/Linux的系统上完成，该系统配备Intel Gold 6240处理器，运行频率为2.60 GHz，内存为64.0 GB。源代码可向作者索取。所有IP模型均使用CPLEX 12.10求解，模型中保留了上述隐含域和整数约束。

**结论**

Li等（2023年）提出的多联赛赛程编排问题提供了一个简化的视角，假设多个联赛按照紧凑赛程进行比赛，而实际上并非总是如此。在本研究中，我们考虑了以下因素以使MLSP更贴近现实：（i）同一联赛的球队不必同时进行比赛；（ii）联赛一旦开始，可以中断；（iii）可以选择任何合理的HAP集合。我们提出了八种新的变体

**CRediT作者贡献声明**

Miao Li：撰写—原稿、可视化、软件、方法论。David Van Bulck：撰写—审阅与编辑、验证、软件、方法论。Dries Goossens：撰写—审阅与编辑、撰写—原稿、指导、方法论、概念化。

**利益冲突声明**

作者声明以下财务利益/个人关系，这些可能被视为潜在的利益冲突：Miao Li声明获得了中国留学基金会的资金支持。David Van Bulck声明获得了弗拉芒研究基金会（FWO）的资金支持。如有其他作者，他们声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些可能会影响本文报告的工作。

**致谢**

Miao Li得到中国留学基金会（CSC）的资助，项目编号201906890037，并得到根特大学通过优先CSC计划提供的共同资助，项目编号01SC2219。David Van Bulck是弗拉芒研究基金会（FWO）资助的博士后研究员 [1258021N]。

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