用于多孔介质均匀化的高阶相场等几何分析：一种多片对比框架

《Finite Elements in Analysis and Design》：Higher-order phase-field isogeometric analysis for homogenization of porous media: A multi-patch comparative framework

　　

• 提出了一种新颖的单补丁高阶相场IGA框架，用于多孔介质建模。
• 该方法将网格拓扑与复杂的内部孔洞边界解耦。
• 结果表明，与显式多补丁IGA相比具有高度保真度（误差<4%）。
• 该方法消除了对任意孔洞构型进行手动预处理的需要。

引言

材料科学和增材制造领域的最新进展推动了高性能异质复合材料和多孔材料的研发。这些复杂系统因其优异的强度重量比、能量吸收能力和可调功能特性，越来越多地被应用于航空航天、汽车和生物医学领域[1, 2, 3]。现代设计和制造复杂中空、蜂窝和晶格结构的能力，使得精确表征其宏观力学响应成为新的重点。然而，预测多孔介质的有效行为仍然面临巨大的计算挑战。其结构性能严格取决于内部拓扑结构，包括孔隙大小、形状和空间分布的变化[4]。由于经典的解析模型往往不足以捕捉此类微观结构中的复杂相互作用，因此需要稳健的计算均质化方法来可靠地评估有效材料性能，并指导多孔部件的自动化设计。

计算均质化通过分析代表性体积元（RVE）将微观非均匀性与宏观响应联系起来[5, 6]。通过在RVE上施加周期性边界条件（PBC），可以从体积平均的微观场推导出宏观本构关系和有效弹性张量。传统上，有限元方法（FEM）是实现此目的的标准方法[6, 7]。尽管该方法取得了成功，但FEM在解决弯曲的内部孔洞或密集的多孔网络方面面临重大困难，这需要使用高度细化的、符合性网格。这种对显式网格的依赖引入了几何诱导的近似误差，并显著增加了预处理工作量。

等几何分析（IGA）[8]通过使用非均匀有理B样条（NURBS）作为几何表示和场近似的基函数，作为一种稳健有效的替代方案应运而生。IGA能够精确描述计算域，有效消除了几何诱导的离散化误差。此外，NURBS基函数的高阶连续性提供了优于标准C?连续有限元的数值鲁棒性。尽管具有这些优势，将IGA扩展到拓扑复杂的多孔介质引入了一个新的结构瓶颈：NURBS的张量积拓扑。显式捕捉任意形状和随机分布的孔洞需要繁琐的多补丁参数化和非平凡的补丁间耦合[9, 10, 11]。这一要求显著降低了IGA在大规模参数研究中的效率，因为为复杂的微观孔洞生成符合性的多补丁结构是一项劳动密集的预处理步骤。为缓解上述网格约束，扩展等几何分析（XIGA）通过将有单位分解方法融入IGA框架而得到了广泛开发[12, 13]。XIGA已被证明在建模静止和扩展裂纹[14]、强/弱材料界面[15]以及复杂的多材料拓扑[16]方面非常有效，而无需符合性网格。然而，利用XIGA捕捉任意孔洞形态需要将水平集表示与增强函数耦合。这种方法在相交单元处引入了极为复杂的子单元数值积分（子单元三角化），以保持精度。此外，水平集方法（LSM）和XIGA通常依赖零水平集来追踪预存的间断。它们本质上难以处理未开裂介质中的自发裂纹成核或光滑孔洞，通常需要临时准则。此外，随着拓扑复杂度的升高——例如三维三重周期极小曲面（TPMS）——实现动态表面追踪、增强自由度和三维子单元积分将变得计算上不可行。

为规避这些显式几何约束，相场描述提供了一种优雅的隐式替代方案。通过连续标量相场变量来区分固体相和孔洞相，从而对多孔区域进行建模，完全绕过了复杂的多补丁分解需求。虽然二阶相场模型相对容易实现，但高阶公式提供了增强的正则化，产生更光滑的界面轮廓，并可能具有更高的物理保真度。然而，四阶方程至少需要C1连续性，这使得它们在标准FEM框架中实施起来众所周知地困难。这正是IGA发挥其最大潜力的地方：NURBS基函数固有的C??1连续性无缝地满足了四阶相场方程所需的高阶空间导数。虽然四阶相场PDE已被广泛且成功地应用于裂纹扩展[17, 18]，但其适用性、计算成本以及精度权衡在均质化框架内仍未被探索。此外，除了IGA和标准FEM之外，诸如基于FFT的方法[19]、间断Galerkin方法（DG）[20]、虚拟单元方法（VEM）[21]以及新兴的机器学习[22]技术等替代数值框架，也有潜力被探索用于广义相场建模和计算均质化。

本研究的主要目标是引入一个统一的高阶相场等几何框架，用于二维周期多孔材料的均质化，并建立与显式参数化多补丁IGA的严格对比研究。因此，本研究的内在创新性在于建立一个综合的定量框架，弥合了显式多补丁表示与隐式高阶相场模型之间的鸿沟。该方案完全在单一NURBS补丁内运行，隐式地捕捉复杂的孔洞形态而无需显式网格。本文开发并系统评估了二阶和四阶相场公式。通过将显式多补丁IGA模型作为高保真基准，我们提供了对相场模型的直接定量评估，包括：(i) 均质化弹性张量的精度，(ii) 对界面正则化的敏感性，以及(iii) 预处理复杂度、界面光滑度和计算成本之间的基本权衡。

本文的组织如下。第2节建立了理论和数值框架，涵盖了NURBS的基本方面、二阶和四阶相场均质化模型的推导，以及在等几何设置中周期边界条件的实现。第3节展示了一系列数值RVE示例，系统地比较了单补丁高阶相场方法与参考多补丁IGA策略。最后，第4节通过总结权衡分析并提供关于复杂超材料自动化设计的展望来结束全文。

节选片段：等几何分析、均质化和相场的简要理论
在深入研究具体的数学公式之前，图1展示了所提出的PF-IGA均质化框架的整体计算流程。该工作流程系统地分为三个主要阶段：(i) 预处理和隐式域初始化，其中使用单一NURBS补丁上的稳态相场变量捕捉复杂的孔洞几何形状，同时强制执行周期边界条件；(ii) PF-IGA均质化求解器，其……

数值结果与讨论
本节对所提出的均质化框架进行了全面的数值评估，以预测二维周期微观结构的有效力学性能。首先，对纤维增强复合材料进行了验证研究，以验证多补丁IGA公式与已建立的基准结果相比的精度。随后，将这些框架应用于各种多孔介质，使用边长L=1的方形代表性体积元（RVE）……

结论
本研究开发并全面评估了两种不同的IGA框架，用于二维周期多孔介质的计算均质化。本研究并未将范围局限于单一方法，而是提出并系统地比较了显式多补丁IGA策略和并行的单补丁PF-IGA公式。这种双框架方法提供了一种灵活的计算工具箱，能够解决广泛的微观结构建模问题……

CRediT作者贡献声明
Thoi V. Duong：撰写-原稿，可视化，形式分析，数据整理。
Binh Khanh Ngo：验证，软件，方法学。
Pham Toan Thang：撰写-审阅与编辑。
Khuong D. Nguyen：监督，项目管理，调查，概念构思。

结果复制
本研究生成的C#代码由通讯作者按需提供。

利益冲突声明
作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：Khuong D. Nguyen报告获得了越南国家大学胡志明市分校的财务支持。如有其他作者，他们声明不存在已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢
本研究由越南国家大学胡志明市分校（VNU-HCM）资助，属于"在2025-2030年间提升VNU-HCM教育与基础科学研究能力，并融合战略技术，以实现可比肩区域和全球水平的先进标准，面向2045年愿景"项目框架下的一个项目（CB2025-20-20）。

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