一种用于具有两个加性时变时延的T-S模糊二维直升机系统轨迹跟踪的改进二变量二次函数负定性引理

《ISA Transactions》：An improved bivariate quadratic function negative-definiteness lemma for trajectory tracking of T–S fuzzy 2-DOF helicopter systems with two additive time-varying delays

　　摘要要点：- 采用部分线性化策略，建立了一个含有两个加法时变延迟的T-S模糊2-DOF直升机模型。- 推导了一个用于双变量二次函数的改进型带可调参数负定性引理。- 基于贝叶斯优化辅助的参数整定数值算例验证了所提引理的优越性。引言直升机凭借其垂直起降、悬停和高机动性等能力，在民用和军用领域得到了广泛应用[1], [2]。然而，其强耦合性、非线性动力学以及时变特性给建模和稳定性控制带来了重大挑战[3]。为以可行且具有代表性的方式研究这些问题，广泛采用的二自由度（2-DOF）直升机模型在降低系统复杂度的同时捕获了关键的俯仰—偏航动力学，从而为分析非线性行为以及评估先进控制策略提供了有效的平台[4], [5], [6]。鉴于2-DOF直升机系统具有较强的非线性和俯仰—偏航耦合特性，文献中报道了多种控制策略。例如，文献[7]将系统非线性视为未建模不确定性，并通过结合Actor-Critic强化学习与滑模控制设计了鲁棒控制器。此外，文献[8]采用确定性学习与神经网络来补偿结构不确定性。尽管这些数据驱动和基于学习的方法在不确定性补偿方面具有优势，但其相对的黑箱式表述可能会掩盖底层系统动力学，使得基于解析模型推导严格且显式的稳定性条件更加困难。相比之下，T-S模糊方法将非线性系统表示为线性子模型的凸组合。这使得对非线性系统进行有效逼近成为可能，并使所得模型更适合在LKF框架下进行稳定性分析。凭借这些特性，基于模糊系统的建模与分析框架已被广泛用于复杂非线性系统研究[9]。特别是，T-S模糊方法可与自适应控制[10]、滑模控制[11]以及事件触发机制[12]相结合，实现参数补偿、增强鲁棒性并更高效地利用通信资源。尽管T-S模糊建模对非线性系统具有优势，但现有针对强耦合2-DOF直升机的模型仍存在一定局限性。文献[13]建立了经典的线性化基准模型，为后续分析和控制器设计提供了有用的基础。然而，该模型依赖于在俯仰角和偏航角及其角速度均为零的平衡点处进行完全线性化，从而限制了其捕获关键非线性动力学的能力。此外，文献[12]发展了含时延姿态跟踪下的事件触发T-S模糊误差系统，但其在俯仰通道对重力扰动的处理仍有改进空间。针对这些局限，本文采用部分线性化策略建立了修正的T-S模糊模型，该模型保留了关键的俯仰角非线性，同时保持了后续分析的可处理性。基于该模型，建立了具有两个加法时变延迟的模糊误差系统，并引入积分项以补偿俯仰通道中重力扰动引起的稳态误差。所得模型为模糊PID控制器设计和延迟相关稳定性分析奠定了基础。此外，由于信号传输、数据处理和执行器响应等原因，时延效应在控制系统中普遍存在[14], [15]。在飞行控制系统中，此类延迟可能出现在闭环过程的传感、通信和执行阶段[16], [17]。然而，许多现有的飞行控制研究在单一延迟框架内分析了这些延迟效应[18], [19]。在实际的2-DOF直升机系统中，反馈信号和控制指令通常通过两条不同的物理通道延迟，即传感器到控制器路径和控制器到执行器路径。相应地，这些延迟可解释为反馈侧延迟和执行器侧延迟，它们在闭环通道中依次起作用，并以级联加法形式进入模型[20]。将其耦合效应视为单一均质延迟可能会掩盖实际的延迟结构并引入额外的保守性。因此，本文在改进的T-S模糊模型中采用两个加法时变延迟描述，以分别刻画这两个延迟分量。在时延系统的稳定性分析中，所得判据的保守性与LKF的构造以及时延相关积分项的估计密切相关。为此，研究者发展了多种LKF结构，例如增广LKF[21]、多积分LKF[22]、时延乘积LKF[23]和时延分区LKF[24]。同时，为降低估计保守性，也采用了多种积分不等式来界定与延迟相关的积分项，包括Jensen不等式[25]、Wirtinger型积分不等式[26]、基于自由矩阵的积分不等式[27]、基于辅助函数的积分（AFBI）不等式[28]以及广义互反凸组合引理（GRCCL）[29]。在本文中，采用AFBI不等式和GRCCL来估计时延相关稳定性分析中的相关积分项。当系统含有两个加法时变延迟时，LKF的导数通常涉及一个含有两个独立时延变量的双变量二次函数。文献[30]提出的双变量二次函数负定性引理为处理此类项提供了有用工具，但其适用性受到相关联系数矩阵同号要求的限制。为放宽这一限制，Liu等人[31]进一步提出了基于端点条件的扩展负定性引理。尽管这一扩展扩大了适用范围，但所得判据仍依赖于固定的端点条件验证，这可能导致保守的时延上界估计。为解决这一问题，在双变量二次函数的扩展负定性引理中引入了可调参数，形成了改进的负定性引理。为充分利用这些可调参数的灵活性，本文采用基于贝叶斯优化的算法调参程序。总之，本文建立了具有两个加法时变延迟的2-DOF直升机系统的改进T-S模糊模型。基于该模型，提出了双变量二次函数的改进负定性引理。通过整合Lyapunov-Krasovskii分析框架，推导出了更为宽松的延迟相关稳定性判据。本文的主要工作和贡献可总结如下：1. 本文为2-DOF直升机系统发展了部分线性化的T-S模糊误差模型，其中保留了关于俯仰角的关键非线性依赖，并将两个加法时变延迟纳入误差系统表述中。2. 本文提出了带有可调参数的改进双变量二次负定性引理，以保证双变量二次函数的负定性。并进一步采用基于贝叶斯优化的算法调参程序来确定可调参数。3. 基于改进的双变量二次负定性引理，为具有两个时变延迟的2-DOF直升机系统推导了新的延迟相关稳定性判据及相应的模糊PID控制器设计方法。数值与仿真结果表明，所提方法可给出更大的ADUB并实现有效的轨迹跟踪。本文其余部分的组织如下。第2节建立了具有两个加法时变延迟的2-DOF直升机系统的T-S模糊模型。第3节给出了改进的双变量二次负定性引理、由此得到的延迟相关稳定性与模糊PID综合条件以及离线参数调优算法。第4节报告了数值比较和直升机仿真。符号说明：本文中 表示 的逆。 表示n维欧几里得空间， 表示所有实 矩阵的集合。 表示矩阵 的转置。 和 分别表示 是负定和正定的。对称化算子 定义为 。 表示对角矩阵， 。章节要点问题描述在第2.1节中介绍了2-DOF直升机系统，其俯仰和偏航旋转分别用 和 表示。示意图及相应受力模型见图1，动态方程基于能量原理的欧拉-拉格朗日公式推导得到。为捕获系统非线性，采用T-S模糊建模方法，在第2.2节中得到了统一的T-S模糊模型。所提方法的总体流程总结于图2。主要结果本节分析T-S模糊2-DOF直升机系统的稳定性。在进行该分析之前，首先给出一个关于双变量二次函数负定性的改进引理，用于研究系统(13)的延迟相关稳定性。数值算例本节包含四个子节。4.1节利用定理1和推论1比较线性化2-DOF直升机系统的ADUB，以展示引理4降低了保守性。4.2节评估了模糊PID控制器在理想和实际网络控制条件下的跟踪性能。4.3节与具有两个加法时变延迟的线性基准系统进行比较。4.4节与具有两个加法时变延迟的T-S模糊基准系统进行比较。结论本文研究了具有两个加法时变延迟的非线性2-DOF直升机系统的延迟相关稳定性和轨迹跟踪控制。通过保留关键的俯仰角相关非线性和引入用于稳态误差补偿的积分状态，建立了改进的部分线性化T-S模糊误差模型。为处理LKF导数中的双变量二次项，提出了带可调参数的改进负定性引理。CRediT作者贡献声明Zhu Tingyi：撰写——初稿、验证、软件、调查。Ren Jiaojiao：撰写——初稿、监督、软件、调查。Shi Kaibo：撰写——审阅与编辑、验证、项目管理、方法论。利益冲突声明作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。Zhu Tingyi｜Ren Jiaojiao｜Shi Kaibo