一种分数阶固定时间吸引且抗噪的归零神经网络及其在机器人机械臂控制中的应用

《ISA Transactions》：A fractional-order fixed-time attractive and noise-tolerant zeroing neural network and its application to robotic manipulator control

　　

•提出了一种通用分数阶零化神经网络模型。•对FO-ZNN模型进行了严格的数学分析。•FO-ZNN被成功应用于机械臂轨迹跟踪。

引言

时变问题的实时求解构成了多个工程和科学领域的长期核心挑战，例如控制科学、信号处理和计算智能。诸如时变矩阵求逆[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、时变优化[6]、[7]、[8]以及运动学/动力学方程的在线求解[9]、[10]等问题在高速动态系统如机器人控制[11]和实时信号处理[12]中普遍存在。与传统的静态或迭代数值算法相比，基于连续时间动态系统设计的递推模型由于其固有的并行处理能力和硬件可实现性，为时变问题的在线求解提供了一条具有吸引力的途径。在此背景下，零化神经网络（ZNN）[13]、[14]作为一种专门为时变问题设计的循环神经网络（RNN）范式[15]、[16]，自其诞生以来便获得了广泛关注。ZNN的核心思想是构建一个动态演化方程，能够使特定定义的误差函数全局指数收敛到零，从而实现时变问题精确解的渐近跟踪。ZNN此后已演变成针对各种不同问题的多种变体，并在众多领域展示了其效率[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]。

然而，随着应用场景中性能需求的不断提高，现有的经典整数阶ZNN模型暴露出某些局限性。首先，现有ZNN的动态特性主要由一阶线性微分方程主导，导致收敛行为相对固定。虽然可以通过调整参数来加速收敛，但这些模型本质上受到整数阶微积分局部性的限制，难以灵活地模拟或利用系统的历史状态信息来实现更优的收敛性能，例如在一些专门变体中观察到的超指数收敛[24]或有限时间收敛[25]、[26]、[27]。其次，实际的工程系统和测量反馈过程通常涉及各种类型的噪声，而经典ZNN对此尤其敏感，特别是对常数噪声的敏感性。这种敏感性可能导致实时计算结果中的稳态误差增大，从而损害实际环境中的解算精度。尽管激活函数的设计已被证明是调节ZNN动态特性和增强鲁棒性的关键手段[28]、[29]、[30]，但如何为分数阶扩展模型匹配合适且高效的抗噪激活函数仍是一个值得深入探索的问题。

为了克服整数阶ZNN固有的局限性，本文引入了分数阶微积分[31]、[32]、[33]到ZNN框架中，为其动态设计提供了一种新颖的数学工具。与仅表征瞬时变化率的整数阶微积分不同，分数阶微积分算子具有非局部性和记忆性，能够更精细地描述系统的历史依赖关系[34]。将分数阶微积分的概念引入ZNN，有潜力产生更丰富和更灵活的动态行为，为实现预指定时间吸引、提高吸引速度或增加系统阻尼提供新的可能性。近年来，分数阶微积分已成功应用于其他神经网络如Hopfield神经网络的系统建模，以及图像处理等领域，初步验证了其理论优势[35]、[36]、[37]。

近年来，随着分数阶动力系统理论的快速发展，越来越多的关于分数阶神经动力学、固定时间控制和鲁棒稳定性的研究成果涌现。例如，一些研究对具有时滞和输入饱和约束的不确定分数阶系统进行了鲁棒稳定性分析；另一些研究深入探讨了分数阶神经网络的固定时间同步、有限时间控制和抗干扰性能。同时，关于分数阶零化神经网络的一些研究也逐渐出现，在时变问题求解、鲁棒优化和动态控制方面展现出潜力[38]、[39]、[40]。这些研究表明，根据基础系统结构和控制目标的不同，可以通过不同的控制架构实现固定时间控制。相比之下，本文研究的固定时间问题是在零化神经网络框架内为解决时变问题而提出的，其中固定时间吸引性被纳入分数阶误差动力学中，而非通过容错补偿或漏斗型一致性调节来实现。这一区别促使我们进一步研究如何将固定时间吸引性与分数阶ZNN的非局部记忆特性进行系统性整合。上述研究表明，分数阶理论在增强系统动态灵活性、提高鲁棒性和塑造吸引性能方面具有显著潜力。然而，在分数阶ZNN文献中，大多数现有研究侧重于将分数阶作为额外的动态调谐参数来实现更快的收敛速度或更严格的预定义时间吸引性能，而关于分数阶记忆机制本身如何影响ZNN动态行为的研究仍相对有限。

与一些专注于设计新非线性激活函数或仅将分数阶算子作为额外收敛调谐参数的FO-ZNN框架的现有工作不同，本文更加关注在统一激活函数机制下，由Caputo分数阶导数定义引入的动态记忆效应对ZNN吸引行为、鲁棒性和动态平滑性的影响。与现有的整数阶或传统分数阶ZNN模型相比，本研究面临的主要技术挑战在于如何在统一神经动力学框架内同时整合分数阶记忆动力学、固定时间吸引性、强抗噪鲁棒性、计算复杂度表征以及机器人机械臂实现。首先，由于Caputo分数阶导数的非局部记忆特性，建立固定时间吸引性的严格条件比在整数阶系统中困难得多。其次，为实现固定时间加速而引入的非线性激活函数给分数阶Lyapunov分析带来了额外困难，特别是对于向量耦合误差系统。第三，分数阶动力学的数值实现需要递归历史更新，这增加了计算复杂度并引发了实际实时控制问题。最后，将所提框架扩展到机器人机械臂控制还需要在时变Jacobian矩阵和外部扰动下保持鲁棒性。

基于上述分析，本文旨在通过将分数阶微积分理论与ZNN框架深度融合并引入抗噪激活函数，系统性地构建并分析一种优越的求解器。本文的主要贡献可总结如下：

1. 提出了一种通用的分数阶零化神经网络（FO-ZNN）模型框架。通过将ZNN演化方程中的整数阶导数推广为Caputo分数阶导数，建立了一个更通用的动态系统，为性能优化奠定了模型基础。为了满足FO-ZNN模型在噪声环境中的鲁棒性要求，引入并验证了一种抗噪激活函数，确保其在抑制噪声和保证有界稳态误差方面的有效性。这促成了分数阶固定时间吸引抗噪零化神经网络（FO-FTNTZNN）的构建。

2. 对提出的FO-FTNTZNN模型进行了严格的数学分析。利用分数阶Lyapunov稳定性理论，证明了系统的Mittag-Leffler意义下的全局吸引性。此外，分析了系统在有限噪声扰动下的鲁棒性，并推导了稳态误差的显式上界。

3. 进行了系统的MATLAB数值仿真，验证了FO-FTNTZNN在时变矩阵求逆等标准问题上在吸引速度和抗噪性能方面的优越性。此外，所提模型被成功应用于机器人机械臂的轨迹跟踪控制，展示了其在解决实际工程问题中的有效性和潜力。

本论文其余部分组织如下：第2节阐述了必要的理论基础。第3节详细介绍了FO-FTNTZNN模型的构建过程并引入了所采用的抗噪激活函数。第4节呈现了吸引性和鲁棒性分析。第5节展示了MATLAB数值仿真结果。第6节探讨了机器人机械臂控制应用。最后，第7节总结了全文并概述了潜在的未来工作。

**各节摘要**

**理论基础**

本节旨在系统阐述构建分数阶零化神经网络（FO-ZNN）的基本理论基石。首先回顾了经典零化神经网络（ZNN）的核心设计原理，作为FO-ZNN模型的起点和基础。其次，引入了分数阶微积分的基本概念和定义，为模型从整数阶推广到FO-FTNTZNN提供数学工具。

**FO-FTNTZNN模型设计**

本节旨在详细阐述FO-FTNTZNN的完整设计过程。首先，基于第2节的理论基础，通过将经典ZNN设计范式与分数阶微积分相结合，推导了一个通用的FO-ZNN动态模型。其次，深入讨论了关键参数——分数阶阶数——的物理意义和选择原则。最后，介绍了所选择的具有固定时间吸引特性的抗噪激活函数。

**性能分析**

本节对提出的FO-FTNTZNN模型进行了严格和全面的数学分析。所引入的激活函数集成了双幂项、线性项和常数符号项，旨在同时实现快速的固定时间吸引和强抗噪性。我们将从基本定义和引理开始逐步推导证明过程，确保每个阶段的清晰性。必须明确的是，在整数阶系统中，固定时间收敛……

**数值仿真**

本节旨在通过基于MATLAB平台的系统性数值仿真，全面验证前述理论分析的正确性和所提FO-FTNTZNN模型的实用性能。设计并实施了两个关键实验，以验证模型在无噪条件下的固定时间吸引特性以及在有限噪声扰动下的鲁棒性能。值得注意的是，理论分析与……

**机器人机械臂应用**

本节旨在将之前从理论上分析和设计的FO-FTNTZNN模型应用于一个更复杂且具有实际工程意义的场景：工业机器人机械臂的末端执行器位置跟踪控制。为了便于分析所提FO-FTNTZNN的基本收敛特性和噪声鲁棒性，首先考虑了一个经典的简化位置跟踪场景，即仅对PUMA560的腕部中心进行控制验证。通过……

**结论**

本文系统地提出并研究了一种用于求解时变矩阵问题的FO-FTNTZNN框架。首先，通过将Caputo分数阶微积分算子引入经典ZNN的设计范式，建立了一个广义的FO-ZNN动态模型。该模型克服了整数阶导数固有的局部性限制，赋予系统记忆和遗传特性，从而为灵活塑造……

**CRediT作者贡献声明**

曹少庭：撰写—初稿、验证、软件、方法论、形式化分析、数据管理。
金杰：撰写—审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取、数据管理、概念化。
陈世强：撰写—审阅与编辑、监督、资源、资金获取、形式化分析、数据管理。
陈朝阳：撰写—审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取、数据管理。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**致谢**

本工作得到国家自然科学基金（编号：62273141、62533010和62372495）、海南省自然科学基金（编号：626MS0245）的资助。

曹少庭 | 金杰 | 陈世强 | 陈朝阳