准周期陈绝缘体逼近子中分辨次波的有限温度拓扑诊断

《APS Open ScienceNEW》：Phason-resolved finite-temperature topological diagnostics in quasiperiodic Chern-insulator approximants

　　

准周期系统中的有限温度拓扑诊断是微妙的，因为准周期性去除了混合态能带指标通常定义的布洛赫动量环面。我们研究了有限斐波那契逼近上的准周期齐 - 武 - 张陈绝缘体，并采用扭曲边界相位作为操作性的二维环面。对 $L=21,34,55$ 的能隙扫描显示，固定边界谱能隙可以保持有限，而其他处出现扩展的低能隙区域。投影乌尔曼诊断揭示了更锐利的有限尺寸结果：投影绕数的稳定性不由标量最小扭曲能隙单独决定。对 $L=34, 25 \times 41$ 的高分辨率审计给出了三种情况的操作稳定标度分别为 $5 \times 10^{-4}, 10^{-2}$ 和 $3 \times 10^{-2}$，而它们的的最小扭曲能隙均为 $10^{-3}$ 量级。使用 $\theta_x=0$ 和精确 $\theta_x=\pi$ 切片上的投影基也得到了相同的排名。直接的相曲线诊断表明，崩溃与 $2\pi$ 投影乌尔曼相绕数的丢失或奇化有关，而稳定案例尽管谱能隙较小但仍保留绕数。在本工作研究的有限逼近中，这些结果确定，相子分辨的边界相位几何和投影和乐敏感性，而非固定边界能隙或标量最小能隙单独作用，是控制此有限尺寸投影诊断的机制。

一、引言

在零温下，拓扑相通常由占据态的几何不变量来表征 [1–3]。对于晶体陈绝缘体，陈数定义在布洛赫动量环面上 [1]。在无序或准周期系统中，平移对称性不存在，需要实空间或扭曲边界公式 [4–9]。准周期系统特别有趣，因为拓扑可以在没有普通晶体平移对称性的情况下存在，并且可以由相子自由度控制 [10–18]。

有限温度问题更为微妙。热态由密度矩阵而非纯占据能带投影子描述。乌尔曼构造为密度矩阵提供了几何平行移动，并激发了能带系统中的有限温度拓扑诊断 [19–26]。最近的系综几何相位、乌尔曼 - 陈数和混合态序参量构造进一步说明，混合态拓扑取决于所选的密度矩阵几何和物理可观测量 [27–30]。然而，对于准周期陈绝缘体逼近，布洛赫环面的缺失提出了一个具体问题：哪个有限系统流形控制混合态诊断？扭曲边界条件提供了操作性答案 [31,32]。相位 $\theta_x, \theta_y$ 为每个有限逼近定义了一个边界相位环面，使得可以在同一计算中比较固定边界博特指标、全扭曲空间能隙景观和投影乌尔曼和乐。

在本工作中，我们表明这些逼近中的投影有限温度响应由相子分辨的边界相位机制控制。结果不仅仅是一个小的最小能隙破坏诊断。相反，标量最小扭曲能隙是一个重要的警告信号，但不是一个充分的预测器。某些具有小扭曲能隙的相子扇区在非常低的温度下失去投影乌尔曼绕数，而其他具有可比拟小能隙的扇区在整个采样温度范围内保留了量子化的投影绕数。区分信息包含在边界相位环面上的投影乌尔曼相绕数几何中：即使在相似的标量谱瓶颈处，相子也可以保留或破坏绕数。

图 1 给出了本文的路线图。面板 (a) 定义了有限实空间逼近、两个边界扭曲以及移动准周期调制的相子偏移。面板 (b) 说明了中心谱观察：两种相子选择可以有可比拟的最小扭曲能隙但不同的有限温度响应。面板 (c) 将此比较转化为投影和乐语言，其中稳定案例在 $\mathcal{O}$ 的复平面中绕原点旋转，而崩溃案例失去或奇化了该绕数。面板 (d) 总结了结果部分遵循的逻辑：首先绘制扭曲能隙地形，然后测量投影乌尔曼响应，最后通过相绕数诊断确认机制。

图 1. 相子分辨的边界相位机制路线图。(a) 有限准周期齐 - 武 - 张逼近放置在具有边界扭曲 $\theta_x, \theta_y$ 的环面上；相子偏移 $\delta_x, \delta_y$ 移动准周期原位调制。(b) 扭曲能隙地形可以被相子重塑。代表性的崩溃和稳定案例具有可比拟的标量最小扭曲能隙但不同的操作性稳定标度。(c) 差异由投影乌尔曼和乐解决：稳定案例保留了 $\mathcal{O}$ 的相绕数，而崩溃案例失去或奇化了它。(d) 本文通过结合扭曲能隙扫描、有限温度投影乌尔曼响应和相绕数确认遵循此逻辑。

二、模型和诊断

A. 准周期齐 - 武 - 张逼近

为了使此比较具体化，我们考虑 $N \times N$ 平方晶格上的实空间齐 - 武 - 张陈绝缘体，每个格点有两个内部轨道 [3,33]。在每个格点 $\mathbf{r}$ 处，$\hat{\mathbf{x}}$ 和 $\hat{\mathbf{y}}$ 分别表示 $\hat{x}$ 和 $\hat{y}$ 方向上的单位晶格矢量，晶格常数设为 1。$\mathbf{r}$ 创建了一个二分量轨道旋量，$\sigma$ 和 $\mathbb{1}$ 表示此轨道空间中的泡利矩阵和单位矩阵。哈密顿量为
(1)
其中
(2)
跨越边界的跃迁获得相位 $\theta_x$ 或 $\theta_y$，其中 $\theta_x$ 和 $\theta_y$ 是穿过有限环面两个循环的边界扭曲。我们使用
(3)
并设置 $\delta_x = \delta_y = 0$。准周期原位调制为
(4)
相子偏移 $\delta_x, \delta_y$ 移动非共尺调制。我们使用斐波那契逼近 $F_n$，其中 $n$ ...。对于第一阶段能隙扫描，偏移是确定性二维克罗内克序列 $f_k^i, g_k^i$ 的前 $N$ 个点，其中 $f_k^i = \{k \alpha\}$, $g_k^i = \{k \beta\}$，对于 $i=x,y$ 分别为 $\alpha$ 和 $\beta$。这既不是笛卡尔网格也不是随机抽取；不涉及随机种子或物理轨迹。高亮的投影乌尔曼案例是在后续的扫描知情靶向步骤中固定的。特别是，相子 4 和 7 的偏移是在检查第一阶段结果后手动指定的，而不是由记录的全局极值规则自动指定，也不声称代表相子系综。实际计算偏移列于表 I，完整的 第一阶段列表见补充材料 [34]。所有相位均为模 $2\pi$ 的弧度。

表 I. 投影乌尔曼扫描中使用的靶向相子偏移。相子 1 和 2 与第一阶段序列的前两点重合；相子 4 和 7 是手动指定的扫描知情偏移。此处显示的是四舍五入值；计算值列于补充材料 [34]。
标签 $\delta_x$ $\delta_y$
相子 1 0 0
相子 2 3.8832 2.6026
相子 4 5.1662 0.9224
相子 7 4.1839 5.5258

B. 固定半填充博特和扭曲能隙诊断

在固定边界相位下，我们从投影子 $\Pi$ 计算博特指标，该投影子投射到最低的 $N$ 个单粒子本征态上 [5,7]。这里和下文，单粒子本征值 $\epsilon_n$ 按递增顺序排列。具有实空间相位算符 $X$ 和 $Y$，其中 $X$ 和 $Y$ 是有限环面上的对角位置算符，
(5)
和
(6)
为了表征边界相位流形，我们计算扭曲空间能隙
(7)
并跟踪最小扭曲空间能隙连同近无能隙扭曲分数
(8)
(9)
这里，$\Gamma$ 是离散扭曲网格，$\Gamma = \dots$，$\mathbb{I}$ 是示性函数，当参数为真时等于 1，否则为 0。除非另有说明，近无能隙分数是在 $\Delta$ 时评估的。

C. 零温一致性检查

由于准周期标量势移动个体有限尺寸谱，将固定半填充参考子空间与热关联矩阵中使用的参考化学势分开是有用的。在这些定义之后，图 2 总结了用于验证固定半填充约定的零温检查。对于代表性轨迹，博特指标和扭曲陈诊断在博特 -1 窗口中一致。占据偏移面板显示了 $\epsilon_n < \mu$ 的单粒子能级数量与 $N$ 之间的偏差；此数量是参考谱的诊断，而非占据投影子的定义。固定半填充投影子始终由最低的 $N$ 个本征态定义。扭曲至固定能隙比进一步确认了最弱的边界相位能隙可以发生在固定边界之外。

图 2. 固定半填充约定的零温一致性检查。(a) 沿代表性固定相子扫描的固定边界博特指标 $B$。(b) 在边界相位环面上计算的扭曲陈诊断，显示在相同的博特约定下。(c) 相对于 $\mu$ 在 $\Delta$ 处的占据偏移；这是谱诊断，而非占据投影子的定义。(d) 最小扭曲空间能隙与固定边界能隙的比率，显示最弱能隙发生在何处而非 $\theta_x = \theta_y = 0$。

所有零温投影子和能隙都定义在固定半填充，$\rho = N$，即两轨道加倍前每个格点占据一个单粒子态。符号 $\mu$ 下文指定了单粒子热占据矩阵中使用的参考化学势；它不应与变粒子数的占据投影子定义混淆。

D. 投影有限温度乌尔曼诊断

对于有限温度，我们使用与高斯热态关联的单粒子费米占据矩阵。我们设置 $T=1$，因此 $T$ 以与哈密顿量相同的能量单位测量，
(10)
此关联矩阵对象不是完整的多体吉布斯密度算符。因此，下面的投影构造测试的是固定半填充零温束的热稳定性，而不是定义一个独立的多体热不变量。为了隔离此参考束诊断，以下计算中 $\mu$ 保持固定在零；具有 $\mu$ 调整以保持 $\rho=N$ 的固定密度热系综是未来热力学研究的自然扩展。在 $\theta_y$ 固定的情况下沿 $\theta_x$ 中的离散化环，我们写下 $\mathcal{U}$。相邻的平方根密度矩阵定义极分解酉算符
(11)
其中 $U$ 是酉极因子，$P$ 是...。环和乐是 $H = \prod \mathcal{U}$。然后将此乌尔曼和乐投影到环基点的零温占据子空间上。矩阵 $\mathcal{O}$ 大小为 $N \times N$，其正交列由 $\mathcal{H}$ 的最低 $N$ 个特征向量给出：
(12)
方程 (12) 中括号中的 $\mathcal{O}$ 矩阵记为 $\mathcal{O}$，占据子空间投影和乐。我们还监控投影和乐振幅
(13)
图 6 中 $\mathcal{O}$ 处的虚线是一个操作性数值敏感性标志，不是机器 epsilon、极分解条件数截止、噪声注入尺度或物理阈值。它保守地选择高于双精度机器 epsilon 约八个数量级，远低于稳定区间中的行列式振幅；其作用通过以 $\epsilon = 10^{-6}$ 和 $\epsilon = 10^{-8}$ 重复审计明确测试。在每个采样的 $\theta_x$ 处保留行列式振幅和相位。对于选择的阈值 $\epsilon$，如果原始闭合 $\theta_x$ 循环上的任何点满足 $|\det \mathcal{O}| < \epsilon$，则报告该温度下的形式绕数为未定义；被标记的点不被删除，且非相邻点不重新连接。$L=34$ 的 $\epsilon$ 审计见补充材料 [34]。投影有限温度绕数为
(14)
其中符号固定方向约定，使得低温 $B_U$ 与正博特扇区一致。对于博特 -1 案例，操作性乌尔曼稳定标度 $T_{stab}$ 是连续稳定前缀中最后一个温度，该前缀始于最低采样温度，其中形式绕数有定义，$B_U = 1$，且没有局部行列式低于 $\epsilon$，其中 $\epsilon$ 定义在方程 (16) 中。它不计入中间失败后可能的重新进入。这是一个有限尺寸、有限网格投影诊断，不是通用的多体混合态不变量或有限温度霍尔电导。当绕数在相邻采样温度之间丢失时，$T_{stab}$ 是网格分辨的稳定标度，而非连续临界温度；在 $T_{max}$ 稳定的案例仅稳定至最大采样温度。

三、边界相位能隙瓶颈

我们首先对扭曲环面进行能隙扫描。扫描使用 $L=21, 34, 55$，以及三种大小分别为 24, 12 和 6 个相子偏移。扭曲网格为 $\dots$。$L=21$ 数据，仅从 $\dots$ 网格和六个相子偏移获得，仅用作定性组织检查。它们的绝对值不被解释为收敛的有限尺寸标度，且下面的定量投影乌尔曼结论基于更密的 $L=34$ 和 $L=55$ 计算。对于任何依赖于相子的量 $Q$，我们将固定 $L$ 和 $T$ 下使用的 $\Phi$ 个相子偏移的样本中位数记为
(15)
此符号用于图 3 和 4；例如，$\langle Q \rangle$ 是采样相子偏移上最小扭曲能隙的中位数。

图 3. 谱瓶颈的边界相位能隙扫描。曲线显示 $L=34$ 的相子中位数。(a) 中位最小扭曲能隙在 $\theta_x = \theta_y = 0$ 附近被抑制。(b) 固定边界能隙在同一窗口的部分区域保持相对较大。(c) 扭曲至固定能隙比远低于 1，表明最弱谱能隙通常发生在 $\theta_x = \theta_y = 0$ 之外。(d) 近无能隙分数 $f$ 显示低能隙区域占据扭曲环面的扩展部分。

图 4. $L=34$ 扭曲空间能隙瓶颈的有限尺寸组织。(a) 相子中位最小扭曲能隙，以对数刻度绘制。(b) 近无能隙分数 $f$。(c) 更严格的近无能隙分数 $f$。

所用数据仅包含一种扭动网格和六个相子偏移，且仅为定性结果；其绝对值并不能作为有限尺寸标度已收敛的证据。我们现在沿着图1(d)中的路线图第一步，绘制边界相谱地形图。固定边界计算可以给出一个量子化的Bott指数，以及一个在[特定参数]下看似有限的能隙，而全扭动环面则包含近无能隙区域。图3直接展示了这一点：(a)面板跟踪相子中位数下最小扭动能隙，(b)面板将其与固定边界能隙对比，(c)面板绘制二者的比值，(d)面板测量扭动网格中有多大比例接近无能隙。在瓶颈窗口内，[某量]被强烈抑制而[另一量]变得显著，即使固定边界能隙并非最小的谱尺度。在不同可访问的Fibonacci尺寸上，瓶颈的定性组织结构仍然可见，如图4所示；并未从粗粒度的[数据]中得出定量标度结论。因此，作为检验有限温度诊断稳定性的正确舞台，是边界相环面，而非某单一边界条件。四、投影Uhlmann响应与相绕数机制我们接着将投影Uhlmann诊断应用于从能隙扫描瓶颈窗口中选出的三个[情况]，并在[更细]扭动网格上重新计算它们。它们的最小扭动能隙分别为[值1]、[值2]和[值3]，而各自的操作稳定性标度为[值4]、[值5]和[值6]。因此，即使是同量级的能隙也不能确定稳定性标度。有限尺寸的投影响应还必须了解低能隙区域在何处以及以何种方式与投影Uhlmann和乐耦合。为分辨这些代表性情况，我们考察投影Uhlmann相曲线、展开后的绕数、相的总变差、最大相跳变以及投影和乐的行列式幅值。初步扫描中包含八个代表性情况；新的敏感性审计聚焦于三个决定性的[情况]。为使和乐判据显式化，我们使用归一化相绕数强度[公式(16)]，其中[符号]表示展开相曲线的总变差。我们将[另一量]用作行列式监视器：一个明确稳健的平台需要[条件1]、[条件2]，且无被标记的投影行列式。为检验投影约定，我们在精确的[切片]上重新定义[该量]并对这三个审计过的情况重复计算。由于均匀25节点[网格]不包含[该点]，该点被单独对角化，交叉的边被拆分为两个输运动步；因此基于[该量]的环路在自己精确的局域框架内开始并闭合。其余约定保持不变。图5给出审计过的代表性情况结果。三个[情况]的最小扭动能隙均为[量级]，而[稳定性量]的范围从[小值]到[大值]。特别是，[某相子位置]下的相子1和相子4的能隙几乎相等，分别为[值]和[值]，但稳定性标度为[值]和[值]。因此，仅凭标量能隙无法确定热响应。图5. 对三个决定性情况比较[量A]与[量B]的审计结果。相近的最小能隙对应跨越近两个数量级的稳定性标度。这种差异在图6中直接显现，图6报告了新的[参数]、[参数]审计结果。情况A，即[某相子位置]下的相子1，在[温度]下保持稳健，并在[温度]失去其绕数。情况B，即[某相子位置]下的相子4，在[温度]下仍保持[状态]，但在[温度]下有一个行列式幅值为[值]，故形式绕数无定义。情况C，即[某相子位置]下的相同相子，直到所采样最大温度[温度]仍保持[状态]且[参数]。将投影基点从[基点]移到精确的[切片]上，得到相同的三个操作稳定性标度与排序。两种基点下各点的行列式幅值可能不同；结论是，在采用的[判据]下，三个审计情况的稳定前缀及其有定义/无定义的分类保持不变。因此，绕数的保留或消失并不单纯编码在标量能隙中，也不对所检验的基点约定敏感。图6. 高分辨率的[参数]、[参数]审计。(a)–(c) 采用[基点]在选定温度下情况A [参数]、B [参数]与C [参数]的定向相曲线。(d)–(f) 比较在[基点]与精确[基点]两种投影基点下[参数]、[参数]与[参数]。得到的稳定性标度对于A、B、C分别为[值]、[值]和[值]，两种基点情形相同。在[温度]下，B有一个行列式幅值低于[阈值]，故其形式绕数无定义。(f)面板中的虚线是操作上的[判据]标记线。图6中三个情况的比较是修订后数值结论所使用的最终高分辨率诊断。补充材料[34]给出了完整的阈值计数与基点稳定性表。二者共同表明，稳健的有限网格特征需要相绕数的保留以及非奇异的投影行列式，而非仅靠标量最小能隙。五、讨论这些结果支持一种相子分辨的有限尺寸投影诊断机制。能隙扫描确立了有限Fibonacci近似体产生边界相低能隙瓶颈。高分辨率的三情况审计表明，同量级的标量能隙可与截然不同的稳定性标度共存。相分析通过表明[参量]的存续或崩塌取决于在[周期]上投影Uhlmann相是否保持[绕数]同时避免被标记的投影行列式，从而分辨了这种差异。重要的科学要点是谱诊断与和乐诊断之间的分离，这也使本文的投影有限尺寸诊断有别于近期基于系综相或密度矩阵Chern特征构造的混合态构造[27,29,30]。小的[参数]是一个警示信号，因为它标识了边界相丛变得脆弱的区域，但它并非投影有限温度响应的充分预测因子。相反，相子偏移改变了低能隙区域与Uhlmann平行传输的耦合方式，使相子由被动的原点偏移变为有限近似体中投影混合态稳定性的主动控制参数。此外也存在局限性。这些计算是有限近似体的精确对角化，并非热力学证明。投影Uhlmann绕数是零温占据丛的有限尺寸诊断，在单粒子热关联矩阵输运下成立。部分行列式幅值变得非常小；这些温度被报告为对和乐敏感，在操作标记下其形式绕数无定义。图6中的[参数]审计检验了决定性情况和投影基点，但更广泛的相子采样、更大的Fibonacci尺寸以及固定密度热占据的对比，仍是给出热力学陈述所必需的。由于网格较粗，[相关]结果仍属定性。六、结论综上所述，准周期Chern绝缘体近似体中的有限尺寸投影Uhlmann诊断由相子分辨的边界相几何所支配。全扭动环面的能隙地形暴露出固定边界视角所无法察觉的低能隙瓶颈。投影Uhlmann诊断进一步表明，此类瓶颈只有在破坏或使[参量]边界相绕数奇化时才会抑制所采样的热响应。因此在有限Fibonacci近似体中，对于本文所研究的投影Uhlmann诊断，标量最小扭动能隙是不完备的诊断量；起决定作用的对象是边界相环面上投影和乐的相子依赖几何。