偶极耦合磁性异质结构的倒易空间方法

《Physical Review Applied》：Reciprocal-space approach to dipolarly coupled magnetic heterostructures

　　

我们提出了一种解析框架，能够描述由非磁性间隔层分隔的一对交换解耦磁层所构成的磁异质结构中的自旋波动力学行为，尤其聚焦于石榴石基多层结构。该模型捕获了由偶极耦合产生的集体自旋波模式的形成，即对称模式和反对称模式，并可直接获取系统的色散关系及由此产生的干涉现象。该形式体系为偶极耦合磁子器件的预测性设计提供了一种灵活的理论工具，能够获取其本征频率和模式形状。

**一、引言**

磁异质结构的设计是自旋电子学和纳米磁性学的核心。该努力的关键在于通过仔细控制界面特性、材料选择和层组分来调控自旋传输 [1–9]。此类异质结构代表了调控磁子色散关系的多功能平台，并引入了定制化的磁各向异性，能够打破自旋波的互易性，从而实现紧凑且可重构的磁子器件，提供方向控制、信号路由和基于干涉的功能 [10–19]。其理论描述建立在单层薄膜磁体的基础研究之上 [20,21]，并已逐步扩展到多层体系 [14,22–26]。

在本工作中，我们聚焦于由两层交换解耦磁层和非磁性间隔层构成的磁异质结构，描述其集体行为及其对偶极耦合的依赖关系。相互作用的非平凡形式导致了集体自旋波模式的形成。色散模式中自然涌现出高频支和低频支，并伴随一系列效应，包括干涉现象 [27,28] 和可调的能量转移。与先前关于横向偶极耦合波导的研究 [28] 以及基于坡莫合金异质结构的纵向倒易体积配置 [29] 一致，垂直堆叠的磁系统支持具有不同波矢（k? 和 k?）的自旋波本征模式的同步激发，在固定频率（f）下对应于集体对称和反对称振荡。其波矢分离 Δk 导致干涉和能量在两个磁层之间通过耦合长度 L_c 进行转移。由此产生的平均自旋波强度的空间调制源于这种耦合动力学。

沿面外方向堆叠磁层引入了系统全局退磁张量的非平凡行为。该问题不能简单地视为单层模式简并的解除。这种方法无法捕获偶极相互作用的空域耦合本质及其在决定异质结构本征模式对称性和色散中的作用。因此，为偶极耦合系统开发紧凑的解析框架对于识别控制集体自旋波模式形成的物理机制至关重要。

与横向耦合波导不同（见图 1），垂直耦合的磁/非磁/磁（M/NM/M）波导可以表现出 Δk = 0 的点，此时耦合长度可能发散，标志着向有效解耦状态的转变。这导致耦合长度可以从无穷远变化到亚微米级别，从而为各种可调器件铺平道路，如功率分配器和三维功率传输架构 [29,30]。

**图 1.** (a) 在倒易体积配置下，横向耦合波导（红色）、垂直耦合异质结构波导（橙色）和无限薄膜异质结构（蓝色）之间的自旋波色散关系对比。垂直异质结构（蓝色和橙色）计算条件为厚度 t_M1 = t_M2 = 3 μm，其中垂直波导的宽度 W = 3 μm。横向波导配置（红色）由两个厚度 t = 1 μm 的 YIG 波导间隔 100 nm 组成。外加磁场为 1000 Oe。(b) 研究中使用参考系的示意图：x 为纵向传播方向，y 为沿样品宽度（W）的横向方向，z 为面外方向，θ 为极角，φ 为方位角。(c) 由厚度分别为 t_M1 和 t_M2 的两个磁层和厚度为 t_NM 的非磁性间隔层组成的系统示意图，在射频激励下支持对称和反对称振荡。

在本工作中，我们引入了一种解析模型，用于描述由非磁性间隔层分隔的垂直耦合磁层中的自旋波，该间隔层抑制了直接交换相互作用。该模型采用傅里叶空间方法，从线性化朗道-利夫希茨方程出发，并扩展了先前为平面耦合波导开发的正规式 [28,31]。通过将问题表达为包含交换、各向异性以及自偶极和互偶极相互作用的张量算子，我们获得了紧凑的本征值公式，自然地给出对称和反对称集体模式，而无需引入人为的分裂假设。该模型普遍适用于自旋波波矢与平衡磁化方向之间的任意相对取向。我们将该正规式应用于最近研究的垂直堆叠异质结构，并将解析结果与微磁模拟进行基准验证。

**二、傅里叶空间方法**

**A. 假设与模型有效性**

该模型依赖于四个主要近似。首先，我们考虑均匀磁化的异质结构，从而排除复杂的微磁构型，如多畴态或非共线织构。其次，假设沿面外方向的磁化率在每层厚度范围内是均匀的，从而将分析限制在磁性薄膜，特别集中在基本体积模式（n = 0）上。该假设也限制了模型对 Damon-Eshbach 配置的适用性，仅适用于色散谱的偶极区域，即满足条件 k_zt << 1 的区域 [20]。

第三，在侧边假定全钉扎边界条件 [28]。特别是在本研究中，我们聚焦于基本偶宽度模式（m = 0），其中 cos(πy/W) 表示宽度调制。该框架可通过相应调整宽度剖面和钉扎条件推广到更高阶的偶模式和奇模式 [32–34]。最后，本讨论未包含磁阻尼。这四个假设使得退磁张量能够在傅里叶空间中解析计算，并导出耦合自旋波模式的紧凑本征值公式。因此，该模型无法捕获与非均匀厚度剖面、边界钉扎效应或部分饱和磁态相关的现象。特别是在波矢增大的情况下，预期与微磁模拟的偏差将逐渐增大，此时厚度模式杂化和非均匀磁化剖面变得更加重要。

**B. 偶极耦合波导**

磁化矢量在小信号近似下定义为：

$$\mathbf{M}(\mathbf{r},t) = M_s \hat{\mathbf{n}} + m(\mathbf{r},t)$$

其中 $\hat{\mathbf{n}}$ 是沿平衡磁化方向的单位矢量，$M_s$ 是饱和磁化强度，$m(\mathbf{r},t)$ 是描述线性区域中磁化进动的空间和时间依赖的动态分量。

将公式 (1) 代入朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程，忽略阻尼项并线性化所得表达式（见补充材料 S1 [70]），得到沿 x 方向传播的自旋波的傅里叶空间表示 [20]：

$$i\omega \tilde{\mathbf{m}}_j = \mathcal{A}_{jk} \tilde{\mathbf{m}}_k$$

其中 $j,k$ 标记磁层，$\mathbf{I}$ 是单位矩阵，$q$ 是沿传播方向的波矢，$\mathcal{A}$ 是包含交换、偶极和各向异性贡献的张量算子。求解该方程允许我们在频域中写出系统对应的本征值问题。

算子 $\mathcal{A}$ 的一般形式为：

$$\mathcal{A} = \gamma_0 \left[ \mathbf{h}_{\text{int}} \times - \mathbf{D} \cdot \tilde{\mathbf{m}} + K_u \hat{\mathbf{e}}_a \cdot \hat{\mathbf{e}}_a \right]$$

其中 $\gamma_0$ 是旋磁比，$\mu_0$ 是真空磁导率。量 $\mathbf{h}_{\text{int}}$ 表示第 $j$ 层的静态内部磁场，而交换长度定义为 $l_{ex} = \sqrt{2A_{ex}/(\mu_0 M_s)}$。此处 $K_u$ 和 $\hat{\mathbf{e}}_a$ 分别是第 $j$ 层的各向异性常数和各向异性轴，$d$ 是磁层中心沿厚度方向之间的距离。横向波矢的贡献由 $q_\perp$ 计入，而 $\omega_H$ 是零场拉莫尔频率。内部磁场 $\mathbf{h}_{\text{int}}$ [35] 可以显式地写为：

$$\mathbf{h}_{\text{int}} = \mathbf{H}_0 - \mathbf{N}_{\text{self}} \cdot M_s \hat{\mathbf{n}} - \mathbf{N}_{\text{embed}} \cdot M_s \hat{\mathbf{n}}$$

其中 $\mathbf{H}_0$ 表示外加磁场，$\mathbf{N}_{\text{self}}$ 是第 $j$ 层的静态自退磁张量，$\mathbf{N}_{\text{embed}}$ 表示由于嵌入层 $j$ 于异质结构中产生的修正项。张量 $\mathbf{N}$ 描述了傅里叶空间中的偶极相互作用，包括层间的自耦合和互耦合。沿用 Wang 等人 [28] 的方法，我们利用 Beleggia 等人 [36] 开发的傅里叶空间方法计算耦合系统的偶极场分量。偶极张量元素为：

$$\tilde{D}_{\alpha\beta} = \mu_0 \frac{M_s}{V} \int \int \int \tilde{f}(q_x)\tilde{f}(q_y) \frac{e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}}{q^3} q_\alpha q_\beta \, dV$$

其中 $V$ 表示体积，$\delta_{\alpha\beta}$ 是 Kronecker 符号，$t_j$ 表示第 $j$ 层的厚度，$z_j$ 和 $z_k$ 分别表示两个磁层中心的 $z$ 位置，$\tilde{f}$ 是横向自旋波剖面的傅里叶变换，$N_m$ 是与横向模式 $m$ 相关的归一化常数 [28]，$\tilde{\Lambda}$ 是磁测张量 [31]（磁测张量推导的主要步骤报告在补充材料 S2 [70] 中）。

为了求解公式 (2)，可以注意到 $\mathcal{A}\mathbf{v}$（其中 $\mathbf{v}$ 是任意矢量）可以用矩阵形式表示为：

$$\mathcal{A}\mathbf{v} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{v}$$

因此公式 (2) 可以写为：

$$\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{\mathbf{m}}_1 \\ \tilde{\mathbf{m}}_2 \end{pmatrix} = i\omega \begin{pmatrix} \tilde{\mathbf{m}}_1 \\ \tilde{\mathbf{m}}_2 \end{pmatrix}$$

其中 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 是 $3\times3$ 矩阵块。这允许我们将数学方程框架重构为显式的本征值问题：

$$\mathbf{\mathcal{M}} \begin{pmatrix} \tilde{\mathbf{m}}_1 \\ \tilde{\mathbf{m}}_2 \end{pmatrix} = i\omega \begin{pmatrix} \tilde{\mathbf{m}}_1 \\ \tilde{\mathbf{m}}_2 \end{pmatrix}$$

其中分量 $\tilde{m}_{1\alpha}, \tilde{m}_{2\alpha}$ 分别表示层 1 和 2 中磁化的三个空间分量，而 $\boldsymbol{\Omega}$ 表示揭示耦合机制的反对称矩阵。这可以从下面的显式张量正规式中直接看出：

$$\mathbf{\mathcal{M}} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\Omega}_1 & \boldsymbol{\Lambda}_{12} \\ \boldsymbol{\Lambda}_{21} & \boldsymbol{\Omega}_2 \end{pmatrix}$$

其中 $\boldsymbol{\Omega}_j$ 为第 $j$ 层的对角块，为简化记号已省略下标。

该公式体系使得在垂直耦合磁系统中直接评估本征模式和色散关系成为可能，其中对称和反对称自旋波模式从编码在非对角张量 $\boldsymbol{\Lambda}_{12}$ 和 $\boldsymbol{\Lambda}_{21}$ 中的动态偶极相互作用中涌现。

在该框架内，可以求解相应的本征值问题，从而直接获取自旋波色散关系以及各层沿传播方向（$x$）的动态磁化剖面。将球坐标系下的平衡磁化方向表达为 $\hat{\mathbf{n}} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$，可以在全饱和近似下，以传播方向 $\hat{\mathbf{x}}$ 相对于外加磁场的任意取向进行统一处理。将 $\hat{\mathbf{n}}$ 代入公式 (10) 中的反对称矩阵 $\boldsymbol{\Omega}$ 后，可以直接数值求解本征值问题。

在该公式体系中，模型可以推广到波矢与外加磁场之间的任意相对取向，以及不同的层厚度、饱和磁化强度、交换常数和各向异性强度和方向。所得本征值问题可以使用标准数值方法高效求解。

**C. 无各向异性时的均匀饱和磁化**

为了提取偶极耦合系统的本质物理特征，我们将分析聚焦于两个被非磁性间隔层分隔的相同磁层，忽略磁各向异性（图 2）。对于这些情况，可以推导出封闭且紧凑的解析公式，突出动态偶极耦合的作用。

**图 2.** (a)–(c) 在无反向体积、Damon-Eshbach 和前向体积配置下，使用 OOMMF 进行的微磁模拟（见补充材料 S3 [70]）与解析模型的对比，在忽略磁各向异性的情况下，针对厚度 t_M1 = t_M2 = 3 μm 的薄膜异质结构，模拟尺寸为 10×10×1 μm3，外加磁场 H? = 1000 Oe。

相互作用张量的对角块满足 $\mathbf{A} = \mathbf{D}$，而互作用块满足 $\mathbf{B} \neq \mathbf{C}$。这种不对称性直接来源于非对角退磁张量分量 $N_{xz}$ 和 $N_{zx}$ 的符号相反。该行为的物理根源在于分层几何结构：上层磁层的存在引入了偶极相互作用的定向依赖性，这在横向耦合系统中是不存在的 [28]，在横向耦合系统中偶极张量保持对称，即 $\mathbf{N}_{12} = \mathbf{N}_{21}$。

在垂直耦合异质结构中，沿面外方向的相对位移在互偶极相互作用中引入了非平凡的相位因子。具体而言，这导致相互作用张量 $\mathcal{A}$ 的反对角分量之间产生 $e^{iq_z d}$ 的相位偏移。这一区别可以通过考察对角和非对角张量块的构造来形式化理解。对角项 $\mathbf{A}, \mathbf{D}$ 来源于对每个单独波导厚度的积分，因此描述层内相互作用，形式上类似于横向情况。相比之下，互作用项 $\mathbf{B}, \mathbf{C}$ 涉及对整个异质结构厚度的积分，并编码了层间偶极耦合。这种结构不对称性通过辅助函数 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 显式捕获，它们分别控制自作用和互作用层的贡献，以及 $\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{C}$ 项中存在的符号函数 $\text{sgn}$。

尽管互作用张量之间缺乏对称性，但定义退磁张量的积分的数学性质允许问题的部分简化。具体而言，它导致：

(i) $\int_0^{t_1} e^{iqz}\,dz + \int_0^{t_2} e^{iqz}\,dz = \int_0^{t_1} e^{iqz}\,dz + \int_0^{t_2} e^{iqz}\,dz$，

(ii) $\int_0^{t_1} e^{iqz}\,dz \neq \int_0^{t_2} e^{iqz}\,dz$，其中 $t_1 \neq t_2$，

(iii) $\int_0^{t_1} e^{iqz}\,dz = \int_0^{t_2} e^{iqz}\,dz$，其中 $t_1 = t_2$，

其中 $q_z$ 表示垂直方向的波矢分量。这种方法使得能够根据磁化与外加磁场之间的相对角度统一处理自旋波色散，导致一般数学形式：

$$\omega^2 = |\mathbf{\mathcal{M}} \cdot \tilde{\mathbf{m}}|^2$$

在每种情况下，单位矢量 $\hat{\mathbf{n}}$ 定义平衡磁化方向，将其代入反对称矩阵 $\boldsymbol{\Omega}$ 后，可以推导相应的解析表达式。

此处，我们明确给出三种主要偶极构型的解析形式：

（i）向后体波（BV）（平行共面）：

(12)

（ii）Damon-Eshbach（DE）表面波（平行共面）：

(13)

（iii）前向体波（FV）（非共面）：

(14)

通过对定义张量元素的积分进行数值计算，可获得相应的色散关系。所得谱图如图2(a)–2(c)所示，与面向对象的微观磁学框架（OOMMF）微观磁学模拟[37]及TetraX程序包[38,39]结果吻合良好。模拟细节见补充材料S3[70]。由本征值解可获得相应的本征矢量，从而重建动态磁化强度的空间分布，如图3(b)–3(d)所示。当系统以固定频率驱动时，激发在波矢$\tilde{k}_1$和$\tilde{k}_2$处分别与对称分支和反对称分支相交。沿传播方向，各模式的实空间磁化强度分布表示为

(15)

其中$\tilde{k}_1$和$\tilde{k}_2$。

图3.（a）对称与反对称自旋波模式的定性示意图(i)、(ii)及其在固定频率下因干涉产生的集体行为(iii)。（b）–(d）$\text{YIG}/\text{YIG}$异质结在正波矢区域的色散关系（YIG的微观磁学参数列于表I），其中$d_1=d_2$，$d_{spacer}$，$\omega$，外场$H_{ext}$，突出显示各共振频率下对称和反对称振荡磁化强度的特性。插图展示了相应的自旋波模式归一化振幅$\beta_n^{(1)}$，其中$n=1,2$分别表示顶层和底层。（e）–(g）由两种在固定激发频率下选定的波矢共存所产生的动态磁化强度归一化振荡空间强度$[|\beta^{(1)}|^2]$，分别对应BV、DE和FV构型，并标注了相应的耦合长度$l_c$。

对称模式与反对称模式的叠加导致自旋波强度在异质结中产生空间调制。对于给定的磁性层$n$和分量$\alpha$，特定的动态磁化强度分量可明确写为

(16)

其中$\beta_n^{(1)}$，$\phi_n^{(1)}$以及$\beta_n^{(2)}$，$\phi_n^{(2)}$分别为相应本征矢量的模（按公式(15)所述在异质结上进行加权）和相位。这可导致相应的时间平均强度：

(17)

表明所得干涉图案沿传播方向呈正弦分布，周期性地使能量集中于其中一层，如图3(e)–3(g)所示。对于每个波矢$\tilde{k}$，色散关系表现出高、低频率两个分支，分别对应异质结的集体对称和反对称激发，这一点可从图3中报告的实空间分布$\beta^{(1)}$中得到验证。

即使在如此简化的设定下，我们强调该解析模型建立在朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程线性化的基础之上，其中两个磁性层最初被视为独立子系统，这反映在公式(10)右侧张量$\mathbf{D}$的结构中。

层间动态耦合仅通过仔细计算耦合项而出现。事实上，利用辅助反对称矩阵重新表述公式(2)的右侧，能够准确捕捉该结构的复杂偶极景观。它既描述了单层作为孤立系统的行为，也描述了嵌入异质结后所产生的能量项，从而避免了简单的线性布洛赫图像$\mathbf{D}\approx\mathbf{D}_1+\mathbf{D}_2$的形式。这凸显了偶极耦合系统中模式固有的非平凡本质，其本征频率源于相互作用完整张量结构，而非非耦合模式的微扰分裂。图3(b)–3(d)示意性地展示了与对称和反对称模式相关的空间分布。两种进动状态具有相同的共振频率，但空间调制不同。原则上，这可以通过合理设计射频换能器来利用，在异质结中诱导出可控的干涉效应[40,41]。

**III. 简化微扰方法**

如上所述，系统的本征值和本征矢量的完整解析求解需要解决完整的耦合自旋波本征问题：

(18)

其中层间内在耦合编码在张量$\mathbf{A}$中。尽管这一表述精确地捕捉了物理图像，但其复杂性促使我们引入一种简化微扰方法，该方法仍能提供对集体模式本质和能量的洞察。

在该简化模型中，我们可以将非耦合层的本征值与耦合机制分离开来。令我们引入矩阵$\mathbf{A}^{(n)}$，用于描述层内项，以及$\mathbf{V}$用于描述层间项。

我们可将公式(18)改写为

(19)

其中我们将$\phi$写为未受扰动本征矢量$\phi^0$加上微扰修正项$\phi^1$之和。

注意到在BV、DE和FV构型中，完整算符$\mathbf{A}$始终可化简为四维子空间，本征问题可写为

(20)

由于该问题是非厄米的，必须引入左本征矢量和右本征矢量，满足双正交条件$\langle\phi_L|\phi_R\rangle=\delta$[42,43]。

微扰本征问题因此具有广义形式

(21)

该体系给出两个在频率$\omega_0$处简并的未受扰动解，对应左本征矢量和右本征矢量$\phi_L^0$和$\phi_R^0$。通过选择BV情况下的$k_x$，DE情况下的$k_y$，以及FV情况下的$k_x$，可得到一个对所有三种构型在无限薄膜中均成立的紧凑表达式：

(22)

将微扰投影到简并子空间上，得到

(23)

由此可计算频率修正项$\Delta\omega$以及相应的本征矢量$\phi^{(1)}$：

(24)

这些解代表两个磁性层的集体对称和反对称振荡。在该框架内，可以识别出模式对称性与给定波矢下高、低频率分支之间的关联。检查图4可知，$\Delta\omega$的符号在BV构型中与DE和FV情况表现相反。因此，在DE和FV构型中，对称模式和反对称模式分别属于低频率和高频率分支，而在BV构型中情况相反。这意味着在固定激发频率下，对称模式对应较小的波矢，因此对应较大的波长（在无限薄膜情况下）。在该简化微扰方法内，可以直接评估频带间距及其在横向受限情况下的行为，并与由公式(12)–(14)计算的$\Delta\omega$进行比较（见补充材料S4[70]）。

图4. 利用简化微扰模型计算的频率修正项$\Delta\omega$，对应不同自旋波构型下的YIG异质结情况（微观磁学参数见表I，其中$d_1=d_2=5\ \mu$m，$d_{spacer}=5\ \mu$m，$H_{ext}=0.2\ \text{T}$）。值得注意的是，BV构型表现出与DE和FV相反的趋势，这解释了与两个分支不同的对称和反对称模式关联。

**IV. 模型评估**

在建立了解析框架之后，我们现在评估该模型的预测能力，并说明如何通过选择合适的几何结构和材料参数来设计自旋波的色散关系及相应的自旋波模式。我们首先考虑常见的代表性磁子材料：钇铁石榴石（YIG）、镍铁（NiFe）和钴铁硼（CoFeB），分别研究BV和DE自旋波构型[27–29,44–47]。计算中使用的相应材料参数和薄膜厚度汇总于表I。

图5展示了所研究异质结的色散关系结果，包括对称的CoFeB、NiFe和YIG双层结构，以及它们的非对称组合。

图5. 在外场$H_{ext}=0.2\ \text{T}$下，向后体波和Damon-Eshbach构型中由相同磁性材料组成的三层的计算自旋波色散关系：（a）YIG/YIG，（b）NiFe/NiFe和CoFeB/CoFeB。(a),(b)。所有结构的磁性层厚度相同，$d_1=d_2=200\ \text{nm}$，间隔层厚度$d_{spacer}=100\ \text{nm}$。虚黑线表示均匀情况下两个磁性层重合的铁磁共振（FMR）频率。（c）,(d）包含不同磁性材料的三层的自旋波色散关系，分别在BV和DE构型下：（c）YIG/NiFe和CoFeB/YIG，以及（d）反序堆叠YIG/NiFe和YIG/CoFeB。层厚度为$d_1=200\ \text{nm}$和$d_2=200\ \text{nm}$。这些图版突出了材料非对称性对自旋波分支间距（竖直箭头）的影响以及在DE构型中非互易行为的出现。

与预期一致，铁磁共振（FMR，即$\tilde{k}=0$）在DE和BV构型中重合。相比之下，将两层采用不同材料制成时，在$\tilde{k}=0$处相对于由相同磁性材料组成的异质结打开了一个间隙[图5(c)和5(d)中的竖直箭头]。在$\tilde{k}=0$时不发生偶极耦合，这是由于公式(10)中非对角项消失所致，即恢复了预期的两层各自不同的FMR。有趣的是，在DE构型中，比较YIG/CoFeB和CoFeB/YIG堆叠表明，改变材料顺序提供了一种额外的自由度来控制自旋波的传播方向和群速度，这与所提出的模型所正确捕捉到的结果一致。

一般来说，当两个磁性层具有不同的微观磁学参数时，对称分支和反对称分支之间会出现有限间隙。等价地，这种行为可以解释为在$\tilde{k}=0$处简并解除，如IV A节中将更详细讨论的那样。两个分支间的间隙打开可以直接追溯到进入内场定义的微观磁学贡献项，这些贡献项修改了相互作用张量的对角项。这表明，材料掺杂、界面工程或生长引起的磁参数变化可以用于调节异质结的色散关系和模式对称性，以满足所需的功能。

特别是，在DE构型中，对于不等价层，会出现显著的非互易行为[48–50]。与BV情况不同，在DE构型中，$k_y$和$k_x$项明确进入本征值表达式，从而引入非互易修正。如IV A节中将进一步阐明的，这种行为代表该微观磁学构型的一般性质，即两层之间任何微观磁学非对称性都会转化为非互易的自旋波响应。

表I. 模型评估中使用的微观磁学参数[饱和磁化强度$M_s$，交换刚度$A$]，以及微观磁学模拟中的参数（阻尼$\alpha$）。

| 材料 | $M_s$ (kOe) | $A$ ($\times 10^{-12}$ J/m) | $\alpha$ |
|------|------------|--------------------------|-----------|
| YIG | 140 | 4 | 1×10?? |
| NiFe | 800 | 10 | 2×10?3 |
| CoFeB | 1600 | 15 | 2×10?3 |

**A. 偶极耦合铁石榴石**

鉴于该模型的材料普适性，我们现在将分析集中于基于铁石榴石的异质结。这些材料提供了低阻尼、可调磁化强度和磁各向异性的独特组合，同时保持了高的外延质量[51–57]。例如，在脉冲激光沉积薄膜中，不仅可以通过化学成分定制阳离子位点占据，还可以利用生长参数如衬底选择、沉积气氛和温度来设计应变和磁各向异性[58,59]。可通过磁弹性能或磁晶各向异性效应诱导垂直磁各向异性，并通过薄膜与衬底之间的晶格或热失配应变进行调节[60–62]。此外，适当选择非磁性间隔层可以抑制界面交换耦合，同时保持外延关系，从而确保磁性层之间的相互作用纯粹是偶极性的。从建模角度来看，铁石榴石因此代表了一个近乎理想的材料框架，用于探索本工作提出的参数变化[62–68]。

因此，基于石榴石的异质结提供了一个干净且具有实验相关性的测试平台，用于评估模型的预测能力，并探索受控层非对称性如何影响集体自旋波色散和模式行为[51,52,54,56]。我们首先考虑两个相同的YIG层由非磁性间隔层分隔的简化情况。图6(a)–6(d)展示了YIG层厚度和间隔层厚度对自旋波色散的影响。

图6.（a）,(b）在外场$H_{ext}=0.2\ \text{T}$下，两层相同的无限YIG薄膜（厚度$d_1=d_2=200\ \text{nm}$，微观磁学参数见表I），由逐渐增加厚度的非磁性间隔层$d_{spacer}$分隔的计算自旋波色散关系。（c）,(d）对于厚度$d_1=d_2=200\ \text{nm}$的两层相同无限YIG薄膜，与逐渐增加的非磁性间隔层厚度$d_{spacer}$的情况的计算自旋波色散关系。增加间隔层厚度逐渐减小对称分支和反对称分支之间的间距，趋近于单波导极限，这与动态偶极耦合随层间距衰减的规律一致。

在固定间隔层厚度$d_{spacer}=100\ \text{nm}$时，增加磁性层厚度会导致群速度增加。相反，对于逐渐增加的间隔层厚度，频带间距逐渐减小，趋近于单个孤立层的极限情况。

在图7(a)和7(d)中，我们通过改变YIG/YIG堆叠的宽度来进行等效分析，从两层相同薄膜的FMR共振不可区分的无限薄膜极限，到横向受限的波导。

具体而言，在Damon-Eshbach（DE）构型中，我们观察到分支之间存在一个最小频率间隙（反交叉点），该间隙随着波导宽度的减小而增大，并向更大波矢方向偏移。相反，在backward-volume（BV）构型中，两个分支表现出一个交点（交叉点），随着波导宽度的减小，该交点同样向更大波矢方向迁移。值得注意的是，此处忽略了由波导有限宽度引起的高阶横向模式。尽管存在这一简化，该模型仍能捕捉到本质的物理趋势。

**图7.** (a) BV构型下计算得到的自旋波色散关系，涉及两层厚度均为$t_1 = t_2$（铁磁微磁参数见表I）的相同YIG层，中间由厚度为$d$的非磁性间隔层隔开，横向宽度$w$逐渐增大，外加磁场$H_0 = 1000$ Oe。(b) BV构型中频率修正$\Delta\omega$所包含的各项，横向尺寸$w = 20\ \mu$m。$\Delta\omega$的绝对最小值恰好为零，因为$\delta_{\perp}^{(2)}$的负号使组合项$\delta_{\parallel}^{(1)} + \delta_{\parallel}^{(2)}$跨越零值，从而使$\Delta\omega$真正消失。(c) BV构型下对横向宽度$w = 20\ \mu$m评估的频率修正$\Delta\omega$，显示了文中讨论的精确零值。(d) DE构型下计算得到的自旋波色散关系，涉及两层厚度均为$t_1 = t_2$（铁磁微磁参数见表I）的相同YIG层，中间由厚度为$d$的非磁性间隔层隔开，横向宽度$w$逐渐增大，外加磁场$H_0 = 1000$ Oe。(e) DE构型中$\Delta\omega$所包含的各项，横向尺寸$w = 20\ \mu$m。与BV情形类似，由于$\delta_{\perp}^{(2)}$的负号，对角组合项$\delta_{\parallel}^{(1)} + \delta_{\parallel}^{(2)}$跨越零值；若单独考虑，其平方会消失并产生精确交叉。(f) DE构型下对$w = 20\ \mu$m评估的完整频率修正$\Delta\omega$。由于$\delta_{\perp}^{(2)}$纯属虚数，$\delta_{\perp}^{(1)} + \delta_{\perp}^{(2)} = 0$；与$\delta_{\parallel}^{(1)}$和$\delta_{\parallel}^{(2)}$一起，非对角项$\delta_{\perp}^{(1)} + \delta_{\perp}^{(2)}$为正。在对角组合项$\delta_{\parallel}^{(1)} + \delta_{\parallel}^{(2)}$跨越零值的波矢处，该项严格为正，因此$\Delta\omega$在DE构型中从未达到零，两个分支发生反交叉而非交叉。

虽然偶极相互作用在$k = 0$处消失，使得两个无限等价磁层的FMR频率真正简并，但波导几何在$k = 0$处的行为需要进一步讨论。事实上，对于孤立的磁波导，简并在非平凡的偶极项作用下总是被解除；然而，在backward-volume构型中，等价磁性材料确实呈现一个简并点（交叉）。相反，在Damon-Eshbach构型中，简并总是被解除。具体来说，如图7所示，这种行为源于$\Delta\omega$对$k$的依赖关系，在DE和BV构型中均如此。鉴于$\delta_{\perp}^{(2)} < 0$而$\delta_{\parallel}^{(1)} > 0$，公式(12)中的$\delta_{\parallel}^{(1)} + \delta_{\parallel}^{(2)}$项和公式(13)中的$\delta_{\perp}^{(1)} + \delta_{\perp}^{(2)}$项跨越零值，这是FV构型中不存在的特征，后者不依赖于$k$。这导致在两种面内磁场构型下$\Delta\omega$出现局部最小值；在BV情形中，该最小值表现为精确交叉，而在DE构型中，它被仅在$k = 0$时为零的$\delta_{\perp}^{(1)} + \delta_{\perp}^{(2)}$项所解除[见图7(c)、7(f)及补充材料S5 [70]]。有趣的是，$\delta_{\perp}^{(1)} + \delta_{\perp}^{(2)}$项导致了DE构型中$\Delta\omega$的奇偶对称性破缺；当两层具有不同微磁参数时，异质结构中同样不存在该对称性。此外，色散分支根据构型向相反方向偏移：在BV几何中，色散带向上偏移，因为形状各向异性有利于磁化沿传播方向排列，而在DE几何中色散向下偏移，因为形状各向异性使$z$方向成为硬轴。

接下来，我们考虑层不对称性的影响，在固定宽度下为上下两层引入不同的饱和磁化强度$M_{s1}$和$M_{s2}$ [27,47]，以及界面磁弹性能项的影响。后者可建模为顶层中附加的垂直磁各向异性。相应的结果如图8所示。

**图8.** (a),(b) 外加磁场$H_0 = 1000$ Oe下backward-volume和Damon-Eshbach构型中的自旋波色散关系，涉及两层厚度均为$t_1 = t_2 = 2.5\ \mu$m的YIG层，中间由厚度为$d = 0.5\ \mu$m的非磁性间隔层隔开，具有不同的饱和磁化强度，其中$M_{s1} = 2400$ emu/cm$^3$，$M_{s2} = 2000$ emu/cm^3，且不存在磁各向异性。随着两层饱和磁化强度失配程度的增加，对称和反对称分支之间的间隔增大，低频分支向更低频率偏移。(c),(d) BV和DE构型中两层具有相同饱和磁化强度的自旋波色散关系，其中顶层具有沿$z$方向的单轴各向异性建模的垂直磁各向异性。展示了不同各向异性常数$K_u$的数值。各向异性的引入产生了层间不对称性，导致分支间隔增大，重现了面板(a),(b)中观察到的相同定性趋势。在DE构型中，这种各向异性引起的不对称性改变了色散关系和动态磁化的空间分布。(e),(f) BV和DE构型中两层具有相同饱和磁化强度和相同比各向异性常数$K_u = 1.0\ \times 10^6$ erg/cm$^3$的自旋波色散关系。这些面板展示了两层之间交叉各向异性方向的影响。具体而言，考虑了底层各向异性轴$K_{u,\text{bottom}}$和顶层轴$K_{u,\text{top}}$（$K_{u,\text{top}}$交叉各向异性）的配置，以及面内和面外混合（$K_{u,\text{top}} = K_{u,\text{bottom}}$或$K_{u,\text{top}} = -K_{u,\text{bottom}}$）的配置，底层取$+z$或$-z$方向，顶层取$+x$方向。

饱和磁化强度$M_s$对色散关系的整体带宽和由此产生的群速度具有显著影响。特别是，降低某一层的$M_s$会导致自旋波分支系统性地向更低频率偏移，并增强在低$k$处对称模式和反对称模式之间的分离。

这一分析揭示了通过改变两层的磁性能和几何结构所能获得的色散关系、间隙打开和非互易行为的范围[14]。原则上，每种石榴石层的完整各向异性图景都可以进行工程化调控。例如，图8展示了将各层的各向异性轴$\mathbf{n}$调整为正交，从而改变异质结构非互易响应的影响[57]。这些配置突显了层间各向异性不对称性如何改变对称和反对称分支之间的频率间隔，并可能影响色散互易性。从数学角度看，这种行为源于引入了与$k$成正比的非对角非互易项，独立于微磁构型，可直接从公式(3)中推断。

**五、结论**

我们开发了一个描述磁/非磁/磁异质结构中自旋波动力学的物理模型，并将其预测结果与成熟的微磁模拟平台进行了对比验证。该模型捕捉了垂直堆叠系统中偶极耦合自旋波模式的本质特征，提供了对其色散关系、模式杂化和对称性性质的直接访问。我们展示了如何利用铁石榴石固有的可调性——源自成分可变性、应变诱导效应和可控的各向异性图景——在所提出的理论框架内对集体自旋波谱进行系统定制。

独立改变两层磁性能的同时保持偶极耦合作为主导相互作用机制的可能性，使基于石榴石的异质结构成为集体磁子现象建模和设计研究的特别合适的平台。除基础兴趣外，所提出的框架还为功能磁子元件的设计提供了具有预测性且物理上透明的工具。