交替磁畴壁处自旋激发的传播与局域化

《Physical Review B》：Propagation and localization of spin excitations at altermagnetic domain walls

　　

反交替磁体（AMs）是自旋补偿材料，其中相反自旋亚晶格通过某种对称性连接，导致其元激发中出现自旋分裂。由于反交替磁性对畴壁性质有强烈影响，因此也很自然地期望反交替磁体畴壁处的磁性激发物理也会有所丰富。在此，我们考虑沿易轴d波反交替磁体畴壁的自旋本征激发传播。通过研究局域在畴壁上的束缚态，我们发现反交替磁性对手束缚态的影响强烈依赖于畴壁相对于晶体学方向的方向。如果畴壁沿节线方向[100]或[010]定向，反交替磁性不改变束缚态的数量；然而，它会导致非线性色散和波前的倾斜。当畴壁沿[110]或[1?10]方向定向时，反交替磁性的效应最强，即沿磁子谱中反交替分裂最强的方向。在这种情况下，(i) 出现额外的有隙束缚态，(ii) 本征态关于极化（尼尔向量的右手或左手进动）的简并性被解除，(iii) 束缚态的局域区域强烈依赖于本征频率。后者可能导致束缚态在畴壁处的强局域化。我们进一步考虑沿易轴施加的静态磁场的影响，发现磁场在畴壁两侧的局域区域之间诱导非对称性，并为传播本征态的波矢绝对值设定了上限。

一、引言

畴壁（DWs）是研究充分的一维拓扑孤子[1,2]，作为具有简并基态的系统中不同畴之间的边界出现，例如在易轴铁磁体和反铁磁体（AFMs）中。畴壁分隔具有相反序参数取向的畴，即磁化强度和尼尔向量分别。畴壁展现出丰富的内部动力学，在线性区域内可以关联到束缚自旋本征态。后者对于铁磁[3–6]和反铁磁[7–13]畴壁都得到了充分研究。在这两种情况下，畴壁都被广泛认为是自旋电子器件中的天然波导[14–19]。特别是，提出了基于畴壁的自旋波二极管和自旋波逻辑硬件架构[16]。除了众多的理论研究外，值得注意的是基于畴壁的自旋波波导的若干成功实验实现[20–22]。

在基于高效能磁子的自 spintronics 器件的背景下[23]，反铁磁有序系统相比铁磁系统具有几个优势，例如THz范围内的快速动力学和无杂散场。已知反铁磁畴壁具有单个束缚态，该束缚态沿畴壁以无隙线性色散传播，且群速度可能非常高。无隙性反映了畴壁位置的平移不变性，即当沿畴壁的波矢变得非常小并最终消失时，束缚态转变为零能平移（Goldstone）模式。

作为补偿磁体，反交替磁体[24,25]与反铁磁体具有相同的技术优势。然而，由于连接两个亚晶格的更复杂对称变换[26,27]，它们展现出更丰富的物理。最近已表明，静态反交替磁体畴壁获得了磁化强度，其大小强烈依赖于畴壁相对于晶体学轴的方向[28,29]。由于反交替磁性破坏了为尼尔向量表述的拉格朗日量的洛伦兹不变性[28,30,31]，运动畴壁的形变比洛伦兹收缩更复杂[28]。因此，当反交替磁体畴壁达到某个临界速度时，Walker极限效应就会出现[28]。即使在没有畴壁的情况下被磁对称性所禁止，反交替磁体畴壁也会激活异常霍尔效应[32]。

考虑到反交替磁性对畴壁性质的强烈影响，相当自然地期望反交替磁体畴壁的局域本征态物理会得到丰富。在本文中，我们对易轴d波反交替磁体中沿畴壁传播的束缚本征态进行了系统的理论分析。在本文中，我们使用大写字母和小写字母分别表示有量纲和无量纲的时空坐标。

二、模型与基本解

我们的分析基于连续描述，其中每个亚晶格的磁化强度由恒定振幅的连续向量场表示。在交换近似极限中，磁化强度被排除在运动方程之外，磁子系统的动力学可以通过单位尼尔向量场来表示。对于d波反交替磁体情况，尼尔向量的动力学由拉格朗日量描述，并补充约束条件。这里假设保持两个亚晶格反平行的有效交换场远超过外部场和系统中的其他有效场。在等式(1)中，表示电子的回旋磁比，是反铁磁刚度，是易轴各向异性的系数，决定了反交替磁性的强度，微分算子依赖于参考系相对于晶体学方向的旋转角度。关于唯象常数与微观模型参数之间的关系，见参考文献[28,30]。

对于足够小的磁场，拉格朗日量(1)的基态是沿易轴的均匀有序。基态的双重简并性产生畴壁，畴壁分隔具有相反取向的两个畴。畴壁的静态和动态性质强烈依赖于畴壁相对于晶体学方向的方向。在这里，我们选择参考系使得尼尔向量始终垂直于畴壁，畴壁相对于晶体学方向的任意取向由角度控制；见图1。

图1. 静态Bloch畴壁剖面。箭头表示尼尔向量方向，密度图显示其分量分布。参考系选择使得坐标分别始终法向和切向于畴壁。畴壁相对于晶体学方向的取向由角度控制。

根据(1)，当反交替磁参数为零时，静态解不受反交替磁性影响。在这种情况下，畴壁具有标准剖面，其中我们使用球面角来定义单位向量的取向。是畴壁拓扑荷，是畴壁宽度。垂直磁场一般会改变畴壁的剖面，除非畴壁沿节线方向定向。对于这些特定取向，畴壁剖面与反铁磁畴壁相同，畴壁宽度因磁场而增大。是旋翻场。以下，我们考虑任意取向的畴壁，但当磁场存在时，我们将畴壁取向限制在节线方向。磁场中任意取向畴壁的解将在我们即将发表的论文中讨论。

现在我们考虑均匀基态上方的场线性激发。我们利用Holstein-Primakoff表示的经典类似物，其中从平衡方向偏离通过复值函数编码。向量（i=1,2）表示垂直于平衡方向平面的基底。在我们的情况下，引入的复值函数编码了尼尔向量从平衡方向的偏离。注意对于特定条件成立。

关于线性化的运动方程具有平面波形式的解，色散关系为(3)。详细信息见附录A。这里是无均匀反铁磁共振频率。是反铁磁极限中的最大磁子速度，参数表示反交替磁性的强度。反交替磁性的等价表达式为，其中是反交替磁参数的无量纲形式，如果使用距离和时间单位。无量纲各向异性参数由向量的取向决定。色散关系(3)在图2中分析。我们使用频率的不同符号来区分磁子模式的极化，即正和负分别对应尼尔向量在平衡方向上方的右手（RH）和左手（LH）进动方向；见图2(a)中的插图。图2(b)中显示的能量等值面结构清楚地展示了模型(1)的d波特征。

图2. (a) 色散关系(3)中用实线和虚线分别表示。两种情况下，且。正负频率对应尼尔向量在其平衡方向上方的右手和左手进动。(b) 恒定能量等值面。

连续模型(1)在长波近似下有效，即场的非均匀性特征长度尺度远超过原子间距。还应该注意的是，由于拉格朗日量(1)中忽略了高阶（四阶）梯度项，只要可以忽略该阶的贡献，所得结果与初始假设一致。后者意味着。

三、零磁场下畴壁的束缚本征态

在第二节中，我们介绍了时间和长度的典型尺度。在本文的以下部分，我们将使用无量纲时空坐标。现在，拉格朗日量(1)获得形式(4)，其中，无量纲反交替磁性强度是唯一控制系统的参数。

为了描述静态畴壁上的线性激发，我们利用Holstein-Primakoff表示(2)，其中表示畴壁剖面，即，其中是畴壁拓扑荷。线性动力学由拉格朗日量确定，通过将(2)代入(4)并保留关于的低阶项来获得。这里，自旋波部分描述均匀基态上方的磁子动力学，是拉格朗日量(A1)在磁场消失时的特殊情况。注意对于零磁场，不依赖于基态极化方向。表示畴壁产生的散射势。在远离畴壁处，散射势消失，磁子动力学仅由自旋波拉格朗日量描述。在反铁磁极限中，散射势简化为无反射P?schl-Teller势，理论(5)简化为文献[11,38]中先前考虑的散射问题。与反铁磁情况类似，独立于畴壁拓扑荷和螺旋性。然而，反交替磁性修正包含时间导数，导致散射势依赖于磁子能量。

由拉格朗日量(5)产生的运动方程具有沿畴壁以某波矢和本征频率传播的波形式解。由于畴壁破坏了平移不变性，波振幅取决于。它可以表示为的形式，其中参数确定波前斜率，见图3，函数由以下薛定谔方程确定：(6)。这里。注意势的大小依赖于激发本征频率。

图3. 反铁磁和沿节线方向定向的畴壁的局域平移模式的色散关系分别显示在(a)和(c)中。对于特定条件下的模式振幅分布和相应的畴壁剖面形变分别显示在(b)（反铁磁）和(d)（反交替磁体）中。这里。

薛定谔方程(6)可以通过代换转化为超几何方程；见参考文献[39]。有界解在条件下存在，其中非负整数对局域模式编号。由于整数参数，等式(7)分子中的超几何函数具有关于的二阶多项式形式。局域区域的典型尺寸为。复值常数确定解的振幅和初始相位。

束缚态条件(8)隐式地确定了给定条件下的色散关系。在AFM极限()中，参数从问题中消失，对于所有DW取向，有和。条件(8)简化为。对于，得到一个局域态，其色散为；见图3(a)。这是AFM DW唯一的局域本征激发；该态在文献[13]中已有研究。对于，得到一个半束缚态，其色散关系为。后者与图3(a)中用蓝线所示的散射态连续谱边缘重合。利用(2)式，可将激发转换为以Néel矢量为变量的DW形变。由此发现，激发对应DW的正弦形变，见图3(b)。在极限中，形变周期无限大，对应均匀的DW位移。后者不消耗能量，因此。换言之，所考虑的激发是与方向连续平移对称性相关的Goldstone模式，该对称性被DW位置自发破缺。

A. 沿节点方向取向的畴壁

这里考虑和的情形，分别对应DW沿[010]和方向取向。在这种情况下，(4)式中的微分算子分别简化为和（对应和）。以下我们考虑的情形，同时注意到DW旋转等价于参数符号的翻转。

类似于AFM极限，我们有，束缚态条件(8)简化为。由于，该条件仅在和时满足，分别对应束缚态和半束缚态。因此，由(7)式得到的相应解和与AFM极限中的情况相同。然而，在AM中，非零值导致激发波前的倾斜。倾斜角为。该由AM引起的波前倾斜在图3(d)中对束缚解进行了展示。波前的倾斜与平面自旋波在节点方向取向的DW上散射时反射角不等于入射角有关[41]；参见第五节。

除波前倾斜外，参数还修改了依赖关系，导致束缚态和半束缚态的色散关系和分别被修改；见图3(c)。与AFM中一样，半束缚态的色散关系与散射态连续谱的边缘重合。重要的是要注意，所考虑的DW取向保持右旋(RH-)和左旋(LH-)偏振态之间的对称性。

总结而言，替代铁磁性对沿节点方向取向的DW的本征态产生两种效应：(i)波前倾斜的修改；(ii)色散关系的非线性。后者是由于Lagrange量(5)中替代铁磁项的存在导致Lorentz不变性破坏的结果。

B. 沿最大替代铁磁分裂方向取向的畴壁

这里考虑的情形，对应DW沿方向取向。沿垂直方向[110]取向的DW的本征态性质相同，但参数符号翻转。对于这些DW取向，最大分裂方向分别平行和垂直于DW；见图2(b)。尽管此情况下没有波前倾斜()，但替代铁磁性显著丰富了DW本征态的物理，因此我们从最简单的极限开始分析。在此极限中，且束缚态条件(8)具有如下显式形式：

(9)

关系式(9)隐式地确定了均匀(沿DW方向)束缚态的谱，如图4(a)所示。对于，方程(9)有唯一解，对应具有轮廓的Goldstone零模；见图4(a)中的红线。对于，方程(9)的解对任意存在，见图4(a)中的蓝线。在AFM极限中，它与前述半束缚态重合，具有轮廓和本征频率。在具有替代铁磁性的情况下，该态从散射态连续谱边缘分离出来，形成局域态，其轮廓在中有一个节点。在一般情况下，方程(9)仅对有解。因此，...对于特殊情况，出现一个新的半束缚态，其满足且。当时，该态从散射态连续谱分离并局域在带隙中，具有包含个节点的轮廓；见图4(a)。例如，。在具有替代铁磁性的极限中，本征频率可近似为，其中。相应的局域区域大小在局域态接近散射态连续谱边缘时发散。

图4. 沿最大替代铁磁分裂方向取向的DW()的束缚本征态性质。(a)前四个()束缚态本征频率对参数值的依赖关系，对应情况；插图展示了本征态的轮廓。(b) 时束缚本征态的色散关系。(c) (b)中点(i)–(iv)对应的本征态振幅空间分布和DW轮廓相应变形的示例。

对于已知的材料，。因此，替代铁磁诱导的具有束缚态可能是最适用于实际实现的。由于参数值较小，我们将图4(a)中的图示限制在范围内，尽管所考虑的本征态在更大值时也存在。

现在让我们考虑的情形，即沿DW传播具有有限波长的本征态。首先注意到散射态域的强烈修改，如图4(b)中蓝色阴影所示。该域相对于右旋(RH-)和左旋(LH-)偏振自旋子本质上是不对称的。该域边界可从自旋波在均匀态上激发的色散关系(A3)中获得，对应情况为和。其中两条边界对应；它们在图2(a)中用实线表示。另一条边界对应。

利用(8)式，我们分析了具有不同节点数的局域模式。如前所述，对于的情形，我们发现平移模式，它在长波极限()下表现出线性色散；见图4(b)中的红线。然而，与之前考虑的情形不同（见图3），该模式在RH-和LH-偏振之间本质上是不对称的[42]，且其局域区域不是常数；见图5。虽然RH-模式在任意大波矢下都存在，渐近趋近边缘，但其LH-对应模式仅存在于区间内，当时接触边界。令人惊讶的是，当模式趋近边界时，它聚焦，即其局域大小收缩为零；见图5。

图5. 不同时不同束缚态的局域区域大小对其本征频率的依赖关系。插图展示了群速度对频率的依赖关系；实线和虚线分别对应和。这种效应可以通过局域态的局域大小与边界处散射态波长匹配来解释。注意当时。具有模式的模式在同一波矢区间内存在。当它们趋近边界时，它们也表现出聚焦效应；见图4(b)和图5中的蓝色和绿色线条。考虑尖锐聚焦regime时，应注意连续模型适用性施加的限制。

具有不同节点数的模式的几何意义在图4(c)中进行了说明。平移模式()对应DW的正弦弯曲，而具有模式的模式导致DW宽度的调制。注意，负责调制DW宽度的是高能自旋子模式，该模式之前已经在建模大半径天空子的环形AFM DW中获得[43]。

值得注意的是，LH-偏振平移模式()可以存在于高能区（当）。该模式具有相对较大的局域区域，见图5，且位于边界附近而不接触；见图4(b)。由于该模式具有较高的群速度，它可能具有应用价值。其余模式在边缘频率附近达到最大群速度（当）；见图5插图。

IV. 磁场的影响

在本节中，我们补充Lagrange量(4)中考虑沿易磁化轴定向的外部磁场的项[30]：

(10)

其中。寻找(10)式的静态一维解，我们发现标准的DW解[2]，其中和，仅在DW沿节点方向取向的特殊情况下允许，例如。一般情况下，两个角度和都是坐标依赖的。这种磁场诱导的DW轮廓形变效应将在我们的后续论文中研究。这里我们考虑节点DW取向的特殊情况。

利用Holstein-Primakoff表示(2)式和，我们推导出DW上线性激发的Lagrange量：

(11)

类似于第三节A，这里我们考虑的情形，同时注意到DW每次旋转等价于的符号翻转。

我们寻找沿DW传播的平面波形式的解。通过选择满足的，我们找到振幅作为具有Rosen-Morse势的Schr?dinger方程的解：

(12)

其中。在极限中，方程(12)简化为中的情形。方程(12)出现在自旋子在进动[10]和天空子纹理[44] AFM DW上散射的问题中。类似于第三节，我们通过变量代换将方程(12)化为超几何形式；见附录C。有界解

(13)

在满足条件

(14)

时存在。详见附录C。解(13)在时具有渐近行为，即局域区域在畴壁两侧的大小不同。对于右旋偏振解，在磁场与Néel矢量平行/反平行的畴中，局域化程度更大/更小。对于左旋偏振激发则相反。当磁场消失时，得到，且，因此条件(14)以及解(13)分别简化为(8)和(7)。

束缚态条件(14)隐式地确定了沿DW传播的局域激发的色散关系。在AFM极限中，条件(14)简化为。在磁场中()，后者仅在时满足。在这种情况下，局域态具有轮廓和色散关系。这里符号''和''分别对应RH和LH偏振。该解对于存在；见图6(a)。DW连接沿方向极化的两个基态。在磁场中，在均匀态上激发的自旋子的连续谱不同；见公式(A3)。束缚态的色散关系夹在对应于极化向上和向下畴的两个连续谱边界之间；见图6(a)。当，RH-偏振(LH-偏振)自旋子的色散接触与磁场反平行(平行)极化畴的连续谱，导致在与磁场平行(反平行)极化畴一侧的离域化。自旋子振幅分布以及DW形变的不对称性在图6(b)中以RH-偏振束缚态为例进行了展示。

图6. 沿AFM()和()DW传播的束缚态色散关系分别由(a)和(c)中的红线表示。实线和虚线蓝线分别表示在基态和上自旋子连续谱的边缘。

磁振子振幅（15）的分布及对应的畴壁形变分别在（b）和（d）中展示，分别对应反铁磁体（AFM）（ ）和（ ）情形。在两种情形下，我们均考虑右旋极化的磁振子，其中 。在所有情形中， 。此处 。在 情形下，平移局域模式（ ）的行为与反铁磁极限定性相同，但具有非线性色散关系，见图6(c)，以及更复杂的本征函数 （15），其中色散 由方程(14)隐式确定，适用于 。由于附加的相位因子 ，畴壁形变在 方向上具有额外的不均匀性；见图6(d)。与 情形类似，若畴壁沿节点方向取向，则不会出现附加的束缚态。换言之，方程(14)对于 无解。波矢的截止值 强烈依赖于磁场，而反交替磁性使这种依赖性更为陡峭；见图7(a)。在极限 下，我们估计 。反交替磁性对局域化区域 和 的影响是类似的，见图7(b)；即它放大了磁场在磁振子强度空间分布上的诱导不对称性。值得注意的是，当去局域化发生在畴壁的一侧 [45]时，畴壁另一侧的局域化区域为 ，且当 时有 。图7. (a) 波矢临界值 随磁场大小 的变化，对应不同 参数 的取值。(b) 畴壁右侧（ ）和左侧（ ）的局域化区域，其中 ，分别用实线和虚线表示，对应于(a)中由垂直虚线标出的相同 和磁场 值。V. 散射态让我们简要讨论 情形下散射态的主要性质。后者由方程(6)描述，其中 。对于此情形，方程(6)散射态的推导可参见文献[39]。采用文献中的结果适用于我们的情形，我们可以将 的泛解写为 （16），其中 ；详见附录D。散射态的色散关系 与均匀磁畴上激发的磁振子的色散关系一致；在零磁场中，它由方程(A3)和(3)分别以确定无因次和完整表示确定。在极限 下，解(16)具有穿过畴壁 的平面波形式。而在相反的极限 下，它是入射波和反射波的叠加 。此处，透射 和反射 系数如下： （17）在反铁磁极限下，由(17)可得 且 ；泛解(16)简化为 [46]。所得本征态以及静态反铁磁畴壁的非反射性质，均为广为人知且文献中广泛讨论的内容[11,38,47]。对于 畴壁，一般 且 在 点不是 的解析函数。在极限 且 时，可得 （18），其中符号" "和" "分别对应右旋和左旋极化的磁振子。由(18)可知，沿节点方向之一取向的 畴壁仍为自旋波创造了无反射势。当畴壁沿磁振子的最大 分裂方向取向时，反射达到最大。让我们以沿 （ ）方向取向的 畴壁为例，更详细地研究此情形。为简化起见，我们仅考虑自旋波对畴壁的法向入射情形，即 。在此情形下，若 ，在极限 下我们得到 且 ，其中符号" "和" "分别对应右旋和左旋极化的磁振子。在大 的相反极限下，应使用估计式(18)。引人注目的是，反射和透射系数依赖于磁振子的极化，即右旋或左旋。这种极化不对称性也在图8(a)和8(b)中得到了展示。由于 且 [48]，不失一般性，我们在图8(a)和8(b)中仅考虑 。注意，畴壁的 旋转以及 符号的反转，将交换右旋和左旋极化的结果。在下文中，我们固定符号 ，不失一般性。由于透射系数 （以及 ）不依赖于畴壁的拓扑荷 （在无磁场的情况下），因此可以使用一组 畴壁作为偏振滤波器。注意，阵列中的畴壁具有交替的拓扑荷。图8. 对 且 的情形分析反射 和透射 系数的性质。 和 的绝对值作为 的函数分别在(a)和(b)中展示。实线和虚线分别对应右旋和左旋极化的磁振子。(c)和(d)展示了右旋和左旋极化磁振子的相移 的演化。由于非零反射系数，预期与反铁磁畴壁相比， 畴壁受磁振子的推进作用更为有效[11,38]。磁振子在 畴壁上的散射的另一奇异特征如图8(c)和8(d)所示。它们展示了透射波相对于入射波获得的相移 。利用(17)，在极限 下可得如下渐近行为 。在此极限下，散射势的振幅 对不同极化差异显著，即右旋和左旋极化自旋波分别为 和 。因此，对于右旋极化，有 ，且散射过程满足一维Levinson定理[49]，即对于半束缚态存在与否，分别有 和 。注意，当 时，存在单个右旋束缚态，而半束缚态仅在 时出现。对于左旋极化， ，且Levinson定理被违反。定理违反的原因是散射势的能量依赖性，即其在 时无限增长。最后，我们指出，在一般情况下，反射角 不等于入射角 ，其中 和 分别表示反射波和入射波的波矢分量。这是由于反射波中波矢 分量的位移所致。后者是磁振子色散关系的各向异性以及 要求的直接结果，后者源于 方向（即沿畴壁方向）的平移不变性。换言之， 的位移使得关系 成立。该效应强烈依赖于畴壁的取向。对于节点畴壁取向，该效应最大。在此情况下，入射角和反射角由下式关联 ，其中分母中的符号" "和" "分别对应 和 的情形，而对于对角畴壁取向 ，有 。VI. 结论基于近期为 -波反交替磁性体开发的非线性σ模型的拉格朗日量[28,30,31]，我们分析了沿静态畴壁传播的束缚态。与仅具有单个束缚态（平移模式）的反铁磁畴壁不同， 畴壁可能具有额外的束缚态。新的 -诱导共振态的数量取决于畴壁相对于晶体学方向的取向以及 参数 的大小。即使对于无限小的 值，若畴壁不沿节点方向取向，也会出现额外的束缚态。后者对实际应用具有重要意义，因为 对于目前已知的所有反交替磁性体。 -诱导的本征态表现出一奇异性质，即随波矢增大，其向畴壁聚焦。后者效应用于利用畴壁作为波导的磁振子器件的微型化。接下来，我们分析了沿易磁化轴施加磁场对节点畴壁取向情形的影响。我们发现磁场导致本征态强度相对于畴壁的空间分布产生强烈不对称性。此外，磁场限制了束缚态可能的波矢范围。对于 畴壁的任意取向，磁场相对于标准反铁磁解显著改变了畴壁轮廓。这一特定方面值得进一步研究。最后，我们考虑散射态的性质。我们发现，若 畴壁不沿节点方向取向，则反射系数不为零。这与已知的静态反铁磁畴壁形成对比，后者为自旋波创造了无反射散射势。因此，预期与反铁磁畴壁相比，磁振子对 畴壁的推进作用更为有效[11,38]。我们还指出了Levinson定理的违反，这源于散射势的能量依赖性。新局域态的实验观测最佳平台是绝缘 -波反交替磁性体，其中磁振子-电子阻尼被抑制且线宽很小。可能的候选材料是沉积在重金属基底上的 -Cl[50]或 [51]薄膜，从而在界面处诱导出额外的易轴各向异性。