场论对氘核分裂在穿衣粒子表示中的描述

《Physical Review C》：Field-theoretical description of the deuteron breakup in the clothed particle representation

　　

我们提出了一种场论描述，用于研究由非极化电子和极化电子诱导的氘核电子离解反应d(e,e′p)n。该方法将Lehmann-Symanzik-Zimmermann in(out)形式体系与瞬时形式相对论动力学中的穿衣粒子表象相结合，基于Fock-Weyl判据提供了一个完全相对论且不依赖于规范选择的框架。在酉穿衣变换方法中，生成相对论核子-核子相互作用（哈尔科夫势）的同一个变换同时也诱导出一族新的电磁流算符。因此，单粒子流和二粒子（介子交换）流在统一的框架下涌现。我们计算了微分截面和极化可观测量，考虑了终态相互作用效应和介子交换流贡献，并将结果与Saclay和Jefferson Lab的实验数据以及早期的理论预言进行了比较。在Saclay和Jefferson Lab实验的若干运动学区域中，分析了相对论因素（单粒子流和二粒子流、费米运动效应等）的作用及其相互关联。

一、引言

对氘核电子离解的探索有着丰富的历史，从斯坦福[1]、巴黎南[2]、哈尔科夫[3]和Saclay[4,5]进行的第一个符合实验开始。我们看到，在20世纪80年代和90年代，这一研究方向被MIT-Bates[6]、Mainz[7]和NIKHEF[8-10]的实验所延续（例如，参见我们在文献[11]中的综述及其中的参考文献），并在当今的Jefferson Lab[12-16]继续推进。当然，相应的实验结果为许多理论研究提供了灵感。我们不打算对其中很多进行综述。然而，我们想提醒的是Arenh?vel及其同事[17]对氘核电子离解的非相对论处理，其中包括出射质子和中子之间的终态相互作用（FSI）以及介子交换流（MECs）效应。也值得注意的还有杰出的工作[18]。此外，该反应的相对论描述也得到了广泛发展，包括Arenh?vel等人[19,20]系统地引入相对论修正，Laget[21]的图解模型，Jeschonnek和Van Orden[22]的协变描述，以及Sargsian和Boeglin[23-25]的研究。

此外，让我们回顾我们在极化束和靶的d(e,e′p)n反应中对质子角分布和极化可观测量的计算[11,26-28]。它们与先前的工作有很多共同之处，包括相同的要素，即为给定的核子-核子（NN）势寻找连续谱中的d(e,e′p)n波函数，以及FSI和MEC效应。

在高动量转移的氘核电子离解最新实验，特别是Jefferson Lab[14-16,25]的实验，已将氘核研究推入相对论区域，缺失中子动量p?达到650 MeV/c。在这种条件下，d(e,e′p)n相互作用的非相对论描述可能不足，需要一种更加精密的方法，纳入相对论不变性。此外，可能需要考虑亚核子自由度。

在本研究中，一种新的场论方法扩展了Lehmann-Symanzik-Zimmermann（LSZ）的in(out)形式体系[29]，并与穿衣粒子表象（CPR）[30-32]相结合。在此框架下，NN相互作用、MEC和boost算符以一致的方式构建，通过满足Poincaré代数并要求流作为真正的四矢量变换来确保相对论不变性。我们在相对论动力学的瞬时形式中工作[33]，其中只有总哈密顿量H和boost算符K承载相互作用。所有算符都在穿衣粒子的Fock空间中作用，该空间纳入了它们的物理性质，如观测质量和电荷。本工作中使用的相对论NN势（哈尔科夫势）最初在文献[34]中获得。该势用于描述氘核性质的应用见文献[35]，而其向三核子（3N）系统的扩展可在文献[36-38]和最近的现代阐述[39]中找到。继我们最近的工作[40]之后，我们采用完全相对论框架并提出一种走向规范无关（GI）处理的方法。后者可以通过施加Fock-Weyl判据来实现（详情见文献[41]）。

本工作中使用的电磁流算符直接从底层介子-核子场模型的守恒Noether流导出（我们包括π、σ、ρ、ω、δ和a?介子），通过将其以穿衣粒子算符重新表述。在酉穿衣变换（UCT）方法中，生成相对论NN相互作用算符的同一个变换也诱导出一族新的流算符。因此，单粒子、二粒子和其他多粒子流算符在统一的框架下涌现。与其他方法不同，在这些方法中MECs通常与势分别构建并补充介子形状因子，本工作中的二核子流（MECs）与NN势和Poincaré群生成元一致。在我们的研究过程中，我们遇到了同标量和同矢量MECs。前者首次在我们的专门研究电子-氘核弹性散射的研究[40,42]中推导得出，其中只有同标量分量对反应振幅有贡献。然而，在本工作中，我们将此构建扩展到包括同矢量二核子流。后者在描述氘核破碎时变得至关重要，其中两种同旋机制都对可观测量有贡献。

本文结构如下。在第二节中，我们介绍了描述氘核破碎过程所需的基本符号和定义。第三节专门讨论穿衣粒子的基础形式体系，其中我们找到了量子场论（QFT）中CPR和LSZ形式体系之间的本质联系[43]。本节还详细介绍了CPR中氘核态和移动pn对态的构建，以及MEC算符的推导。最后讨论了走向反应规范无关（GI）描述的道路。最后，在第四节中，我们呈现数值结果并给出我们方法的展望。

二、基本表达式和定义

在单光子交换近似（OPEA）下（见图1），实验室系中非极化粒子的d(e,e′p)n截面可以写为

$$\frac{d^2\sigma}{dE'\,d\Omega'} = K\,\frac{\alpha}{q^2}\,L_{\mu\nu}\,W^{\mu\nu}$$

$$L_{\mu\nu} = 2\left(k_\mu k'_\nu + k_\nu k'_\mu - g_{\mu\nu}\,k\cdot k' + i\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\,k^\rho k'^\sigma\right) \tag{1,2}$$

其中忽略电子质量m?时，L_μν是轻子张量，g_μν是度规张量，k和k'是入射和出射电子的四动量，q是动量转移，p_r是pn对的相对动量，α是精细结构常数，E和ω分别是转移能量。

运动学因子K等于

$$K = \frac{E'}{E}\,\frac{E_p}{2\pi}\,\frac{M_p}{p_r}\,\frac{|\mathbf{p}_r|}{|\mathbf{q}|} \tag{3}$$

其中E_p（E_n）是被击出质子（反冲中子）的能量，p_r是质子动量。这里?f|j^μ|i?表示矩阵元

$$M^{μ}_{pn} = \langle f|\,j^\mu\,|d\rangle \tag{4}$$

其中j^μ是电磁Noether流密度算符，在时空点x处，夹在静止的初始氘核态|d?和具有自旋J、其投影M、总动量P和相对动量p_r的终态pn对态|f?之间。

与文献[27]方程(3)中的M_pr不同，我们处理由方程(4)定义的M^μ_{pn}，其中一般不能将动量p_r和q_r分离。让我们考虑共面情况并引入正交基

$$\hat{\mathbf{e}}_\perp = \frac{\hat{\mathbf{q}}\times\hat{\mathbf{p}}_r}{|\hat{\mathbf{q}}\times\hat{\mathbf{p}}_r|},\quad \hat{\mathbf{e}}_x = \hat{\mathbf{e}}_\perp\times\hat{\mathbf{q}},\quad \hat{\mathbf{e}}_y = \hat{\mathbf{q}} \tag{6}$$

假设q和p_r形成反应平面（图2）。根据文献[44]，有

$$\frac{d^2\sigma}{dE'\,d\Omega'} = \sigma_M\,\varepsilon\,\left[\frac{W_L}{q_L^2} + \frac{W_T}{q_T^2}\,\cos^2\theta_{eM} + 2\,W_{LT}\,\sin\theta_{eM}\cos\theta_{eM}\right] \tag{7}$$

其中σ_M是Mott截面，θ_e是电子出射角。

结构函数（SFs）W_L（W_T）是振幅(4)的双线性组合，由强子张量确定。库仑函数F?由纵向流分量确定，而F?和F?仅依赖于横向流分量。函数F_LT是干涉项。

重要的是要强调，在推导方程(7)时，使用了连续性方程

$$q_\mu\,j^\mu = 0 \tag{8}$$

来消除具有纵向流分量的矩阵元。

在共面情况下，对于非极化电子和氘核的d(e,e′p)n反应中，质子极化

$$\mathbf{P}_L = \frac{P_1\,\hat{\mathbf{e}}_\perp + P_2\,\hat{\mathbf{e}}_x + P_3\,\hat{\mathbf{e}}_y}{F_1 + F_2\,\cos^2\theta_{eM} + 2\,F_{LT}\,\sin\theta_{eM}\cos\theta_{eM}} \tag{9}$$

垂直于反应平面，其中

$$\hat{\mathbf{P}}_\varepsilon = \hat{\mathbf{e}}_\perp \tag{10}$$

通过使用条件(8)，可以表明

$$P_1 = \frac{2\,P_{LT}\,\sin\theta_{eM}\cos\theta_{eM}}{F_1 + F_2\,\cos^2\theta_{eM} + 2\,F_{LT}\,\sin\theta_{eM}\cos\theta_{eM}} \tag{11}$$

其中极化结构函数P?（P?）与极化强子张量的分量有关

$$P_{L\,T} = \frac{1}{2}\,\text{Im}\,\left[M^{*}_{1}\,M_{2} - M^{*}_{2}\,M_{1}\right]$$

与F?和F?之间的关系相同。这里σ?是标记为1的核子的Pauli矢量。在保持时间和空间反演不变性的理论中，可以表明当忽略FSI贡献时质子极化P_L为零[27,45]。

在极化电子和非极化氘核的d(e,e′p)n反应中，质子极化P_L有一个与电子螺旋度λ有关的分量P_LT，

$$\mathbf{P}_{LT} = \lambda\,\left(P_{Lx}\,\hat{\mathbf{e}}_x + P_{Ly}\,\hat{\mathbf{e}}_y\right) \tag{13}$$

其中P_ε是非极化电子情况下(10)的极化矢量。对于共面运动学(6)，极化转移矢量在平面内，其分量由下式给出

$$P_{Lx} = \frac{2\,F_{LT}}{F_1 + F_2\,\cos^2\theta_{eM} + 2\,F_{LT}\,\sin\theta_{eM}\cos\theta_{eM}},\quad P_{Ly} = \frac{F_3\,\sin\theta_{eM}}{F_1 + F_2\,\cos^2\theta_{eM} + 2\,F_{LT}\,\sin\theta_{eM}\cos\theta_{eM}} \tag{14}$$

其中干涉F_LT和横向F_L SFs由下式给出

$$F_L = \sum_M |M^M_{pn}|^2,\quad F_T = \frac{1}{2}\sum_{M_1 M_2}\left(M^{M_1}_{pn}\,M^{M_2*}_{pn}\right) \tag{15}$$

因此，转移极化P_LT依赖于不出现于所谓诱导极化P_L中的反应振幅。与此相对，当忽略FSI时，转移极化不为零。这一情况可用于在可以忽略FSI和MEC效应的条件下，提取关于束缚核子（例如中子）电磁性质的附加信息。

三、基础形式体系

首先，我们想回顾一下CPR的物理内容（其系统阐述见文献[31,32,46]）。

A. 量子场论中穿衣粒子的概念

在量子场论的常规表述中，哈密顿量H通过裸粒子的产生和湮灭算符集合{a, a?}表示。在这样的裸粒子表象（BPR）中，即使是简单的H本征态，即物理真空和观测粒子态，也是裸态的无限叠加。形式上，这是因为相互作用V包含所谓的"坏项"（例如a和a?类型，其中a?(a)产生裸介子、核子或反核子），这些项阻止了无粒子（裸真空）态和单粒子态成为H的本征矢量。

穿衣程序的关键思想，由Greenberg和Schweber[30]提出并在文献[31,32,34,46]中发展，是用对应于穿衣粒子的新产生（湮灭）算符{A, A?}重新表述理论，即具有可观测性质（物理质量和电荷）的粒子。BPR到CPR的过渡通过保持哈密顿量不变的酉穿衣变换U(Λ)实现，

$$H = U(\Lambda)\,H_0\,U^{-1}(\Lambda) = H_0 + V \tag{16}$$

因此，同一个算符H在CPR中获得一个新的分解，分为自由部分H?和穿衣粒子间的相互作用V。生成元Λ被选择以从相互作用中去除坏项，对于第一次穿衣变换，这由条件[Λ, H?] = V?提供。这里V?表示通过穿衣算符表达的主要相互作用。在我们的关注情况下，它是拉格朗日密度?中进入的Yukawa型（标量、赝标量和矢量）介子-核子耦合之和。一般地，我们将V = V? + V?，其中"好"作为"坏"的反义词，应用于既湮灭无粒子态（物理真空）又湮灭单粒子态的算符（例如A?A类型）。在这方面，所有Yukawa型顶点在介子算符中是线性的，因此都是坏的，由上述条件确定的生成元Λ在耦合常数中是一阶的。

按照构造，物理真空（最低的H本征态）与无穿衣粒子态|0?重合，

$$H|0\rangle = 0 \tag{17}$$

而单穿衣粒子态，例如|N?，是H的本征矢量，具有物理质量，

$$H|N\rangle = E|N\rangle,\quad E = \sqrt{\mathbf{p}^2 + M^2} \tag{18}$$

能量为E和可观测核子质量M。对于穿衣介子和反核子态也是如此。

新的相互作用V借助Campbell-Hausdorff展开进行评估，

$$V = V_0 + \frac{1}{2}[V_0, \Lambda] + \frac{1}{2!}\,[V_0, \Lambda] + \cdots \tag{19}$$

考虑到对于Yukawa型耦合[V?, V?] = 0，并省略质量（δM）和顶点（δV）重整化反项贡献（后者在穿衣过程中逐步抵消[47,48]），得到

$$V = V_0 + \frac{1}{2}[V_0, V_0] + \frac{1}{6}\,[V_0, V_0, V_0] + \cdots \tag{20}$$

其中每个后续对易子提高耦合常数的阶数。该级数的二阶项体现了穿衣粒子之间的所有二体相互作用，即

$$V_2 = \frac{1}{2}\sum_{m_1 m_2}\int\!\int \frac{d^3k_1}{(2\pi)^3\,2E_{m_1}}\frac{d^3k_2}{(2\pi)^3\,2E_{m_2}}\,G(m_1,m_2)\,A^\dagger_{m_1}(k_1)\,A^\dagger_{m_2}(k_2)\,A(k_2)\,A(k_1) \tag{21}$$

其中m?（m?）表示涉及的穿衣介子。算符V?具有A?A A?A的结构，确定了单玻色子交换近似中的相对论NN准势，即相互作用由两个核子之间交换单个标量（σ、ρ）、赝标量（π、δ）或矢量（ω、a?）介子产生。为了正规化相应的准势，在介子-核子顶点引入截断函数。所得的相对论准势，称为哈尔科夫势[34]，既生成本论文中考虑的氘核束缚态，也生成pn散射态。在更高阶中，除了这些准势的修正之外，还获得了新类型的相互作用，例如V?阶的算符V?(π)，它们负责核子-核子碰撞中的介子产生[32]。

需要注意，第一次衣化变换通常通过展开式(19)中出现的对易子生成更高阶的新坏项。这些高阶坏项必须依次被后续的衣化变换消除。因此，衣化过程是迭代的，产生一系列酉变换，旨在逐阶去除坏项。需要强调的是，与旨在将哈密顿量块对角化的Okubo型变换[49]不同，衣化过程不对角化哈密顿量。如文献[46]所示，哈密顿量获得了稀疏结构，具有多得多的零矩阵元。

在相对论动力学的瞬时形式中，相互作用不仅进入哈密顿量，也进入提升生成元。重要的是，同一个变换能够同时去除庞加莱群所有生成元中的坏项[31,50]，特别是由此产生了第三节D中使用的提升算符分解。此外，将同一变换应用于Noether流密度时，生成了单体和多体流算符族（见第三节E）。我们看到，这一过程提出了一种在重整化理论中的原始方法[47,48,50]，至少能在耦合常数的一阶上重现已知的Feynman结果。在高阶中是否也能实现这种重现，将是有趣的问题。

下文我们允许自己回顾量子场论中形式体系的若干细节[43]。我们这样做时考虑到，这一主题在核物理和少体物理界中并不流行。然而，该形式体系与CPR相结合，能够对感兴趣的反应振幅和可观测量进行一致的计算。

B. 形式体系中的反应振幅

在本小节中，我们将展示如何在场论描述框架下，将OPEA中电子与强子系统的散射振幅化简为表达式(22)，其中是物理电子质量，是动量为、极化为的电子的Dirac旋量，是时空点处夹在初态和末态强子态之间的强子流密度算符。

在此背景下，似乎有必要讨论一个相互作用粒子的场模型，即考虑如下拉格朗日密度(23)，描述相互作用的电子、强子和光子，其中按照Schwinger的定义，有(24)、(25)、(26)。这里密度由π介子（赝标量）部分(27)和更重介子的贡献组成，而是介子-核子相互作用密度。这里、和分别代表标量、赝标量和矢量耦合。我们使用记号、分别表示电子和核子的裸（试验）质量，表示裸电子和质子电荷。

与轻子流和强子流的电磁相互作用，其中给出为(28)、(29)。最后，按照Stückelberg定义辐射场的拉格朗日密度为(30)，其中带有无穷小光子质量。是电磁场矢量的散度。

还需注意的是，这些流源自所谓的极小替换。引入非极小流是一个独立的问题，但其引入不违反理论的规范不变性。

相应的Euler-Lagrange方程(31)-(35)，其中我们引入记号表示任意矢量，是质子同位旋投影算符。

利用这些方程，我们希望在形式体系框架下讨论化简技术，特别是所谓的渐近LSZ方法（参见例如Schweber (1961) [51]、Goldberger和Watson (64) [45]、Bjorken和Drell (1962) [43]的专著）。在此背景下，基于先前的经验（见文献[52]及文献[42]中博士学位论文附录B），可以证明电子与强子系统散射的矩阵，满足守恒律，由下式给出(37)，其中是物理电子质量，是转移的四动量，是动量为、极化为的电子Dirac旋量。矩阵元可以用代替，首先因为（此处为算符正规序记号），其次因为(38)，精确到阶。此外，假设，我们可以采用OPEA(39)，矩阵元在强哈密顿量（在我们的情况中）本征态之间取。

在这方面，UCT方法[31,46,53]具有优势，允许我们构建新的相互作用算符[34]并以非微扰方式求解相应的本征值问题[54]。在CPR中，矩阵元(40)的所有成分——即强子态和流算符——都可以在场论计算中一致地找到。这特别通过之间的某些联系以及衣化粒子态之间的联系来实现。

C. 衣化粒子表象与in/out形式体系之间的联系

回想一下，除单一衣化粒子态之外，还有其他作为本征矢的单粒子态。在文献[55]中提出了一个等价定理，该定理连接了通过LSZ在形式体系内对矩阵的定义与CPR方法。结果表明，对于两种分解和，由远古过去到远古未来时间演化确定的算符，当夹在裸态和相应的衣化态之间时是相等的。这种巧合之所以成为可能，是因为当UCT满足渐近条件(41)时，代数与代数之间存在某种同构关系，其中UCT在Dirac（D）表象中，极限以强意义理解。

众所周知，在Heisenberg（H）表象中计算矩阵时，(42)，必须处理态（参见例如文献[45]）(43)，特别地，单粒子态(44)，其中是物理真空。产生（湮灭）算符()满足与衣化算符()相同的正则对易关系。根据定义，态是能量-动量算符的本征矢，(45)，其中。

在附录A中可以找到（另见文献[55]第4节及文献[42]）CPR态与形式体系之间重要关系的推导，对于单粒子态(46)和双粒子态(47)、(48)，其中表示M?ller算符(49)。这些关系在条件(41)下成立。在某种程度上，关系(46)似乎并不出人意料，因为单一衣化粒子态和态都是本征矢。当然，这并不意味着！

此外，在实际计算中使用公式(50)时，应牢记以下方法，其中我们引入记号表示哈密顿量预解式。预解式可以通过相应的算符或算符来表达，从而通往已知方法。正是这种方法在文献[34,54]中被用于研究双核子系统性质。显然，这些算符的出现反映了将初（末）态相互作用效应纳入入（出）反应道。

D. 在CPR中的氘核与N-N对态

在Fock空间的双核子扇区工作，质心系中的初态和末态可以表示为(51)、(52)，其中(53)。这些态是本征矢，即(54)，其中是质心系中的相对动量，（）是物理核子（氘核）质量。

进一步，根据文献[34]的附录B，基矢量(53)是算符和的共同本征态：(55)。那么N-N对态也是本征矢(56)。后者源于我们的哈密顿量相对于自旋量子数是可对角的这一事实(57)。数系数可以用氘核波函数在动量空间中的S分量和D分量来表示(58)。它们已经在文献[38,56]中计算过。

在运动参考系中，相应的N-N对态可以通过联系(59)找到。该关系由提升算符实现，其中其自由部分由Belinfante假设确定，而自由哈密顿量密度。或许应该指出，所需的性质源于能量-动量算符作为四矢量的特性，即(60)、(61)，其中Lorentz变换为，四速度矢量为(62)。质心系中的相对动量在实验室系中通过和表示如下：(63)。要满足等式(60)，只需满足Lie-Poincaré对易关系(64)即可。

为应用等式(59)，可以利用如下算符关系：(65)，其中算符是算符和算符的非对易性度量。在此背景下，让我们考虑关系(66)，对任意算符和（在我们的情况中为和），其中算符满足方程(67)。回想一下，该方程中的相似变换是Campbell-Hausdorff级数(68)。求解类似于等式(67)的方程有多种方法。首先我们记住基于Baker-Hausdorff和Magnus定理的方法[57,58]。

考虑到，分解(65)允许我们利用性质(69)得到(70)，其中函数依赖于Wigner转动，我们引入了三维矢量(71)，其中和。我们将限于使用进行计算，即忽略总提升算符中的相互作用项。

现在，让我们考虑质心系中N-N对末态的偏波分解(72)，即(73)，其中恢复总同位旋及其投影的指标，是在N-N对偏波散射态中的总角动量最大值，并且隐含对、以及和的求和。这里我们使用基矢量(74)，反之(75)，其中是单位矢量。该基矢量的构造细节和物理性质可在文献[34]的附录B中找到。

偏波通过(76)相关联，与具有驻波渐近行为的波函数有关。后者满足方程(77)，其中矩阵元素满足其自身的Lippman-Schwinger型方程。对于耦合偏波（），矩阵如文献[59]中所参数化，(78)，其中是混合参数，而对于非耦合偏波（），我们有。量（）可以通过相应的相移（）来表达：。

为得到驻波的偏波态表达式，我们将采用所谓的矩阵求逆方法[60]。让我们考虑广义函数的典型积分(79)，其中来自积分计算方案有效的函数类。利用等式(77)可以证明(80)、(81)，因此(82)。这一思想可以应用于所有偏驻波：(83)，其中系数是线性代数方程组的解，该方程组在质心系中与底层的Lippman-Schwinger型散射问题方程近似等价。这里是在区间上的Gauss节点数，是相应的格点，（详见文献[61]）。重要的是强调，表示(83)应以积分意义理解。此前该方法已成功地用于处理末态相互作用，见文献[27,62,63]。在附录C中可以找到对我们N-N对波函数计算的额外检验。

E. 在CPR中不展开偏波的流密度算符

我们使用态(51)和(70)的矩阵元(4)化简为关于物理真空的期望值，(84)，其中。

CPR中的Noether流算符可以利用Campbell-Hausdorff公式[31,34,40]找到，(85)，其中是初级Noether流，其中"裸"算符被替换为其衣化对应物，而是衣化变换的生成元。提醒一下，Schr?dinger（S）表象中的Noether流密度由核子部分(86)和介子部分组成。对于后者，我们有以下定义：(87)、(88)、(89)，其中是同位旋矢量。

分解(85)涉及单体的、两体的以及更复杂的多体相互作用流，后者在核电磁相互作用理论的术语中通常称为MEC（介子交换流）。

在等式(84)中，流密度算符夹在衣化双核子态之间。如文献[40]所示，对于这样的期望值，流将仅以其单体部分和双体部分贡献(90)，这些一般而言可以写为(91)、(92)。数函数和可以从级数(85)中通过分离相应的贡献得到(93)。重要的是强调，这样引入的多核子流不依赖于我们计算振幅时选择的态。

特别地，这意味着单核子矩阵元

(94) 其中 和算符 与方程(90)中的相同。

对于单核子流，我们有一种替代方法来求函数 ，而不必从级数(93)出发。由以下观察可知：初等Noether流密度夹在单核子态之间，给出通常的质壳上表达式

(95) 以Dirac ( ) 和Pauli ( ) 核子形状因子（FFs）表示（例如，参见文献[64]第242页）。这一事实使我们能够利用形式(95)来确定方程(91)中的 数系数，而不必计算级数(93)中无穷多项的贡献。对于可解释为介子交换流的二核子贡献而言，这是不可能的，因此 的确定需要依次计算 对易子。由介子 流和核子 流组成的总强子流密度 ，因此二核子介子交换流密度也由两部分组成，

(96) 分别对应于所谓的介子型 流和飞镖型 流。

需要注意的重要一点是，方程(95)中的单核子形状因子依赖于到达单个核子的四动量转移 ，而非依赖于到达整个氘核的四动量转移。后者由电子运动学决定，

(97) 一般情况下 ，即使忽略终态相互作用和介子交换流贡献也是如此。事实上，在平面波冲量近似中，形状因子依赖于

(98) 因此，单个核子所经历的类空动量转移的平方大于转移到整个氘核的动量转移。对单体流的类似处理，其中核子形状因子依赖于传递到被击中核子的动量而非传递到整个核的动量，已在例如文献[65,66]中采用。

在文献[40,42]中，利用来自文献[32]的递归技术计算多重对易子，我们考察了级数(93)中源于对易子 的二核子流的第一个非零贡献。因此，我们得到了相互作用穿衣核子模型中的 以及 、 、 、 、 、 介子。MEC算符的显式表达式可在附录B中找到。这些算符所体现的相互作用机制在图3和图4中加以描绘。在图3（图4）的右侧，可以看到所有贡献于介子型（飞镖型）流的各个独立贡献，它们连接到相应图左侧的简单图。这些图在拓扑上等价于时间序Feynman图，但具有不同的解释：它们与同一时刻 相关联，因此每一个都与一对非协变能分母相关联，三动量在每个顶点守恒，所有粒子均处于其质量壳上。

图3. 贡献于介子型流 的机制示意图。蓝点对应于核子-介子-核子顶点处的截断函数 （见附录B）。

图4. 贡献于飞镖型流 的机制示意图："推迟"型的贡献显示在上方两行，"超前"型的贡献显示在下方两行。蓝色和橙色点对应于截断函数 和 ，分别如此（见附录B）。

在这一点上，让我们讨论我们的MEC与文献中提出的若干其他模型相比所具有的独特特征。在第四节中，我们的数值结果与文献[27]进行了比较，后者使用了Maize和Kim的MEC [67]。他们的介子流和飞镖流（在文献[67]中称为"对流"）分别由

(99) 和

(100) 给出，其中动量 ， 顶点截断函数

(101) 电磁π子FF 和同位旋矢量核子FF 。由Feynman图推导得出的这些表达式所表示的矩阵元仅在能壳上有定义。相比之下，在我们的方法中，我们不需要"发明"任何向非能壳区域的解析延拓。为了与文献[67]进行比较，我们考虑π子诱导的流(B9)和(B13)的二核子矩阵元的非相对论约化：

(102)

(103) 注意截断函数(B7)在非相对论极限下约化为方程(101)，而时间分量 比方分量小两个 阶。表达式(102)和(103)与Maize-Kim流有两点不同。首先，它们不包含经验性电磁π子 和同位旋矢量核子 FFs。其次，介子流中的截断依赖性不同：方程(102)包含乘积 ，而方程(99)包含 和 。因此，在非相对论极限下，我们的π子交换MEC在整体归一化因子范围内约化为Maize-Kim流，只需令 并取截断参数 即可。

人们还可以将流(102)和(103)与文献[19]中的流进行比较（参见其中的方程(A2)和(A7)）。唯一的区别在于后者中存在同位旋矢量FF 。文献[19]的作者还给出了这些流的相对论修正，但与这些项的详细比较不太直接。除了介子型和飞镖型二体流（在文献[19]中分别称为交换流和接触流）之外，他们还包括了 -共振态流以及所谓的解离流，后者与 和 顶点相关联。这些机制在那里是以非最小方式引入的，并不存在于我们的初等拉格朗日量中。我们计划在将来的研究中考虑所研究场模型的这类扩展。

同样重要的是要强调，流(99)和(100)纯粹是同位旋矢量的，而我们的MEC包含同位旋矢量和同位旋标量两种贡献。对于赝标量介子交换，同位旋标量流在非相对论极限 下被抑制，而标量介子和矢量介子交换则产生非零的同位旋标量流。由方程(B14)我们得到

(104) 矢量玻色子（ 介子）交换的对应结果表示为

(105) 这里我们也假设 。对于同位旋 的介子（ 、 和 ），应将 替换。表达式(104)和(105)与文献[68,69]中导出的同位旋标量流有很多共同之处。例如，将它们与文献[68]方程(A1a)和(A.1b)中的交换流进行比较：

(106)

(107) 再一次，在极限 下，这些表达式与方程(104)和(105)在整体归一化因子范围内一致。

总结来说，我们的MEC的主要特征如下：

(1) 它们与CPR中的核哈密顿量一致。

(2) 与通常从Feynman图中提取MEC并将其外推到非壳上区域的程序不同，我们直接从给定的守恒核子和介子Noether流推导MEC。

(3) MEC算符不依赖于我们所计算振幅的两端态的选择，这大大扩展了适用范围。

(4) 它们包含同位旋矢量和同位旋标量贡献。后者在其他方法中经常被忽略，尽管它们通常是必不可少的，例如在弹性 散射中，同位旋矢量流不贡献。

(5) 我们的方法产生MEC的相对论表达式，不需要任何非相对论约化。这使我们能够在广泛的能量和动量转移范围内使用它们。

F. 计算的细节

利用对易关系(B5)和氘核波函数的反对称性质，我们得到

(108) 其中 数函数 由单体项和二体项组成

(109) 其中

(110)

(111) 回忆在方程(108)中， 是质心参考系中的 -粒子对相对动量，由关系式(63)给出。

进一步，展示量(109)的自旋依赖性将很有帮助。依据以往经验[27]，可以如下进行：

(112) 其中秩为 的不可约张量积 和自旋张量 ， 。从此， 表示任意三矢量 的循环分量：

(113) 空间张量 的分量可以通过取迹轻松求出，

(114) 其中 。

将方程(112)代入方程(108)，我们得到六维重叠积分

(115) 因此单体流通过三维积分贡献，

(116) 它们的积分测度由于公式(83)中的delta函数而减小，而方程(116)中剩余的角度积分可以用量 表示，

(117) 反过来，Wigner-Eckart定理允许我们将它们用约化量 表示，

(118) （详见文献[27]）。这使我们对于给定的氘核WF模型得到了积分(116)的解析结果。

我们可以通过同样的技术将积分(115)约化为二维积分，但此处我们更倾向于采用更为直接的方法，即应用Korobov积分方法[70]。这种有效的方法已成功应用于线性偏振光子二体 解离的研究[11]。

G. 迈向规范独立的描述

遵循一项杰出的研究[71]，与电磁场相互作用的量子力学系统的规范不变性性质可以通过考虑Schr?dinger方程

(119) 以及电磁势 在时空点 处的梯度位移（Weyl规范变换[72]）

(120) 结合任意函数 来表述。这一点相当微妙[71]。特别是，必须考虑函数 在 处具有明确定义的极限。

根据Fock[73]的基本思想，如果存在一个幺正变换 使得方程(119)保持其形式不变，即

(121) 则该理论是规范不变的。这一物理要求等价于对电磁场中系统哈密顿量 施加的约束条件

(122) 关系式(121)和(122)提供了一种构造性方法来描述量子系统的电磁相互作用。我们允许自己将这种表述称为Fock-Weyl准则（也参见综述[74,75]中关于规范不变性原则历史渊源的讨论）。

让我们展示这一准则如何适用于感兴趣的反应振幅。利用方程(22)，在OPEA中过程 的振幅表示为

(123) 其中虚光子极化矢量为 。初态 和末态 强子态是算符

(124) 的本征矢量，其中 是相互作用介子和核子系统的模型哈密顿量。

流密度算符 满足连续性方程（CE）

(125) 或更紧凑的形式

(126) 这是上述规范不变性原则的一阶推论（详见文献[76]）。非常值得关注的是GI条件（勿与规范不变性原则混淆），

(127) 它直接来源于夹在精确 本征态之间的CE。

可以清楚地看到，振幅(123)具有GI性质，即在将 替换后等于零，但这只有在首先方程(126)成立，并且其次态 ， 是精确 本征态时才成立。在实际计算中处理强子系统的近似态时，应牢记这一点。在此背景下，让我们强调本节其余部分所描述的显式规范独立方法尚未用于第四节的数值计算中。由于在那里所用的所有流算符分量均由同一幺正穿衣变换产生，因此由于所采用近似而导致的条件(127)的残余破坏在耦合常数方面比所保留的贡献属于更高阶。

在我们的考虑中，为确保计算的GI性质，我们希望利用Siegert定理的推广（参见文献[77]），该推广由文献[78,79]提出。这种方法使我们能够以显式GI方式通过电场 和磁场 强度的傅里叶变换来表达感兴趣的振幅，

(128) 其中 和 是强子系统的广义电偶极矩和磁偶极矩的矩阵元，包含核动力学信息，

(129)

(130) 这些方程是利用GI条件(126)、平移不变性性质

(131) 以及公式[80]

(132) 推导得出的，其中 ， 和 为任意矢量。

在这种方法下，矩阵元(4)现在用 和 表示，

(133) 并且按构造满足连续性方程(8)。从实践角度来看，方程(133)提供了分别研究电分量和磁分量对相应过程影响的机会。在我们看来，这是该方法的一个诱人之处。

到目前为止，我们尚未关注流密度算符的另一个重要性质，即它是一个四矢量，

(134) 反过来，后者导致所谓的Siegert定理的局域类似物，

(135) 我们在文献[81]中遇到的正是这个而非Siegert关系，

(136) 后者针对的是积分量，

(137) 这一结果印证了文献[81]的标题，并使我们能够从时间分量 恢复电流 的空间部分。

在此背景下，构建提升算符的公式已在文献[50]中给出。此类显式规范不变且协变的计算的数值实现正在进行中。

IV. 结果与讨论

本研究拓展了20世纪90年代获得的结果[27,85]。因此，让我们将新的计算结果与这些开创性的实验数据和理论预言进行比较（见图5和图6）。在两种计算中，核子形状因子均取自文献[84]。通过计算部分波散射态并包含终态相互作用（FSI）效应来引入FSI贡献，而文献[27]中未包含此效应。文献[27]的作者采用了文献[86]中的单核子流和Maize与Kim[67]提出的介子诱导多核子流，并使用了巴黎势和氘核波函数[83]。尽管这些组分的非相对论性质使其存在局限性，但从定性上看，这些结果与本文的相对论计算有许多共同之处。用于比较的实验数据取自文献[4,5]，对应的运动学范围分别为：缺失动量从到且布洛赫变量；以及从到且。

随着中子动量的增加，玻恩近似（BA）和平面波冲量近似（PWIA）曲线产生分歧，因为反冲机制变得更加重要。对于这些运动学条件，包含FSI通常会使得在大部分中子动量范围内截面减小。然而，在我们扩展动量范围的新计算中，我们发现这一趋势在最高动量处并不成立：在最右侧区域，畸变波玻恩近似（DWBA）截面超过了BA结果。这种行为已被广泛讨论（例如参见文献[25,87]），并与各振幅的内在结构有关。在这一运动学区域，BA振幅由PWIA主导，而PWIA与在特定缺失动量值处求值的氘核波函数成正比，后者随缺失动量增加而急剧下降。相比之下，FSI贡献涉及对动量空间的积分。该积分由较低内部动量的贡献主导，在这些区域波函数显著更大，从而在较高缺失动量值处维持了截面的大小。

图5. 对Saclay运动学条件[4]，出射质子的微分截面（上部分）和诱导极化（下部分）随中子动量的变化。方位角（反应平面角）固定为。(a) 在基于巴黎势和Maize与Kim[67]提出的介子诱导多核子流的非相对论框架下获得的文献[27]结果。此处比较了以下计算：PWIA（双点划曲线）、BA（虚线）、DWBA（点划线），以及包含FSI效应和的介子诱导多核子流的计算（实线（点线）曲线）。(b) 在本文形式体系下进行的计算。此处，实线曲线对应于在协变相对论方法框架下获得的氘核和夸克-反夸克对波函数以及介子诱导多核子流的计算结果。

图6. 与图5类似，但对应Saclay运动学条件[5]。

需要指出的是，即使在这些运动学条件下，相对论效应也可能相当显著。这一点仅从单核子流层次就可以看出来。在图5和图6中我们看到，仅包含单核子流贡献的非相对论曲线高于相应的相对论曲线。这在图7(a)中得到了明确展示，其中展示了三种采用不同单核子流的BA计算结果：相对论流（91）（紫色实线）、其非相对论缩减形式（138）（紫色虚线）以及McVoy和Van Hove[86]提出的流（橙色虚线）。在图5(a)中我们看到，DWBA结果已经与实验数据吻合良好，而多核子流的贡献并不十分重要；而图5(b)中的相对论DWBA计算在较高缺失动量时低估了截面。多核子流的作用在相对论计算中更为重要，只有在纳入多核子流之后才获得与数据的良好吻合。图6的运动学区域位于准自由峰（QFP）的右侧很远处，因此FSI的作用变得更加重要。我们再次看到多核子流与FSI对截面贡献之间的相消干涉，这证实了文献[88]中得出的结论。

图7. 对Saclay运动学条件[5]，不同BA计算中微分截面随缺失动量的变化。(a) 采用不同单核子流的计算。此处所有计算均使用文献[56]中的氘核波函数。(b) 采用相对论单核子流但使用不同氘核波函数的计算。紫色实线——使用UCT氘核波函数分量[56]，蓝色虚线——使用波恩氘核波函数[82]，橙色点划线——使用巴黎氘核波函数[83]。(c) 费米运动效应的作用的演示。

截面还对氘核波函数的选择较为敏感。图7(b)展示了在采用相对论单核子流的BA计算中氘核波函数的作用。对于较低反冲动量，这些曲线几乎无法区分，但对于较高动量它们开始显著不同。

现在让我们讨论费米运动效应，即核内核子之间的相对运动。注意，在将公式(95)代入公式(108)后，核子形状因子不仅依赖于传递动量，还依赖于氘核中的核子相对动量。这种依赖性在矩阵元(108)中被积分掉，但如图7(c)所示，其效应仍然体现在最终计算结果中。广泛使用的模型中，形状因子仅依赖于传递动量。该图显示，采用此类"冻结"形状因子的计算（蓝色点线）在整个反冲动量范围内产生的截面值更大。在这种模型中，费米运动效应仍然存在，因为公式(95)中的双旋量和前因子依赖于相对动量。如果我们"冻结"这些依赖性，例如在公式(95)中令双旋量和前因子为特定值（橙色点划线），则除最低和最高反冲动量外，截面在整个动量范围内都大幅下降。这清楚地表明了费米运动效应在氘核光致离解中的重要性。

其他相对论成分包括提升动量和函数（维格纳旋转），它们出现在矩阵元(108)中。为了演示这些效应的作用，我们对Saclay运动学条件[4]执行了以下DWBA截面和诱导极化计算（见图8）：包含所有相对论效应；对洛伦兹提升采用非相对论近似，即用非相对论近似替换相对论提升；将函数替换为Kroneckerδ。结果表明，对于本文所考虑的运动学条件，函数的作用可以忽略不计（因此我们在图8中不包含相应曲线），但洛伦兹提升的影响十分显著。值得注意的是，对于截面而言，后者的影响在较小反冲动量值处最为明显，而对于诱导极化，这种影响在较大动量处最为显著。对提升的相对论处理对于正确描述图8(a)中的数据至关重要，而非相对论近似会导致截面的显著高估。FSI和多核子流贡献并非在所有运动学条件下都产生相消干涉。在图9中，我们给出了文献[12]运动学条件下的计算结果，其中FSI和多核子流贡献均导致截面增加。这种行为在图5和图6的Saclay运动学中也有观察到，但在两种情况下都仅出现在最高中子动量值处。由于图9使用的运动学条件允许更高的缺失动量范围，这种行为变得更加明显。此外，FSI效应的贡献在较高缺失动量处相较于平面波贡献变得占主导地位。由于FSI贡献变得如此突出，我们有必要检查我们的计算关于部分波散射态中保留的最大总角动量量子数的收敛性（参见第三节D）。在图10中，我们比较了在图9(a)方式下（即包含FSI效应和介子诱导多核子流）计算的微分截面和诱导极化。对于截面，所有曲线在平面波机制占主导的区域几乎无法区分。在该区域之外，只有曲线出现明显偏离，而其他曲线彼此相当接近。诱导极化对外部分波更为敏感：从到仍然在较高缺失动量处使极化值发生较大变化，而和结果之间的差异要小得多，且仅在最高反冲动量处显现。事实上，在该区域中只有当达到约时才能获得完全收敛，因此在与数据比较时应留意这一点。同时，还应注意到，较大值的计算需要重叠积分(115)中使用更密集的对数坐标网格，计算成本日益增加。在这方面，本文全文采用的选择提供了精度与计算成本之间的合理折中。在图9(a)中，通过介子交换诱导的多核子流以及仅包含介子的计算仅显示微小差异。不同介子交换的贡献虽然不可忽略，但它们之间产生相消干涉，因此包含介子交换的最终结果可以仅用介子诱导的多核子流良好描述。在所有多核子流中，介子的贡献最大，它导致截面的显著增加。这可能会出人意料，因为介子（同样是标量介子）的作用并不那么重要，但同位旋T=1介子的耦合常数（参见文献[63]表1中的UCTGS参数）远高于T=0介子，因此前者的贡献更为显著。须知引入σ介子旨在有效地考虑双π交换。在此背景下，其在核的电磁过程中的作用需要进一步研究。

图8. 洛伦兹提升在Saclay运动学条件[4]下氘核光致离解可观测量中作用的演示。点划线对应相对论DWBA计算，而点线对应洛伦兹提升的非相对论近似。(a) 微分截面，(b) 出射质子的诱导极化。

图9. (a) 对文献[12]运动学条件，出射质子的微分截面（上部分）和诱导极化（下部分）随中子动量的变化。此处比较了以下不含多核子流的计算：PWIA（双点划曲线）、BA（虚线）、DWBA（点划线）。以及包含FSI效应和多核子流的计算：仅含介子诱导多核子流（点线），含介子诱导多核子流（实线），以及含完整介子交换集合的多核子流（红色实线）。(b) 低缺失动量数据的微分截面线性图。在该区域，截面可以很好地由PWIA描述。

图10. 与图9(a)相同的微分截面（上面板）和诱导质子极化（下面板）计算，但部分波散射态受不同值的限制。所有曲线均包含FSI效应和仅介子诱导多核子流。

总体而言，我们的结果与实验数据吻合良好。在较高缺失动量值处，多核子流开始发挥显著作用，这正是在进行这些实验的适度运动学条件下所预期的行为。截面计算对相应的双核子流模型相当敏感，例如，引入σ介子会导致截面出现明显变化并高估截面。通过引入同重粒子流和离解流可以实现更好的描述。在这方面，第三节G中通过广义西格特定理隐式纳入双核子流的方法可能证明是有用的。我们将在未来的工作中解决这些问题。

图9(b)展示了低缺失动量数据的线性图。在该区域，截面可以很好地由PWIA描述。使用非相对论单核子流无法获得对实验数据的合理精确描述，只有完全相对论的形式才能给出良好的吻合。此外，结果对形状因子模型的选择相当敏感。除采用文献[84]形状因子的计算外，图9(b)还包含了采用MMD形状因子的结果。

后者倾向于在低值处高估截面，这一结果与文献[22]中的发现一致，该文献中也使用了这些FFs。随着的增加，两条曲线逐渐趋近。如图11和图12所示，巧合截面和质子极化度相对于几何（平行运动学条件）表现出方位角（左右）不对称性。这种不对称行为在QFP左侧（图11）和右侧（图12）的两种运动学设置中均可观察到。当动量位于动量的右侧（左侧）时，方位角等于。这种不对称性可以利用变换性质（139）、（140）相对于绕矢量（方向）旋转的变换来解释。由式（139）和（140）可知，对于给定的值（141）

图11 与图9相同，但纵坐标为QFP左翼运动学条件（，，）下参考文献[27]中的质子发射角。每幅图的左半部分对应方位角（反应平面角），右半部分对应。

图12 与图11相同，但对应QFP右翼的运动学条件[12]。

QFP左翼的氘核电击散[图11和图13(a)]的特征是在实验室参考系中存在一个极限质子发射角（142）

当（对于本情况，）时，由于运动学因子在此极限发散，微分截面急剧增加。然而，这种奇异行为较为温和，对于任何有限的角接收范围，截面仍然保持有限。

图13 在QFP左翼[27](a)和QFP右翼[12](b)中，诱导质子极化度对模型选择的依赖关系。虚线曲线使用计算；实线曲线使用文献[84]中的值。黑色曲线为DWBA结果，红色曲线为包含所有MECs贡献的计算结果。

如图13所示，文献[27]中也注意到，中子电形状因子在QFP左翼对诱导质子极化的作用比右翼更为显著。对于平行运动学条件（），当纳入时，MEC贡献几乎消失；而将置零时，MEC效应会导致极化度的明显降低。因此，诱导极化的测量可能有助于区分不同的模型，但需注意在平行运动学条件下对MEC贡献仍然敏感。

在极化转移的测量是获取核子形状因子信息的丰富来源，尤其是中子的形状因子。图14展示了文献[12]运动学条件下质子和中子极化分量的计算结果。与QFP左翼不同，在右翼的平行运动学条件下（），MEC和FSI效应可以忽略不计，的影响也不显著。然而，对于，中子电形状因子对极化转移（和）至关重要，而MEC和FSI贡献仍然不显著，因此BA已足以描述该区域的观测量。这正是QFP附近Bjorken变量的运动学区域的特征（文献[12]中），使得该区域非常适合通过极化转移测量提取。

图14 参考文献[12]运动学条件下，质子(a)和中子(b)极化分量随质子发射角的变化。曲线的含义与图13相同，另加上蓝色曲线代表BA结果。图中缺少BA曲线，因为忽略FSI时诱导极化度消失。

对于运动学条件（）的BA中，在假设下可推导出以下表达式：

（143）为质子极化转移，

（144）为中子极化转移，其中

（145）

假设对高值成立。上述公式表明，横向和纵向极化转移分量的比值直接与中子电形状因子和磁形状因子的比值成正比，即，与氘核WF无关。这是核子上准弹性散射的已知结果，但对于平行运动学条件下的氘核电击散，在BA中同样可以得出该结果。当然，MEC和FSI贡献会引入WF依赖性，可能扭曲形状因子比值的提取，但如图14所示，我们预测其在（）时是可以忽略的。需要强调的是，这一结论仅针对QFP附近的运动学区域和本模型，对其他运动学条件应重新审视。

V. 结论

总结：

(i) 在穿衣粒子表示中，发展了一种完全相对论的氘核反应描述。核子-核子相互作用（哈尔科夫势）、电磁流算符（包含一阶和二阶项）、boost算符以及其他庞加莱群生成元都建立在统一的场论基础上。

(ii) 与Saclay和Jefferson Lab数据的比较表明，相对论效应至关重要。特别是，相对论一阶流和Lorentz boost的一致处理显著影响微分截面和极化观测量。

(iii) FSI和MEC贡献的作用取决于运动学条件。与所考虑的Saclay运动学区域的结果相反，对于更高能量的运动学条件，FSI和MEC贡献可能起建设性作用，在大反冲动量处增加截面。不同介子交换的贡献部分相互抵消，而有效的介子机制产生了相当大的效应，值得进一步研究。

(iv) 观测量相对于反应平面表现出明显的左右不对称性。在QFP左翼，诱导质子极化对中子电形状因子特别敏感，与先前的发现一致。同时，对于平行运动学条件，极化转移分量在BA中满足简单的解析关系，并直接与比值成正比，而与氘核WF无关。在我们的自洽计算中，氘核WF、FSI和一阶、二阶流均来自同一个哈密顿量，近处对这些关系的修正很小，这使得相应运动学区域对于提取中子形状因子尤为有利。本研究表明，在CPR框架内对相互作用和流进行自洽的场论构造，为传统的非相对论模型提供了一种可行的替代方案。未来的发展可能包括完全规范无关的描述、对亚核子自由度的更详细分析以及在其他涉及少核子体系的电弱过程中的应用。