光前动力学中的半轻子衰变

《Physical Review C》：Semileptonic decays of in light-front dynamics

　　

我们在标准模型框架内，利用光前夸克模型研究了Λ→p??ν?_? (?=e,μ) 的独占半轻子衰变。得益于Bethe-Salpeter形式体系的有效处理，Λ→p的跃迁形状因子行为通过Drell-Yan-West参考系中价夸克贡献与非价夸克贡献的有效处理获得。基于这些形状因子，我们得到Λ→pe?ν?_e和pμ?ν?_μ的分支比（包括非价夸克贡献）分别约为8.32×10??和1.31×10??，与BESIII合作组最新的测量结果一致。我们的结果表明，在光前框架下，非价夸克贡献在半轻子重子衰变中可以发挥不可忽略的作用。

一、引言

介子和重子的半轻子衰变长期以来为检验标准模型（SM）提供了有价值的洞察，并在理解强相互作用与弱相互作用之间的相互关联方面发挥着至关重要的作用。特别是，它们可用于对标准模型内部的Cabibbo-Kobayashi-Maskawa（CKM）混合元素进行严格检验[1–3]。μ子衰变通道与电子衰变通道之间的半轻子衰变率之比R_?已在文献中被广泛研究[4–13]。最近，BESIII[14,15]和LHCb[16]合作组分别报告了关于τ衰变的更新结果：

(1) 和 (2) 分别为相应表达式。

正如文献[12]所指出的，τ的衰变率之比不仅独立于CKM矩阵元V_ud和τ介子寿命，而且在标准模型的次领头阶还免受强子形状因子不确定性的影响。具体而言，文献[12]的作者预测了R_?的值，该值最近基于PDG[17]中的数据被更新。从理论角度来看，这类衰变过程涉及由虚W玻色子介导的夸克跃迁，因此是研究弱相互作用和强子结构的一个有用过程。

跃迁形状因子是奇异重子的一个基本属性，描述了两个态之间跃迁的动态行为。奇异重子弱衰变为质子的强子部分振幅由跃迁矩阵元描述，该矩阵元由q2（轻子对不变质量平方）的六个形状因子参数化，给出：

(3)

其中p和s分别代表质子（或母重子）的动量和自旋。因此，这些形状因子编码了重子跃迁的非微扰强相互作用动力学。

在本工作中，我们采用基于光前（LF）量子化的光前夸克模型（LFQM）[18–23]来计算式(3)中的强子形状因子，并在标准模型内评估衰变率。从唯象学角度来看，光前形式体系提供了一个简单、非微扰且相对论性的框架来计算强子形状因子。在本文中，光前夸克模型纳入了双夸克模型[24,25]，其中重子由一个活性夸克和一个旁观者双夸克组成，从而将两个轻夸克之间的非微扰相互作用有效地纳入双夸克质量中。这种近似有效地将重子系统简化为二体问题，显著减少了计算负担。本工作采用的光前夸克模型框架与其他分析相比有几个值得注意的特点：(1) 我们在光前坐标下计算自旋跃迁矩阵元中的六个形状因子。(2) 我们在类时空间域中分析形状因子并将其扩展到整个物理区域，从而获得重子半轻子衰变的形状因子。(3) 我们使用文献[20–23]中提出的新方法，基于Bethe-Salpeter（B-S）形式体系（参见[20–22,28]）对形状因子的高阶Fock贡献进行有效处理。

在光前框架下，V-A流中的指标取纵向分量，而计算是在类时域范围内进行的。从物理角度来看，由于半轻子衰变探测的是类时区域，因此直接在类时域中评估形状因子而不依赖于解析延拓是更可取的。同样，在类时域中进行研究时，除价态之外，由于波函数中包含高阶Fock态，还可能出现来自非价夸克Fock态的贡献[20]。换言之，我们将不可避免地遇到由夸克-反夸克对产生引起的非价夸克图。注意，在介子-介子散射过程中处理非价夸克贡献的有效方法已在文献中建立[20–22,28]。

本文的组织如下。第二节给出半轻子衰变的理论框架。第三节给出数值结果和讨论。第四节给出结论。

二、半轻子衰变的理论框架

本节给出光前夸克模型下半轻子衰变的理论框架。衰变振幅由描述夸克级跃迁的有效弱哈密顿量控制：

(4)

我们注意到，本节的讨论可以视为对任意跃迁的一般性研究。

A. 螺旋度振幅

式(3)中的跃迁矩阵元可以应用于螺旋度振幅，给出[29–31]：

(5)

其中λ_W是W玻色子的极化，λ_p代表质子的螺旋度态。基于螺旋度守恒，衰变产物满足特定关系。

螺旋度振幅通过以下表达式与形状因子关联：

(6)

其中下标"⊥"表示来自流的时间分量，m_L是轻子对不变质量，M_P和M_D分别是母重子和子重子的质量。负螺旋度振幅定义为：

(7)

而左手流对应的螺旋度振幅为：

(8)

因此，半轻子过程的微分衰变宽度为：

(9)

其中s_W和cosθ_l由相应运动学变量定义。

B. 光前夸克模型中的形状因子

为了在光前夸克模型中计算形状因子，我们将重子视为夸克-双夸克图像中描述的束缚态。活性夸克和旁观者双夸克结合为单一双夸克，表示为相应形式。显式地，总动量为P且自旋为J的重子束缚态可以写为[23,25,26]：

(10)

其中q_a或q_b表示对应活性夸克，d表示双夸克，ψ是动量空间波函数，p_a和p_b是壳上光前动量，

(11)

其中x_i是组分的纵向动量分数，k⊥i是横向动量。通过Melosh变换[32]，使用以下波函数表示更为方便：

(12)

其中Γ是衰变夸克与重子态中双夸克的耦合顶点函数。对于标量双夸克，耦合顶点为相应形式。对于式(12)中双夸克的分布振幅函数，我们在本工作中使用高斯型函数：

(13)

其中β是重子形状参数，M是定义为：

(14)

利用式(10)中重子的束缚态和上述恒等式，我们导出光前框架下重子跃迁的矩阵元。通过考虑纵向分量，跃迁矩阵元给出：

(15)

其中Γ对应重子态的顶点函数，风味自旋因子Ω是粒子变换的重叠因子，由具体过程确定。我们参考文献[33–36]计算Ω，考虑相关情况和相应参数，推导出以下关系：

(16)

随后，在光前框架下，式(3)可改写为：

(17)

利用矩阵Γ之间的正交关系，可以通过迹运算提取形状因子。我们注意到Γ和Γ_⊥与Γ_∥正交，这可由以下恒等式推导：

(18)

通过式(15)、(17)和(18)，我们得到形状因子的表达式如下：

(19)

(20)

(21)

其中相关变量及自旋投影算子P_i是带相应定义的光前相对动量变量。和的提取在取极限之前进行。此外，由于系统在类时域中进行分析，动量仅沿纵向方向传输，即k⊥=0。因此，我们可以选择参考系使得某些项在式(16)和(17)中消失。为了解耦F?和F?，我们将式(19)和(20)改写为：

(22)

其中

(23)

轴矢贡献中的负号已被吸收到相关定义中。F_∥有两个解，即：

(24)

基于式(24)的定义，正号（负号）对应出射重子相对入射重子沿正（负）方向反冲。形状因子与所选参考系的运动方向无关。因此，F_∥可以分解为两个部分以求解F?和F?，其中二者之间的一致性作为自洽性检验：

(25)

其中相应量由运动学变量定义。得到：

(26)

重复从式(22)到(25)的步骤，我们得到：

(27)

其中相应量由运动学变量定义。

C. 价夸克贡献

式(15)中的迹项可以写为价夸克部分和非价夸克部分之和，如图1(a)所示。在x_a>0且x_b>0的区域内，下标"v"表示壳上，称为价区，如图1(b)所示，光前价振幅的有效贡献为：

(28)

按照文献[33–36]，我们推导跃迁形状因子：

(29)

(30)

其中

(31)

图1. 光前振幅的有效处理：(a)可以分解为x_a,x_b>0区域的价部分(b)和x_a<0或x_b<0区域的非价部分(c)，其中介质-夸克顶点的小圆和大圆分别代表光前普通波函数顶点和非价波函数顶点。

D. 非价夸克贡献

在非价区域，迹项可以通过以下方式分离为壳上传播部分和瞬时部分：

(32)

有效贡献为：

(33)

其中T_nv是非价区域的迹项。将式(32)代入，得到相应结果。式(33)中规范玻色子的光前顶点函数对应光前能量分母，其显式形式为[20,22,28]：

(34)

式(28)和(33)中的迹项，均对应于初末态光前自旋波函数之积，可通过壳外Melosh变换获得。与非价图相关的形状因子为：

(35)

(36)

其中相应量由运动学变量定义。完整的形状因子为F_1和F_2的总和。注意，瞬时贡献仅在使用特定分量时出现在非价图中。非价波函数顶点通常可通过B-S理论中的B-S振幅获得[20,37]。对应的光前束缚态方程可以写为[20,38,39]：

(37)

价态和非价态B-S振幅都可视为式(37)的解。普通和非价B-S振幅分别对应相应项。在图1(c)中，非价B-S振幅可以通过价B-S振幅的解析延拓程序唯象地有效关联。在光前夸克模型中，两个区域B-S振幅之间的关系给出在文献[20–22]中。然而，对于式(37)的积分方程，需要使用非微扰量子色动力学（QCD）方法获得核。

式(37)中的相关算子是B-S核，原则上包含高阶Fock态的贡献。如图2所示，核提供了高阶Fock与普通价构型之间的动力学联系。我们定义：

(38)

它仅依赖于纵向动量分数和横向动量。动量分数的范围取决于嵌入态的外动量。在本研究中，我们将近似为常数，因为初始波函数在非价态贡献中作为加权因子，使得初始高斯波函数起到抑制作用，主要贡献来自动量分数较窄和横向动量较低的区域。因此，的动量依赖性变得有效较弱，允许我们将其近似为常数参数[20–22]。虽然这种近似主要已在介子系统得到检验，但预期的抑制机制来自高斯波函数，预计在同一抑制机制在重子的夸克-双夸克描述中持续存在。

图2. 普通光前波函数（大实心顶点）与非价顶点（小实心顶点）之间的关系。

三、数值结果与讨论

A. 形状因子

为了在光前夸克模型中数值评估独占跃迁形状因子，我们直接在类时区域工作。在之前的计算中，我们假设特定条件，并仅在最终数值计算中设置相应参数。

在数值分析中，夸克质量取自文献[27]；[0.25] 设定为 0.25 GeV；[0.48] 的质量、参数[0.48] 和[0.48] 选自文献[25–27]。输入参数见表 I。在公式（33）中，[0.25] 在[0.48] 范围内被视为常数，这在某些纯半轻子介子衰变过程中曾被检验过，并被证明对于动量转移较小的过程是一个良好的近似[20–22]。具体而言，在我们的数值计算中取[0.48]，通常通过与实验结果的对比来确定。此外，我们使用[0.25]，详细计算见文献[27]的附录。

表 I.[0.48] 跃迁的输入参数。

[0.25] 0.25 0.48

为描述动量[0.48]行为，我们使用双极点形式对形状因子进行参数化：

（39）

其中[0.25] GeV 被视为一个有效强子标度，用于表征形状因子的动量依赖性，而[0.48] 可以在数值分析中确定。公式（39）中的符号约定遵循本工作中采用的拟合定义。另一种参数化形状因子的形式为：

（40）

其中[0.25] 和[0.48] 。对于公式（39）和（40），描述形状因子的[0.48]依赖关系，参数化结果见表 II。从表 II 可以看出，[0.25] 的数值很大。这主要是因为，在公式（23）中，[0.25] 的值在数学上比[0.48] 的值小约一个数量级。从物理上看，[0.25] 仅通过标量螺旋振幅贡献，并受到轻子质量进一步的压低。此外，在公式（40）中，与[0.25] 相关的拟合参数值较大，这是因为赝标量贡献在类时区域表现出很强的动量依赖性。所有拟合参数主要来源于形状因子的动量依赖性，而非物理可观测量本身。尽管与[0.25] 相关的拟合系数在数值上很大，但由于相应螺旋振幅受到轻子质量的压低，它们对物理衰变可观测量的影响仍然适中。

表 II.[0.48] 跃迁的形状因子。

[0.25] [0.25] [0.25] [0.25] [0.25] [0.25] [0.25]
[0.48] [0.48] [0.48] [0.48] [0.48] [0.48] [0.48]

[0.48] 4.975 55.964 303.263 257.322 143.982 833.088 197.214
[0.25] 96.730 21.09 61.492 8.846 16152.9

在图 3 中，我们给出了[0.48] 跃迁的形状因子作为[0.48]函数的数值结果。在表 III 中，我们将所获得的以常数额比表示的形状因子与实验值及几种唯象模型的预测值进行了比较，其中[0.25] [40]。我们观察到，[0.25] 的结果与 BESIII 实验的最新结果以及 QCD 求和规则计算结果吻合良好，除了[0.25] 略大一些。总体而言，与格点 QCD[11]结果的偏差最大的是[0.25] 和[0.25]，主要是因为我们的[0.25] 和[0.25] 结果显著较大，尤其是[0.25]，而其它额比在误差范围内基本一致。我们还注意到，[0.25] 的符号与文献中的一些符号有所不同。这一符号取决于形状因子的定义方式，文献中不同的方法对[0.25] 的定义各不相同。

图 3.[0.48] 跃迁形状因子。灰色带表示与形状参数相关的误差范围。

表 III.[0.48] 跃迁的形状因子之比。

我们的结果 BESIII [15] QCD 求和规则 [4,5] Cabibbo 模型拟合 [7]
[0.25] 1.066 0.68 0.71 旋量子模型 [41,42]
[0.25] 夸克模型 [8,9] [0.25] 展开 [10] 格点 QCD [11]
[0.25] 格点 QCD [13]

B. 衰变分支比

[0.48]的振幅包含若干独立的螺旋分量混合，由[0.25]描述，其中[0.25] 和[0.25] 分别表示末态重子和[0.25]传播子的螺旋分量。从公式（9）可以很容易地分离出纵向和横向极化不对称性的积分。在表 IV 中，我们给出了[0.48]在各种前光量子模型中的衰变分支比以及 BESIII 实验数据，其中 I 和 II 分别表示不含和含[0.25]贡献的预言结果。特别是，[0.25] 仅出现在螺旋振幅[0.25] 的时间分量中，具体体现在公式（9）的第二项中。因此，由于电子质量极小，[0.25]对电子模的贡献可以忽略不计，但确实影响[0.25]模。可以看出，对于μ子模，包含[0.25]贡献的结果比不含它的结果约少[0.25]。无论如何，我们的结果与 BESIII 实验数据一致。一个具体的可观测量是μ子衰变率与电子衰变率之比，如表 IV 所示。如表所示，我们的结果低于 BESIII 的结果，主要是因为我们的μ子衰变率较低。

表 IV.[0.48]（[0.25]）半轻子衰变的分支比。

结果 I II BESIII [14,15] LHCb [16] PDG [17] QCD 求和规则 [4,5] QCD 多项式 [6] QCD z 展开 [6] Cabibbo 模型拟合 [7] 夸克模型 [8,9]
[0.25] 8.58 1.49 格点 QCD [11] NLO-QCD [12] 更新值 [13] 格点 QCD [13]

最后，我们讨论输入参数对我们结果的敏感性。在表 IV 中，衰变分支比结果的中心值对应于表 I 中[0.25] 和[0.25] 的中心值，而上（下）误差范围分别通过取[0.25] 和[0.25] 的上（下）限计算得出。请注意，我们的结果基于表 I 中[0.25]的固定值。我们注意到，这些参数的不同选择也会影响结果。例如，对于[0.25]，如果二夸克质量[0.25]（范围为 0.4 到 0.7 GeV [25]）变化而不改变重子的[0.25]值，二夸克质量[0.25] 变化[0.25] GeV 会使分支比变化约[0.25]%。由于本研究假设[0.25]因子的误差较小，结果的误差也较小。因此，[0.25]是误差的主要来源。

IV. 结论

我们利用前光坐标系计算了类时区域内[0.48]跃迁矩阵元的全部六个形状因子，并将它们扩展到整个物理区域。这些形状因子基于 B-S 形式主义在[0.25]情形下获得，同时包含价夸克和非价夸克贡献。在我们的计算中，通过分析形状因子，如表 II 所示，给出[0.25]、[0.25] 和[0.25]的比值分别为[0.25]、[0.25] 和[0.25]。这些形状因子包含非价夸克贡献，与 BESIII 实验的现有数据以及其他理论估计吻合良好。此外，对于包含[0.25] 贡献的结果，我们发现[0.48] 和[0.48]半轻子衰变的分支比分别约为[0.25] 和[0.25]，与 BESIII 实验结果接近。然而，我们得到[0.25] = 0.158，略低于 BESIII 实验值 0.181。本分析表明，非价夸克贡献对于物理类时区域内重子半轻子衰变的一致的前光描述起着重要作用。我们的框架也可以扩展到其他非价夸克贡献在物理类时区域内变得重要的重子半轻子跃迁过程。