具有共线和非共线磁有序的非相对论性各向异性磁阻

《Physical Review B》：Nonrelativistic anisotropic magnetoresistance with collinear and noncollinear magnetic order

　　

各向异性磁阻（AMR）源于磁序所导致的电导率张量对称性降低。在简单铁磁体中，AMR 是一种相对论效应，依赖于自旋-轨道耦合（SOC）。在此，我们证明了在非相对论极限下同样可以实现类似的对称性降低。我们利用紧束缚模型、密度泛函理论计算以及玻尔兹曼输运理论，研究了具有多个磁子晶格的系统，包括共线和非共线反铁磁体以及亚铁磁构型。我们表明，AMR 及相关的各向异性可以纯粹由磁序产生，而不需要自旋-轨道耦合，并且可能达到显著的幅度。研究结果通过玩具模型晶格以及 MnN 和 Mn?Sn 等实际材料的案例研究得到了支持，并基于诺伊曼原理的对称性分析进行了进一步解释。通过应用于 MAGNDATA 数据库中各项数据的对称性分析，确定了表现非相对论各向异性磁阻的材料候选者。

**I. 引言**

各向异性磁阻（AMR）最早由 William Thomson 于 1857 年发现[1]，描述了钴和镍等铁磁性材料中电阻率对磁化方向的依赖关系。自发现以来，AMR 一直是活跃的研究课题[2]。在其典型形式中，AMR 在多晶铁磁体（FM）中表现为电阻率随电流方向与磁化方向之间夹角呈二重（即 π-周期）角依赖关系[3]：

（1）

该关系意味着，例如，如果在一个各向同性的介质中（在磁有序温度以上），将磁化方向沿某方向取向，则电导率张量变为各向异性。

AMR 的传统理解[4]与公式（1）一致，将该效应归因于自旋-轨道耦合（SOC），即自旋-轨道耦合将电子自旋与晶格耦合在一起。然而，这一描述并不完整。在本工作中，我们讨论了电导率张量中类似的对称性降低效应，这些效应在没有自旋-轨道耦合的情况下也能出现，前提是磁序涉及多个磁子晶格（MSLs），包括共线和非共线磁性有序系统。

**A. AMR 的定义**

更一般地，AMR 可以定义为由于磁有序引起的电导率张量对称性的变化。这一定义包含了公式（1）中的标准表达式，但排除了由于磁场直接作用引起的电导率各向异性，例如非磁性系统中的轨道效应（例如金属中的正磁阻效应，其可能是各向异性的[5,6]），或者拓扑绝缘体中的表面态[2]。从历史上看，AMR 也曾被称为各种术语——例如自发磁阻各向异性（SMA）——尽管这些术语在文献中并不总能被一致地定义[2]。因此，上述定义为此类不同术语提供了统一的框架。

AMR 的传统理解包含两个不同的现象：(1) 磁序诱导的电导率各向异性，以及 (2) 磁序旋转变化的电导率变化。在许多常见的研究中，这两种表现形式实际上是等价的，两者之间的区分往往被忽略。可以通过一个简单的例子来说明这种等价性：正方形格点上的铁磁体。在没有磁序的情况下，电导率是各向同性的。一旦存在铁磁性，电导率就变为各向异性：

（2）

然后 AMR 定义为，这可以通过两种方法来确定：固定磁化方向并沿不同方向测量电导率：

（3）

以及旋转磁化方向并沿固定方向测量电导率：

（4）

其中第二种方法在实验中被广泛使用，因为它在实践中更容易精确测量。

虽然在简单情况下两种方法是等价的，但在一般情况下它们是不同的。在没有自旋-轨道耦合的情况下，自旋和轨道自由度是解耦的。因此，非磁性格点对任何纯粹的自旋旋转都是对称的。在磁性系统中，所有磁矩的刚性旋转对应于这样的纯自旋旋转，由于电导率在自旋旋转下是不变的，因此在没有自旋-轨道耦合的情况下，旋转磁序（作为一个整体）无法改变电导率。因此，AMR 的第二种形式——涉及磁序旋转的形式——在没有自旋-轨道耦合的情况下不存在。然而，我们在本工作中证明，第一种形式——由磁序本身诱导的各向异性——在具有多个磁子晶格的系统中即使没有自旋-轨道耦合也能持续存在。此外，我们还考虑了涉及更复杂的磁序操作（例如非刚性倾斜）以及非共线系统中铁磁对齐杂质散射的情况，这些情况也可能导致非相对论极限下的 AMR。

在本研究的整个过程中，我们仅关注纵向 AMR，即电导率张量对角分量中的各向异性。我们注意到 AMR 也可以出现在非对角分量中[7]，通常被称为平面霍尔效应[2]。此外，我们将分析局限于电导率的偶数分量，即电导率张量的对称部分。与反常霍尔效应（AHE）相关的奇数部分不在本文研究范围内。虽然 AHE 也可以在没有自旋-轨道耦合的情况下出现，但它需要非共面磁系统[8]，这通常被描述为拓扑霍尔效应。

**B. AMR 的分类**

除了其实现方式之外，AMR 还可以根据其微观起源进行分类：

a. 内禀与外禀。内禀 AMR 源于与散射无关的对称性破缺效应，而外禀 AMR 则源于自旋相关的散射。历史上，外禀机制受到了更多的关注，到目前为止只有少数工作认识到 AMR 中与散射无关的贡献[9–14]。这两种贡献可以通过频率依赖性测量来区分[9,10]：外禀贡献通常与频率成正比，而内禀贡献与频率无关。在其他输运现象（如 AHE 或自旋霍尔效应（SHE））的语境下，内禀机制是公认存在的，并与贝里曲率相关联[15,16]。相比之下，内禀 AMR 的起源通常被归因于费米面各向异性，我们在第三节中对此进行了讨论。然而，近期的一项研究[17]表明贝里曲率也可能在内禀 AMR 中起作用。内禀 AMR 的一种极端形式可以由金属-绝缘体转变（MIT）引起，在施加磁场沿不同晶体学方向测量时可展现出高达 40000% 的大 AMR 值[18]。在此，费米面并未变得各向异性，而是在绝缘相中完全消失，从而导致了剧烈的电导率各向异性。

b. 非晶体与晶体。多晶样品中的 AMR 信号遵循公式（1）的余弦平方依赖关系，称为非晶体 AMR。相比之下，高质量单晶可以展现出更复杂的角依赖关系。例如，在 Ni[19]、[20,21] 和 (Ga,Mn)As[22] 中报告了四重对称性；在六方 MnTe 中报告了六重对称性[23,24]；在某些情况下甚至出现了更高频率的周期性[22,24,25]。尽管这些特征已被知晓数十年，但它们偶尔被误解为磁晶各向异性的表现[2]，或被强调为最近的发现，尽管相关概念在早期的工作中已被探索过[19,26]。通常，更高阶的角谐波在单自旋轴（SSA）系统进行分析。然而，正如附录 A 所示，这种分析可以很容易地扩展到具有多个磁子晶格（MSLs）的系统。

本小节仅简要概述了 AMR 现象丰富多彩的图景。如需更全面的论述，请参阅参考文献[2]。

**C. 超越自旋-轨道耦合**

本研究建立在前人的研究成果之上（参见参考文献[2]的 Sec. 4.2.3），其中关于自旋序诱导各向异性的发现，在当前语境下属于非相对论 AMR 的范畴。近期研究表明，通常在自旋-轨道耦合中产生的各种效应在没有自旋-轨道耦合的情况下也能在磁性系统中存在。例如，在非共线反铁磁体中，强自旋霍尔效应[15,27]和局域（子晶格投影）Edelstein 效应[28]在没有自旋-轨道耦合的情况下也被发现占主导地位[28,29]，表明复杂的磁序可以模拟相对论效应。在非相对论效应方面也已在新兴的交替磁性框架内进行了探索[30,31]。另一项研究[32]探讨了由磁序引起的费米面非相对论宇称破缺，这也导致了电导率各向异性，该研究侧重于对此类特征的磁相进行基于对称性的表征。然而，AMR 本身并不要求宇称破缺，更简单的场景也有可能发生。

**D. 组织**

在本工作中，我们探索了在不存在自旋-轨道耦合的情况下 AMR 如何产生，考虑了内禀和外禀机制[33]。

a. 内禀 AMR。我们确定了两种在没有自旋-轨道耦合（SOC）的情况下出现的、由磁序诱导的电导率张量各向异性机制，两者均假设各向同性散射。

(1) 自发各向异性。由磁有序本身引起的内禀各向异性，如在 MnN 等共线反铁磁体中所观测到的。从头算表明，这种效应可以是很显著的，但通常通过外部刺激（如磁场）进行调节的能力有限。

(2) 场诱导各向异性。通过施加磁场或应变来操纵磁序，其中我们考虑的是磁矩的倾斜而非旋转。我们在以下情况中进行了探索：(i) 最小模型（六角花格/三角格），以及 (ii) 非共线反铁磁体。

b. 外禀 AMR。我们还表明，即使在磁序不诱导任何非相对论内禀 AMR 的系统中，当考虑特定类型的散射时，外禀 AMR 也可能存在。我们假设散射发生在磁性杂质上，使得通常无序的杂质与格点只有微弱的耦合，并且可以通过弱外加磁场使其对齐，而该磁场不足以克服主体材料的交换相互作用。我们的动机是反铁磁盐和合金中弱耦合的 Mn 杂质，我们将在 III D 节中详细讨论。

本文的组织如下。在第 II 节中，我们将介绍本工作的理论基础和方法。在第 III 节中，我们将讨论内禀 AMR，随后在 IV 节中讨论外禀 AMR。总结在最后 V 节中。

**II. 方法**

**A. 形式体系**

除第 III A 节外，我们依赖于一个简单的紧束缚模型，该模型仅包含跳跃项和交换项[28]：

（5）

其中是从位点到位点的跳跃参数，和是自旋指标，是位点处自旋为的湮灭（产生）算符，是海森堡交换常数，是泡利自旋矩阵向量，是位点处的磁化方向单位向量。在此考虑的六角花格中，我们将跳跃限制为最近邻跳跃，因此对所有相关的位点对，其中表示最近邻跳跃项。交换相互作用固定为，遵循参考文献[28]。

然后利用玻尔兹曼方程计算电导率[33]。

（6）

其中是基本电荷，是第 n 带的 k 依赖本征能量，是费米能量，是散射率，是第 n 带中费米速度的第 α 分量。Delta 分布评估在费米面上的第一布里渊区积分。费米速度通过以下公式计算：

（7）

对于内禀 AMR（第 III C 和 III D 节），散射率通过选择恒定的弛豫时间近似（RTA）获得[34]，其中弛豫时间对所有电子相同且是各向同性的。这意味着各向异性只能通过费米速度贡献进入。这可以通过所谓的等离子体频率方便地表示：

（8）

其不依赖于弛豫时间。其中是真空介电常数。然后公式（6）可以写成：

（9）

因此在此近似下，的各向异性源于等离子体频率的各向异性。当和关于费米面的积分不同时，各向异性出现。这通常需要具有破坏晶体对称性的各向异性费米面。球状费米面或遵循完整晶体对称性的费米面（例如六方格中的六方形费米面）不会导致各向异性电导率，这符合诺伊曼原理。

对于外禀 AMR（第 IV 节），我们回到公式（6），并使用费米黄金规则确定散射率：

（10）

其中是散射体的体密度，是跃迁矩阵元，且。跃迁矩阵元通过以下公式计算：

（11）

其中是本征能量值对应的波函数[33]，描述了杂质的特定形式。

**B. 对称性分析**

我们将使用开源代码 Symmetr[36] 分析各种磁构型的实空间对称性——既包括玩具模型也包括实际材料。该软件识别每种磁构型的非相对论对称群，并返回相应的生成元矩阵和响应张量（如电导率张量）的对称性限制形式。

关于非相对论对称性分析的更详细讨论请参见文献[28]。为了理解各向异性磁阻（AMR）的起源，我们将表现出各向同性电导率的构型与表现出AMR的构型的对称性进行比较。核心思想是识别哪些对称性必须被打破才能使AMR成为可能。这一分析的核心是诺伊曼原理，该原理指出，表示晶体宏观物理性质的张量必须在该晶体的对称操作下保持不变[20]。III. 本征AMR

在本节中，我们讨论文献[33]图1(a)中概述的机制，其中各向异性与散射过程无关。与上述文献不同，本文中的本征[9]AMR并非源于自旋轨道耦合（SOC），而是源自磁有序。第III?A节以MnN为例，讨论共线反铁磁体中的自发AMR，并在第III?B节中讨论更多材料。在第III?C节中，我们研究了kagome和三角晶格上各种磁构型——包括共线和非共线、补偿和非补偿构型。利用紧束缚模型和RTA中的玻尔兹曼形式，我们分析了费米面各向异性和电导率。我们还考察了这些模型背后的实空间对称性。在第III?D节中，我们将同一框架应用于反铁磁体作为目前热门反铁磁体的一个例子。A. MnN：作为自发效应的AMR示例

AMR作为自发效应在图1中得到说明：在没有磁有序的立方晶体中，电导率保持各向同性。具有单个磁自旋层的铁磁体（FM）打破了对称性，并在SOC存在的情况下导致各向异性电导率。然而，在非相对论极限下，电导率仍然保持各向同性。这是因为在没有SOC的情况下，自旋和实空间是解耦的，铁磁有序不会破坏立方晶体的四重旋转对称性。更一般地，当存在SOC时，旋转对称操作同时涉及实空间和自旋空间分量。镜像操作也类似，只是镜像在实空间中由不正交旋转描述，在自旋空间中由相应的正交旋转描述。然而，在没有SOC的情况下，对称操作的实空间分量和自旋空间分量是解耦的。在具有单个磁自旋层的系统中，无磁晶格的所有晶体学对称性（时间反演除外）仍然有效，因为自旋分量可以被视为平凡（即在自旋空间中不发生变换）。由于我们只考虑电导率中的偶数部分，而该部分不依赖于自旋空间变换，因此在没有SOC的情况下，铁磁有序不会改变电导率张量的对称性。图1. (a) 没有磁有序的方格网格表现出各向同性电导率。(b) 铁磁有序仅在SOC存在的情况下才允许AMR。[(c)和(d)] 引入多个磁自旋层（红色和蓝色）使得在共线反铁磁体中即使在没有SOC的情况下也能产生AMR，前提是磁有序打破了实空间旋转对称性。(c) 由于铁磁平面旋转导致的对称性破缺。(d) 铁磁平面在实空间旋转下保持不变。由于电导率张量的线性特性，电导率将保持各向同性。[(e)和(f)] MnN中具有两种不同磁有序的晶体结构。在(f)中，与(e)相比，Mn2和Mn3发生了翻转，导致铁磁平面发生旋转（以紫色突出显示），使得非相对论AMR成为可能。

然而，在具有多个磁自旋层的系统中，对称操作可以将一个亚晶格映射到另一个亚晶格。在这种情况下，即使没有SOC，磁有序也可以破坏晶体学对称性，从而改变电导率张量的对称性。这如图1(c)所示，该图展示了A型反铁磁有序，由铁磁平面组成。该构型破坏了晶体的立方对称性，因为旋转会将铁磁平面的方向旋转到另一个方向。由于该方向不依赖于自旋取向的方向，因此无法将旋转与自旋旋转组合成对称操作。电导率将是各向异性的，这也可以直接从图1(c)看出，因为对于某一电流方向，电子沿铁磁平面流动，而在另一情况下，它们必须在铁磁平面之间流动。相比之下，图1(d)中所示的反铁磁有序，其中铁磁平面沿对角线方向排列，保持了四重对称性，并且不会在电导率张量中引起任何各向异性。

图1(c)中所示的磁有序类型出现在MnN中，MnN具有岩盐结构[37]（见图1(e)）；在没有磁有序的情况下，电导率保持各向同性。然而，阳离子（锰）磁矩倾向于形成A型反铁磁有序。当选择铁磁平面的方向时，例如平面，各向异性就会出现——在这种情况下，与不同[38]。我们进行了DFT计算来评估MnN中的电导率，详细内容见附录B。对于完美立方结构且无SOC的情况，我们发现在假定各向同性散射的情况下，根据公式(9)存在非零AMR，且。相比之下，在包含SOC的计算中，我们得到和，导致相似的各向异性，从而表明AMR主要是非相对论性质的。

尽管磁有序导致晶格的轻微畸变，但这对输运各向异性仅有微小影响。例如，当忽略SOC并选择nm、nm时，等离子体频率变为和。使用公式(9)并假定典型弛豫时间为，我们得到：在无SOC的完美立方结构中，S/m和S/m；有SOC时，S/m和S/m；而轻微畸变晶格中无SOC时为S/m和S/m。B. 更多材料候选者

尽管上一节详细讨论了反铁磁MnN中非相对论AMR的出现，但该材料只是更广泛候选类中的一个例子。通过将第II?B节中引入的对称性分析应用于更广泛范围的材料，我们确定了280个潜在候选材料，详见补充材料[39]。显著的例子包括，该材料在其低温非共面相中表现出拓扑霍尔效应[40]；非共线化合物MnPtGa，该材料表现出反常霍尔效应[41]以及显著的热磁效应[42]；以及，一种翘曲反铁磁体，承载着一种新颖的自旋轨道纠缠态，因与铜酸盐超导体的相似性而受到研究关注[43]。我们分析中使用的晶体和磁性结构来自MAGNDATA数据库[44,45]。C. 通过操控磁有序诱导的本征AMR

在本节中，我们研究如何通过操控磁有序来诱导本征AMR，这可以通过施加磁场或应变等手段实现。我们考虑图2中所示的三角磁有序，因为这种有序存在于许多材料中[46]。它源于三个自旋的反铁磁交换以避免几何阻挫。与MnN不同（其中磁有序本身破坏了实空间旋转对称性），kagome和三角晶格上的非共线磁有序保持了电导率张量的对称性，如图3(b)所示。如前所述，所有磁矩的整体旋转对应于纯自旋旋转，不会改变电导率。这反映在图3中所示的不变能带结构上。尽管自旋构型在这种变换下旋转，但能带结构不受影响。图2. (a) kagome晶格和(b)具有非共线磁有序的三角晶格的示意图。磁原胞中的三个磁矩分别以红色（A）、绿色（B）和蓝色（C）表示。净磁矩为零。虽然两种构型共享相同的磁原胞，但kagome晶格具有一个规则空位（虚线圆），将其与三角晶格区分开来。实际上，该空位可以用非磁性原子填充。图3. kagome晶格上两种补偿磁构型的结果。(a) 能带结构出现自旋分裂。对应于绕轴的全局自旋旋转的置换不改变能带结构。能带结构以最接近邻原子跳跃参数归一化，使得无量纲。(b) 费米面是各向同性的，不表现出本征AMR。注意圆形费米面不是保持电导率各向同性的唯一形状。[(c)和(e)] 两种补偿磁构型的磁原胞以及[(d)和(f)]在相同费米能级下对应的自旋构型。虽然能带结构和费米面不受磁原胞内部置换的影响，但自旋构型会发生变化。自旋构型完全位于平面内。自旋构型的分量（未显示）为零。

为了在这些系统中诱导AMR，我们考虑了磁矩在内的倾斜，如图4所示。此处，磁矩保持固定，而磁矩和分别以相同角度（逆时针和顺时针）旋转。该构型在定性上模拟了沿负方向施加外磁场或应变的响应。注意，此简化模型忽略了磁晶各向异性和各向异性交换相互作用。几个特殊情况值得注意：对应于图3(c)中所示的补偿态[图3(e)]，对应于磁化沿正方向的铁磁态，而对应于共线亚铁磁态。对于所有，存在部分补偿的面内磁化（PCM）。我们发现这些构型导致各向异性费米面（见图5中为和的情况），因此表现出本征AMR。相比之下，完全补偿（）和铁磁态产生各向同性费米面，没有AMR。图4. 磁矩B（逆时针）和C（顺时针）以相同角度旋转的示意图。磁矩A保持固定。图5. 由磁有序诱导的各向异性。(a) 对应于图4中定义的磁矩B和C分别旋转的磁构型的费米面。(）。部分补偿情况（PCM）和表现出与方向之间显著且递增的各向异性。(b) 与费米能量对于。能量标度可直接与图3(a)比较。

应用Symmetr代码[36]获取实空间对称性的生成元，我们发现PCM情况同时破坏了绕轴的和旋转对称性，而完全补偿和铁磁情况至少保持了其中之一。共线亚铁磁情况中的各向异性进一步证明，非共线磁有序并非AMR的必要条件——低实空间对称性本身就足够了，正如前面在MnN中所展示的。PCM情况中的AMR不是由于净磁矩的存在，而是由于对称性破缺，即使在没有净磁矩的情况下也存在。

转向三角晶格[图2(b)]，我们应用相同的倾斜程序。然而，在所有情况下——完全补偿、铁磁和部分补偿——我们都未发现费米面各向异性，因此没有本征AMR。使用Symmetr[36]进行的对称性分析确认，这些构型保持了或旋转对称性。综上所述，我们分析了kagome和三角晶格上的多种磁构型。那些破坏绕轴的和实空间旋转对称性的构型表现出各向异性费米面，从而产生AMR。这些包括kagome晶格上的共线和非共线亚铁磁构型。相比之下，所研究的三角晶格构型均未表现出本征AMR。D. 材料示例：一个可以表现出前述现象的真实材料示例是，这是一种研究广泛的非共线反铁磁体，具有双层kagome晶格[47]。虽然已知已超过六十年[48]，但近年来因其巨大的反常霍尔效应和能斯特效应、自旋极化电流以及隧穿磁阻效应的存在而重新受到关注，使其成为自旋电子学应用的有前景的材料[29,49–52]。使用Symmetr[36]代码，我们确认理想磁构型保留了绕轴的实空间旋转和，而倾斜构型（对比图6）同时打破了这两种对称性，这与我们的玩具模型结果一致。图6. 在kagome晶格（见图2(a)）中通过面内倾斜磁矩进行对称性破缺的示意图，导致小的净磁化并修改费米面。(a) 磁矩B和C在负方向旋转，产生净磁化（在角度处）。(b) 磁矩A和C旋转了，使得。

此类倾斜可能源于外部磁场或应变。（箭头长度为示意性的，与$|\Delta\mathbf{m}|$不成比例。）(c) 由此产生的费米面（分别为赭色和紫色）相互旋转$\theta$，彼此不重叠，从而导致不同的AMR值。磁场的主要效果是所有磁矩的刚性旋转[47,53]；然而，磁场也会导致磁矩倾斜，这已被实验报告[54]。此外，对称性破缺也可能源于铁电磁效应[55]或静水压力[56]引起的各向异性键扭曲，这两种效应都对偏离理想3:1化学计量比的偏差敏感。在非化学计量比样品中，多余的Mn可能占据间隙位或Sn位[57]，可能如图7所示导致磁无序。我们将在下一节中讨论此类缺陷的散射。图6提供了磁性矩面内倾斜如何破坏面内旋转对称性并导致AMR的概念性说明：所示的两种构型仅在于子晶格磁矩的相对取向不同，产生旋转但不重叠的费米面，从而导致不同的AMR值。此情景可通过诱导磁序的对称性破缺倾斜来实验探索，例如通过外部磁场或应变。FIG. 7. Kagome晶格基质中未对齐的磁性杂质（黑色箭头）示意图。在$\delta$（其中仅有一小部分Sn原子被额外的Mn取代）中，这可能对应于替代型杂质。黑色箭头仅起示意作用，因为在实际情况下杂质的浓度预计会显著降低。总之，$\mathrm{Mn}_3\mathrm{Sn}_2$为非相对论AMR提供了一个引人注目的平台。当$\hat{C}_3$和$\hat{C}_6'$对称性被破坏时，即使没有SOC（自旋-轨道耦合），各向异性费米面和AMR也可以出现。Sharma等人[58]对横向AMR（或PHE）的测量显示，信号在高达9 T时不饱和，这可以按照图5(a)来解释：对于更大的磁场，磁矩的倾斜增加，导致费米面各向异性的增加，从而AMR增大。IV. 本征AMR在本节中，我们研究本征（散射引起的）AMR，该效应来源于排列的磁性杂质（情景如图1(b)中所概述，引文[33]）。其动机来自早期关于稀磁半导体中本征AMR的研究[59]。在这些系统中，AMR的一种机制涉及SOC诱导的费米能级处的自旋织构，这非常类似于非共线磁体中发现的非相对论自旋织构，如图3(d)和3(f)所示。在非相对论极限下，这种织构本身无法导致AMR（考虑各向同性杂质），因为它不与晶格耦合。然而，当我们引入自旋依赖散射时，AMR可能会出现。基本概念是，沿不同方向流动的电子携带不同的自旋，这将导致在存在自旋依赖散射时出现不同的电阻。我们考虑来自磁性杂质的散射，假设这些杂质与磁序仅弱耦合，并且可以在不扰动磁序的弱外部磁场下对齐。这是反铁磁盐中Mn杂质的情况[60,61]，或者可能在合金中[62]，其中它们仅通过交换相互作用弱结合或受挫并表现出近顺磁性行为。在拓扑绝缘体/铁磁绝缘体异质结构中也有类似顺磁性杂质行为的报道[63]。这种AMR机制与稀磁半导体(Ga,Mn)As中的AMR非常相似[33]，尽管与后者不同的是，这里的铁磁对齐杂质改变了系统的对称性，而这正是使非相对论AMR成为可能的原因。我们考虑kagome和三角形晶格。在kagome情况下，图7（黑色箭头）说明了未对齐磁性杂质的效果。我们假设这些杂质与晶格弱耦合，并在不足以扰动宿主磁序的磁场下对齐。如前所述，在$\mathrm{Mn}_3\mathrm{Sn}_2$中，由于偏离化学计量比，多余的Mn替代Sn，这样的杂质可能会产生[57]。虽然具有推测性，但这些富Mn区域作为具有类似行为的磁性杂质是合理的。我们将回到散射的完整处理，使用公式(10)，假设沿$\hat{z}$方向的磁性杂质，由转移矩阵$\mathbf{T} = v_F \gamma \boldsymbol{\sigma} \cdot \hat{z} \otimes \mathbb{I}_n$描述，其中$\boldsymbol{\sigma}$是Pauli自旋矩阵，$\mathbb{I}_n$是$n$维单位矩阵，$n$是单位胞中的原子数。为简单起见，我们将局限于沿$\hat{z}$方向（缩写为$z$杂质）或沿$\hat{x}$方向（表示为$x$杂质）的杂质。我们使用与前一节相同的模型，由公式(5)定义。我们首先使用公式(10)和(11)计算散射率，然后评估公式(6)中的玻尔兹曼公式来计算电导率$\sigma_{xx}$和$\sigma_{xy}$。公式(6)和(10)的数值计算过程如下。本征能量$\varepsilon_n(\mathbf{k})$和本征矢量$\mathbf{e}_n(\mathbf{k})$通过对紧束缚哈密顿量公式(5)对角化获得。由于公式(6)和(10)中的$\delta$函数，这些积分是对费米面的积分。我们首先确定费米面，然后使用标准数值求积规则（梯形积分）数值地执行面积分。速度(7)通过在每个费米面点附近取微小位移$\delta\mathbf{k}$来采样$\varepsilon_n$进行计算。公式(11)中的转移矩阵元$\mathbf{T}_{nn'}$直接通过计算紧束缚本征矢量与杂质算符$\mathbf{T}$之间的重叠来获得，在费米面点对$(\mathbf{k}, \mathbf{k}')$之间进行评估。鉴于底层紧束缚模型的简单性（每个位点单一轨道，最近邻跳跃），这种直接的费米面积分在数值上是稳定的，并且除了第二节中已指定的参数$J$和$J_d$之外，不需要特定于材料的输入。我们注意到$\mathbf{T}$中的$z$分量的系数$w$对于AMR的计算可以约去，因此为了我们的目的可以省略。结果总结在表I中，其中我们设置$w = 0.2$，并考虑PCM状态，$J_d = 0.02J$，其中$J$定义见图4。TABLE I. Kagome和三角形晶格在本征补偿和部分补偿磁性(PCM)构型中本征AMR计算的摘要。杂质如文中所引入。AMR定义为$|\Delta R|/R_{\text{min}}$。"Extremal"意味着在没有其他散射机制的情况下$\sigma_{xx}$和$\sigma_{xy}$都是发散的（在理想情况下为无穷大）。示例值在费米能级为$E_F = -0.02t$且PCM情况下$J_d/J = 0.02$时取，其中$J_d$定义见图4。"Spin texture"表示在费米面处活跃的自旋织构分量。$\odot$表示所有自旋都在$xy$平面内，因此对所有自旋$\hat{\mathbf{m}} \cdot \hat{z} = 0$。自旋织构有助于形成直觉，以判断某种杂质是否会导致散射被抑制。| 晶格 | 杂质 | AMR (%) | 自旋织构 ||------|------|---------|----------|| Kagome (comp.) | $z$杂质 | $-$7.3 | $\odot$ || Kagome (comp.) | $x$杂质 | 2.9 | $\odot$ || Kagome (PCM) | $z$杂质 | 76.7 | 非零$z$分量 || Kagome (PCM) | $x$杂质 | 38.9 | 非零$z$分量 || Triangular (comp.) | $z$杂质 | extremal | $\odot$ || Triangular (PCM) | $z$杂质 | 0 | 非零$z$分量 |在kagome情况下，补偿或部分补偿(PCM非共线)情况中的$z$和$x$杂质均导致非零的本征AMR。然而，在三角形情况下，根本没有观察到本征AMR。在一个特定情况下，表I中的结果标记为"extremal"，这意味着在我们理想化的模型中$\sigma_{xx}$和$\sigma_{xy}$都是无穷大的。这源于对于这种杂质，散射率被抑制（$\Gamma = 0$），且逆散射率是玻尔兹曼方程(6)的一部分。类似的情况也发生在(Ga,Mn)As中AMR的分析中[33]，他们最小的模型因散射矩阵元消失而导致电导率中的奇异性。当在公式(9)中包含更多项时，原始的奇异性转变为显著的峰。同样，我们模型中的发散是由于忽略了任何其他散射机制（例如，所有其他类型的杂质、声子），而实际系统预计只会显示出极大值而非奇异性。在本节的最后一部分，我们研究晶体AMR，这指的是由晶体对称性产生的电导率各向异性。这里，可以类同公式(3)和(4)将其定义为$$\text{AMR}_{\text{cryst}} = \frac{\sigma_{\hat{d}\hat{d}}(\hat{d}) - \sigma_{\hat{d}'\hat{d}'}(\hat{d}')}{\sigma_{\hat{d}\hat{d}}(\hat{d})} \quad (12)$$其中$\hat{d}$和$\hat{d}'$是两个任意方向（例如$\hat{x}$和$\hat{y}$）。电导率沿方向$\hat{d}$测量，杂质沿相同方向对齐，方向$\hat{d}'$同理。非零值表示源于晶格本身的各向异性。因此，晶体AMR定义为$\hat{d}$方向上杂质沿同一方向时的纵向电导率与$\hat{d}'$方向上杂质沿同一方向时的纵向电导率之间的归一化差值。在这两种情况下，电导率沿给定方向测量，磁性杂质沿与该方向平行的方向对齐。由此产生的各向异性$\text{AMR}_{\text{cryst}}$仅源自晶体方向的影响。对于kagome和三角形晶格，我们确实找到了非零的晶体AMR。这在图8中进行了说明，图中展示了kagome晶格在$z$和$x$杂质情况下的费米面和相应的散射率。$z$杂质的散射率不仅相对于$x$杂质旋转，而且还表现出额外的二重调制——沿$\hat{a}_1$方向的散射极大值相比$\hat{a}_3$方向增强——导致不同的电导率。FIG. 8. 具有磁性杂质的kagome晶格。在费米面[参见图3(a)中的虚线]上的散射率（以颜色编码），对应于相同的底层磁序（参见图7）和两种磁性杂质取向。左图显示了$z$杂质的结果，右图对应于$x$杂质的结果。杂质取向修改了散射的角度依赖性，从而产生不同的电导率响应，进而产生AMR。V. 总结与结论在本文中，我们研究了在没有自旋-轨道耦合的情况下，磁序如何诱导电导率张量各向异性的几种机制，即非相对论AMR。为此，磁序必须破坏晶体的实空间旋转对称性。在立方MnN中，A型反铁磁序破坏了$C_3$旋转对称性，产生自发AMR。在kagome晶格上，相关的旋转对称性是$C_3$和$C_6'$，破坏这些对称性——例如通过操纵磁矩——导致AMR。我们的结果表明，非相对论AMR可以通过诱导此类对称性破缺倾斜来实验探索，例如通过磁场或应变。我们将这一理论框架应用于$\mathrm{Mn}_3\mathrm{Sn}_2$，这是一种研究充分的非共线反铁磁体和自旋电子学应用候选材料。我们确认，在该系统中，当$C_3$和$C_6'$旋转对称性被破坏时，AMR就会出现，而这种情况可以在没有SOC的情况下发生。在第二部分中，我们研究了本征AMR，该效应来源于磁性杂质上的自旋依赖散射。我们表明，即使在原本各向同性的磁构型中——如kagome晶格上的三角形序——引入弱耦合的对齐杂质时，AMR也可以出现。具体而言，我们证明在kagome晶格中，此类杂质可以诱导非相对论AMR，而在三角形晶格中该效应仅存在于晶体AMR中。在实验中，将非相对论AMR与源于自旋-轨道耦合的常规AMR区分开来可能不是轻而易举的事，因为自旋-轨道耦合总是以某种程度存在，而不能像理论计算中那样被关闭。然而，原则上区分它们是可能的，因为非相对论AMR和相对论AMR具有不同的对称性和不同的磁序依赖性，这也将导致对磁场的不同依赖关系。例如，在MnN中，常规AMR对应于SSA的旋转，而非相对论AMR对应于具有不同FM平面取向的畴。为了真正确认非相对论起源，也可以利用自旋-轨道耦合可忽略不计的有机磁体，而在这样的系统中观察到大的AMR将为非相对论AMR的存在提供强有力的证据。我们注意到，在Ba$\mathrm{Co}_{1-x}\mathrm{Fe}_x\mathrm{O}_3$[64]中观察到了一种可用非相对论AMR解释的电阻率各向异性，其中电流平行或垂直于FM平面流动，类似于MnN的情况。之后进行了理论研究[65,66]。这些工作表明，该效应是各向异性费米面和非磁性杂质散射的组合所致。前一种机制与本文讨论的本征非相对论AMR相同，尽管非相对论性质及其与AMR的联系在之前的工作中并未讨论。