基于神经聚合的噪声控制小波估计以实现可靠的赫斯特指数推断

《Neurocomputing》：Neural aggregation of noise-controlled wavelet estimates for reliable hurst exponent inference

　　

摘要

标度不变性——即信号在不同尺度下表现出相似特性的倾向——对于理解地球物理监测和金融建模等领域的复杂动力学至关重要。这种自相似行为通常通过赫斯特指数（Hurst exponent）来量化。基于小波的估计器在估计赫斯特指数时具有天然优势，因为它们利用了信号的多分辨率结构。然而在实际应用中，其准确性往往会因真实测量中存在的加性噪声而降低。

我们提出了一种噪声控制的平均层级成对赫斯特指数估计器（NC-ALPHEE），这是ALPHEE（平均层级成对赫斯特指数估计器）的噪声感知扩展。传统基于小波的方法依赖于信号能量与尺度之间的线性关系；它们通常会丢弃噪声主导的尺度或在进行自相似性评估之前应用去噪，因为噪声污染会恶化这种线性关系。而NC-ALPHEE则直接对用于赫斯特指数估计的小波-能量关系进行校正。该方法从含噪小波系数的分布中推导出多个层级成对的、经过噪声校正的赫斯特指数候选估计值，然后利用基于神经网络的融合函数（NN-NC-ALPHEE）将它们组合起来。神经网络组件作用于可解释的成对赫斯特候选值，并学习如何将它们组合，而这些候选值的可靠性在噪声环境下各不相同。这种方法保留了基于小波的赫斯特指数估计的统计结构，同时增强了在噪声条件下的鲁棒性。

模拟研究表明，在无噪声条件下NC-ALPHEE的性能与ALPHEE相当，而在有噪声条件下NN-NC-ALPHEE实现了更低的估计误差和更高的稳定性。在真实数据集上的应用进一步证实了该方法在不同信号类型和实际场景中的鲁棒性和准确性提升。这些结果突显了所提出框架在具有挑战性的噪声环境下评估自相似性的有效性。

引言

自相似性——即模式在不同尺度上的重复出现——是气候学[16]、神经学[4]、医学[25]和金融学[12]等领域复杂信号的标志性特征。量化这一特性的关键指标是赫斯特指数，它反映了信号中长程依赖的程度[1]。

基于小波的技术已成为估计赫斯特指数的有力工具，这得益于它们将信号分解为多个尺度的能力[20]。在无噪声条件下，这些方法通过建模小波分解层级中能量的线性衰减来可靠地估计赫斯特指数（即小波谱方法）。然而，真实世界的信号经常受到噪声的干扰，这会扭曲自相似性模式并降低基于能量衰减的经典估计器的性能[3]、[5]、[6]、[28]。在此类条件下的鲁棒估计仍然是一个重大挑战。

以往为解决这一问题所做的努力要么依赖严格的假设，要么未能充分利用可用的尺度信息。例如，距离方差[23]或多尺度选择[26]等方法会丢弃部分小波谱或假设线性谱行为。较新的研究，如[25]、[27]，提出了一种基于层级成对能量的估计机制，因为它通过聚合层级成对能量信息来提高鲁棒性，但仍未显式地对噪声进行建模，使其在高噪声环境中容易受到影响。

本研究的主要目标是赫斯特指数的噪声鲁棒估计。这一目标不同于通用的时间序列预测、分类或表示学习。循环神经网络和基于注意力的模型，如长短期记忆网络（LSTM）、门控循环单元（GRU）和Transformer架构，被广泛用于这些更广泛的序列建模任务[7]、[14]、[19]。相比之下，本研究的目标是从含噪的自相似信号中估计一个具有统计可解释性的标度参数。

此外，所提出的方法不同于传统的小波去噪方法。小波去噪方法，如硬阈值处理、贝叶斯收缩和小波包去噪，主要旨在通过修改经验小波系数来重建更干净的信号[24]。而本研究则不进行系数阈值处理或信号重建。其目标是通过校正用于标度估计的小波能量关系，从含噪观测值中直接估计赫斯特指数。

本研究提出了一种结合小波域统计建模与基于神经网络的聚合策略。在[25]中提出的平均层级成对赫斯特指数估计器（ALPHEE）基础上，我们首先在成对小波能量关系中引入了显式的加性噪声校正。我们将这种经过噪声校正的估计器称为NC-ALPHEE。然后，我们将ALPHEE中使用的固定聚合规则替换为应用于所得到的噪声校正成对候选估计值的学习型聚合规则。所得到的方法称为基于神经网络的噪声校正平均层级成对赫斯特指数估计器（NN-NC-ALPHEE），该方法保留了基于小波的赫斯特指数估计的可解释性，同时允许最终聚合步骤根据候选估计值的可靠性进行自适应调整。

我们的主要贡献包括：

• **噪声校正的成对赫斯特估计器**。我们推导了一种显式地将加性高斯噪声纳入小波系数能量模型的赫斯特指数层级成对估计器。这与标准小波谱回归和ALPHEE不同，在后者中噪声会影响观测到的尺度-能量衰减，但不会在解析上被消除。

• **方差感知的多尺度估计框架**。对于每个可接受的波层级对，NC-ALPHEE都会产生一个可解释的赫斯特指数候选估计值及其近似方差。这将问题从单一斜率回归转化为一个具有统计特征描述的尺度对估计值集合。

• **针对含噪尺度对信息的学习聚合机制**。我们引入了基于神经网络的成对赫斯特候选值向量的聚合。神经网络并非在原始信号上进行训练，也不用于通用预测。相反，它学习的是一种非线性聚合规则，作用于可解释的多尺度估计器，这些估计器的可靠性随尺度、持久性水平和噪声强度而变化。

• **针对经典和基于小波基准方法的系统性评估**。通过模拟和真实数据研究，我们将所提出的方法与标准小波谱方法、ALPHEE以及经典赫斯特指数估计基准进行了比较。额外的消融实验分离了噪声校正和神经网络聚合各自的影响。

通过将噪声感知的信号建模与可学习的聚合机制紧密集成，NN-NC-ALPHEE解决了现有赫斯特指数估计方法中的关键局限性。

本文其余部分组织如下：第2节回顾了基于小波的赫斯特指数估计的背景知识。第3节介绍了所提出的NC-ALPHEE方法。第4节概述了模拟框架，第5节展示了实证结果。第6节讨论了研究发现的含义。第7节总结了全文。

第2节节选

**基于小波变换的自相似性分析**

小波变换被广泛用于分析复杂信号，特别是那些具有局部化高频结构的信号。其多分辨率特性使其非常适合检测自相似性等标度不变模式。本节简要概述了离散小波变换（DWT）及其在估计赫斯特指数中的角色，后者是量化自相似性的关键参数。按照统计信号处理中的标准做法，我们将真实的赫斯特指数记为。

**噪声控制的平均层级成对赫斯特指数估计器（NC-ALPHEE）**

该估计器基于这样一个原理：加性噪声会随尺度改变小波能量；NC-ALPHEE在进行赫斯特指数估计之前，先对这种与尺度相关的能量变化进行校正。此处还需注意的是，"噪声控制"指的是校正加性噪声对用于赫斯特指数估计的小波域能量的影响。NC-ALPHEE并不试图重建干净信号或降低信号的实际方差（即如小波去噪方法所做的那样）。相反，它通过……

**性能评估**

如图1所示，本节概述了用于评估所提出的NN-NC-ALPHEE方法在模拟和真实条件下性能的框架。模拟研究重点关注NN-NC-ALPHEE的估计准确性，并主要与第2.2节中详述的标准方法和ALPHEE方法进行对比。1 标准赫斯特指数估计方法，3.3 ALPHEE的推导（当分别为……时）。对于真实数据集，评估重点关注估计器在……条件下的稳定性。

**结果**

本节报告了所提出的NC-ALPHEE框架在估计赫斯特指数（H）方面的性能，包括在模拟和真实数据研究中使用的加权聚合和神经网络聚合。我们还将NN-NC-ALPHEE的性能与现有的时域和小波域赫斯特指数估计方法进行了比较。

**讨论**

基于模拟和真实数据两方面的证据，本节解释了NN-NC-ALPHEE如何有助于改进基于小波的赫斯特指数估计。讨论的关键点包括噪声敏感性、噪声感知的神经网络聚合以及小波滤波器的影响。我们还提出了未来可以进一步改进基于层级成对能量的赫斯特指数估计的扩展方向。

**结论**

本研究介绍了NC-ALPHEE，一种用于自相似信号赫斯特指数估计的噪声控制、基于小波的方法。在小波系数分布和去相关性的理论基础之上，NC-ALPHEE通过显式地在估计过程中考虑加性噪声，增强了先前提出的ALPHEE框架。该方法利用多个分辨率层级间的成对能量差异生成赫斯特指数候选估计值，并采用……

**CRediT作者贡献声明**

Malith Premarathna：写作——审阅与编辑，写作——原稿撰写，可视化，方法论。
Fabrizio Ruggeri：写作——审阅与编辑，验证，方法论，调查。
Dixon Vimalajeewa：写作——原稿撰写，可视化，监督，方法论，调查。

**竞争利益声明**

作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些关系可能会影响本文所报告的工作。

Malith Lakshan Premarathna是内布拉斯加大学林肯分校统计学系的博士研究生。他获得了内布拉斯加大学林肯分校的统计学硕士学位。他的研究兴趣包括高维统计、变量选择、变点检测、基于小波的方法以及赫斯特指数估计，应用于统计学习和信号处理领域。

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