线弹性力学中拉梅算子 Steklov 特征值的一种无锁虚拟单元方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：A locking-free virtual element method for Steklov eigenvalues of the Lamé operator in linear elasticity

　　

摘要
本文介绍了一种无锁定的虚拟单元方法（VEM），用于近似二维线弹性中 Lamé 算子的 Steklov 特征值。我们提供了详细的先验误差分析，并证明所提出的 VEM 方案对于近不可压缩材料是无锁定的。线性二次 VEM 方案均被用于解决该问题。数值实验证实了本文中 VEM 方案的高效性和无锁定特性。

引言
线弹性 Lamé 算子的 Steklov 特征值与静电问题中的 Dirichlet-to-Neumann 映射密切相关。该映射将边界上的位移（Dirichlet 条件）转换为边界上的应力（Neumann 条件）。这种转换对于预测实际应用中的材料应力状态至关重要。特别是，在某些条件下，Steklov 谱与 Dirichlet-to-Neumann 映射的谱重合。因此，Steklov 特征值问题在材料力学和结构分析中受到了越来越多的关注。2021 年，Domínguez S. 在 [1] 中研究了线弹性 Lamé 算子对应的 Steklov 特征值。他的工作确认了 Lipschitz 区域内特征对的存在性，并讨论了 k 阶 Lagrange 符合有限元方法的近似性能。在此基础上，Li 和 Zhang [2] 推导出了该问题的高效且可靠的后验误差指标，并提出了一种自适应算法。然而，传统的符合有限元方法（FEM）在弹性问题中，当 Lamé 参数趋近于无穷大时，往往表现出精度退化。这种被称为“锁定”的现象给数值模拟带来了挑战。为了应对锁定效应，Li 等人在 [3] 中为该问题引入了一种无锁定的间断伽辽金方法。本研究旨在为该特征值问题开发一种无锁定的虚拟单元离散方案。

自 [4] 中诞生以来，虚拟单元方法（VEM）架起了模仿有限差分法与传统伽辽金方法之间的桥梁。通过容纳多边形和多面体剖分，VEM 扩展了经典有限元技术，同时保留了后者的理论严谨性和前者的几何灵活性。自 [4]，[5]，[6] 的开创性工作以来，VEM 已被广泛应用于各类问题的近似；例如，参见 [7]，[8]，[9]，[10]，[11]，[12]。特征值计算是 VEM 展现显著潜力的另一个领域。2015 年，Mora 等人在 [13] 中确立了 VEM 近似 Steklov 特征值问题的最优收敛率和先验误差界。2017 年，Beir?o da Veiga L 等人在 [14] 中提出了一种用于声学振动问题的 H(div) VEM 离散方案，具有消失的旋度。在标准网格假设下，他们验证了该方案能够实现精确的谱近似结果，并为特征函数和特征值提供了最优阶误差估计。2018 年，Gardini 等人在 [15] 中探索了 VEM 在求解二阶椭圆特征值问题中的应用。他们证明了 VEM 离散方案可以为这类问题提供最优阶近似。Mora 等人针对薄板振动问题，在 [16] 中提出了一种基于仅依赖 H2(Ω) 空间中板横向位移的变分形式的 VEM 离散方案。该方案易于实现，在标准计算域假设下，他们证明了它可以准确近似特征值，并为特征值和特征函数提供最优阶先验误差估计。[10] 中的第 7 章对上述工作进行了系统总结。2020 年，Mora 等人在 [17] 中提出了线弹性特征值问题的 VEM 离散方案，证明了该方案具有最优先验误差估计，随后提供了一种可靠且高效的后验误差指标。他们基于此设计了对应的自适应算法，但未能验证 VEM 离散方案的无锁定特性。2021 年，Meng 等人在 [18] 中为 Kirchhoff 板振动问题及相关特征值问题提出了一种 C0 VEM 离散方案，证明了离散方案先验误差估计的收敛性和最优性。2022 年，Meng 等人在 [19] 中为各向异性介质中的 Helmholtz 透射特征值问题提出了一种 VEM 离散方案，展示了其谱收敛性和最优先验误差估计，并提供了一种可靠且高效的后验误差估计。2023 年，Meng 等人 [20] 为逆散射理论中的修正透射特征值问题提出了一种 VEM 离散方案，证明了该方案具有正确的谱近似和最优误差估计。Amigo 等人在 [21] 中使用 VEM 求解了二维线弹性谱问题。他们的工作允许在求解线弹性谱问题的网格中存在小边，进一步放宽了网格要求，并证明了在具有小边的网格情况下方法的误差估计和收敛性。

尽管取得了这些进展，但与 Lamé 算子相关的 Steklov 特征值问题的 VEM 离散的无锁定特性仍未被探索。本文的目的是在二维线弹性框架内，构建一种用于计算 Lamé 算子产生的 Steklov 特征值的无锁定 VEM。然而，本工作主要受 [9]，[22] 启发。具体来说，[9] 引入了一种在 k≥2 条件下，针对近不可压缩线弹性问题提供 H1 范数下最优误差估计的无锁定符合 VEM，而 [22] 提出了一种最低阶无锁定 VEM，通过构建具有额外顶点的辅助多边形来形成精细网格，从而弥补了这一缺点，获得了一种在 H1 和 L2 范数下均表现出最优收敛性的无锁定 VEM。我们结合了 [9]，[22] 的关键思想和证明技术，证明了该特征值问题的 VEM 方案是无锁定的，并且对特征值和特征函数具有正确的先验误差估计。与 [2] 中针对该特征值问题的无锁定间断伽辽金方法相比，本文提出的 VEM 方案更为灵活，因为它适用于一般多边形网格。

虽然与 Lamé 算子相关的 Steklov 特征值问题与线弹性特征值问题 [17] 有相似之处，但它表现出一个关键差异：传统的线弹性特征值问题在边界的一部分强制施加齐次 Dirichlet 边界条件，并在其余部分施加 Robin 条件，而 Steklov 特征值问题专注于纯 Robin 边界条件。这种差异导致 VEM 方案缺乏 H1-椭圆性，这也意味着特征值问题与其源问题之间的经典关系不再成立。为了应对这些挑战，我们采用移位论证重新表述了线弹性中 Lamé 算子相关的 Steklov 特征值问题的 VEM 方案。随后，我们利用 Korn 不等式证明重构后的 VEM 方案具有 H1-椭圆性。然后，我们利用 [23] 中建立的等式来确认本文中提出的 VEM 方案的先验误差估计是最优且无锁定的。最后，我们采用线性和二次 VEM 方案来解决该问题。数值结果与本文中的理论结果相符。

本文的结构安排如下。第 2 节介绍数学模型和相关解算子。第 3 节给出 VEM 数值格式并证明其离散解算子的存在性。第 4 节提供了关于方案收敛性和无锁定性能的理论分析。最后，在第 5 节中，我们给出数值算例以验证理论结果。

在整篇文章中，我们采用 Sobolev 空间、范数和半范数的标准符号。在处理向量值函数或空间时，本文使用粗体字母。例如，v=(v1,v2), H1(Ω)?H1(Ω)^2, L2(Ω)?L2(Ω)^2，以及其他示例。我们将使用符号 C，无论是否带有下标，来表示不依赖于网格尺寸 h 和参数 λ 的通用常数。表达式 a?b 表示 C1a≤b≤C2a。需要强调的是，C 的值可能因上下文而异。

章节摘录
谱问题的弱形式
设 x=(x,y)′∈Ω，其中 Ω?R2 代表具有光滑边界或凸多边形边界的有界域。Ω 的边界记为 Γ=?Ω，是 Lipschitz 连续的。域 Ω 填充着各向同性和线弹性材料。Γ 上的外单位法向量表示为 n=(n1,n2)。我们考虑以下弹性特征值问题：寻找一个非零实数 ω∈R 和一个非平凡函数 u∈H1(Ω)，使得 ?divσ(u)=0,inΩ,σ(u)n=ωpu,onΓ, 其中 u(x)=(u1(x),u2(x))

VEM 离散方案
本节的目标是构建 (4) 的无锁定 VEM 离散化，以保留连续格式的基本属性。我们首先回顾 [4] 中为 VEM 概述的网格构造和网格假设。随后，我们证明离散方案的可解唯一性。设 {Th}h 表示由多边形单元 K 组成的 Ω 的分解序列。对于具有 NK 条边或顶点的通用多边形单元 K，其顶点记为 {vi}i=1N

谱近似和误差估计
在第 3 节中建立了离散方案的适定性和离散解算子 T?h 的性质后，我们现在转向所提出的 VEM 方案 (16) 的收敛性分析。我们首先建立离散算子 T?h 的谱近似性质，然后推导特征函数的最优误差估计，最后提高特征值的收敛阶。

数值结果
在本节中，我们进行了一系列数值实验以验证理论结果并展示所提出方法的无锁定特性。数值实验的结果聚焦于在三个不同的二维域上近似方程 (1)–(2) 的前七个非零特征值：定义为单位正方形 ΩS=[0,1]2，L 形域 ΩL=[?1,1]2?(0,1]2，以及以 0 为中心半径为 1 的单位圆盘 ΩD。在所有数值实验中，我们设定 p≡

结论
基于 [9]，[22] 中的工作，本文提出了一种用于线弹性中 Lamé 算子 Steklov 特征值的无锁定 VEM 方案。利用 [22]，[23] 中的结果，我们证明了所提出的 VEM 方案在二维近不可压缩材料下具有收敛性和无锁定特性。本文中的数值实验验证了理论分析。当前工作仅关注二维情形，其中完整的理论框架

未引用参考文献
[35]，[36]

利益冲突声明
作者声明他们不知晓任何可能看似影响本文所呈现研究的竞争性财务利益或个人联系。
作者：Hao Li