意见耦合的竞争性流行病中的多稳态与有限时间灭绝

《Mathematical Biosciences》：Multistability and finite-time extinction in opinion-coupled competing epidemics

　　

摘要

本文研究了一种包含有限时间灭绝机制（FTEM）的耦合竞争流行病-意见模型。所提出的框架捕捉了流行病竞争与适应性意见演化之间的非线性交互，其中公众意见动态调节传播行为并重塑长期流行病结局。理论分析与数值模拟揭示，意见动力学显著影响系统的平衡结构与稳定性。当某种流行病具有更强的有效传播能力时，竞争的流行病可能在有限时间内被驱至灭绝，导致系统收敛到单流行病平衡。相反，在特定参数条件下，系统表现出双稳定性，且轨迹可能趋近于鞍点共存平衡，表现出对初始条件的强依赖。此外，有限时间灭绝指数的引入从根本上改变了低密度流行病的非线性竞争响应。较小的指数增强了竞争抑制并加速流行病消除，而较大的指数则有利于流行病持续存在。结果进一步表明，意见反馈可通过动态调节传播率来放大或削弱流行病竞争，导致多样的演化路径和多稳态行为。

引言

传染病长期以来对全球健康构成了严重挑战，造成大规模死亡和严重的经济破坏。从14世纪的黑死病到21世纪的COVID-19大流行，每次重大疫情都通过大量感染、数百万死亡以及持久的社会经济影响深刻塑造了人类社会[1], [2]。数学建模已成为流行病分析的重要工具，捕捉传播的关键决定因素——如接触模式、传播率和恢复率以及群体免疫水平——从而为有效的干预策略和公共卫生决策提供科学基础[3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]。

竞争理论为理解多个传播体之间的相互作用提供了基础。经典的Lotka-Volterra模型表明，竞争共享资源的种群可能表现出竞争排斥、共存或双稳定性，具体取决于种内和种间竞争相对强度的大小[10], [11], [12]。这一框架自然扩展到共同竞争易感人群的非共生病原体。早期研究考察了病毒毒株之间的竞争[13]，随后是基于网络的模型，纳入了显式接触结构和异质传播路径。这些研究表征了多层网络上竞争病毒的灭绝、占优和共存，并为连续时间双病毒系统建立了平衡与稳定性条件[14], [15], [16]。后续扩展纳入了额外机制，包括时变网络、变异、意识、疫苗接种和免疫力消退[17], [18]。最近的研究进一步考察了病毒竞争产生的共存平衡和缓解策略[19]。总体而言，这些研究证明传播特征、网络结构和初始条件在决定竞争传播过程的结局中发挥重要作用。然而，行为适应和意见反馈对竞争多病毒动力学的影响尚待深入研究。

平行研究方向强调了流行病动力学与人类行为、意识和意见形成之间的紧密耦合。早期研究表明，疫苗接种-意见聚类可显著影响疫情爆发风险[20]，随后出现了将行为响应系统性地纳入传染病传播的数学框架[21]。随后证实，多层网络上的意识传播会改变流行病阈值和流行率[22]。进一步的发展纳入了意见依赖的疫苗接种和双向意见-流行病反馈，揭示了诸如传播动力学改变、突变和双稳定性等现象[23], [24]。在COVID-19大流行期间及之后，越来越关注健康相关意见与流行病流行率之间的相互作用。研究考察了互斥健康意见之间的竞争、意见极化和适应性网络重连，表明意见反馈可产生多稳态、振荡行为以及流行病结局的显著变化[25], [26], [27]。关于谣言传播和媒体影响的相关研究进一步强调了信息环境在塑造集体态度和社会反应中的作用[28]。最近的网络研究证实，公众认知和意见驱动的行为适应可显著改变传播动力学[8], [29]。将这些发展扩展到竞争流行病系统，最近的研究将个体意见动力学与双病毒竞争耦合，并证明意见反馈可显著重塑竞争传播过程的结局[30], [31]。

尽管在竞争流行病建模和流行病-意见动力学两方面取得了巨大进展，有限时间灭绝在其耦合演化中的作用仍未被充分探索。有限时间灭绝机制（FTEM）早在近期应用于竞争流行病系统之前，就已在种群动力学中得到研究。早期研究表明，有限时间灭绝可能出现在奇异和非光滑种群模型中，包括捕食者-猎物和鱼类-浮游生物系统[32], [33]。后续工作建立了非光滑捕食者-猎物模型中猎物有限时间灭绝的充分条件[34]。最近，次线性有限时间灭绝机制被引入经典Lotka-Volterra竞争模型，证明有限时间灭绝可从根本上改变竞争排斥、诱导双稳定性并促进本来劣势竞争者的持续存在[35]。该框架为将FTEM纳入竞争传播系统提供了自然基础。相关有限时间灭绝现象也在流行病模型中得到研究，表明灭绝可在有限时间尺度上发生，而不仅仅是渐近灭绝[36], [37]。空间效应可能进一步丰富灭绝和竞争动力学。最近研究表明，非线性扩散、异质扩散和漂移可定性地改变生态和种群系统中灭绝阈值和竞争结局[38], [39]。然而，有限时间灭绝、空间扩散和意见反馈很少在竞争流行病系统中被共同考虑。特别是，这些机制如何相互作用以确定非对称灭绝、持续存在、双稳定性和竞争结局仍然是一个未被充分探索的问题。

基于上述观察，本文发展了一种包含FTEM的竞争流行病-意见模型，基于现有的双病毒意见框架[31]。通过引入次线性竞争项和意见依赖的传播率，所提出的模型捕捉了病毒竞争、有限时间灭绝和意见反馈在有符号社交网络上的耦合效应。我们分析了平衡的存在性和稳定性，表征了它们对意见状态的依赖，并推导了FTEM诱导灭绝的充分条件。特别关注FTEM指数和意见反馈在重塑竞争结局以及产生双稳定性和初始条件敏感性中的作用。数值模拟进一步验证了理论发现，并通过零线和相平面分析提供了几何洞察。本研究的主要贡献总结如下：

1）首先，开发了一种带有FTEM的竞争流行病-意见模型，揭示了非线性灭绝效应诱导的新型动力学现象。

2）其次，理论分析表明，平衡在意见变化时在有界区域内演化，凸显了意见反馈在塑造流行病竞争和传播模式中的关键作用。

3）第三，进行了广泛的数值模拟以验证理论结果并说明有限时间灭绝和意见动力学对竞争流行病长期结局的影响。

本文其余部分组织如下。第2节提出了带有FTEM的竞争流行病-意见模型并介绍了必要的预备知识。第3节研究了平衡结构并分析了有限时间灭绝对系统动力学的影响。第4节提供了数值模拟以验证理论发现。最后，第5节总结本文并讨论了潜在的未来研究方向。

符号说明

本文采用以下符号。对于任何正整数n，[n]={1,2,…,n}表示索引集，上标?表示矩阵转置。单位矩阵用I表示，而0和e分别表示所有元素为0和1的列向量，其维度由上下文确定。对于c,d∈?，?[c, d]n和Int[c,d]n分别表示n维立方体[c, d]n的边界和内部，sign(·)表示符号函数。

模型描述

本小节……

模型动力学分析

鉴于注1，以下动力学分析针对可行域内部的唯一经典解进行，直至首次灭绝时间。如果轨迹在有限时间内到达x1=0或x2=0，相应的灭绝状态此后作为吸收状态延续。

假设x1(0)≥0, x2(0)≥0且x1(0)+x2(0)≤1。定义可行流行病状态空间为D={(x1,x2)∈?2≥0: x1+x2≤1}。边界x1=0和x2=0分别满足?1=0和?2=0。对于模拟……

模拟

本节呈现数值模拟以说明主要结果。实验在如图1所示的十个节点的强连通有符号网络上进行。蓝色节点表示正初始意见，绿色节点表示负初始意见。网络包含正负边权：正权重表示合作性意见交互，负权重表示对抗性交互。边标签指示……

结论

本研究考察了一种带有FTEM的双病毒竞争-意见模型，证明了非线性灭绝效应和意见反馈可显著重塑竞争流行病动力学。分析表明，次线性竞争可能改变平衡结构并诱导有限时间灭绝，而意见依赖的传播使平衡和灭绝条件取决于集体意见。特别地，FTEM可导致双稳定性和强烈的初始条件敏感性。

未引用的引文缺失引用 表1、2、3和4。

数据可用性

支持本研究结果的数据可从通讯作者处合理请求获取。

CRediT作者贡献声明

胡林浦：撰写——初稿，软件。翟石东：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿。张振梅：撰写——初稿。

利益冲突声明

作者声明没有已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

胡林浦|翟石东|张振梅
重庆邮电大学自动化学院，中国重庆，400065