延迟的风险感知与模仿行为驱动疫情振荡与多稳态：一项数学建模研究

《Mathematical Biosciences》：Delayed Risk Perception and Imitative Behavior Drive Epidemic Oscillations and Multistability: A Mathematical Modeling Study

　　

摘要
本研究开发了一个将疾病传播与模仿动态耦合在一起的时滞微分方程模型。感知风险与历史流行率通过离散时间延迟τ相关联，以研究风险感知的延迟如何影响防护行为和疫情演化。理论分析表明，在没有时滞的情况下，系统收敛到四个平衡点之一。一旦τ超过临界阈值，Hopf分岔将诱导致周期振荡。进一步增加τ可能导致两种不同的动力学机制：要么有界周期解持续存在，要么系统经历反复的稳定性切换，平衡点与周期轨道交替稳定。在某些延迟条件下，多个稳定的周期解可能共存。数值模拟表明，风险感知的延迟关键性地决定了疫情轨迹：在短延迟情况下，即使在高传播风险下，及时的防护措施也能减轻疫情规模；在长延迟情况下，感染水平和采取防护措施的个体比例均表现出持续振荡。值得注意的是，在长时间延迟情景下，降低防护成本可能会放大疫情波动，导致短暂抑制后流行率的急剧反弹。因此，有效的公共卫生策略应同时降低防护成本并缩短延迟。

引言
纵观历史，传染病始终对人类健康构成重大挑战。个人和群体的行为在传染病的传播中起着关键作用[1]。一方面，疾病的传播会引发人们自发的行为变化[2]、[3]，例如采取戴口罩和减少聚集等防护措施。另一方面，这些行为适应又进一步影响疾病传播的轨迹，从而在行为与传染病传播之间形成动态的双向反馈机制[4]。在此过程中，从疾病传播开始到公众感知风险并随后改变行为，往往存在一定的时滞[5]。研究行为因素——特别是这种时滞效应对疾病传播的影响——具有重要的科学和实际意义。

一些研究引入了将媒体报道作为单独变量的室模型，以研究其对风险行为和疾病传播的影响[6]、[7]，这些模型通常忽略人际间信息传播及相关的模仿机制。其他研究开发了耦合模型来直接捕捉行为-疾病相互作用，通常采用演化博弈论[1]、[4]、[8]、[9]。例如，Bauch等人[10]提出了一种模仿动态模型，用以表征个体如何根据观察到的他人的疫苗接种行为及当前疫情的严重程度来调整自身的疫苗接种决策。Arefin等人[11]构建了一个疫苗接种博弈模型，将模仿更新规则与抱负更新规则耦合，揭示了个体疫苗接种决策受到社会学习和自我评估共同影响的机制。Ge和Wang[12]构建了一个包含强制接种和自愿接种的传染病疫苗接种博弈模型，其中自愿接种决策通过比较不同策略的预期收益博弈来完成。然而，这些研究主要考虑模仿动态，关注行为策略本身在社会网络中的传播，将其视为独立于疾病传播动态的社会过程。

一些研究进一步将模仿动态方程与传染病动态模型耦合，构建了行为与疾病的共演化系统。这类模型引入了描述某种行为比例的状态变量（例如，采取防护措施的群体比例x(t)），其变化由模仿过程和疾病传播共同驱动。Poletti等人[13]提出了一个在双时间尺度上整合行为模仿与SIR传播过程的模型，并用于检验自我防护行为如何塑造感染峰值、最终规模和疫情波形等疫情指标。Tang等人[14]开发了一个多尺度模型，将行为变化动态与COVID-19传播动态耦合，纳入行为变化的有效性等因素来探索导致多波疫情的反馈机制。Li等人[15]基于模仿过程建立了传染病传播与自发行为变化的耦合模型，其中明确考虑了感染风险感知和医疗资源的可获得性，以研究它们在塑造疫情动态中的作用。Sun等人[16]整合了传播和模仿动态，制定了一个将疫情传播动态与疫苗接种行为动态耦合的模型，并分析了感知风险和疫苗效力如何影响接种意愿及由此产生的感染模式。

与此同时，许多学者在研究行为与传染病的相互作用时纳入了时滞效应。例如，Poletti等人[13]引入了一个"指数衰减记忆机制"来表征风险感知的延迟，并将此机制纳入行为-流行病学模型中以检验记忆长度的作用。A. d'Onofrio等人[17]、[18]通过建立时滞微分方程模型，将记忆效应纳入疫苗接种行为模型中，并研究了信息延迟对疫苗接种动态的影响。然而，现有相关模型存在明显不足：一类通过构建常微分方程室模型间接表征延迟因素[13]；另一类虽然建立了时滞微分方程模型，但往往将分析局限于数值模拟[17]、[18]。因此，关于构建合理的时滞微分方程模型并基于时滞微分方程理论框架进行系统动力学分析的研究仍相对匮乏。鉴于行为-疾病耦合模型的结构复杂性和强非线性，时滞因素的引入将对动力学分析提出新挑战。研究时滞因素对行为-疾病耦合模型动力学行为的影响，并进行局部和全局分岔分析，具有重要的理论意义，构成本研究要解决的核心问题。深入分析时滞因素影响疾病传播模式和防控效果的机制，结合重要的现实意义和应用价值，构成本研究的另一关键任务。

本文结构安排如下：第2节详细说明模型建立。第3节给出初步结果，包括解的存在性、有界性及其可能的平衡点。第4节分析无时滞模型和时滞模型的平衡点稳定性，并研究时滞τ作为分岔参数引起的分岔现象。第5节通过数值模拟验证理论发现。最后，第6节以总结和讨论结束。

模型建立
本节首先介绍疾病传播动力学，随后建立纳入时滞的模仿动态以反映个体对感染风险的感知。然后将两个部分耦合，建立综合的疫情-行为系统。

首先，我们建立疾病传播的经典室模型，其结构如下。
dSn/dt = μSn - (βn + x(τ)(βa - βn))SnI - μSn
dSa/dt = μ(Sa + I) - (βn + x(τ)(βa - βn))SaI - μSa + rI
dI/dt = (βn + x(τ)(βa - βn))ISn + (βn + x(τ)(βa - βn))ISa - μI - rI
(模型1)

解的唯一性、非负性和有界性
在生物学假设下，系统(6)中所有参数均为正，我们首先建立解的存在唯一性。然后证明这些解的非负性和一致有界性。

定理1 给定初始条件(I(s), x(s))，s∈[-τ, 0]，其中0 ≤ I(s) < 1，x(s) ∈ [0, 1]，系统(6)具有唯一的解，且该解非负并一致有界。

证明 定义函数：
f1(I, x, Iτ) = (βn(1-x) + βa·x)(1-I)I - (μ+r)I
f2(I, x, Iτ) = (1-x)(μ+r)I/(1-I) + x(1-x)[(βn - βa)I + ω(m ...

稳定性和分岔分析
本节首先分析无时滞模型（在系统(6)中令τ=0）的动力学，检验其平衡点的局部和全局稳定性。然后转向时滞系统，以时滞τ作为分岔参数，研究平衡点稳定性、疾病持续存在性以及局部和全局Hopf分岔的发生。

数值模拟
本节的数值模拟分为两部分。我们首先验证解析结果并检验无时滞模型和时滞模型的动力学行为谱。随后评估关键参数对疾病动力学的影响。这些分析共同为设计疾病控制策略提供见解。

讨论与结论
本研究提出了一种新的时滞微分方程模型，将延迟的风险感知纳入行为-疾病相互作用中。与以往通过单独的室影响传播来建模媒体影响的方法不同[24]、[25]、[26]，我们的模型明确将采取防护措施的易感个体比例x(t)作为动态变量，由模仿动态和疾病传播驱动。这在疾病CRediT作者贡献声明
赵宇翔：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，验证，软件，方法学，调查，形式化分析。徐金虎：撰写—审阅与编辑，验证，软件，调查，资金获取。唐标：撰写—审阅与编辑，验证，方法学，资金获取。孙晓丹：撰写—审阅与编辑，验证，监督，项目管理，调查，资金获取，概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争经济利益或个人关系，这些关系可能已被认为影响本文所报告的工作。

赵宇翔 | 徐金虎 | 唐标 | 孙晓丹
西安交通大学数学与统计学院，西安，710049，中华人民共和国