非结构三角网格上精确高效 FE-DIC 的基于网格积分优化

《Optics & Laser Technology》：Mesh-based quadrature optimization for accurate and efficient FE-DIC on unstructured triangular meshes

　　

摘要

在采用非结构化三角形网格的基于有限元的数字图像相关 (FE-DIC) 中，基于图像的积分的准确评估对于稳健性和测量精度至关重要。本文研究了两种求值点生成策略，即基于像素的方法和基于网格的方法。

选取了具有规定位移场的虚拟实验和石膏的双断裂钻孔压缩 (DCDC) 测试作为基准，以评估这两种策略。基于网格的方法产生的运动学场和不确定性与基于像素的方法非常吻合，同时通过密度参数的受控欠采样提供了可测量的计算节省。此外，损伤感知正则化缓解了 DIC 问题的病态性，并在大幅欠采样下仍保持接近参考解。这些结果表明，当为所考虑的网格仔细选择采样密度时，基于网格的方法是一种针对非结构化网格的 FE-DIC 的有效替代方案。

引言

数字图像相关 (DIC) 是一种全场测量技术，已成为实验力学中最广泛使用的工具之一 [1]，[2]，[3]，[4]。它包括配准变形前后获取的数字图像对，并测量最能保持灰度守恒的位移场 [5]。由于其通用性、非接触特性以及能够在大型感兴趣区域提供位移和应变图的能力，DIC 的应用范围从材料表征 [4] 到断裂力学 [6]，再到工业测试 [7]。

过去几十年开发了两大系列的 DIC 算法。局部方法 [1]，[2]，[8]，[9]，[10] 将感兴趣区域分解为独立的测量窗口，每个窗口分别进行配准。相反，全局方法 [11]，[12]，[13] 利用选定的一组基函数对整个感兴趣区域的位移场进行参数化。在全局公式中，基于有限元的 DIC (FE-DIC) 已被证明特别具有吸引力，因为同一网格可用于测量和随后的数值模拟，从而实现了实验与模拟之间的无缝交互 [4]，[14]。FE-DIC 最初是使用与像素网格对齐的结构化四边形单元开发的 [11]，[12]，对于这种情况，像素和单元之间的映射是直接的。随后引入的非结构化三角形网格 [14]，[15] 大大扩展了 FE-DIC 的范围，允许网格符合复杂的试样几何形状或适应裂纹等局部特征 [16]。

FE-DIC 中的一个关键步骤是数值评估定义高斯 - 牛顿系统的海森矩阵和右端向量的积分。它们的被积函数包含由散斑图案控制空间内容的图像梯度。在实践中，连续积分被替换为有限求值点集上的加权和 [17]。对于结构化四边形网格，自然的选择是使用每个单元内的所有像素中心作为具有单位权重的求值点，因为像素和单元共享相同的直线网格。然而，对于非结构化三角形网格，单元边界通常不与像素网格对齐，需要额外处理将像素分配给单元。

T3 FE-DIC 的经典途径，在本工作中称为基于像素的方法，通常在计算过程中需要验证每个像素中心是否位于每个单元内。尽管概念简单，但该策略存在有据可查的局限性 [15]，即，离散像素对单元边界的锯齿状近似引入了几何不一致性（像素面积之和不等于真实单元面积），边界像素可能会被重复计算或遗漏，并且点 - 三角形测试本身就施加了随图像定义而增加的计算开销。Pierré et al. [15] 针对 2D-DIC 提出的另一种途径，也用于全局立体相关 [18]，[19]，[20]，[21]，是在每个有限元的物理（或参数）坐标系中直接建立积分公式。在这个基于网格的框架中，求值点在构造过程中生成于每个单元内，从而避免了繁琐的成员资格验证步骤。

本文采用基于网格的策略用于使用非结构化 T3 网格的 2D FE-DIC，旨在提供基于像素和基于网格方法之间的系统性性能比较。使用全等细分方案在参考三角形中生成均匀分布的求值点，然后通过等参变换将它们映射到每个物理单元。使用标量密度参数来控制每个单元的求值点数量，从而调整数值积分保真度与计算成本之间的权衡。

基于 Pierré et al. [15] 引入的基于网格的数值积分框架，本工作的具体贡献有三点：

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  首先，在空间变化的运动学下，从位移误差、先验和后验不确定性、灰度残差、几何一致性和测量计算时间方面系统评估了基于像素和基于网格方法的性能。隔离了数值积分权重、求值点放置和样条插值各自的影响。
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  其次，表征了不同网格尺寸和纹理尺度范围内求值点密度的影响。
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  第三，评估了局部细化 DCDC 网格上损伤感知正则化下求值点密度的效应。分析涵盖了正则化长度选择、L 形曲线构建时间以及位移场和裂纹张开位移场的变化。

本文的组织结构如下。第 2 节回顾了 FE-DIC 公式，并介绍了两种求值点生成策略，以及机械正则化的实现作为提高性能的额外步骤。第 3 节报告了一个基准案例，用于在受控条件下量化两种方法的性能（即偏差、不确定性、灰度残差和计算时间）。第 4 节展示了石膏的双断裂钻孔压缩测试，证明了在局部细化网格上结合机械正则化时基于网格方案的优势。

章节片段

公式推导

本节首先回顾了 FE-DIC 框架，强调了高斯 - 牛顿方案以及依赖于求值点的连续积分。然后介绍了用于近似这些积分的数值积分，并引入了基于像素和基于网格的方法。数值积分权重在不确定性量化中的作用激发了此后采用的加权基于网格公式。最后，引入机械正则化作为一种互补的运动学

虚拟实验

设计了一个具有规定位移场的合成实验，作为区分性基准，以在受控条件下量化两种 FE-DIC 方法（基于像素和基于网格）的偏差和不确定性。整体配置总结于图 3 中。参考图像取自 DIC Challenge 的样本 14 [34]。用于 DIC 分析的裁剪 8 位参考图像尺寸为 $2044\times 585$ 像素，观察到的动态范围为 6–255 灰度级（即 $\mathrm{\Delta }f=$

石膏的双断裂钻孔压缩测试

如第 3 节所述，虚拟实验是在没有机械正则化的情况下进行的，以隔离求值点密度对 FE-DIC 性能的影响。在实践中，使用精细网格的 FE-DIC 分析通常采用机械正则化来稳定测量 [4]。用于裂纹案例的网格通常在局部进行细化，因此单个网格内的单元尺寸变化很大 [16]。为了研究求值点密度如何与机械

结论

基于 Pierré et al. [15] 的基于网格的数值积分框架，本研究评估了求值点密度对非结构化三角形网格 FE-DIC 性能的影响。求值点是通过参考三角形的全等细分生成的，并通过等参变换映射到每个物理单元。密度参数 $\delta$ 用于控制每个单元的点数量，从而调整数值积分保真度与

CRediT 作者贡献声明

Yuanhang Chen：撰写 - 初稿，软件，方法论，研究，数据整理。 Lingtao Mao：撰写 - 审查与编辑，监督，资源，项目管理，资金获取。 Yutong Hao：数据整理。 Chongyi Guo：软件，数据整理。 Fran?ois Hild：撰写 - 审查与编辑，验证，监督。 Xuyang Chang：撰写 - 审查与编辑，监督。

利益冲突声明

作者声明没有已知的竞争经济利益或个人关系可能会影响本文中报告的工作。

致谢

本工作得到了深地探测与矿产资源勘探 - 国家科技重大项目 (2024ZD1003904)，中央高校基本科研业务费 (FRF-BRA-26-007) 和 国家重点研发计划 (2025YFE0109800) 的资助。

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