一种基于逆变换的用于分析偏斜和非单调数据的新颖灵活模型

《Neurocomputing》：A novel flexible model for analyzing skewed and non-monotonic data based on inverse transformation

　　

**摘要**

近年来，分布理论的进展凸显了经典模型在拟合复杂现实数据集方面的局限性，尤其是那些表现出非单调失效率、重尾或偏态行为的数据集。为应对这些挑战，本研究提出了一种新颖的概率模型——逆幂拉姆伯特均匀分布（IPLUD），该模型通过对幂拉姆伯特均匀分布（PLUD）进行逆变换推导而来。IPLUD旨在为建模多样化数据模式提供更强的灵活性，包括递减型和倒浴盆型失效率函数。本文建立了IPLUD的基本统计性质，包括其概率密度函数、累积分布函数、矩、不完全矩、调和均值、分位数函数和顺序统计量。本文对参数估计方法进行了全面评估，包括最大似然估计、最小二乘法、加权最小二乘法和Anderson-Darling估计法，并通过蒙特卡罗模拟评估估计性能。通过三个实际数据集的应用，展示了IPLUD的实用性，并将其拟合效果与已建立的模型（如新加权Lindley分布、逆Lindley分布、逆指数分布和逆Gamma分布）进行了比较。IPLUD为生存分析、可靠性工程和环境科学等领域的应用提供了一个额外的模型选择。

**引言**

近年来，在工程、金融、精算科学和医学研究等多个领域中，由于现实数据集复杂性的不断增加，分布理论取得了重大进展。Weibull、指数和Gamma等经典分布在拟合表现出非单调失效率、重尾或偏态行为的数据时，往往无法提供足够好的拟合效果。这一挑战促使研究人员探索对现有模型进行修改和扩展，以开发更灵活的概率分布。

已提出了多种构建新概率分布的方法，包括变换方法、生成器族、复合方法和参数修改技术等。例如，幂变换、指数化族、传输族、Marshall-Olkin族、Beta-G族、Kumaraswamy-G族、Topp-Leone族以及逆变换等。在这些方法中，逆变换因不引入额外模型参数而便于应用，同时也提供了一种灵活的方式来生成具有不同分布和失效率特征的新分布。因此，逆变换在寿命分布的开发中被广泛应用于生存分析和可靠性研究。最近的例子包括逆Kumaraswamy分布[1]、逆Nakagami-m分布[25]、逆Gompertz分布[13]、逆Topp-Leone分布[18]、逆Sushila分布[3]、逆幂对数指数分布[6]、逆幂Maxwell分布[5]、逆幂Muth分布[11]、逆Xgamma分布[30]、逆epsilon分布[21]、逆xLindley分布[10]、逆Hamza分布[14]、倒置Gompertz-Fréchet分布[4]、逆幂Cauchy分布[17]、逆Unit Teissier分布[7]、逆幂修正Chris-Jerry分布[9]、逆幂Perk分布[19]、逆两参数Lindley分布[28]、逆幂Zeghdoudi分布[12]、逆幂xLindley分布[16]以及逆Monsef分布[26]，这些分布均已被成功应用于生存分析、可靠性工程和环境科学等多个领域。

除了逆寿命分布外，基于拉姆伯特的分布也已被提出用于建模单位数据。拉姆伯特均匀分布（LUD）由文献[20]引入，用于观测单位区间上的数据，随后由Gemeay等人[15]通过幂变换将其扩展为幂拉姆伯特均匀分布（PLUD）。PLUD为单位数据提供了一个简单且灵活的模型，具有不同的密度和失效率形状。然而，与LUD类似，PLUD定义在单位区间上，因此无法直接应用于寿命数据。尽管已提出了许多逆寿命分布，但没有单一模型能为每一个正数据集提供足够的拟合效果。这促使我们构建逆幂拉姆伯特均匀分布（IPLUD），将PLUD的支撑从单位区间扩展到正实数域。因此，所提出的IPLUD扩展了PLUD的应用范围，并为分析正寿命和可靠性数据提供了额外的逆寿命模型。

基于这一动机，本文引入了逆幂拉姆伯特均匀分布（IPLUD）。该模型保持了简单的数学结构，使得其若干统计性质可以以封闭形式推导。其实际效用通过模拟研究和对实际数据集的应用得到了验证。

**动机与贡献**

尽管现有大量寿命分布模型，但没有单一模型适用于每一类正数据集。本研究引入IPLUD作为正数据的额外逆寿命模型，具有以下贡献：

- 本研究建立了IPLUD的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF），以及矩、不完全矩、调和均值、分位数函数和顺序统计量等基本统计性质。
- 通过IPLUD对具有不同失效率函数（包括递减型和倒浴盆型失效率）的数据集进行建模的能力，展示了其灵活性。
- 对估计方法进行了全面评估，采用了最大似然估计（MLE）、最小二乘法（LS）、加权最小二乘法和Anderson-Darling估计等方法。
- 进行了蒙特卡罗模拟，以评估参数估计方法的效率和稳健性，确保所提模型的可靠性。
- 通过使用三个实际数据集，展示了IPLUD的实际适用性，并将其与已建立的寿命模型（如新加权Lindley分布、逆Lindley分布、逆指数分布和逆Gamma分布）的性能进行了比较。

通过对幂拉姆伯特均匀分布应用逆变换，本研究将PLUD的应用从单位数据扩展到寿命数据。所提出的IPLUD提供了一个具有有用数学性质的额外逆寿命模型，用于分析寿命和可靠性数据。

本文结构如下：第2节介绍所提模型的构建及其可靠性度量。第3节详细阐述IPLUD模型的统计性质。第4节介绍用于估计IPLUD参数的方法，随后第5节进行详细的模拟研究，评估模型在各种场景下的性能。第6节展示了所提模型的实际适用性。最后，第7节给出结论。

**模型构建**

Gemeay等人[15]对拉姆伯特均匀分布（LUD）应用幂变换，获得了幂拉姆伯特均匀分布（PLUD）。PLUD的累积分布函数和概率密度函数分别由下式给出：

其中α和β为形状参数。

由于PLUD定义在单位区间上，其应用仅限于有界数据。为了将其扩展到寿命数据，应用了逆变换。这将支撑变为正实数域，同时保持了数学上的可处理性。所得到的分布为：

**统计性质**

本节讨论所提模型的统计性质。

**估计方法**

采用各种统计估计技术来确定IPLUD的参数。最大似然估计因其统计性质（包括渐近有效性和一致性）而脱颖而出。该方法通过优化对数似然函数，从观测数据中获得最佳参数估计。

普通最小二乘法（OLS）和加权最小二乘法（WLS）估计器通过最小化拟合累积概率与期望累积概率之间的差异来进行估计，具体是在顺序统计量点上计算。

**数值模拟**

本节考察了第4节中讨论的各种估计方法的有效性。我们利用所建议的模型生成随机数据集，然后应用这些估计方法获得指定的模型估计量。本研究使用六个不同的指标来评估估计方法的性能，如下所示：

1. 绝对偏差的平均值（BIAS），计算公式为：。
2. 均方误差（MSE），计算公式为：。
3. 平均……

**实际数据分析**

在本部分工作中，我们通过三个实际数据集来评估IPLUD的有效性。为展示该分布的多样性和能力，我们与几种已建立的概率分布进行了比较分析，包括新加权Lindley分布[8]（NWLD）、逆Lindley分布[29]（ILD）、逆指数分布[24]（IED）和逆Gamma分布[23]（IGD）。这些分布均……

**结论**

本研究引入了逆幂拉姆伯特均匀分布（IPLUD），这是一种新颖且灵活的概率模型，旨在解决经典分布在拟合复杂数据集方面的局限性。通过利用逆变换技术，IPLUD在建模各种失效率形状方面表现出显著的适应性，包括递减型和倒浴盆型模式。其基本统计性质的推导，如PDF、CDF、矩等……

**CRediT作者贡献声明**

Ibrahim Hassan Alkhairy：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、形式分析、数据整理、概念构思。

Hassan Alsuhabi：撰写——初稿、方法论、调查、形式分析、概念构思。

Sule Omeiza Bashiru：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、方法论、形式分析、数据整理、概念构思。

Sid Ahmed Benchiha：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、验证、形式分析、概念构思。

**资金支持**

本研究由沙特阿拉伯乌姆古拉大学资助，基金编号：26UQU4300011GSSR07。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的可能影响本文报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

**致谢**

作者感谢沙特阿拉伯乌姆古拉大学通过基金编号26UQU4300011GSSR07对本研究工作的资金支持。

Sule Omeiza Bashiru目前是尼日利亚科吉州奥萨拉交汇科技大学理学院统计系的讲师。其研究领域包括概率分布和广义族的开发、参数估计以及在寿命数据和有界数据中的应用。

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