基于离散小波变换（DWT）的回归控制图：预测值与残差的多分辨率过程监测

《Journal of Probability and Statistics》：Wavelet-Assisted Regression Control Charts for Monitoring Predictions and Residuals

　　

本研究提出一种基于多分辨率小波的框架，以提高基于回归的质量控制系统的过程监测性能。所提方法将离散小波变换（DWT）与回归控制图整合，通过将拟合值和残差序列分解为近似系数（approximation coefficients，A）和细节系数（detail coefficients，D），从而能够同时监测全局过程行为和局部变化。一项独立敏感性分析比较了Daubechies阶数db4、db8、db11、db20和db41在分解水平（Decomposition Levels）1和2下的表现。在适用于全部模拟样本量范围的配置中，Level 1的db11获得最高平均检测概率（POD），并被保留用于主要模拟；基于另一项开发子集比较，Level 1的db41被保留用于真实数据示例。所提框架的性能通过在不同样本量、噪声水平和过程偏移幅度下开展的模拟实验进行评估。评估基于检测概率（POD）、虚警概率（FAP）和条件平均检测延迟（CAD）。结果表明，与经典回归控制图相比，基于小波的控制图通常产生更窄的控制限、更高的检测概率、更低的虚警概率和更短的检测延迟，尤其对于小过程偏移。还展示了一个使用血细胞比容（HCT）和平均红细胞体积（MCV）对血红蛋白（HGB）进行回归建模的真实数据应用。在该应用中，小波近似残差图检测到三个失控观测，而经典残差图和小波细节残差图各检测到两个。这些发现表明，多分辨率小波分析能够增强基于回归的监测方案的敏感性，并为检测全局和局部过程变化提供有用的统计框架。

研究背景与问题。统计过程控制（SPC）中的控制图用于监测过程稳定性和识别异常变异。经典Shewhart控制图简单易解释，但对小幅度、渐进性或局部变化不敏感，尤其当监测对象为多元线性回归（MLR）模型中的预测值和残差时。传统回归控制图多基于正态性和全局过程偏移假设，难以识别局部或短暂变化；小波分析可将信号分解为不同分辨率，分离全局结构与局部波动和噪声，但将离散小波分解同时用于回归拟合值和残差并构建控制图的研究尚不充分。为此，研究人员提出并评估将DWT与回归控制图结合的多分辨率监测框架，以同时监测全局过程行为和局部变化，并检验其相对于经典回归控制图的检测性能。其意义在于为基于回归的SPC提供对小幅和局部变化更敏感的统计监测工具。

关键技术方法（≤250字）：研究人员以普通最小二乘法（OLS）估计MLR模型并获得拟合值与残差，用DWT将其分解为近似系数（A）和细节系数（D），经对称边界延拓映射回原观测网格，以三西格玛（3σ）控制限构建经典图及A_?、A_e、D_?、D_e图。独立比较Daubechies小波db4、db8、db11、db20、db41在Level 1和Level 2下的配置；以Monte Carlo模拟在n=30、80、200，p=3、4及不同噪声水平下开展Phase I控制限构建和Phase II独立偏移检测，每配置重复1000次，用POD、FAP、CAD评价。真实数据为Baghdad的Al Zahra Hospital 118例血液检测记录，前80例为开发子集用于小波阶数选择。

2. 经典回归控制图。研究人员基于MLR的OLS估计得到拟合值和残差，按三西格玛法建立经典拟合值图（C_? Chart）和经典残差图（C_e Chart），并先检查线性、独立性、正态性、同方差性和多重共线性等回归诊断；诊断结果支持后续建图。结论是经典图可作为比较基准，但其假设和灵敏度限制仍是问题。

3. 提出的控制图。通过DWT对拟合值和残差分别分解，构建近似拟合值图（A_?）、近似残差图（A_e）、细节拟合值图（D_?）和细节残差图（D_e）；主结果采用Level 1单级分解，Level 2仅用于敏感性/消融分析，对称边界延拓使报警可关联原始序列局部区域。结论是小波域控制图能同时刻画低频率过程结构和局部高频偏离。

3.1 理论依据。将监测信号表示为系统成分与随机噪声之和，利用正交DWT的近似与细节分解及Parseval定理说明近似系数方差小于原始序列，因此近似小波图控制限更窄；细节系数突出局部异常和短暂扰动。结论是σ_A<σ_X可解释近似图对小而渐进变化更敏感，而细节图有助于检测突变和离群点。

4. 模拟研究。通过Monte Carlo在受控条件下比较经典与所提控制图，将建模（Phase I）与监测（Phase II）分离以避免性能高估。结论需由以下子节分别说明。

4.1 模拟设计。考虑p=3和p=4的MLR，预测变量X_j~N(0,1)，误差ε~N(0,σ²)，设置低噪声（基线误差标准差的一半）和高噪声（基线误差标准差的两倍），n=30、80、200，每个配置独立重复1000次；Phase II在监测序列第51个观测后引入持续偏移，偏移量为0.5σ、1.0σ和1.5σ。结论是该设计可系统评估样本量、模型复杂度和噪声对控制限及检测性能的影响。

4.1.1 小波配置选择与敏感性/消融分析。用独立Monte Carlo流筛选db4、db8、db11、db20、db41在Level 1和Level 2下的配置；合格规则包括Level 1、滤波器长度不超过30、n=30时至少保留10个有效尺度位置、开发阶段平均FAP相对经典基准不超过0.02。db4-L1、db8-L1、db11-L1合格；db11-L1开发阶段平均POD最高（0.7188），较经典基准（0.6163）提高0.1025，CAD缩短1.4989个观测，故在最终Phase II验证前冻结。最终独立验证中，经典基准FAP=0.1665、POD=0.6122、CAD=19.4712；db11-L1的POD=0.7288、FAP=0.1565、CAD=17.8786。Level 2虽通常POD更高、CAD更短，但n=30时仅保留7个有效尺度位置（Level 1为15个），低于预设的10个最低要求，故作为消融；db20和db41滤波器长度分别为40和82，超过最小模拟样本量，作为敏感性检查。结论是性能改善不局限于单一任意选择的小波配置。

4.2 Phase I：经典与小波控制图构建。在稳定过程下生成数据，以OLS估计模型，构建经典C_?、C_e图及小波A_?、A_e、D_?、D_e图，并以三西格玛法计算控制限；汇总不同p、n和噪声水平下1000次重复的平均控制限参数。结论是在所有样本量和噪声水平下，小波辅助图的控制限均较经典图更窄，近似图最窄，细节图居中；但更窄控制限本身不证明检测性能更好，需Phase II独立评价。

4.3 Phase II：偏移检测性能。将Phase I控制限应用于独立Phase II观测，考虑预测变量均值偏移和残差均值持续偏移，偏移大小为0.5σ、1.0σ、1.5σ，以FAP、POD和CAD评价。结果显示，近似图在保持与经典图相当或略低FAP的同时通常获得更高POD和更短CAD；例如预测变量均值偏移1.0σ时，POD由经典图的0.563升至近似图的0.733，CAD由22.659降至20.164；偏移1.5σ时POD由0.872升至0.973，CAD由16.499降至11.888。残差均值偏移1.0σ时，近似残差图POD由0.714升至0.859，CAD由19.839降至16.918；1.5σ时POD达0.996且CAD最短。细节图也优于经典图但POD略低于近似图。结论是所提小波辅助回归控制图在无额外虚警增加下，能更易且更快检测持续过程变化，近似图尤其适合持续偏移。

5. 真实数据。数据来自Baghdad的Al Zahra Hospital 118例血液检测记录，因变量为血红蛋白（HGB）百分比，预测变量为血细胞比容（HCT）和平均红细胞体积（MCV）；HGB均值11.3881%、标准差2.50088%，HCT均值36.9508%、标准差5.88360%，MCV均值81.9475 fL、标准差7.56540 fL。用前80例作为开发子集比较Level 1候选的小波阶数，按拟合值和残差近似成分三西格玛控制限宽度的平均百分比缩减选择，db41得分29.79%、db11为28.98%、db4为28.70%、db8为28.19%、db20为27.60%，故固定db41-L1用于示例。MLR模型R=0.897、R²=0.804、调整R²=0.801，估计标准误1.11648，Durbin–Watson=2.026；方差分析（ANOVA）F=236.021（p=0.000）。HCT系数B=0.359、SE=0.018、t=19.476（p<0.001）、β=0.844；MCV系数B=0.046、SE=0.014、t=3.210（p=0.002）、β=0.139；容忍度0.906、方差膨胀因子（VIF）=1.103。Shapiro–Wilk W=0.987（p=0.183），Breusch–Pagan BP=1.43（p=0.490），线性、二次、三次模型比较中线性模型的赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）最小。病例诊断发现病例4标准化残差?5.295（HGB=3.80，预测值=9.7123，残差=?5.9123）和病例75标准化残差?8.318（HGB=1.20，预测值=10.4871，残差=?9.2871），提示潜在离群点。小波分解显示近似成分平滑、细节成分集中于0并含局部偏离；拟合值控制图未检出失控点，而残差图检出失控点，近似小波（AW）残差图检出3个失控观测，经典残差图和细节小波（DW）残差图各检出2个；AW拟合值控制限宽度为8.785、DW为7.873，经典为11.567，AW残差控制限宽度为4.705。结论是AW残差图对局部异常更敏感，真实数据支持小波辅助监测的增益。

讨论与结论总结。原文未单列讨论章节；其结论强调所提方法通过更窄控制限和更早失控信号改善回归过程监测，真实数据中AW残差图检测到更多失控观测，同时识别出潜在离群点，提示监测前需关注异常值对模型估计和监测效果的影响。研究结论部分可翻译概括如下：1）模拟结果表明，将小波分析用于回归控制图可通过缩窄控制限并较传统回归控制图更早识别失控信号来改善过程监测性能。2）在满足所有模拟样本量下合格要求的Level-1配置中，db11-L1获得最高开发阶段平均POD（0.7188），并在独立验证中保持最高平均POD（0.7288），经典基准为0.6122；其最终平均FAP为0.1565，经典图为0.1665，CAD由19.4712个观测降至17.8786个观测；附加的阶数和水平敏感性分析显示，监测改善不限于单一小波规格。3）在MLR模型中，HGB与两个预测变量强相关，多元相关系数R=0.897，决定系数R²=0.804；因此HCT和MCV解释了血红蛋白80.4%的变异性，表明在所分析样本中具有统计学上的强关联。4）HCT和MCV均为HGB的统计学显著预测变量，其中HCT（β=0.844）的影响明显强于MCV（β=0.139）；该发现突出HCT在血常规分析血红蛋白预测中的主导贡献。5）残差分析识别出两个绝对标准化残差较大的观测，提示潜在离群点，应进一步调查，因为它们可能影响模型估计和监测程序的有效性。6）AW控制图比经典和DW控制图对监测更敏感，提供更窄的控制范围，使研究人员能够检测过程变化和局部变异，尤其是在残差中。7）在残差监测阶段，AW控制图检出的失控观测多于经典和DW控制图，表明其在检测标准监测技术可能漏检的细微过程偏差方面具有优势。8）真实数据应用显示，AW残差控制图检出3个失控观测，而经典残差控制图和DW残差控制图各检出2个；这些发现进一步证实所提小波监测方法具有更高的敏感性和诊断能力。