基于 Caputo 分数阶的结核病传播模型：记忆效应分析与参数验证

《Scientific Reports》：Caputo fractional-order differential equations for tuberculosis transmission and relapse dynamics with empirical validation

　　

摘要

自2015年以来，结核病（TB）的死亡率仅下降了23%，远低于世界卫生组织（WHO）设定的结核病消除战略目标。传统的整数阶模型基于马尔可夫假设，无法充分捕捉结核病传播的“记忆效应”——即疾病的进展取决于患者的累积感染史。我们在SELIT框架下建立了Caputo分数阶微分方程模型，该模型考虑了两个阶段的潜伏期、从治疗状态直接复发为传染状态的过程以及免疫力的下降，其中分数阶参数α用于表征这种“记忆效应”。我们证明了模型解的存在性和有界性，通过下一代矩阵计算了基本再生数\(\:{R}_{0}\)，并利用李雅普诺夫（Lyapunov）和沃尔泰拉（Volterra）型函数证明了系统平衡状态的全局渐近稳定性。敏感性分析和分岔研究表明，当复发率超过某一临界阈值时，系统会出现向后分岔，导致\(\:{R}_{0}<\)1时系统呈现双稳态；因此，仅仅满足\(\:{R}_{0}<\:\)1并不足以实现结核病的消除。该模型利用埃塞俄比亚（2005–2020年）的监测数据进行了校准和验证，得到的参数为α = 0.914（95%置信区间：0.882–0.941），基本再生数\(\:{R}_{0}\) = 1.67。与传统整数阶模型相比，分数阶模型将验证误差降低了54.7%（ΔAIC = 22.4），为结核病传播中的“记忆效应”提供了实证支持，并为消除结核病的规划提供了坚实的理论基础。