基于可容恒等式的局部双参数三次埃尔米特型插值族构造及其在翼型几何重建中的应用

《Scientific Reports》：A conformable-inspired two-parameter regularized Hermite curve family for airfoil geometry modeling

　　

摘要

我们提出了一种局部双参数三次埃尔米特型插值族，其动机源于可容恒等式 \(T_\alpha f(t)=t^{1-\alpha }f'(t)\) 以及幂律变量替换 \(s=t^\alpha \)。对于可微函数，可容算子是局部的，并且在因子 \(\alpha \) 的范围内对应于关于s的普通导数；因此，所提出的构造不应被解释为非局部分数模型。参数 \(\alpha \in (0,1]\) 和 \(\varepsilon >0\) 分别作为幂律切线缩放参数和偏移端点约束/不对称参数发挥作用。该构造产生了显式基函数，能够插值端点控制点，保持仿射不变性，并在重参数化 \(s=t^\alpha \) 下满足正则化可容切线匹配条件。然而，在 \(t=\varepsilon \) 处施加的偏移切线约束并不能保证在实际节点处具有经典的 \(C^1\) 或几何 \(G^1\) 连续性。因此，逐节点连续性通过基于经典导数跳跃、切线角度和曲率的诊断方法进行评估。极限行为的特征是区分为固定参数极限和耦合极限。在 \(\varepsilon \rightarrow 0^+\) 时，耦合条件 \((1-\alpha (\varepsilon ))\log (1/\varepsilon )\rightarrow 0\) 下可获得经典三次埃尔米特恢复。相比之下，对于固定的 \(0<\alpha <1\)，除非对应的切线数据被适当重归一化，否则初始切线基在 \(\varepsilon \rightarrow 0^+\) 时发散；在此区域内，相应的系数系统也变成病态的。因此，本文不声称当 \(\varepsilon \rightarrow 0^+\) 时能无条件恢复经典埃尔米特结构。正则化引起的对称性丧失被量化，并被解释为偏差型形状效应。此外，对于固定的可接受参数，建立了统一的一阶一致性估计，包括第一个网格区间，但不断言无条件的 \(h^{2\alpha }\) 收敛率。基于该理论构建，我们开发了一个综合计算框架，以在翼型几何重建中评估所提出的模型。尽管可容埃尔米特构造引入了额外的局部形状灵活性，但实验观察表明，在未进行参数调优的情况下，它并不始终优于经典埃尔米特插值。为了有效利用这种灵活性，所提出的插值族与改进海星优化算法（ISFOA）相结合，该算法能够自适应地为每种翼型几何识别合适的 \((\alpha ,\varepsilon )\) 值。所提出的框架在11个不同的翼型剖面上进行评估，通过初始的比较（与三次样条、经典埃尔米特和贝塞尔插值）以及扩展的等控制点预算比较（包括形状参数埃尔米特、TCB/Kochanek–Bartels、有理三次埃尔米特、三角埃尔米特、三次B样条、CST、PARSEC和自然三次样条构造）进行评价。在初始有限比较中，优化辅助的可容埃尔米特框架在所采用的实验方案下，实现了比三次样条、经典埃尔米特和贝塞尔插值更低的重建误差。具体而言，其平均RMSE为0.270314，而三次样条为0.420562，贝塞尔插值为0.421578，经典埃尔米特插值为0.423351。然而，更广范围的等预算比较表明，几种既定的形状表达方法实现了显著更低的重建误差，表明所提出的框架不应被解释为在重建精度上普遍优越。此外，所提出的框架保持了经典埃尔米特插值的局部可控性，同时以更少的控制点提供了高效的形状表达。定量的逐节点诊断确认，经典的 \(C^1\) 和几何 \(G^1\) 连续性并不能普遍保证，而条件分析显示，优化的参数对仍保持在所研究参数域中条件适中的区域。此外，使用互补对称的豪斯多夫距离和Chamfer距离来量化最坏情况和平均的双向几何差异，且无需一对一的点对应。受控的网格细化实验进一步得出了观测收敛阶趋近于1的结果，这与理论上确立的一阶一致性相符。数值结果被解释为对自适应参数识别在局部形状族中所具备的能力与局限性的表征，而非普遍重建优越性、非局部分数效应或空气动力学等效性的证据。因此，ISFOA阶段仅作为参数选择机制，而主要的科学贡献在于正则化可容埃尔米特型插值族的构造与理论分析。