《Viruses》：Mathematical Analysis and Optimal Control Investigation of Lumpy Skin Disease Transmission with Heterogeneous Host Susceptibility
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摘要：牛结节性皮肤病（Lumpy Skin Disease, LSD）仍是畜牧业和养牛业面临的重大挑战，尽管已有疾病管理策略，但仍造成巨大的经济损失和不良健康影响。本研究构建了一个包含两类易感牛群的非线性数学模型，以探究不同易感性在LSD传播中的作用。研究人员
摘要：牛结节性皮肤病（Lumpy Skin Disease, LSD）仍是畜牧业和养牛业面临的重大挑战，尽管已有疾病管理策略，但仍造成巨大的经济损失和不良健康影响。本研究构建了一个包含两类易感牛群的非线性数学模型，以探究不同易感性在LSD传播中的作用。研究人员进行了严格的数学分析，以确立所提出模型的基本性质，推导基本再生数（basic reproduction number, R?），确定无LSD平衡点和LSD持续存在平衡点，研究其局部稳定性，并利用Lyapunov函数理论建立全局稳定性。研究人员开发了一种保持结构的非标准有限差分（Nonstandard Finite Difference, NSFD）格式，以验证解析结果，同时保留连续模型的基本性质。数值模拟研究了疫苗接种、养殖户意识和治疗措施的个体效应，证明了它们降低疾病传播的潜力。此外，敏感性和数值分岔分析识别了影响疾病动态的关键参数，并揭示了与传播过程中定性变化相关的临界阈值。研究人员构建了一个包含时间依赖性干预措施的最优控制问题，以确定降低感染率和干预成本的经济有效策略。本研究的主要贡献在于整合了双易感建模框架、一种保持结构的数值格式和最优控制分析，为理解LSD传播和制定有效的疾病管理策略提供了一套全面的数学方法。
研究背景、现存问题与研究动机
牛结节性皮肤病（Lumpy Skin Disease, LSD）由牛结节性皮肤病病毒（Lumpy Skin Disease Virus, LSDV）引起，主要通过节肢动物媒介进行机械传播，对全球养牛业构成严重威胁。该病虽致死率较低（1%-10%），但发病率较高（10%-45%），可导致牛皮损伤、产奶量下降等巨大经济损失。自1929年在赞比亚首次被确认为严重疫情后，LSD已蔓延至中东、欧洲和亚洲超过70个国家，包括中国、印度、泰国、韩国和日本等。尽管现有管理策略如疫苗免疫、对症治疗和生物安全措施已被应用，但由于牛群间存在显著的易感性差异（例如，瘤牛Bos indicus抵抗力较强，而普通牛Bos taurus高度易感），传统的均质化模型难以精确刻画疾病传播动态。此外，恒定控制措施在实际应用中往往面临资源分配和成本效益的挑战。因此，亟需开发一个能够反映宿主异质性、并能评估动态优化干预策略的综合数学模型，以更有效地指导LSD防控决策。
研究内容、结论与意义
研究人员构建了一个新颖的双易感群体（bi-susceptible）SEITR（易感-接种-暴露-感染-治疗-康复）模型，将牛群分为低易感（S?）和高易感（S?）两个群体，并分别引入相应的疫苗接种舱室（V?和V?）。通过对模型进行严谨的数学分析，研究人员推导出了基本再生数（basic reproduction number, R?），并证明了无病平衡点在R?<1时全局渐近稳定，地方病平衡点在R?>1时全局渐近稳定。数值模拟表明，提高治疗率、针对两个易感群体的疫苗接种率以及提升养殖户意识水平，均能显著减少暴露和感染牛群数量，并确定了使R?降至1以下所需的关键阈值（例如，对高易感群体至少70%的疫苗接种率）。敏感性分析发现，高易感群体的传播率β?是对R?影响最大的正向参数，而治疗率τ和恢复率γ则是最有效的负向参数。在此基础上，研究人员进一步构建了一个四维最优控制问题，结合庞特里亚金最大值原理（Pontryagin's Maximum Principle, PMP）和一种保持结构的非标准有限差分（Nonstandard Finite Difference, NSFD）格式进行求解，确定了随时间变化的类特异性疫苗接种、治疗和意识宣传的最佳组合策略。该研究的核心意义在于，首次将双易感结构、保持动力学的数值方法与最优控制理论相结合，为制定针对不同风险等级牛群的、经济高效的LSD综合防控方案提供了坚实的定量依据。
主要关键技术方法
- 1.
双易感群体动力学建模：构建了一个包含低易感（S?）和高易感（S?）两类易感牛群及其对应疫苗接种舱室（V?, V?）的八室常微分方程（ODE）模型。
- 2.
稳定性与阈值分析：利用下一代矩阵法计算基本再生数R?；通过构造Lyapunov函数并应用LaSalle不变原理，严格证明了无病和地方病平衡点的全局渐近稳定性。
- 3.
非标准有限差分（NSFD）数值格式：采用Mickens提出的NSFD方法离散化连续模型，确保了数值解的正性、有界性和无条件稳定性，克服了传统方法在大步长下的数值失真问题。
- 4.
最优控制理论：基于庞特里亚金最大值原理（PMP），构建了一个最小化感染人数和控制成本的代价泛函，推导了最优控制存在的必要条件，并利用反向时间的NSFD格式求解了伴随方程组。
研究结果
3.1 基本数学与生物学性质
通过定理证明，模型的所有解在非负初始条件下始终保持非负且有界，总牛群数量N(t)最终收敛于Λ/μ，确保了模型的生物学合理性。
3.2 平衡点与基本再生数
模型存在一个无LSD平衡点E?和一个唯一的LSD地方病平衡点E。利用下一代矩阵法得到基本再生数R?的显式表达式。通过笛卡尔符号法则，确认当R?>1时，多项式方程存在唯一正根，即E存在。
3.3 稳定性分析
局部稳定性分析显示，当R?<1时，无病平衡点E?局部渐近稳定；当R?>1时，地方病平衡点E局部渐近稳定。全局稳定性分析通过构造合适的Lyapunov函数完成：当R?<1时，E?在可行域内全局渐近稳定，表明疾病会自然消亡；当R?>1时，E全局渐近稳定，表明疾病将持续流行。
4.1 治疗效果
数值模拟表明，提高治疗率τ可以显著降低暴露（E）和感染（I）牛群数量。当治疗率达到或超过90%时，系统趋近于无LSD平衡点。
4.2 疫苗接种效果
针对低易感群体S?的疫苗接种率??的提高，可使S?减少，康复者增加；当??≥70%时，疾病消除。针对高易感群体S?的疫苗接种率??的提高，同样能抑制疫情；当??≥80%时，达到无病状态。
4.3 养殖户意识的影响
提升养殖户意识水平ω，可显著降低E、I和治疗（T）舱室的数量，并小幅增加接种群体。当意识水平达到70%时，可实现LSD消除。
4.4 恒定控制措施对R?的影响
R?随意识水平和治疗率的增加而单调递减。当意识覆盖率或治疗率达到特定阈值（如70%或90%）时，R?降至1以下。类似地，提高任一疫苗接种率也能使R?低于阈值。
4.5 敏感性分析
局部敏感性分析表明，高易感群体的传播率β?对R?的正向影响最大，其次是低易感群体的传播率β?和出生率Λ?。相反，治疗率τ、恢复率γ?和γ?对R?的负向影响最强。多参数联合分析证实，单一措施效果有限，而联合疫苗接种、意识控制和治疗的“多管齐下”策略能将R?迅速压至1以下。
讨论与结论
讨论部分指出，本研究的双易感模型相较于传统均质模型更具现实意义，能更好地指导针对高风险群体的靶向干预。所采用的NSFD格式保证了大规模长时间模拟的计算稳定性。然而，研究也存在局限性，如敏感性分析仅为局部分析，未考虑参数间的相互作用和全局不确定性；模型假设S?组疫苗接种后可完全免疫，而S?组仅部分免疫，这是一个简化假设。未来工作可采用基于偏秩相关系数（PRCC）的全局敏感性分析，并纳入年龄结构或空间扩散等因素。
研究结论总结如下：本研究开发并分析了一个用于描述牛结节性皮肤病（LSD）传播动态的新型双易感数学模型。通过严格的数学分析，确立了模型的基本性质、平衡点存在性及稳定性条件，并以基本再生数（R?）作为关键阈值。采用非标准有限差分（NSFD）格式进行的数值模拟证实了理论发现，并量化了疫苗接种、治疗和养殖户意识等控制措施的效果。敏感性分析识别出高易感群体的传播率是驱动疫情的关键因素。最优控制问题的求解结果表明，组合使用随时间变化的疫苗接种、治疗和意识宣传策略能以最低成本实现最佳的疫情控制效果。该研究为兽医部门制定针对不同易感性牛群的、经济有效的LSD防控策略提供了有力的数学工具和决策支持。
