分数阶扩散方程的全离散谱Petrov-Galerkin格式及快速求解器

《Fractal and Fractional》：On Spectral Petrov–Galerkin Method for Solving Time-Fractional Diffusion Equations in Weighted Sobolev Space

　　

摘要

阶数为 ??∈(0,1) 的 Caputo 导数的分数阶扩散方程为具有记忆效应的反常扩散过程提供了有效模型，而弱奇异分数阶核和粗糙源项通常导致有限的时间正则性。本文中，我们开发了一种全离散格式，该格式结合了空间上的二阶中心差分近似和时间上的谱 Petrov-Galerkin 方法。空间半离散化产生了带反应参数的分数阶初值问题，这些反应参数由空间离散化矩阵的特征值给出。与标准的无反应情形不同，这些反应参数的存在使加权正则性分析变得复杂。我们采用超弱公式和自举论证来建立半离散解在加权 Sobolev 空间中的时间正则性，其中源项具有正则性指标 ，包括粗糙输入。所得正则性估计对反应系数的依赖性被明确刻画，以供后续的全离散误差分析使用。在源项具有适当空间正则性的条件下，全离散误差由 界住，其中 和 是任意小的正常数。空间网格尺寸 h 和时间多项式阶数 N 之间不需要耦合条件。我们还使用快速多项式变换和矩阵-向量乘积开发了一种快速迭代求解器。数值实验支持理论收敛阶。对于所测试的标量分数阶初值问题，在较大的时间多项式阶数下，快速求解器所需的计算时间少于直接求解器。