分数阶 Broer-Kaup 方程的 Painlevé 可积性、广义 Darboux 变换及新高阶有理双曲函数解

《Fractal and Fractional》：Fractional-Order Extension, Painlevé Integrability and Generalized Darboux Transformations for Broer–Kaup Equations

　　

摘要

Broer和Kaup（BK）方程同时包含了空间和时间变量，这些方程于20世纪70年代初被独立提出。BK方程因能够描述浅水中的双向长波传播而闻名，是流体力学和非线性科学中的重要经典模型。尽管BK方程已经被广泛研究，但其Painlevé可积性和广义Darboux变换（DTs）尚未被报道。本文正是从解决这两个问题入手展开的。首先，本文将BK方程扩展到分数阶形式，即分数阶BK（fBK）方程，并证明了它们的Painlevé可积性。基于Painlevé截断展开，我们推导出了fBK方程的B?cklund变换。随后，我们将fBK方程简化为分数阶线性热传导方程和分数阶Burgers方程。另一方面，从分数阶线性热方程出发，我们构造了fBK方程的N-孤子解。同时，基于BK方程的Lax对形式，我们推导出了BK方程的广义DTs。通过对特征函数进行极限处理，我们在广义DTs框架内得到了迭代特征函数。这些迭代特征函数以及相关的Lax对中的两种种子解被用来求解BK方程的一阶、二阶、三阶和四阶有理双曲函数解。所获得的高阶有理双曲函数解是新的，并且展现出新颖的空间结构，因为它们将独立变量的外部显式表示与双曲函数结合起来，形成了有理形式。