基于替换拉盖尔-傅里叶不变矩和轻量级卷积神经网络的图像表示

《Digital Signal Processing》：Image Representation via Substituted Laguerre–Fourier Invariant Moments and Lightweight Convolutional Neural Networks

　　摘要基于分数阶拉盖尔多项式构建的图像矩，因其能够全面提取全局和局部特征，在智能图像处理和计算机视觉领域受到学者们的广泛关注。为了实现图像的直接旋转不变性，通常需要在极坐标空间中使用分数阶拉盖尔多项式构建图像矩。这需要对分数阶拉盖尔多项式进行相应的变形预处理，以满足正交性条件。然而，上述操作可能会导致正交矩的径向多项式出现数值不稳定性，从而可能造成图像重建效果不佳以及图像识别过程中的分类不精确。本文利用分数阶替换拉盖尔多项式，提出了两类新型正交图像矩及其不变矩（对旋转、缩放和平移具有不变性），用于图像描述。具体而言，采用分数阶替换拉盖尔-傅里叶矩（Fr-SLFMs）描述灰度图像，而采用四元数分数阶替换拉盖尔-傅里叶矩（QFr-SLFMs）描述彩色图像。此外，通过设计轻量级卷积神经网络（LCNNs），将分数阶正交拉盖尔-傅里叶矩与LCNNs相结合用于图像识别。实验结果表明，所提出的Fr-SLFMs、QFr-SLFMs以及QFr-SLFMs+LCNNs在图像重建能力、模型可解释性，尤其是验证高密度噪声环境下的模式识别准确性方面表现出较高的效能。

引言图像矩作为一种全局描述符（特征提取方法），能够有效表征图像的形状特征。同时，图像矩对应的不变矩在包括旋转、缩放和平移在内的几何变换下保持不变性，并具有光照不变性。因此，它们对图像分析、分类和识别相关问题的研究具有重要的研究意义。图像矩已被广泛应用于多个研究领域，涵盖图像重建[1]、伪造检测[2]、目标识别[3]、图像匹配[4]、图像压缩[5]和图像水印[6]等。图1展示了各时期代表性图像矩的发展过程。1962年，Hu[7]首次提出了图像矩的概念。在该研究论文中，通过几何矩构建了七个不变矩，即Hu不变矩（HIMs）。这些矩对平移、旋转和缩放具有不变性，并被用作不变识别领域的特征。1980年，Teague首次利用Zernike多项式的正交特性。将二维图像映射到极坐标空间。随后，在径向方向上，以第n阶Zernike多项式为基进行投影；在角向方向上，以第m阶复指数函数为基进行投影。由此产生了(n+m)阶Zernike矩（ZMs）[8]，从而开创了利用正交多项式作为核函数构建图像矩的方法。1994年，Sheng等人[9]首次提出了正交傅里叶-梅林矩（OFMMs），这是一种通过复矩正交化构建的新型图像矩。正交傅里叶-梅林矩（OFMMs）与Zernike矩（ZMs）具有类似的形态特征。通过利用复矩，它们能够在包括平移、缩放和旋转在内的几何变换下保持不变性，从而显著增强了其在图像处理应用中的效能。Mukundan等人[10]于2001年利用切比雪夫多项式开发了一类新的正交矩，即切比雪夫矩（TMs）。由于该图像矩的基函数（核函数）直接在离散图像坐标系中构建，因此无需进行坐标变换（从笛卡尔坐标到极坐标空间），而这是计算ZMs和OFMMs所必需的。因此，TMs的计算不涉及任何数值近似，从而降低了信息冗余并具有更优的图像重建性能。离散正交矩的另一个经典代表是Krawtchouk矩（KMs），由Yap等人[11]提出。该图像矩不仅具有TMs共有的基本特征，而且能够提取图像的局部特征。此外，它可以通过几何不变矩的线性表示构建Krawtchouk不变矩。同时，Ren等人[12]提出了一类称为径向谐波-傅里叶矩（RHFMs）的正交矩，建立了亮度和几何不变量，用于在不同畸变情况下的图像重建和字符识别。2007年，Zhu等人[13]开发了离散正交Racah矩（RMs），并在相关文献中探讨了Racah多项式的递推关系及其在计算过程中的可替代性。Yap等人[14]对Hahn矩（HMs）进行了全面研究，揭示了HMs、TMs、KMs之间的内在关系。同时，Ping等人[15]通过Jacobi正交多项式构建了Jacobi-傅里叶矩（JFMs），并探索了它们对平移、缩放和旋转的不变性。2010年，Xiao等人[16]利用第一类Bessel函数在极坐标空间中构建了Bessel-傅里叶矩（BFMs）。这些图像矩具有旋转不变特性，被认为在图像重建和分类任务中表现出优异的性能。

值得注意的是，2011年，Yang等人[17]提出了一种基于高斯-埃尔米特矩（GHMs）的图像分析方法，该方法通过递推关系和高斯加权积分计算矩。这种方法减少了处理复杂图像所需的时间和资源，适用于实时图像处理应用的需求。Guo等人[18]将传统正交傅里叶-梅林矩（OFMs）与四元数代数方法相结合，提出了四元数傅里叶-梅林矩（QFMs）。此外，他们还构建了四元数傅里叶-梅林不变矩（QFIMs），并将这些矩应用于彩色图像目标识别和彩色图像配准。与灰度图像相比，彩色图像包含更多的颜色信息。因此，近年来，研究人员和学者逐渐将注意力转向彩色图像矩的研究。使用四元数表示图像的主要优势在于其能够将彩色图像的分量整合为一个统一的四元数向量，从而有效利用彩色图像不同通道的颜色信息。2014年，相关学者利用四元数提出了四元数正交图像矩，包括四元数指数矩（QEMs）、四元数勒让德-傅里叶矩（QLFMs）和四元数Bessel-傅里叶矩（QBFMs）。这些矩已应用于数字水印[19]、图像重建[20]和图像识别[21]等领域。分数阶正交矩的基函数是通过将传统的整数阶多项式替换为一组实值（分数阶）正交多项式来建立的。Zhang等人[22]于2016年首次构思了分数阶傅里叶变换的概念。他们引入了分数阶正交多项式并构建了分数阶正交傅里叶-梅林矩（Fr-OFFMs）。这解决了传统正交矩的阶数仅限于整数值的局限性，并提高了二值字符图像识别的准确性。2017年，Xiao等人[23]利用移位勒让德多项式，分别在笛卡尔坐标系和极坐标系中独立开发了分数阶移位勒让德矩（Fr-SLMs）和分数阶移位勒让德-傅里叶矩（Fr-SLFMs）。随后，这些矩被应用于图像重建和人脸识别领域。2020年，Hosny等人[24,25]独立提出了一类新型分数阶广义Jacobi-傅里叶矩（Fr-JFMs）和多通道分数阶径向谐波-傅里叶矩（Fr-RHFMs）。这些矩被用于图像处理、模式识别和计算机视觉领域。Xiao等人[26]利用离散切比雪夫多项式构建了分数阶离散切比雪夫图像矩（Fr-DTMs），并将其应用于数字水印和图像加密领域。

近年来，深度学习技术在人工智能领域产生了重大影响。特别是，以卷积神经网络（CNNs）为代表的深度学习算法在各种智能识别和检测场景中的应用，显著提高了传统机器学习技术的鲁棒性和准确性。特别是，部署在边缘平台上的轻量级深度学习架构的研究，极大地促进了深度学习在各个工业领域的广泛应用[39]。更重要的是，图像矩与深度学习技术的结合可以有效弥补单独使用任一技术的局限性。目前，图像矩与深度学习算法相结合的理论研究仍处于起步阶段，其应用仅限于图像分类和识别领域。在图像分析领域，能够有效整合图像矩与深度学习技术的已发表学术论文数量相对有限。2021年，El Ogri等人[27]推导了一类新的分数阶勒让德矩不变量（FrLMIs），用于三维（3D）物体的表征和识别。同时，他们通过改变描述符的数量，考察了基于分数阶矩不变量和深度神经网络（Fr-LMs+DNN）的方法的重建和分类性能。2024年，Gao等人[28]提出了一种将深度神经网络与分数阶切比雪夫矩（Fr-CMs+DNN）相结合的3D图像识别方法。与其他深度神经网络相比，该方法在图像识别和分类方面达到了最高的精度。

研究表明，图像矩作为一种全局描述符，在有效捕捉图像形状特征方面具有很高的效能。此外，所导出的不变量对旋转、缩放、平移和光照等多种几何变换具有不变性。当与最新的深度学习方法相结合时，这会产生一种极其鲁棒的特征提取方法。因此，它们已成为机器视觉、模式识别和图像处理领域的重要研究方向。然而，现有的正交图像矩，特别是径向正交矩，存在以下局限性：（1）径向正交矩的多项式表示通常通过对基于笛卡尔坐标系的正交多项式进行变形和变换而获得。这种为保持极坐标系中正交性所必需的变形，会导致以图像原点为中心计算的图像矩出现数值不稳定性；（2）通过标准特殊函数衍生的正交多项式构建的图像矩仅能描述图像的全局特征，而缺乏捕捉或构建局部特征的能力；（3）近年来，学者们致力于将图像矩与深度学习技术相结合。然而，所开发的深度学习算法仅限于CNNs中有限数量层的简单配置，包括卷积层、激活层和池化层，以进行图像分类实验。此外，现代图像数据中由透视畸变、几何变形和遮挡带来的挑战仍然是未来计算机视觉研究亟待解决的关键瓶颈问题。

本文提出了一种基于替换拉盖尔-傅里叶不变量和轻量级残差网络的图像表示方法，具有以下关键贡献：（1）与我们在2023年先前研究中提出的加权拉盖尔-傅里叶图像矩[29]相比，所提出的替换拉盖尔-傅里叶不变量在图像原点附近不显示数值不稳定性。这表明其具有更好的计算稳定性，并在全局和局部图像重建中表现出更优异的性能；（2）在图像分类领域，所提出的方法即使在面临大量噪声干扰时也能获得更准确的图像识别结果，超越了传统的图像矩与CNNs相结合的方法；（3）所提出的理论方法已通过相关的视觉数字模拟和客观评估指标进行了验证。

本文的结构如下：第2节介绍了与经典分数阶加权拉盖尔-傅里叶矩（Fr-WLFMs）相关的一些预备知识，并讨论了计算过程中出现的数值不稳定性问题。在第3节和第4节中，分别对提出的用于灰度图像的Fr-SLFMs及其不变量进行了详细推导，并介绍了用于彩色图像的QFr-SLFMs及其矩不变量。在第5节中，分别介绍了轻量级残差网络模块的构建及其与所提出的图像不变量相结合以设计新型图像识别系统。此外，还进行了相关的仿真实验并给出了结果。第6节得出了结论。章节摘录预备知识本节简要回顾了经典分数阶加权拉盖尔-傅里叶矩（Fr–WLFMs）在图像实际应用中的定义、相关性质及现存问题。提出的灰度图像Fr–SLFMs本节介绍了基于替换径向分数阶拉盖尔多项式（SRFr–LPs）的灰度图像Fr–SLFMs。首先，我们在极坐标空间中引入了一种满足正交性的替换径向分数阶拉盖尔多项式，并给出了其正交性的证明。其次，我们分析了所提出的SRFr–LPs的数值计算稳定性，并比较了其性能与……提出的彩色图像QFr–SLFMs本节进一步提出了一种新型四元数分数阶正交矩，即QFr–SLFMs，它建立在Fr–SLFMs和四元数代数的基础上。该矩能够以一体化方式处理彩色图像。实验与分析本节进行了一系列实验，以验证前几节建立的理论框架。此外，还将所提出的Fr–SLFMs（QFr–SLFMs）与经典Fr–WLFMs（QFr–WLFMs）[29]以及其他最先进的正交图像矩进行了相关对比实验，以证明所提方法的有效性。为实现这一目标，本节分为三个部分。在最初的小节中，图像结论本研究提出了一种基于分数阶替换拉盖尔多项式的新型特征提取方法，即Fr–SLFMs，作为一种创新的图像描述符，用于图像重建和识别任务。此外，通过将所提出的Fr–SLFMs框架与四元数代数集成，扩展得到了四元数Fr–SLFMs（QFr–SLFMs），以增强彩色图像分析的能力。此外，几何不变性（包括旋转、缩放和……）利益冲突声明作者声明，他们不存在任何已知的竞争经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文所报告的工作。基金资助本研究得到了陕西省重点研发计划（项目编号：2025GY–YBXM–068）和陕西省教育厅科学研究计划（项目编号：25JR067）的资助。作者贡献何冰为本研究提出了替换拉盖尔-傅里叶不变矩和轻量级卷积神经网络的研究思路，并为本手稿贡献了核心观点；林冠成、陈庚武、彭成和奚文强对提出的图像矩的性质进行了分析，分析了大部分数据，并撰写了论文初稿；其余作者参与了思路的完善、补充分析以及最终定稿工作。何冰｜林冠成｜陈庚武｜彭成｜奚文强｜卢超｜刘军｜邵珠宏