交错非线性对Su–Schrieffer–Heeger模型的影响

《Annals of Physics》：The effect of staggered nonlinearity on the Su–Schrieffer–Heeger model

　　摘要我们研究了具有亚晶格依赖的局域非线性的Su-Schrieffer-Heeger（SSH）模型的谱性质。我们的研究采用了两种互补的方法。首先，假设在周期性边界条件下存在布洛赫态解，以便进行半解析处理，从而获得系统的能带结构，并进一步推导出包含非线性诱导修正的Zak相的一般表达式（称为非线性Zak相）。该分析表明，在足够高的非线性强度下，会发生由非线性诱导的相变，其特征是非线性Zak相的不连续性。第二种方法是在开放边界条件下，采用自洽场迭代方法数值求解其他（非布洛赫）解。其主要结果包括：观察到边缘态能量与非线性参数无关；一个持续存在的能带接触点，在存在微扰时仅发生移动，类似于外尔半金属中的外尔点；以及在极端非线性强度下仍然存在的离域解。这些发现阐明了晶格模型中拓扑与非线性的丰富相互作用，并有可能在光学/声学波导系统中实现。

引言拓扑系统代表了物质的一种范式相，其中抽象数学的拓扑概念以某些物理可观测量的形式表现出来[1], [2], [3], [4], [5]。一个典型的例子是所谓的拓扑绝缘体[5]，其特征是在其边界处存在稳健的带隙内态，称为边缘态，这些边缘态具有拓扑起源。在二维和三维空间中，这些边缘态通常具有传播性质，因此有望作为无耗散且因此节能的电子/自旋电子器件使用。

Su-Schrieffer-Heeger（SSH）模型[6]是一个一维模型，通常被用作拓扑相的教科书范例。它描述了一个具有交替跃迁振幅的晶格上的粒子紧束缚系统。根据这些跃迁振幅之间的比值，系统可以分为拓扑非平凡相，其支持一对零能边缘态，或拓扑平凡相，其不支持边缘态。除了边缘态的存在性外，SSH模型的拓扑性可以通过其能量本征态的Zak相[7]完全刻画，Zak相被量子化为零（拓扑平凡相）或π（拓扑非平凡相）。除了其数学上的简单性外，SSH模型也易于在实验中实现。事实上，SSH模型已经在各种平台中实现，包括里德伯原子[8]、冷原子[9]、光子[10]、电路[11], [12]、超导电路[13], [14]、声学[15]以及机械系统[16], [17]。

值得注意的是，SSH模型是非相互作用的。相比之下，众所周知，现实中的量子系统本质上具有高度的相互作用。因此，尽管SSH模型有助于突出拓扑在物理学中的作用，但它并不能代表典型量子系统的完整描述。不幸的是，将相互作用效应纳入SSH模型显著增加了其复杂性。实际上，求解量子多体问题由于希尔伯特空间随系统尺寸呈指数（而非线性）增长，被认为是一个非平凡的问题。尽管在现有文献中已经研究了一些相互作用的SSH模型变体[18], [19], [20], [21], [22], [23]，但通常需要采用复杂的解析和/或数值技术，这可能掩盖其物理解释。

在某些情况下，相互作用效应可以在平均场水平上近似为非线性。这将目标系统的相应多体相互作用哈密顿量转化为有效的单体非线性哈密顿量。这里，非线性哈密顿量意味着它是态依赖的，从而将原本线性的薛定谔方程转化为其非线性对应物，例如格罗斯-皮塔耶夫斯基方程[24], [25]。尽管是单体模型，求解非线性薛定谔方程本身仍面临挑战。这些挑战包括叠加原理的失效以及由于哈密顿量的态依赖性而导致的“对角化”过程的困难。然而，有效非线性系统的解通常比相互作用的对应系统更容易理解。

鉴于上述情况，考虑非线性对SSH模型的影响可能至少部分地阐明更难以捉摸的相互作用SSH模型。同样值得指出的是，某些类型的非线性也可能自然地出现在SSH模型的一些涉及经典平台的实验实现中，例如光子波导[26]。在这种情况下，非线性SSH模型的研究也可能与这些实验有一定的相关性。事实上，文献[27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34]中已经引入并研究了多种类型的非线性SSH模型。特别地，在文献[27]中，主要结果包括非线性诱导的Zak相修正、形成环状结构的不完整能带的出现，以及拓扑与孤子形成之间的相互作用。在文献[28]中，探索了一类非线性SSH模型中非平凡拓扑与混沌动力学之间的相互作用。在文献[29]中，发现将三阶克尔非线性纳入SSH模型会产生强度依赖的自诱导拓扑转变。文献[30]引入了拓扑体孤子的概念，当非线性相互作用诱导自局域波包时，这些孤子沿着体中的自诱导缺陷表现出稳健的单向输运。文献[31]通过实验证明，光非线性可以将原本平凡的晶格转变为特定功率阈值以上的拓扑绝缘相，表现为稳健的单向边缘输运通道。文献[32]是另一篇实验论文，展示了拓扑体孤子的形成，这些孤子由于晶格潜在的拓扑结构而独特地执行类似于回旋加速器的轨道运动。文献[33]在理论上将索利斯泵浦（Thouless pumping）的概念扩展到非线性环境，并在实验上验证了其量子化。最后，文献[34]就该主题提供了全面的综述。

在本工作中，我们扩展了文献[27]中研究的非线性SSH模型。具体而言，尽管文献[27]考虑均匀的局域非线性，但本工作研究了交错局域非线性的效应，其振幅取决于SSH模型的亚晶格。这提供了对非线性参数更多的控制，允许独立探索非线性对每个亚晶格的影响。我们的关键发现（将在下文详细阐述）包括：非线性诱导Zak相修正的一般表达式（将文献[27]中给出的适用性扩展到更一般的非线性类型）；伴随Zak相不连续性的非线性诱导能隙闭合；揭示每个拓扑边缘态对非线性的依赖；在非线性振幅在正值和负值之间交替的情况下，大非线性振幅下离域解的持续存在；以及在非常大的非线性振幅下两个能量解之间接触点的存在，该接触点在微扰存在时仅移动（而非消失）。

本工作的组织结构如下。在第2节中，我们介绍非线性哈密顿量，并提出（态依赖的）非线性本征值问题，仅限于稳态解。在第3节中，我们考虑一类特殊的布洛赫形式的稳态解，并使用自洽分析在周期性边界条件（PBC）下解决问题，获得能带，研究其几何相位，然后进行动力学稳定性分析。此外，在第4节中，我们介绍所使用的数值方法以及在开放边界条件（OBC）下实空间求解问题的实现，然后展示获得的主要结果。最后，在第5节中，我们总结论文的关键发现并讨论可能的未来方向。

章节片段模型描述我们考虑一个非线性Rice-Mele晶格模型[35]，由一组形式为的非线性薛定谔方程描述：??d????,??d??=∑??′=??,??∑??′=1??[??(??)]??,??′,??,??′????′,??′，其中??=??,??，?是有效非线性（态依赖）哈密顿量，形式为??(??)=∑??=1???1(??22??+?|??〉〈??+1|+?.??.)+∑??=1??[??1????+(????|????,??|200????|????,??|2)+??????]?|??〉〈??|，其中??=??,??,??的????是亚晶格自由度中的泡利矩阵，??±=????±i????，|???是一个列向量，其第??行元素为1，其余为零，????,??代表布洛赫解研究为简单起见，我们首先考虑具有布洛赫形式的解。即此类解可以写成形式????,??=??1????????，????,??=??2????????。如果方程（5）要在有限尺寸晶格上有效，则隐含了周期性边界条件（PBC），即????,??+1=????,1且????,0=????,??，这将??限制为取离散值????=2??????，其中??=0,1,…,???1。注意，在热力学极限??→∞下，??变为连续，此时实际边界条件变得无关紧要。无论如何，通过数值方法和实现我们现在放宽了前一部分中做出的布洛赫解假设，并尝试获得更一般的解集。这次，我们在OBC下求解方程（1），以确保获得的解不同于我们之前在布洛赫解假设下找到的解。为此，我们数值采用自洽场（SCF）迭代方法[41]。对于态依赖非线性哈密顿量????????，从态????到态????+1的迭代，其中??标记迭代结论在本文中，我们考虑了拓扑SSH模型中亚晶格依赖的局域非线性，并从动量空间和实空间两个角度进行了考察。动量空间分析（在PBC下）仅通过考虑布洛赫态解进行，以便能够采用半解析方法获得能带、进行动力学稳定性分析并计算其Zak相。特别地，非线性的存在对传统的Zak相引入了一些必要的修正。

CRediT作者贡献声明Ahmed Alharthy：写作-初稿，项目管理，方法论，调查，形式分析，软件，可视化。Raditya Weda Bomantara：写作-审阅与编辑，验证，监督，形式分析，概念化。

利益冲突声明作者声明，他们不知道可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

致谢R. W. B. 受法赫德国王石油与矿业大学及其跨学科先进量子计算研究中心资助。

Ahmed Alharthy|Raditya Weda Bomantara