类似开弗形式的对称海森堡交换积分：对朗道 - 利夫希茨 - 吉尔伯特方程的贡献及自旋波色散依赖性

《Annals of Physics》：Keffer-like form of the symmetric Heisenberg exchange integral: Contribution to the Landau–Lifshitz–Gilbert equation and spin wave dispersion dependence

　　摘要对称海森堡交换相互作用和反对称Dzyaloshinskii-Moriya相互作用是张量势的一部分，该张量势描述了由磁性离子经由非磁性离子的超交换相互作用所产生的有效自旋-自旋相互作用。Dzyaloshinskii-Moriya相互作用的矢量常数存在Keffer形式，其中包含了非磁性离子（配体）偏离两个磁性离子连线的位移。本文提出，在反铁磁或亚铁磁材料中，配体位移可以对该对称海森堡相互作用的常数做出贡献。因此，海森堡相互作用的常数由两项组成。一项不依赖于配体位移，并在能量密度中给出标准贡献，如不含自旋密度导数的项或含自旋密度两个空间导数的项。本文证明，附加项在能量密度中给出一个含自旋密度一个空间导数的项。相应地找到了Landau–Lifshitz–Gilbert方程中的对应贡献。讨论了在新自旋力矩影响下自旋非共线平衡序的可能性。针对共线序和摆线自旋序，计算了反铁磁材料中自旋波（简正模）色散关系的修正。推导了有效自旋流，并将其应用于多铁性材料中极化起源的自旋流模型。引言二十一世纪初，由于多铁性材料具有相对较高的相变温度，人们对磁电现象的兴趣显著增长，这为可能的实际技术应用提供了前景。因此，理解磁电现象的物理机制已成为磁电领域基础研究中极为重要的课题。综述[1]总结了驱动磁电行为的微观机制的一些模型（见2.4节）。这些机制在随后的20年里在综述[2]、[3]、[4]、[5]中进一步讨论。其中，自旋流模型[6]被提出作为机制之一，该模型中电偶极矩正比于自旋的矢量积。其宏观类比已被讨论数十年[7]、[8]。文献[9]对2008年已有的极化模型进行了一些批判性分析。自旋流模型最初应用于电极化出现的一种机制[3]、[6]，但后来表明它至少可以应用于两种机制[10]、[11]。参考文献[10]、[11]中发展的扩展自旋流模型对这些机制背后的物理机制进行了重新审视，可能有助于解决文献[9]中指出的问题。与海森堡对称交换相互作用相关的磁振子自旋流可以应用于自旋流模型来描述这种机制（如文献[3]第7页式(15)、(16)、(17)、(18)所示，文献[10]、[11]也通过不同方法进行了验证）。由此得出以下结论：如果某些相互作用的组合形成非共线自旋序，则对称交换相互作用负责进一步形成电极化。随后，研究表明，正比于自旋标量积的电偶极矩可以在自旋流模型内通过应用不同的自旋流来描述[10]、[11]。为此，需要利用与Dzyaloshinskii-Moriya相互作用相关的磁振子自旋流，其中微观Dzyaloshinskii常数选取为Keffer形式。这展示了磁电效应的部分物理背景，以及不同自旋-自旋相互作用对这一现象的贡献。本文的主要目标是提出一种与对称交换相互作用的奇异性各向异性（OASEI）相关的新型自旋-自旋相互作用。所提出的奇异性各向异性形式与交换积分对磁性离子间粒子间距离投影的依赖关系有关。这种依赖关系源于对配体位移的考虑。因此，这种对称交换积分的形式受到了Dzyaloshinskii常数??的Keffer形式的启发，其中??～??12×??，??是配体位移（非磁性离子偏离电荷局部质心的位移），??12是磁性离子之间的距离，参见例如文献[5]、[12]。Dzyaloshinskii常数??12～??12×??的Keffer形式是Dzyaloshinskii常数解析形式的一个例子。可以识别出Dzyaloshinskii常数的四种形式[13]。其中两种可以存在于铁磁和反铁磁材料中[14]。另外两种形式只存在于反铁磁材料中[13]。本文提出的对称交换相互作用的奇异性各向异性只存在于反铁磁材料中。Keffer形式代表了DMI常数的一种可能形式，而三种形式可以同时呈现：?????? = ??(??????)?????? + ??(??????)[??????×??1] + ???1(??????)???????????，其中配体位移如图1所示。前两项通常不能在一种材料中同时实现。它们分别产生两种不同类型的非共线结构：螺旋序和摆线序。DMI常数是相应哈密顿量的一部分，其结构为 ???=(??12·[???1×???2])。自旋算符 ???1，如自旋密度矢量场 ??(??,??) 或磁化矢量场 ??(??,??)=????(??,??)（其中??为旋磁比），是赝矢量（或奇矢量）。它们的矢量积 [???1×???2] 也是赝矢量。因此，为了得到标量哈密顿量，DMI矢量常数 ??12 应为赝矢量。这导致了对DMI常数元素的限制。DMI常数的第一项由两个元素 ??(??????)?????? 组成。其中一个是矢量 ??????，因此 ??(??????) 是赝标量。第二项由三个元素 ??(??????)[??????×??1] 组成。两个矢量的矢量积 [??????×??1] 是赝矢量。因此，系数 ??(??????) 是标量。最后一项由两个元素 ???1(??????)??????????? 构成。这里，我们有非磁性离子位移矢量 ??????????? 和赝标量 ???1(??????)。具有Keffer形式微观Dzyaloshinskii常数的Dzyaloshinskii-Moriya相互作用和具有奇异性各向异性的对称各向异性交换相互作用，其微观哈密顿量均正比于磁性离子的粒子间距离 ??12。这导致能量密度和自旋力矩依赖于空间坐标的一阶导数。这对自旋波的色散关系具有重要意义。Dzyaloshinskii-Moriya相互作用给出依赖于波矢投影的贡献[15]、[16]。它导致最小频率从零波矢处发生偏移。结果表明，OASEI在色散关系中给出的贡献正比于特征频率的平方，因此其贡献正比于波矢投影的平方。尽管如此，OASEI对多铁性材料中极化的形成具有有趣的影响。它产生有效的磁振子自旋流，并在自旋流模型中贡献出一种新的自旋起源电极化结构。额外极化类型的存在通过相应的自旋力矩导致新颖的介电响应形式，这是对已知贡献[17]、[18]、[19]（针对自旋的“非共线”部分）和[20]（针对自旋的“共线”部分）的补充。多铁性材料介电响应的一个有趣特征是电磁振子共振，这已被实验发现和研究[21]、[22]，理论上也得到了考虑[19]、[23]、[24]、[25]。关于多铁性材料中小振幅自旋波的演化，其中自旋密度的平衡分布可以形成周期性摆线结构，我们可以指出，使用简单的恒等数学变换[20]可以从微扰方程中消除周期性系数。但这些变换导致平衡摆线的波矢出现在系数中。对于磁性和磁电现象物理中通常考虑的大多数相互作用，这确实成立。反铁磁材料中的共线平衡序和摆线平衡序都显示出色散关系的两个分支相互独立，实际上这可以被视为 ?????? 和 ?????? 的动力学，其中 z 轴是单轴晶体中各向异性轴的方向，??=?????????，??=????+????，其中 ???? 和 ???? 是磁性亚晶格的自旋密度。特别是，反铁磁材料色散关系的一个分支对多铁性材料的介电响应有贡献，这些多铁性材料的电极化正比于自旋算符的标量积[20]。在文献[20]中，表明具有无能隙谱的自旋波对具有摆线平衡结构的易平面平衡态的介电常数有贡献。因此，介电响应从反铁磁共振向较低频率移动，并且共振品质因数较小，因为它正比于相对较小的参数 ??2。因此，这种行为可以与电磁振子观测联系起来[21]。OASEI导致 ?????? 和 ?????? 的干涉。因此，在OASEI非零的多铁性材料中，它导致更复杂的介电响应。本文组织如下。第2节介绍了具有奇异性各向异性的对称交换相互作用。第3节展示了所提出相互作用的自旋力矩。第4节展示了由新相互作用产生的力场。第5节给出了描述具有奇异性各向异性的对称交换相互作用的能量密度。第6节通过自旋流模型获得了由所提出相互作用引起的电极化。相应的微观电偶极矩也被求出。第7节讨论了XYZ模型的一些要素。第8节描述了Dzyaloshinskii-Moriya相互作用的一种机制。第9节计算了新相互作用对自旋波色散关系的贡献。第10节简要总结了所得结果。章节片段对称海森堡哈密顿量中交换积分的Keffer类形式海森堡哈密顿量系数的矩阵形式可分解为对应于具有标量系数的海森堡哈密顿量的对称部分和对应于Dzyaloshinskii-Moriya相互作用的反对称部分。Dzyaloshinskii-Moriya矢量常数的Keffer形式包含了配体偏离离子电荷局部质心的位移的贡献。这表明可以假设配体位移对系数有贡献。自旋力矩我们应用量子流体动力学方法推导自旋演化方程[34]、[35]。特别是，我们获得了对应于形式为(5)的“交换积分”的海森堡哈密顿量的自旋力矩。自旋力矩与哈密顿量的一般关系具有以下形式[34]、[35]：????????=??∫????∑??∈????(???????)???(??,??)[???,?????]??(??,??)，其中 [???,???]=????????????? 是两个算符的对易子。以下结果是按照文献[11]近似形式获得的。欧拉动量平衡方程中的力场本节推导了对应于哈密顿量(1)的物理系统中欧拉方程（显示动量平衡）的力场。欧拉方程在自旋流模型的推导中起着重要作用[10]、[11]。理解完整的力场对于分析自旋和极化的静态及动态特性可能是重要的。量子流体动力学方法[34]、[36]允许获得动量密度 ?? 的以下时间导数。能量密度自旋演化方程（新相互作用在Landau–Lifshitz–Gilbert方程中的贡献）是直接从哈密顿量(1)使用多粒子量子流体动力学方法[34]、[35]推导出来的。力场也在前一节从哈密顿量(1)中推导出来。这里我们获得宏观能量密度。我们不需要它来进一步推导某些方程，因为必要的方程已在上面推导出来了。但是，我们需要能量密度的显式形式用于。自旋流模型自旋起源的电极化与自旋流之间的关系在文献[6]中针对电偶极矩正比于自旋矢量积 ??????～[??????×[????×????]] 的情况（“非共线自旋”机制）被指出。这对应于极化与自旋流反对称部分的关系 ????～?????????????。该关系式中系数的估计可在综述[3]中找到，其中它与电偶极矩的矩阵元相关，涉及\(p\)能级之间的跃迁。
反铁磁材料在XYZ模型中的能量密度与自旋力矩
第3、4、5和6节展示了所提出的相互作用（2）的宏观结果，即对称海森堡哈密顿量的奇各向异性。在我们考虑基于上述模型发展的集体激发之前，先描述计算中包含的其他相互作用。
我们主要考虑单轴晶体的XYZ模型，其哈密顿量为
\[
\hat{H}=-\frac12\sum_{n\in A,\,k\in B}\left(U^x_{nk}\hat{S}^x_n\hat{S}^x_k+U^y_{nk}\hat{S}^y_n\hat{S}^y_k+U^z_{nk}\hat{S}^z_n\hat{S}^z_k\right)
\]
\[
=-\frac12\sum_{n\in A,\,k\in B}\left(U_{nk}(\hat{\mathbf{S}}_n\cdot\hat{\mathbf{S}}_k)+\tilde{\kappa}_{nk}\hat{S}^z_n\hat{S}^z_k\right),
\]
其中各向同性系数\(U^x_{nk}\)
德扎洛申斯基-守屋相互作用
我们不详细讨论德扎洛申斯基-守屋相互作用，但按照文献[13]、[37]，我们考虑德扎洛申斯基-守屋相互作用的一部分，其德扎洛申斯基常数的形式为
\[
\mathbf{D}_{ij,(\delta)}=\zeta_1(r_{ij})\boldsymbol{\delta}_{2,ij-AB},
\]
这导致众所周知的能量密度形式
\[
\mathcal{E}=-2g(0\zeta_1)\boldsymbol{\delta}_{2,AB}\cdot[\mathbf{S}_A\times\mathbf{S}_B],
\]
以及相应的自旋力矩
\[
\partial_t\mathbf{S}_{A,DMI}=-g(0\zeta_1)[\mathbf{S}_A\times[\boldsymbol{\delta}_{2,AB}\times\mathbf{S}_B]],
\]
或者对于集体函数
\[
\partial_t\mathbf{L}=\frac12g(0\zeta_1)\left([\mathbf{L}\times[\boldsymbol{\delta}_{2,AB}\times\mathbf{L}]]-[\mathbf{M}\times[\boldsymbol{\delta}_{2,AB}\times\mathbf{M}]]\right),
\]
和
\[
\partial_t\mathbf{M}=\frac12g(0\zeta_1)[\boldsymbol{\delta}_{2,AB}\times[\mathbf{M}\times\mathbf{L}]].
\]
一些最近的
自旋波色散关系：海森堡交换奇各向异性的贡献
本节考虑本文提出的海森堡交换奇各向异性对基本集体激发性质的贡献。
德扎洛申斯基-守屋相互作用（31）可能导致矢量\(\mathbf{M}=\mathbf{S}_A+\mathbf{S}_B\)的非零平衡值，但我们考虑\(\mathbf{M}_0=0\)的平衡态。
结论
已证明通常负责产生德扎洛申斯基-守屋相互作用的配体位移会影响反铁磁材料（或其他多组分磁有序系统）中的对称海森堡相互作用。这导致朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程中出现定性新的自旋力矩，因此改变了磁有序系统的静态和动态行为。这种修改通过色散关系加以说明。
利益冲突声明
作者声明，他们不知道可能影响本论文所报告工作的已知竞争经济利益或个人关系。
致谢
本研究由俄罗斯科学基金会资助，项目编号25-22-00064。
帕维尔·A·安德烈耶夫