多体同核原子混合物中不同内态的多极交换

《Annals of Physics》：Multipolar exchange in a many-body homonuclear mixture of atoms in different internal states

　　

摘要

我们提出了一种构造描述同核原子混合物的多体哈密顿量的通用方法，该混合物中原子占据具有不同总角动量或其他量子数的态。该哈密顿量明确考虑了由低能 $s$ 波散射主导的各向同性相互作用。我们展示了不可约球张量算符形式主义的优势：这些算符赋予哈密顿量显式的物理结构，涵盖所有散射道，并包含多极交换相互作用。后者对应于角动量投影和总角动量的交换。我们还分析了在超冷气体物理中广泛使用的该通用哈密顿量的特定实现。所得哈密顿量为研究玻色和费米原子气体中广泛的量子多体现象提供了通用框架。

引言

自从光学阱问世以来，超冷原子气体实验在研究相对稳定相互作用同核原子混合物方面取得了重大进展 [1], [2], [3]。此类阱能够控制不同内部原子态的布居数，并允许高效研究这些混合物的性质。直到最近，实验主要集中在具有相同总角动量但不同投影的态之间的相互作用效应上。这些系统在自旋凝聚体 [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10]、库珀对配对 [11], [12]、集体激发 [13], [14], [15], [16] 以及光学晶格中的新型超流态 [17], [18] 的语境下也已被广泛理论研究所关注。最近，越来越多的关注集中于光学阱中同核气体混合物，其中原子占据的内部态不仅由不同的总角动量值表征，还由其他量子数表征 [2], [19]。据我们所知，此类系统中原子间相互作用的理论描述仍不完整。在本工作中，我们通过构造一个多体哈密顿量来解决这一问题，该哈密顿量纳入了不同内部态之间原子间的直接和所有可能的交换相互作用过程，特别是具有不同总角动量的情况。

为了研究弱外磁场下超冷稀薄气体中的这些相互作用过程，在耦合基中描述原子态，即以总角动量及其投影来描述，是足够的。一旦确定了原子态，就可以使用不可约球张量算符的形式主义来构造相互作用哈密顿量（参见经典专著 [20], [21], [22], [23], [24]）。该方法在核磁共振物理 [25]、量子化学 [26] 和原子光谱学 [27] 等领域已被证明非常有效。球张量算符的使用赋予哈密顿量透明的物理结构，并允许考虑所有散射道和多极相互作用。

值得注意的是，在量子化学和费什巴赫共振研究的框架内，同核原子混合物也起着核心作用 [28], [29]。然而，该研究领域的情形与我们的情形相反，因为其相互作用由强分子力、内禀原子磁场和外磁场主导，其能量超过超精细分裂。在这些条件下，总角动量不再是良好的量子数。因此，通常采用非耦合基来描述原子，独立处理轨道角动量和自旋 [26], [30]。

我们认为，制备在长寿命亚稳态中的同核原子混合物在实施本文提出的方法方面具有重要的实验潜力。显著例子包括：钛 ($\approx 28?10^3$ 秒) [31]、氦 ($\approx 8000$ 秒) [32]、锶 ($\approx 520$ 秒) [33] 和镱 ($\approx 2$ 秒) [34]。另一个相关例子是大磁偶极矩原子气体，如铒和镝 [35], [36], [37]，其具有丰富的多极结构。当然，一个研究较为充分但较为简单的例子是超精细子能级混合物 [19]。最后，里德伯原子也具有很大的偶极矩；然而，由于它们的寿命极短，使用此类混合物的前景不如上述情况。

本文结构如下。在第2节中，我们构造了占据不同总角动量和其他量子数态的同核原子混合物的成对相互作用多体哈密顿量。在第2.1小节中，我们讨论了内部原子态的描述及其相互作用的多极表示。第2.2小节提供了采用不可约球张量算符形式主义的论证依据。在第2.3小节中，我们系统地构造了相互作用哈密顿量，并分析了涉及原子角动量投影和总角动量转移的交换过程。在第3节（处于相同内部态的原子气体）和第4节（处于不同内部态的原子混合物）中，我们通过具有不同总角动量且与超冷气体物理相关的系统实例来说明所提议哈密顿量的通用性。特别地，在第3节中，我们在玻色和费米情况下再现了总角动量相等原子的已知结果，而在第4节中，我们研究了具有不同总角动量的原子混合物中对于两种统计的原子间相互作用，得出了新结果。最后，第5节总结了本工作的主要结果和结论。

章节摘要

处于不同态中原子间相互作用的物理方面

为了描述代表处于不同量子态中的原子的同核混合物的多体系统的相互作用，首先需要确定单个原子的状态。这可以通过选择由外部条件决定的适当基来完成。在超冷气体实验中，通常实现弱磁场区域。在这种情况下，自然基由以下量子数表征：总原子角动量 $f_i$ 及其

处于相同内部态的原子气体，$f_1=f_2$ 和 ${\lambda }_1={\lambda }_2$

在本节中，我们证明上面导出的通用相互作用函数再现了总角动量相等的原子的熟知结果。然后比较式 (14) 和 (15)，我们发现两个函数具有相同的形式，仅在后两个指标上进行了置换，$m_1^{\prime }?m_2^{\prime }$。因此，对于下面考虑的费米和玻色情形，只需确定其中一个函数的显式形式即可。为确定起见，我们选择函数 ${\Phi }_{m_1{m}_2{m}_1^{\prime }{m}_2^{\prime }}^{\text{Proj}}(\mathbf{x}?{\mathbf{x}}^{\prime })$。

它

处于不同内部态的原子混合物 $f_1\ne f_2$

最后，我们考虑处于不同内部态的相互作用原子混合物这一最非平凡的情形。例如，这些态可能具有相同的总角动量，但 ${\lambda }_i$ 的值不同。然而，第2.3节中提出的通用表达式在总角动量不同的情况下最具说明力的应用，因为量 ${\lambda }_i$ 不显式进入数值系数。

为了说明矩形矩阵表示，我们研究一些实例

结论

我们提出了一种构造占据不同总角动量值和其他量子数态的同核原子混合物的成对相互作用多体哈密顿量的通用方法。该方法基于不可约球张量算符的形式主义，为哈密顿量提供了透明的物理结构，自然地纳入了所有散射道，并允许包含所有多极交换相互作用。该

CRediT 作者贡献声明

M. Bulakhov：写作 – 审稿与编辑，写作 – 原始草稿，方法论，调查。A.S. Peletminskii：写作 – 审稿与编辑，写作 – 原始草稿，方法论，调查。Yu.V. Slyusarenko：写作 – 审稿与编辑，验证。

致谢

M. Bulakhov 和 Yu.V. Slyusarenko 感谢来自乌克兰国家研究基金会倡议"2027-2029年乌克兰优秀基础科学"通过项目"发展理论方法以彻底分析量子多体系统的集体性质"(编号 2026.06/0012)的支持。A.S. Peletminskii 感谢来自西蒙斯基金会和西蒙斯基金会国际通过乌克兰卓越中心的资助(编号。

M. Bulakhov|A.S. Peletminskii|Yu.V. Slyusarenko