多重加权网络的准包含控制

《Chaos, Solitons & Fractals》：Quasi-containment control for multiweighted networks

　　

•我们指出，常用的一个假设并非利普希茨条件。
•我们对非线性函数提出了一个更具可行性的假设。
•我们为多重加权网络定义了仿射组合的概念。
•我们在新假设下研究了准包含控制。
•我们将变量重排技术应用于矩阵加权网络。

引言

在网络化动力系统的协同行为历史中，以下模型常被用于分析一致性同步[1]、[2]：
$$\dot{x}_i(t) = f(x_i(t)) + \sum_{j=1, j\neq i}^{N} b_{ij}\Gamma[x_j(t) - x_i(t)]$$
其中 $x_i(t) \in \mathbb{R}^n$ 表示节点 $i$ 的状态，$f(x_i(t))$ 表示各节点的内在函数，$b_{ij} \geq 0$ 表示节点之间的合作关系，矩阵 $\Gamma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是每个节点状态的各维度之间的内耦合矩阵。随着对网络化动力系统理解的深入，其控制问题已成为一个重要议题。在[3]中，作者设计了一种钉扎控制策略来实现完全同步，其中目标轨道唯一并附加在任意选择的节点上：
$$\dot{x}_i(t) = f(x_i(t)) + \sum_{j=1, j\neq i}^{N} b_{ij}\Gamma[x_j(t) - x_i(t)] + \varrho(i)\Gamma[s(t) - x_i(t)]$$
其中当第 $i$ 个节点被钉扎时 $\varrho(i) = 1$，否则 $\varrho(i) = 0$。目标 $s(t)$ 满足 $\dot{s}(t) = f(s(t))$。

注意，上述方程中只有一个领导者，而当 $f = 0$ 或 $f$ 为线性时，多个领导者的情况已被广泛研究，参见初步工作[4]、[5]、[6]、[7]。多个领导者在许多工程应用中自然出现，例如多机器人编队包围多个移动目标、传感器网络对多个区域的合作监视、多目标跟踪与拦截，以及具有多个意见领袖的社会网络中的舆论形成。在这些场景中，领导者代表多个参考目标、虚拟锚点或决策中心，跟随者需要收敛到领导者张成的凸包或仿射包。单领导者钉扎控制只是 $M = 1$ 的特殊情况，无法捕捉多个领导者引起的更丰富行为。常数领导者 $\{s_1, \ldots, s_M\}$ 下的一致性模型为：
$$\dot{z}_i(t) = \sum_{j=1, j\neq i}^{N} b_{ij}[z_j(t) - z_i(t)] + \sum_{m=1}^{M} a_{im}[s_m - z_i(t)]$$
其中 $i = 1, \ldots, N$，每个节点的最终状态由领导者的凸组合 $Co(s_1, \ldots, s_M)$ 定义，这被称为包含控制问题。对于多智能体系统的包含控制，已经获得了许多重要的理论结果。例如，[7]研究了连续时间和离散时间一阶（静止领导者）和二阶（动态领导者）多智能体系统的包含控制，并获得了相应的必要充分包含控制条件；[8]考虑了二阶多智能体系统，设计了仅使用位置信息的分布式协议，并获得了相应的必要充分包含控制条件；[9]考虑了具有时滞的离散时间多智能体系统的包含控制，并推导了相应的必要充分包含控制条件；[10]成功将有限时间包含控制应用于二阶刚体；[11]研究了有限/固定时间二分包含控制问题，并给出了必要充分包含控制条件；[12]成功应用应力矩阵实现了编队机动控制；[13]考虑了两种间歇控制下的多智能体系统包含控制；[14]使用自适应分布式观测器研究了线性多智能体系统的二分包含控制。因此，对于多智能体系统的包含控制已有大量研究。

现在，一个自然的问题可以被提出：多个领导者能否应用于具有非线性函数 $f(\cdot)$ 的复杂网络的包含控制？迄今为止，对此问题已有一些初步探索，如[15]、[16]、[17]、[18]。在[15]中，模型用偏微分方程描述，其中内在函数用反应-扩散项和线性项之和表示。另一方面，对于一般的常微分方程，以下关于内在函数 $f(\cdot)$ 的假设通常被包含控制所需要：
$$\left\| f(x(t)) - \sum_{m=1}^{M} \delta_m f(s_m(t)) \right\| \leq \rho \left\| x(t) - \sum_{m=1}^{M} \delta_m s_m(t) \right\|$$
其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 是状态变量，$s_m(t) \in \mathbb{R}^n$ 是多个时变领导者，标量 $\delta_m \geq 0$ 满足 $\sum_{m=1}^{M} \delta_m = 1$，$\rho > 0$。这个常用假设可以在[16]的假设3、[17]的假设2、[18]的假设2.1、[19]的假设3中找到。然而，据作者所知，对于具有非线性函数 $f(x(t))$ 的任何混沌振荡器，任意时变状态 $s_m(t)$ 以及 $M \geq 2$，假设(3)尚未得到严格证明。为直接构造一个具有非线性函数 $f(\cdot)$ 的反例来否定(3)，我们设 $f(x) = \sin x$，$M = 2$，$\delta_1 = \delta_2 = 0.5$（因此 $\delta_1 + \delta_2 = 1$），$s_1 = \pi/2$，$s_2 = 0$。那么对于 $x = \pi/4$，(3)的左边等于 $|\sin(\pi/4) - 0.5(\sin(\pi/2) + \sin(0))| = (\sqrt{2} - 1)/2$，而(3)的右边，对于任意 $\rho$，等于 $\rho|\pi/4 - 0.5(\pi/2 + 0)| = 0$。因此，在这种情况下不等式(3)不成立。在前人论文的数值模拟中，函数 $f(\cdot)$ 通常选择为 $f(x) = \Theta(t)x$，其中 $\Theta(t)$ 是仅依赖于时间 $t$ 的对角矩阵，因此 $f(\cdot)$ 实际上是 $x$ 的线性函数。另一方面，在混沌振荡器的方程中，必须存在非线性项。因此，具有非线性函数的网络在多领导者下的包含控制分析将陷入困境，这正是我们改进或松弛(3)中假设的主要动机。

除了函数 $f$ 之外，(1)中的内耦合矩阵 $\Gamma$ 也是复杂网络同步分析的另一个因素。此外，在之前的包含控制工作[15]、[16]、[17]中，节点状态的各维度彼此独立。而且，在描述现实世界中多种耦合类型或连接的多重加权复杂网络（经典复杂网络只有一个权重矩阵）的文献中，内耦合矩阵已被证明对外耦合矩阵 $B = (b_{ij})$ 的同步影响同样关键（参见[20]、[21]、[22]）。因此，一般内外耦合矩阵对包含控制的影响也应被讨论。

另一方面，外耦合矩阵对应的拓扑结构也应被考虑。例如，有限/固定时间一致性包含控制问题允许外耦合拓扑为有向的，参见[11]；而在有限/固定时间同步包含控制问题中，耦合矩阵应对称[10]或详细平衡[17]。因此，网络拓扑与协调速度之间似乎存在一种权衡关系。近年来，[23]提出了预设时间稳定性，确保稳定性恰好在任何预设时间点实现。与有限/固定时间稳定性相比，预设时间稳定性的调节时间可以任意选择。受[23]启发，[24]设计了一种更一般的调节函数，并严格证明了不仅误差本身而且在任何预设时间点其导数也可以为零。此外，[24]还将相应的理论应用于多重加权复杂网络以实现预设时间同步，其优势是耦合矩阵可以为有向的，即网络拓扑和协调速度可以解耦。对于受扰动的系统，[25]也考虑了（实际）预设时间稳定性。此外，[26]的作者证明了一个超指数函数可以实现实际预设时间稳定性，并讨论了它与超指数稳定性的区别。此外，[27]将有限时间、固定时间、超指数和预设时间函数结合到一个统一框架中以实现预设时间稳定性，充分利用了所有这些稳定性形式。关于多智能体系统的预设时间包含控制，也有一些相关工作，例如，[28]考虑了二阶多智能体系统的预设时间包含控制，[29]实现了具有有限增益的二阶多智能体系统的预设时间旋转包含控制。[30]实现了具有时滞的异构多智能体系统的预设时间编队控制。因此，有向网络下的预设时间包含控制也应被讨论。

除了具有内外耦合矩阵的经典或多重加权网络外，矩阵加权网络近年来也引起了显著兴趣，它可以在我们的后续分析中转换为多重加权网络。在这个框架中，(1)中的标量项 $b_{ij}\Gamma$ 被替换为更一般的矩阵 $B_{ij}$。例如，[31]通过为每条边分配一个对称正定矩阵设计了一个广义电气网络。关于矩阵加权网络的大部分现有研究都集中在一致性问题上。例如，[32]研究了具有对称半正定矩阵 $B_{ij}$ 的矩阵加权网络的一致性和集群一致性问题；[33]考察了具有对称矩阵权重的二分一致性问题；[34]将分析扩展到具有对称 $B_{ij}(t)$ 的时变矩阵加权网络。[35]做出了一个显著进展，其中矩阵权重 $B_{ij}$ 被允许为非对称的，并研究了连续时间和离散时间有向网络的一致性。更新的贡献包括[36]的事件触发二分一致性、[37]的混合矩阵加权网络的随机一致性、[38]的有向矩阵加权网络的集群一致性，以及[39]通过饱和函数实现的二分一致性。然而，相对较少的研究涉及存在非线性函数 $f(\cdot)$ 的情况。其中，[40]考虑了具有 $f(x) = Ax(t)$（$A$ 为反对称矩阵）的LC振荡器系统；[41]使用主稳定性函数方法研究了具有Stuart-Landau振荡器的矩阵加权网络的全局同步；[42]引入了相干性概念来分析矩阵加权网络。关于矩阵加权网络的包含控制，文献仍然稀缺，[43]针对 $f(\cdot) = 0$ 的情况解决了这一问题。因此，具有非线性函数的矩阵加权网络的包含控制问题也应被讨论。

总之，本文旨在研究复杂网络在多领导者下包含控制的可行性，以及多重加权复杂网络的预设时间包含控制。主要贡献可总结如下：

(1) 将内在函数 $f$ 的假设从条件(3)松弛为一个更具可行性的条件，该条件对许多混沌振荡器成立。这个弱化的假设在误差系统中引入了额外的有界项，并导致了一种称为准包含控制的新现象。

(2) 多个外和内耦合矩阵可以导致领导者的仿射组合而非凸包。在这种情况下，每个节点的最终状态与领导者的仿射组合之间的距离保持有界常数。

(3) 为了实现精确的包含控制而非准包含控制，我们将预设时间技术应用于耦合强度，并严格证明了在新假设下多重加权网络可以实现包含控制。

(4) 矩阵加权网络作为应用被研究。首先通过标准基矩阵分解将其转换为多重加权网络，然后采用"变量重排"技术来研究它们的同步和准包含控制。

第2节介绍预备知识和网络模型。第3节提出主要理论结果。第4节研究矩阵加权网络的应用。第5节提供数值模拟，第6节总结全文。

预备知识

多领导者下的网络模型描述如下：
$$\dot{x}_i(t) = f(x_i(t)) + \sum_{w=1}^{W} \sum_{j=1, j\neq i}^{N} b_{wij}\Gamma_w[x_j(t) - x_i(t)] + u_i$$
其中 $x_i(t) = (x_{1i}(t), \ldots, x_{ni}(t))^\top \in \mathbb{R}^n$，$x_{ki}(t)$ 表示节点 $i$ 的第 $k$ 个维度，$k = 1, \ldots, n$，$f(x_i(t)) = (f_1(x_i(t)), \ldots, f_n(x_i(t)))^\top \in \mathbb{R}^n$，$i = 1, \ldots, N$，$u_i = \sum_{w=1}^{W} \sum_{m=1}^{M} a_{wim}\Gamma_w[s_m(t) - x_i(t)]$。

正整数 $W$ 表示耦合矩阵（通道）的数量，当 $W = 1$ 时，上述模型变为单加权网络模型。耦合元素 $b_{wij} \geq 0$，$i \neq j$ 表示第 $i$ 个节点受到第 $j$ 个节点的影响。

主要结果

首先，我们考虑(12)的一个简单情况，其中 $f = 0$。然后网络模型(12)将变为：
$$\dot{X}(t) = \sum_{w=1}^{W} (B_w \otimes \Gamma_w)X(t) + \sum_{w=1}^{W} (A_w \otimes \Gamma_w)S$$
其中 $S$ 现在是一个常向量。该系统的平衡点满足：
$$\sum_{w=1}^{W} (B_w \otimes \Gamma_w)X^* + \sum_{w=1}^{W} (A_w \otimes \Gamma_w)S = 0$$
即 $X^* = \Delta S$，其中 $\Delta$ 在(15)中定义。通过引入误差指标 $E(t) = X(t) - X^*$，我们得到误差动力学：
$$\dot{E}(t) = \sum_{w=1}^{W} (B_w \otimes \Gamma_w)E(t)$$
其指数稳定性可以直接由引理2.1保证。特别地，当 $W = 1$ 时，引理2.1成立，且 $\Delta = [-m \sup A]^{-1}$。

矩阵加权网络包含控制的应用

矩阵加权网络的一般模型具有以下形式：
$$\dot{x}_i(t) = f(x_i(t)) + \sum_{j=1, j\neq i}^{N} \mathcal{B}_{ij}[x_j(t) - x_i(t)] + u_i$$
其中 $\mathcal{B}_{ij} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 不要求是对称或正定的。

我们首先证明矩阵加权网络(40)具有多重加权表示。如果令 $\mathcal{E}_{kl}$ 表示标准基矩阵，在第 $(k, l)$ 个位置为1，其余位置为0，那么：
$$\mathcal{B}_{ij} = \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \mathcal{B}_{ij}(k, l) \mathcal{E}_{kl}$$
其中 $\mathcal{B}_{ij}(k, l)$ 表示矩阵 $\mathcal{B}_{ij}$ 的第 $(k, l)$ 个元素。对于 $k, l = 1, \ldots, n$，定义 $w = (k-1)n + l \in \{1, \ldots, W\}$。

数值模拟

在本节中，我们使用Lorenz系统来说明所获得理论结果的有效性，其动力学 $\dot{x}(t) = f(x(t))$，其中 $x(t) = (x_1(t), x_2(t), x_3(t))^\top$：
$$\begin{cases}
\dot{x}_1(t) = 10(x_2(t) - x_1(t)) \\
\dot{x}_2(t) = 28x_1(t) - x_2(t) - x_1(t)x_3(t) \\
\dot{x}_3(t) = x_1(t)x_2(t) - \frac{8x_3(t)}{3}
\end{cases}$$

已被证明是混沌的（见图1）并且最终耗散[49]，满足 $(x_1(t))^2 + (x_2(t))^2 + (x_3(t) - 38)^2 \leq 1540.27$。因此，最终界 $\tau$ 可以设为60。通过计算 $f$ 的雅可比矩阵并利用关系……

结论

包含控制作为钉扎控制更一般的情况，在具有非线性内在函数的复杂网络文献中尚未得到充分研究。本文用新假设替换了之前关于内在函数的假设，因为它可以处理如混沌系统这样的非线性函数。然后提出了一种广义现象——准包含控制，并获得了充分条件，其中包含控制被定义为仿射……

CRediT作者贡献声明

刘西玮：撰写—审阅与编辑，撰写—原始稿件，可视化，监督，方法，调查，资金获取，形式分析，概念化。

唐哲深：撰写——审阅与编辑，方法设计，调查研究，概念构思。刘心之：撰写——审阅与编辑，指导监督，方法设计，概念构思。张宇：撰写——审阅与编辑，方法设计，调查研究，形式化分析。利益冲突声明：作者声明，他们不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系，这些可能影响本文所报告的研究工作。致谢：本工作得到了国家自然科学基金（批准号：62673358、62073243）和中央高校基本科研业务费专项资金的资助。刘希伟 | 唐哲深 | 刘心之 | 张宇