聚类规则网络上SIS流行病模型的流行病阈值：一种辅助系统方法

《Chaos, Solitons & Fractals》：Epidemic threshold for the SIS epidemic model on clustered regular networks: An auxiliary system approach

　　

• 开发了一种辅助系统方法来推导显式流行阈值。
• 该阈值公式在初始感染量足够小时有效。
• 较大的聚类系数会引发不连续相变。

引言
随着人类活动频率的增加，传染病在社会接触网络中的传播已成为公共卫生管理的主要关注点。易感 - 感染 - 易感（SIS）和易感 - 感染 - 康复（SIR）模型代表了两个基础性的流行病学建模框架。SIS 框架描述了不赋予长期免疫力的传染病，如流感和中暑（季节性感冒），康复者重新变为易感者。相比之下，SIR 框架对应于引发永久免疫力的疾病，康复者既不能传播病原体也不能被再次感染。在流行病学动力学中，流行阈值是网络中疾病持续存在的关键指标 [1], [2]。低于该阈值，感染将逐渐消失；高于该阈值，疾病成为地方病并持续传播。因此，流行阈值的估算和分析可以为流行病的预防和控制提供理论指导。

现实世界的社会网络通常表现出强烈的聚类特性 [3]。个体倾向于形成紧密的社会社区，因此朋友的朋友很可能也是自己的熟人。聚类不仅塑造了网络拓扑结构，也影响了流行病传播的动力学行为。许多先前的研究探讨了聚类网络上的传播过程。对于 SIR 类型的动力学，Keeling 构建了一个配对同质平均场模型，并基于相关函数的早期准平衡值推导出了隐式流行阈值 [4]。Eames 考虑了同质聚类网络上的两种接触模式（随机和规则接触）[5]。他们的结果表明，高聚类系数提高了流行阈值并减少了最终暴发规模。Barnard 等人分析了两种聚类闭合方式，并推导出了流行阈值的近似和显式结果 [6]。Li 等人基于其基序结构推导出了同质网络上更准确的 SIR 模型，并获得了流行阈值的解析表达式 [7] $\lambda_{cSIR,HOM}=\frac{1}{n-2-\phi}$。这里，$n$ 是每个节点的平均邻居数，$\phi$ 是全局聚类系数，$\lambda=\beta/\gamma$ 定义为感染率 $\beta$ 与康复率 $\gamma$ 之比。阈值结果清楚地表明聚类系数有助于抑制流行病传播。对于具有任意度分布的聚类网络，概率生成函数已被用于构建简单的流行病模型并分析聚类度和度分布对流行病的影响 [8], [9]。基于渗流理论和随机过程 [10], [11]，Miller 推导出了流行阈值的一般表达式 [12]，该表达式取决于每个节点可能所在的三角形和正方形的平均数量。使用类似的技术，Molina 和 Stone 推导了异质网络的流行阈值，其形式为 [13] $\lambda_{cSIR,HET}=\frac{2}{\tilde{k}-1-4\phi/\tilde{k}+\tilde{k}-2}\approx\frac{1}{\langle k^2 \rangle / \langle k \rangle - 2 - \phi}$。这里，$\tilde{k}=(\langle k^2 \rangle-\langle k \rangle)/\langle k \rangle$ 且 $\langle k_i \rangle=\sum k_i^i p(k)$ 针对给定度分布 $p(k)$ 的聚类网络。特别地，当网络是平均度为 $n$ 的同质网络时，$\langle k \rangle=n$ 且 $\langle k^2 \rangle\approx\langle k \rangle^2=n^2$。因此，流行阈值 $\lambda_{cSIR,HET}\approx\lambda_{cSIR,HOM}$。此外，Zhang 等人提供了具有相关系数和聚类系数的 SIR 模型的完整稳定性分析 [14]。

对于 SIS 模型，Bauch 提出了入侵配对近似（IVPA）来研究聚类规则晶格上的疾病传播 [15]，并将 IVPA 与标准配对近似和其他矩闭合近似进行了比较。Song 等人采用了异质平均场理论和随机模拟 [16]。他们的工作表明，聚类抑制了同质网络上的流行病传播，而对异质网络上的流行病流行率影响微乎其微。House 等人利用配对平均场模型探讨了聚类系数和接触追踪策略如何影响疾病控制的效率 [17]。在我们之前的研究 [18] 中，我们基于配对淬火平均场（pair QMF）理论研究了聚类网络上的 SIS 流行病模型，并从微观角度发现与无聚类网络相比，聚类抑制了疾病传播。然而，迄今为止，很少有研究提出聚类网络上 SIS 动力学流行阈值的显式表达式。在本文中，我们专注于定义在聚类规则网络上的 SIS 模型并分析其流行阈值。推导出了流行阈值的显式解析表达式。更有趣的是，当聚类系数足够大时，会出现双稳态现象，这表明最终流行规模可能取决于初始条件。

本文其余部分组织如下。第 2 节介绍了定义在聚类规则网络上的随机传播模型。第 3 节给出了配对平均场模型及必要的符号说明。第 4 节使用辅助系统方法解析地推导了流行阈值。第 5 节进行后向分岔分析以检查是否存在不连续相变。第 6 节进行数值模拟以验证解析结果。最后，第 7 节总结了目前的工作并讨论了未来研究的可能方向。

章节片段
聚类规则网络上的随机模型
我们考虑受 SIS 动力学支配的传染病在聚类规则网络上的传播。每个网络正式定义为由节点集 $V$ 和边集 $E$ 组成。令 $N$ 表示 $V$ 中节点的总数，即网络规模。给定的无向无权网络由邻接矩阵 $G=(G_{ij})$ 完全表征，其中如果节点 $i$ 直接与节点 $j$ 连接，则 $G_{ij}=1$，否则为 0。如 [19] 中所提出的，全局聚类系数 $\phi$ 定义为 $\phi = \frac{\sum_{i \in V} \phi_i}{N} = \frac{1}{N} \sum...$

配对平均场模型
配对近似（PA）框架已被广泛应用于研究流行病传播动力学 [4], [5], [15]。该方法可以准确捕捉节点与其直接邻居之间的状态相关性，而这是常规平均场理论所忽略的 [22]。我们首先定义一组标准符号用于后续推导 [23]。
[A]：整个网络中处于状态 A 的节点总数；
[AB]：连接处于状态 A 的节点与...

流行阈值
流行阈值分析是流行病学动力学中的一个重要研究课题。它提供了定量规则，用于判断传染病能否在人群中暴发并持续传播。具体来说，如果感染率高于流行阈值 $\lambda_c$，流行病就会暴发。另一方面，当感染率降至 $\lambda_c$ 以下时，疾病将消亡。对于网络上的 SIS 传播，前向分岔被广泛用于寻找流行阈值。在这种...

中心流形分岔准则
在本节中，我们理论推导了后向分岔发生的条件。为此，我们重述了由 Castillo-Chavez 和 Song [29] 最初开发的中心流形引理，并将其适应于我们当前的流行病模型。修改后的准则使我们能够区分临界阈值 $\lambda=\lambda_c$ 处的前向分岔和后向分岔。
引理 5.1 中心流形分岔准则
考虑参数化动力系统 $\frac{dx}{dt}=f(x,\lambda)$，其中 $f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ 是二次连续可微的。令 $\lambda_c$ 表示...

模拟
为了验证命题 4.1 和命题 4.2 的结果，我们首先考虑一组参数：$N=1000, n=6, \gamma=1$ 和 $\phi=0.4508$。聚类系数 $\phi$ 设置为该值是因为我们采用具有重连概率 $f=0.05$ 的同质小世界（HoSW）网络 [30]，以便将确定性平均场模型与连续时间随机模拟进行比较。根据第 4 节的前述理论分析，我们得到 $\alpha_{SI}=0.733$，由此得出流行阈值 $\beta_c=$...

结论
本文主要关注聚类规则网络上配对平均场模型流行阈值的计算。我们构建了一个涉及 $P_I, C_{SI}$ 和 $D_{II}$ 的辅助动力系统，并在感染相变连续时获得了流行阈值的显式表达式。数值模拟和分析进一步表明，当初始感染比例非常...

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的相互竞争的经济利益或个人关系，这些利益或关系可能已被视为影响本文所报告的工作。

致谢
本工作得到江西省自然科学基金（20232BAB201023）的支持。作者感谢匿名审稿人提出的宝贵意见和建议。
吴青初