B型Kadomtsev–Petviashvili模型中多维非线性波传播的半解析与数值方法研究

《High Energy Density Physics》：Semi-analytical and numerical approaches to multidimensional nonlinear wave propagation in a B-type Kadomtsev–Petviashvili model

　　

摘要
本研究考察(3+1)维B型Kadomtsev–Petviashvili方程，该方程描述多维非线性波传播，在等离子体物理、非线性光学和流体动力学等领域具有应用价值。主要目标是获得该模型的新精确解与近似解，并研究其波结构及行为。为此，采用子方程法和Sardar子方程法求解孤立子和波动解，包括kink（激波）、anti-kink、周期、组合、超几何、双曲、三角及有理型结构。同时使用残差幂级数法（RPSM）获得近似解，并通过数值表格与图形对比检验其与所选精确解的吻合程度。所获解在不同参数条件下表现出不同的非线性波行为，采用三维图、二维图和等高线图进行展示。本文的创新之处在于将两种互补的分析方法结合RPSM应用于该模型，从而在提供多样精确波结构的同时，实现精确解与近似解之间的直接对比。

引言
准确理解和模拟非线性、多变量及复杂自然过程或物理现象的必要性推动了非线性偏微分方程（NLPDE）的发展。NLPDE广泛应用于众多应用科学与工程领域，如水动力学、光学、生物学、水波等。这些方程为理解上述领域中产生的非线性相互作用、波传播、不稳定性及动态过程提供了强大的数学模型[1]、[2]。近期研究进一步表明，非线性数学模型在各种科学与工程应用中具有重要地位。这些模型已被用于冻结土壤的热分析、机器人机械臂控制以及波浪能量转换器的流体动力学分析[3]、[4]、[5]。其他应用包括地震工程、海洋地质系统的振动分析以及内部孤立波作用下水下航行器运动的预测[6]、[7]。非线性建模在等离子体放电仿真以及气动弹性与飞行动力学分析中也发挥重要作用[8]、[9]。

孤子在传播过程中不改变其特性（如形状和速度），碰撞中保持稳定，并保持其身份和形态。多种非线性演化方程，如Boussinesq（Bo）方程、Kadomtsev–Petviashvili（KP）方程、Korteweg–de Vries（KdV）方程及非线性Schr?dinger型模型，均可用于模拟孤子波；这些解在光学、流体力学、等离子体物理及非线性通信工程等众多领域具有广泛应用[10]、[11]。根据孤子的特性和行为，通常可将其分为多种类型，如暗孤子、亮孤子、暗-亮孤子、kink、anti-kink、周期孤子、breather（呼吸子）、lump（凝聚孤子）、奇异孤子和组合孤子等。近期研究还表明，解析和半解析方法适用于流体系统、内部孤立波及非线性孤子结构等复杂问题[12]、[13]、[14]、[15]。

在求解偏微分方程时，精确解为给定初始和边界条件下的方程数学结构提供准确结果。这些解通常通过解析方法获得，在理解波、孤子或其他物理现象的行为方面发挥关键作用。然而，对于复杂非线性PDE，往往很难甚至无法找到精确解。此时，近似解变得至关重要。近似方法允许我们在无法获得精确解时以数值方式估计解的行为。摄动方法、数值仿真或含自由参数的解析方法等技术可提供方程的近似解。文献中识别出的常用解析技术包括子方程法[16]、扩展tanh法[17]和tanh-sech法[18]。其他有效方法包括正弦余弦法[19]、修正简式法[20]、[21]、[22]以及Sardar子方程法[23]。(G′/G)–展开法[24]、(m+1/G′)–展开法[25]和F–展开法[26]也被广泛应用于非线性方程。此外还有Jacobi椭圆函数法[27]、双曲函数法[28]和齐次平衡法[29]等解析技术。Riccati方程法[30]和Kudryashov法[31]也被用于构造不同形式的精确解。为求解非线性PDE的近似解，还发展了多种数值与半解析方法，包括变分迭代法和残差幂级数法[32]、[33]。基于同伦的技术也常被用于非线性问题[34]、[35]，基于分解的方法则提供了构造近似解的替代途径[36]、[37]。

Kadomtsev–Petviashvili（KP）方程可视为Korteweg–de Vries（KdV）方程向两个横向空间维度的扩展，其形式如下：
ν_t + 6νν_x + ν_xxx = 0。
KdV方程描述沿单一空间方向传播的弱非线性、弱色散波，而KP方程通过允许对横向坐标y的缓慢依赖扩展了这一描述。
KP方程是KdV模型的标准(2+1)维推广：它控制沿x方向主要传播、在y方向随时间缓慢变化的弱非线性长波长扰动，其形式为[38]：
ν_t + 6νν_x + ν_xxxx + α ν_yy = 0，
其中α = ±1。当表面张力和粘性的影响可忽略时，该方程可构造出完全可积的KP模型。KP方程被用于模拟多个领域中的波行为，包括水波面的演化、孤子传播过程、电磁传输场及流体力学。近年来，研究者集中研究KP模型的精确解及其各类孤子结构。Xu等[39]在其研究中证明了一种新方法——同宿呼吸子极限法（HBLM）在利用式(1.2)获取rogue wave（ rogue wave，巨浪）解方面的有效性。利用该方法，获得了一族两波解，即有理呼吸子波解，其实际上对应一种rogue wave解。Ahmad等[40]采用两种改进方法，即增强F-展开法和新Kudryashov法，获得KP方程的孤立波解。研究结果显示了包括暗型、有理型、奇异型、周期型和指数型在内的独特孤立波解形式。Shen等[41]使用Hirota方法获得KP方程的双线性形式。基于该形式构造了N-孤子解，并通过复共轭变换和长波极限法分别确定了M阶breather解和H阶lump解。Wang等[42]利用Hirota方法发展了多种孤子解，随后通过对这些孤子施加速度共振条件，在(x,y)-、(x,t)-和(y,t)-平面上提取了孤子分子。此外，还有两种有效方法——子方程法和变分法——被用于探索其他一系列波解。通过这些技术，他们成功推导出亮波、暗波、奇异波及奇异周期波解。Ozisik等[43]旨在利用Riccati方程改进F展开法（该方程具有多种解函数）以及改进广义Kudryashov法，获得KP方程的孤子解。Ma等[44]在其研究中获得了扩展KP方程的各种共振解、有理解、breather解及不同混合解。

本研究将Wazwaz发展的式(1.2)修正扩展版本——(3+1)维B型Kadomtsev–Petviashvili（B-KP）方程呈现如下[45]：
9u_xt + u_xxxxxx ? 5(u_xxxy + u_yyy) + 15(u_xx u_xxx + u_x u_xxxx ? u_x u_xxy ? u_xx u_yy) + 45(u_x)2 u_xx + δ? u_xx + δ? u_xy + δ? u_xz = 0，
其中δ?、δ?、δ?为实常数。该方程包含高阶色散和强非线性相互作用。B-KP方程是等离子体物理、水波、非线性光学及费米子场中研究的演化方程，具有众多应用[46]。与既往关于B-KP方程的研究相比，本研究提供了不同的解析与数值视角。Wazwaz[45]利用Painlevé分析检验方程的可积性，表明扩展B-KP方程保留其完全可积性。利用Hirota双线性方法获得多个孤子解，并得到lump、breather、有理、周期、指数及其他行波解。Ekici[47]利用统一法与广义Kudryashov法研究式(1.3)，获得多种精确孤立波解。Kamel等[48]利用改进广义Riccati方程映射技术获得奇异、亮、亮-暗、双曲、有理、指数及奇异周期解。相比之下，本研究采用子方程法和Sardar子方程法，并用RPSM补充所获得的精确解。RPSM提供的精确–近似对比构成本分析的附加方面。

尽管已有大量针对KP型方程的解析研究，但高维B-KP方程的关注度相对较少。其六阶色散、混合导数项及非线性相互作用导致约化方程更加复杂，并允许不同类型的波结构出现。在本研究中采用子方程法和Sardar子方程法，是因为它们不同的辅助方程可在不同参数条件下获得双曲、三角、有理及组合波解。两种方法主要区别在于辅助方程。子方程法[16]基于Riccati方程 ?′ = γ + ?2，该方程只有一个自由参数，根据γ的符号仅产生双曲（tanh、coth）、三角（tan、cot）及有理型解族。这使得过程简单且解紧凑，但多样性有限。Sardar子方程法[23]则采用四次辅助方程 (?′)2 = γ? + γ? ?2 + ??，具有两个自由参数以及额外常数m和n。其解族为广义双曲与三角函数（如 sech_mn、tanh_mn、tan_mn），包含组合型结构，因此可产生更丰富的波形轮廓。对于B-KP方程，约化ODE包含四阶、二次及三次项，平衡数为 n = 2，故两种方法均适用。子方程法适合获得基本的kink、周期及有理结构，而Sardar法适合更丰富、依赖参数及组合的结构。同时使用两者为同一模型提供互补的解集。除这些精确解外，RPSM被用于获得近似解并与解析结果比较其行为。因此，本研究关注B-KP方程波解的多样性及其精确解与近似解的对比。

据此，本研究对式(1.3)进行了结合解析与数值的调查。获得了不同的精确行波解，包括暗孤子、kink、周期、组合及lump孤子，以及超几何、双曲、三角和有理波结构。解析和近似结果通过数值表格和图形对比进行考察，以评估其吻合程度和参数依赖行为。因此，本研究的主要贡献是研究高阶B-KP模型多样的波结构，并结合精确–近似对比。

本研究的其余部分安排如下：第2节介绍研究中采用的半解析与数值方法，包括子方程法、Sardar子方程法和残差幂级数法（RPSM）。第3节通过应用解析方法获得波解，并利用三维曲面图、三维等高线图和二维图进行可视化展示。第4节将RPSM应用于方程，通过表格和图形表示将所得近似解与精确解进行比较。最后，第5节给出研究结论，并对所得结果进行总体评估。

片段
方法概述
为分析BKP模型，首先考虑如下形式的非线性偏微分方程（NLPDE）：
Δ(u, u_x, u_y, u_z, u_t, u_xx, u_xy, u_xz, …) = 0，
其中Δ是函数 u(x, y, z, t) 及其高阶偏导数的多项式。
考虑如下形式的波变换：
u(x, y, z, t) = u(ξ)，其中 ξ = θx + ?y + νz + ?t。
这里θ、ρ、ν、?为任意非零常数，?代表波速。将波变换代入NLPDE，可得以下常微分方程。

(3+1)维B型Kadomtsev–Petviashvili方程的解析分析
为奠定模型数学研究的数学基础，将下述波变换作为解析过程的初始阶段应用于式(1.3)：
u(x, y, z, t) = u(ξ)，ξ = θx + ?y + νz + ?t，
其中 u(x, y, z, t) 是依赖于空间和时间的解函数。参数θ、ρ、ν分别代表波方向在x、y、z方向上的分量，而?表示波速。

仅依赖于常微分方程的数值分析通过RPSM实现。初始条件由t=0时的精确解获得，系数$f_k$由条件$Res_k(x,y,z,0)=0$确定。然后，将第$k$个近似解$u_k$与对应的精确解$u_{ex}$进行比较，通过绝对误差$E_k(x,y,z,t)=|u_{ex}(x,y,z,t)-u_k(x,y,z,t)|$，其中$k=1,2,3$。当满足以下条件时，近似解被认为是可接受的：(a) $E_k$随$k$的增大而减小；(b) $E_k$在整个考虑的区间内保持较小；以及(c) $u_k$与$u_{ex}$的曲面图显示相同的特征。

## 结论

在本研究中，通过采用解析和数值求解方法，获得了为文献提供新贡献的（3+1）维B-KP方程的原始解。在研究范围内，子方程法和Sardar子方程法作为解析求解技术，RPSM作为数值求解方法被应用于所考虑的方程。解析方法的应用结果产生了各种类型的解。

## CRediT作者贡献声明

Ulviye Demirbilek：撰写——初稿、可视化、软件、方法论、调查研究、概念化。

Münevver G?k?em Gülsev：撰写——初稿、软件。

?lknur K?z?l：撰写——审稿与编辑、验证、软件。

Ercan ?elik：监督、形式分析。

## 伦理声明

伦理批准不适用，因为本文不包含任何涉及人类或动物受试者的研究。

## 生成式AI工具使用声明

作者声明在创建本文时未使用人工智能（AI）工具。

## 资助

本研究未从任何来源获得资助。

## 利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所述工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。

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