稀疏集合上对称平方L-函数的振荡与第一个负Fourier系数

《Indagationes Mathematicae》：Oscillations and first negative Fourier coefficient of symmetric square L-functions over a sparse set

　　

**摘要** 设 $sym^2 f$ 表示 Hecke 特征形式 $f \in S_k(\Gamma_0(N))$ 的对称平方提升，其第 $n$ 个傅里叶系数为 $\lambda_{sym^2 f}(n)$。在本文中，我们证明了序列 $\{\lambda_{sym^2 f}(Q(\underline{x}))\}_{Q \in \mathcal{S}_D,\, \underline{x} \in \mathbb{Z}^2}$ 的一阶矩估计，其中 $\mathcal{S}_D$ 表示判别式为 $D$（$D < 0$）的不等价简化形式的集合。更精确地说，我们建立了以下和的上界估计：
$$S(sym^2 f, D; X) = \sum_{\flat} \lambda_{sym^2 f}(Q(\underline{x}))$$
其中求和遍历满足 $Q(\underline{x}) \leq X$、$\underline{x} \in \mathbb{Z}^2$、$Q \in \mathcal{S}_D$ 且 $\gcd(Q(\underline{x}), N) = 1$ 的所有项，符号 $\flat$ 表示求和遍历所有无平方因子正整数。此外，我们还考虑了一个关于傅里叶系数 $\lambda_{sym^2 f}(n)$ 的符号行为的问题，这些系数支撑在由判别式为 $D$ 的简化形式所表示的整数集上。我们根据相关联的 $L$-函数的导子，确定了 $n_{sym^2 f, D}$ 的上界（定义见定理 1.2 之前）。

**分节快照**

**引言与结果的陈述** 算术函数的算术行为和值的分布在解析数论中是一个核心的吸引点。这些算术函数行为中的随机性导致了许多有趣的结果。在这个背景下，算术函数 $n \mapsto \lambda_f(n)$，其中 $\lambda_f(n)$ 是 Hecke 特征形式 $f$ 的第 $n$ 个傅里叶系数，是吸引了许多数学家注意力的有趣主题之一。有许多结果，如非平凡性（non-vanishing）等。

**关键成分** 为了获得我们的结果，我们需要研究定义在 (4) 中的和 $S(sym^2 f, D; X)$。和 $S(sym^2 f, D; X)$ 可以用已知的算术函数表示为：
$$S(sym^2 f, D; X) = \sum_{\flat} \lambda_{sym^2 f}(n) \cdot r_D(n)$$
其中求和遍历满足 $n \leq X$ 且 $\gcd(n, N) = 1$ 的所有项，符号 $\flat$ 表示求和遍历所有无平方因子正整数，$r_D(n)$ 表示 $n$ 由判别式为 $D$ 的简化形式所表示的个数。我们定义与 $r_D(n)$ 相关的生成函数 $\theta_D(\tau)$。

**获得一阶矩上界估计的总体思路：** 令 $1 \leq P \leq X/2$。为了获得定义在 (8) 中的和 $S(sym^2 f, D; X)$ 的上界，我们引入一个光滑紧支函数 $w(x)$，满足：$w(x) = 1$ 对 $x \in [2P, X]$，$w(x) = 0$ 对 $x < P$ 和 $x > X + P$，且 $w^{(r)}(x) \ll_r P^{-r}$ 对所有 $r \geq 0$。一般情况下，对于任何算术函数 $n \mapsto f(n)$，我们有
$$\sum_{n \leq X} f(n) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(b)} \tilde{w}(s) \left( \sum_{n \geq 1} f(n) n^{-s} \right) ds + O\left( \sum_{n < 2P} |f(n)| \right) + O\left( \sum_{X < n < X+P} |f(n)| \right)$$
其中 $b$ 是大于 $\sum_{n \geq 1} f(n) n^{-s}$ 绝对收敛线的正实数，$\tilde{w}(s)$ 表示 $w(t)$ 的 Mellin 变换。

**未引用的参考文献** [5]、[8]、[12]

**利益冲突声明** 作者声明没有利益冲突。

**致谢** 第二作者感谢 ISI Delhi 统计数学单位提供的研究活动机会。作者感谢匿名审稿人提出的宝贵意见和改进文章的建议。

Srinivas Kotyada | Lalit Vaishya