基于菅野积分的多粒度模糊粗糙集模型及其应用

《International Journal of Approximate Reasoning》：Sugeno integral-based multi-granularity fuzzy rough set model and its application

　　

• Sugeno积分用于聚合模糊信息颗粒。
• 建立了一个基于Sugeno积分的多粒度模糊粗糙集模型。
• 提出了一种基于模糊积分依赖的属性约简方法。

引言

自Pawlak提出粗糙集理论[1]以来，它已成为处理不确定和不精确信息的重要数学工具。该理论已被广泛应用于数据挖掘[2]、特征选择[3]、模式识别[4]以及其他领域[5]、[6]。经典粗糙集模型通过在对象之间建立不可分辨关系来处理符号数据。然而，现实世界中的数据往往以连续实值的形态存在，这在一定程度上限制了经典粗糙集的应用范围。为了克服这一局限性，Dubois和Prade将模糊集与粗糙集相结合，提出了模糊粗糙集模型[7]。该模型通过模糊相似关系来衡量对象之间的相似性，从而将粗糙集理论的应用从符号数据扩展到实值数据。与此同时，其他模糊粗糙集模型中提出了不同的模糊关系，如模糊领域关系[8]、模糊等价关系[9]、模糊容忍关系[10]、犹豫模糊关系[11]以及广义模糊关系[12]。基于模糊粗糙集模型，多粒度粗糙集模型[13]、[14]进一步考虑了多个信息源（即多个粒度）之间的协同效应。然而，大多数现有的多粒度模糊粗糙集模型在融合多个粒度的信息时，通常采用简单的逻辑运算作为二级聚合策略，例如乐观型和悲观型多粒度模型。正如文献[15]所指出的，此类模型甚至难以保证上下近似之间的包含关系。这种聚合方法本质上是一种基于单一逻辑规则的纯序关系判断，缺乏描述粒度之间复杂交互关系的能力，从而限制了模型对复杂数据对象的表达能力。在实际应用场景中，不同信息源之间的相关性往往呈现出复杂的非线性特征。因此，引入具有非线性聚合能力的数学工具对于增强模型的表达能力至关重要。

近年来，一些先进的模糊逻辑算子和聚合函数已被与模糊粗糙集模型相结合，以增强其信息融合能力。例如，重叠函数和分组函数已被用于在模糊粗糙集框架中替代传统的t-规范和t-余规范[16]，旨在更好地捕获属性之间的交互作用。同时，作为重要模糊积分之一的Choquet积分也被与模糊粗糙集结合用于属性约简，利用其建模信息源之间非加性交互的能力。然而，这些现有的扩展仍然存在一定的局限性。一方面，重叠函数和分组函数[17]、[18]虽然比基本的逻辑算子更为灵活，但本质上仍是静态的聚合规则，缺乏对不同粒度的重要性变化及相互依赖性的适应性。另一方面，Choquet积分[19]、[20]虽然能够处理非加性关系，但在其计算过程中基于加性测度结构，可能无法完全捕获复杂数据环境中存在的纯非线性和非加性交互。Choquet积分与模糊粗糙集的结合已受到广泛关注，但作为另一种积分类型的Sugeno积分，其与模糊粗糙集的融合尚未得到解决。

Sugeno积分[21]、[22]作为一种重要的非线性聚合函数，当与模糊测度[23]结合时，可以有效描述不同信息源之间的交互作用。模糊测度是传统概率测度的推广，放弃了加性假设，仅要求单调性，因此本质上具有描述非加性交互关系的能力。在聚合函数理论中，模糊测度在评估被聚合对象之间的相互关系中起着关键作用。受此启发，现有研究已尝试将Sugeno积分应用于分类系统[24]、不确定决策[25]、面部和指纹识别[26]、图像处理[27]以及其他领域[28]、[29]、[30]，取得了令人鼓舞的成果。然而，与传统模糊粗糙集模型相比，后者无法很好地考虑属性之间的相关性，因此有必要将基于模糊测度的Sugeno积分引入多粒度模糊粗糙集模型中。

基于上述分析，本文提出了一种基于Sugeno积分和模糊测度的新型多粒度模糊粗糙集模型。该模型利用Sugeno积分对多个模糊关系的下近似和上近似结果进行非线性融合，从而克服了传统线性聚合方法在信息融合能力方面的局限性。本文的主要贡献包括：建立了一个基于Sugeno积分的多粒度模糊粗糙集模型，并证明了该模型在常见条件下满足单调性和包容性等重要性质；在此基础上，提出了一种基于模糊积分依赖的属性约简方法，并设计了相应的启发式算法。本文提出的方法在理论上保留了经典粗糙集的核心优势，同时显著增强了其融合多粒度信息的能力。通过对多个UCI数据集的实验，本文将所提出的模型与各种主流的模糊粗糙集约简方法进行了比较，结果验证了其在分类准确率和约简效果方面的优越性。本文的流程图如图1所示。

本文后续结构安排如下：第2节回顾了模糊测度、Sugeno积分、模糊集和模糊粗糙集的相关概念；第3节定义了基于Sugeno积分的多粒度模糊粗糙集模型并分析了其性质；第4节提出了基于该模型的属性依赖度量和变精度约简方法；第5节通过UCI数据集上的数值实验验证了模型的有效性；第6节总结了本文的结论。

## 小节片段

### 基础知识

本节介绍了模糊测度、Sugeno积分、模糊集和模糊粗糙集的基本定义和性质。在本文全文中，所有非空有限集均被视为论域，用U表示。

### 基于Sugeno积分的多粒度模糊粗糙集

本节提出了一种在Sugeno积分框架基础上构建的新型多粒度模糊粗糙集模型。该模型将Sugeno积分与模糊测度相结合，其正式定义如下：

**定义6** 给定论域U，设??={??1,??2,?,????}为U上的一族模糊关系。??为??幂集上的模糊测度。对于任意模糊集M ∈ F(U)，M的基于Sugeno积分的多粒度模糊下近似和上近似分别记为??…

### 所提模型下的属性约简

本节提出了基于前述多粒度模糊粗糙集模型的属性约简算法。该算法针对决策表(??,??∪??)，其中??={??1,?,????}为条件属性集，??={??1,?,????}为决策属性集。对于每个条件属性a ∈ C，我们定义一个模糊相似关系Ra如下：对于每一个xi, xj ∈ U，

????(????,????)=max(min(??(????)???(????)+σ_??/σ_??, ??(????)+σ_?????(????))/σ_??, 0)

然后，对于每一个E?C，我们设????={????:??∈??}。对于…

### 实验研究与评估

为了评估所提属性约简方法的有效性和适用性，在从UCI机器学习库获取的十个基准数据集上进行了一系列对比实验。在所有实验中，采用集成Sugeno积分的多粒度模糊粗糙集模型作为核心方法。实验平台由运行64位Windows系统的台式计算机组成，配备Intel(R) Core(TM) i7-10700F CPU…

### 结论

在本文中，我们提出了一种将Sugeno积分与非加性模糊测度相结合的新型多粒度模糊粗糙集模型。与依赖基本逻辑算子进行信息融合的常规方法不同，我们的模型提供了更为灵活和强大的聚合框架。本文的主要贡献概述如下：
• 通过集成Sugeno积分与模糊测度构建了一个多粒度模糊粗糙集模型。得益于…

### 利益冲突声明

作者声明，在本文的发表方面不存在利益冲突。

### CRediT作者贡献声明

Qingzheng Jiao：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，方法论，调查研究。Jingqian Wang：撰写—审阅与编辑，资源，调查研究，资金获取，概念化。

### 竞争利益声明

作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些可能影响本文所报告的工作。

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