正规曲面上孤立非正规奇点的逐纤维正规化与同时正规化

《Journal of Algebra》：Fiberwise and simultaneous normalization of isolated non-normal singularities over normal surfaces

　　

## 摘要

Greuel 和 Pfister [12] 证明了在主理想整环的谱上，孤立非正则奇点族的逐纤维正则化和同步正则化的德尔塔恒定性判据，并提出能否将底空间替换为正则概形的问题。本文建立了在优秀正则曲面芽上的条件性余维数二推广。对于纤维维数正、相对正则化缺陷有限、且约化与底变换相容的平坦族，考虑其两项正则化复形。其上同调由幂零缺陷和正则化缺陷组成。若后者关于底空间自由且正则化后总空间沿闭纤维满足 $S_3$ 条件，则修正德尔塔不变量局部恒定当且仅当总正则化诱导每条纤维的正则化。当所有余域完备时，这等价于同步正则化。在正则曲面底上，正则化缺陷的反射性即足够。证明给出了一个底变换稳定的缺陷公式以及余维数二平坦性障碍的 Fitting 理想判据。我们还对曲线奇点、$d$ 维环 $\mathbb{K} + \mathfrak{m}^q$ 以及带嵌入分量和不带嵌入分量的二参数族给出了显式计算。

## 引言

族上的正则化是形变理论、交换代数和等奇性的交汇点。给定一个平坦态射 $f: X \to S$，在标准有限性假设下，每条纤维的正则化均存在，但逐纤维正则化未必由 $X$ 的一个有限修正诱导。同步正则化是一个有限态射 $\nu: \tilde{X} \to X$，使得 $\tilde{f} = f \circ \nu$ 平坦且所有几何纤维 $\tilde{X}_{\bar{t}}$ 均为正则的。这里 $\bar{t} \to S$ 表示 $t \in S$ 上方的几何点；因此在选定代数闭包后，有 $\tilde{X}_{\bar{t}} = \tilde{X}_t \times_{k(t)} \bar{k(t)}$。$\bar{t}$ 上的横线记号表示几何底变换，而 $\tilde{X}$ 上的波浪号记号表示正则化。除其在等奇性中的内在作用外，同步正则化也是整闭包代数的自然平坦化问题；参见 Chiang-Hsieh–Lipman [4] 和 Kollár [14]。

对于约化曲线奇点，其局部环在其正则化中的补长为经典的德尔塔不变量。Teissier 的判据指出，正则底上的约化曲线族可以同步正则化当且仅当德尔塔局部恒定 [22]；其代数和解析细节在 [4] 中得到澄清。Brücker 和 Greuel [2] 通过减去幂零根的长度将嵌入点纳入考虑。这一修正不变量随后在 [8]、[15]、[16] 中被用于高维光滑底上的泛约化平面曲线和孤立曲线奇点的等正则化形变。Greuel 将该不变量推广到任意维度的孤立非正则奇点（INNS），并在 [7] 中建立了一参数解析判据。

最近的代数进展归功于 Greuel 和 Pfister。对于 $\operatorname{Spec} A$ 上的 INNS 平坦族，其中 $A$ 为任意主理想整环，他们证明了修正德尔塔不变量的半连续性，以及当纤维无孤立点时德尔塔恒定性与逐纤维正则化的等价性。在余域完备的条件下，这是一个同步正则化判据。他们的证明本质上用到了有限无挠 $A$-模是自由模这一事实。他们明确猜想当 $A$ 为正则环时结论仍然成立，并指出非约化纤维是主要困难所在 [12, 定理 22 和 33，以及推论 34]。他们在该推论之后明确提出了正则底问题 [12, p. 193, 推论 34 之后]。一种互补的参数化设定在 [13] 中被研究，其中约化曲线奇点作为参数化族的逐纤维像出现，而非作为平坦态射的纤维。

本文处理第一个余维数二的情形。设 $(S, s) = \operatorname{Spec}(A, \mathfrak{m})$ 为一个优秀正则曲面芽，$f: X \to S$ 为平坦态射。若 $B$ 为总代数 $R$ 之约化的正则化，则正扩展导子在有限条件下，正则化复形 $\mathcal{N}_f^\bullet = [R \longrightarrow B]$ 的两个上同调模关于 $A$ 有限。它们分别记录幂零缺陷和正则化缺陷。在穿孔正则曲面上，只要它们是反射的，就局部自由；剩余问题集中在闭点处。这使问题成为一个真正的 Hartogs 型延拓问题，但有一个关键警示：在奇异正则曲面上的反射模未必自由或平坦。因此，在 [12] 的证明中，"反射"不能简单地替换"主理想整环上的无挠"。

我们的主要结果具有几何形式。假设约化与底变换相容，且正则化后总空间沿闭纤维满足 $S_3$ 条件。则幂零缺陷由约化的 Tor 序列自动给出自由性。我们直接假设正则化缺陷为有限自由 $A$-模。在正格局面芽上，反射性加上有限射影维数由 Auslander–Buchsbaum 公式给出自由性的等价充分条件。在正则曲面上，有限射影维数自动成立，仅反射性即足够。由此得到的公式为
$$\delta(X_t) = \delta(\tilde{X}_t) + \operatorname{rank}_A \mathcal{D}_f - \operatorname{rank}_A \mathcal{N}_f, \quad t \in S.$$
最后两项与 $t$ 无关。由于泛正则纤维是正则的，德尔塔恒定性迫使每个 $t$ 上 $\delta(\tilde{X}_t) = 0$。$S_3$ 假设提供了正则化闭纤维缺失的约化性，因此德尔塔为零等价于正则性。

正则曲面与奇异正则曲面的区别并非表面的。在 $A_1$ 曲面 $A = k[[a,b,c]]/(ab - c^2)$ 上，理想 $(a, c)$ 是一个秩一的非自由反射模。因此，仅基于 $S_2$ 或反射性的论证无法证明正则化代数的平坦性。我们的 Fitting 障碍恰好记录了这一失败。这一观察既修正了曲面底陈述的朴素形式，又给出了一个实用假设，在此假设下 Greuel–Pfister 的猜想性推广成立。

本文的组织如下。第 2 节发展后续所需的深度和塞尔条件，确立代数和几何设定，并回顾德尔塔不变量和同步正则化。第 3 节陈述主定理及其正则、Cohen–Macaulay、约化和解析推论。第 4 节证明底变换、约化性、缺陷和正则性命题，追踪 Tor 和深度论证。第 5 节给出 Fitting 和深度检验、计算流程、显式的二参数例子以及纤维维数一及以上的德尔塔闭式公式。

## 节选

### 深度和塞尔条件

我们从交换代数的输入开始，这些输入取代了主理想整环上可得的初等模论。若 $(C, \mathfrak{n})$ 为 Noether 局部环，$M$ 为有限 $C$-模，则 $\operatorname{depth}_C M$ 为 $\mathfrak{n}$ 中包含的 $M$-正则序列的最大长度。我们约定零模的深度为无穷。

**定义 2.1** 设 $C$ 为 Noether 环，$M$ 为有限 $C$-模，$r \geq 1$。若对每个 $\mathfrak{p} \in \operatorname{Supp}(M)$ 都有
$$\operatorname{depth}_{C_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} \geq \min\{r, \dim M_{\mathfrak{p}}\},$$
则称模 $M$ 满足塞尔条件 $S_r$。一个概形满足 $S_r$ 条件是指所有…

### 主要结果

以下定理给出了优秀正则曲面芽上的德尔塔判据。

**定理 3.1** 设 $(S, s) = \operatorname{Spec}(A, \mathfrak{m}, k)$ 为一个优秀正则曲面芽，$f: X \to S$ 满足 (H1)–(H3)。设 $\nu: \tilde{X} \to X$ 为 $X^{\operatorname{red}}$ 的正则化。假设：
(a) 正则化缺陷 $\mathcal{D}_f$ 为有限自由 $A$-模；
(b) $\tilde{X}$ 在闭纤维中每个纤维局部维数为正的点上满足 $S_3$。

则下列等价：
(i) $\delta_{k(t)}(X_t)$ 在 $S$ 上局部恒定；
(ii) $\nu: \tilde{X} \to X$ 是 $f$ 的逐纤维正则化。若每个…

### 主要结果的证明

我们通过四个引理证明该定理。前两个引理隔离了曲面情形与主理想整环情形的两个差异点：闭点处的平坦性以及截去两个参数后的约化性。第一个引理给出总正则化的平坦性。

**引理 4.1** 假设 (H2)–(H3) 且 $\mathcal{D}_f$ 关于 $A$ 有限自由。则 $B$ 关于 $A$ 平坦。此外，$\mathcal{N}_f$ 和 $\mathcal{D}_f$ 为有限自由 $A$-模，且 (2)–(3) 在 $S$ 上的任意底变换后仍然保持恰当。

**证明** 由 (H3)，$R$ 和 $R^{\operatorname{red}}$ 关于 $A$ 平坦。设 $L$ 为任意 $A$-模。

### 有效检验与计算

本节是定理 3.1 的有效伴随。其目的不是用黑箱算法取代几何判据，而是为其每个假设识别具体的代数证书，并通过模型例子和反例说明这些假设存在的理由。我们首先将自由性、约化相容性和 $S_3$ 条件翻译为表示论检验。然后分别在维数…中单独计算修正德尔塔不变量的两个项。

### 结论

对于优秀正则曲面芽上约化相容的正维数 INNS 平坦族，正则化复形将幂零修正与有限正则化缺陷分离开来。正则化缺陷的自由性消除了余维数二的平坦性障碍，而正则化后总空间的 $S_3$ 条件保证了约化的正则纤维。由此得到的缺陷公式使德尔塔恒定性等价于逐纤维正则化，且在余域完备时等价于同步正则化。

## 手稿准备过程中生成式 AI 和 AI 辅助技术的使用声明

在本工作准备期间，作者使用 OpenAI 的 ChatGPT 辅助进行语言编辑、数学论证的呈现以及文献和引文核查。作者对输出内容进行了审阅和编辑，并对已发表论文的内容承担全部责任。

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