最小偏向角折射测量法的改进以提高光学成像系统折射率拟合的物理意义：I，理论

《Optical Engineering》：Enhancement to minimum deviation refractometry for increased physical meaning of refractive index fits for optical imaging systems: I, theory

　　这项工作通过利用近法向反射率的最小偏向角折射法，提高了光学材料的折射率拟合精度。最小偏向角折射法通过一种实验方法得到改进，用于表征和传播来自设备和样品的相关误差与不确定度。文中介绍了误差来源，如机械限制、样品几何形状、光束形状限制、横向光束灵敏度、样品材料的内部吸收，以及样品表面面形和粗糙度。由于将数据拟合到机械步进范围内，机械限制得以缓解。所有其他误差来源可通过额外的样品信息减少为测量偏移。用于折射率数据的近法向反射率测量误差，通过将数据固定到最小偏向角数据来减轻，从而增加拟合的物理意义。本文提出了一种加权镜面反射模型，以解释由样品表面粗糙度引起的波长依赖效应。第二部分将包含本工作的实验验证。
1. 引言
随着光学系统设计变得越来越复杂，例如将波长区域扩展到单个波段之外、增加变焦功能以及要求严格的制造公差，内在需求是提高折射率计量的精度和准确度。光学系统复杂性的增加也可能要求放宽透射公差。对于大尺寸光学系统，这表现为牺牲波段边缘附近的透射率，或为困难的镀膜规格提供额外余量。1?3 在消费电子相机等小尺寸系统市场需求日益增长的情况下，放宽透射公差可能允许使用内部吸收更高的材料，因为透镜厚度小于1毫米，使吸收的影响降至可忽略水平。???
有许多测量折射率的方法，尽管为了新应用或技术集成正在开发更新的方法，但目前报道的公差为±0.001或更大，对于体光学器件来说不够。?,? 商业上可用于体光学器件的几种常见计量技术包括棱镜耦合、椭偏法、阿贝折射法和最小偏向角法。??11 大多数棱镜耦合仪器限于离散波长，通常是激光线，精度为±0.001。?,12 阿贝折射计的限制出现在需要折射率匹配液时，其值大于1.6，需要使用如Sb?Br?、SbBr?、C?H?AsI?和CH?I?等危险且保质期有限的材料。13 寻求更高精度和准确度时，剩余的技术是椭偏法和最小偏向角法，它们作为宽带系统允许用户确定测量波长，并且可以一致地测量到±0.0001或更好。尽管椭偏法基于反射率，最小偏向角法基于折射，但它们有相似的局限性，源于样品表面条件、光学各向异性、空间色散、光源限制、波长隔离或处理，以及所用设备的机械限制。椭偏法基于偏振光与材料的响应，也会受到去偏振的影响，而基于折射的最小偏向角法会受样品几何形状的影响，超出单一表面的范围。1??1?
本工作旨在通过识别误差和/或不确定度的来源，并将许多误差转化为测量中的偏移，来改进最小偏向角折射法。本工作处理的最小偏向角误差包括：仪器的机械误差；探测器灵敏度；来自单色器参数的仪器光学误差；光学元件对准；以及样品属性：几何形状、表面面形、粗糙度和内部吸收。一旦误差被考虑或调整，它们可用于创建具有预期误差的样品规格，和/或通过补充测量，放宽样品制备公差并减小误差。最近在最小偏向角折射法中的改编和修改也可以受益于对测量中不确定度和误差的全面理解。1?
由于在实践中高保真度，最小偏向角法已被用于创建标准。1?,2? 这种保真度是通过对样品和样品制备的严格公差来降低测量误差实现的，如本工作撰写时由M3 Measurement Solution Inc.的样品规格所定义。本工作将评估使用M3 PrismPro的最小偏向角折射法的功能及随后的误差来源，然后展示如何利用近法向反射率测量，并参考最小偏向角测量，将折射率信息扩展到材料的体透射窗口之外。本工作将展示相应误差来源以推断折射率曲线，这可以增加Sellmeier拟合函数系数的物理意义。
在材料透射窗口内测量的最小偏向角折射法数据，对于体光学系统至关重要。随着光学系统缩小并利用小于1毫米的材料厚度，在体材料中被吸收的波长可能开始被使用。21 如果最小偏向角技术不能通过测量样品提供足够强的信号，折射率信息就会丢失，只能外推。需要一种额外的技术来找到高吸收区域的折射率值。基于反射率的折射率测量在找到这些信息方面将更有效。反射率技术有助于最小化外推指数的误差，并且随着更多数据作为波长的函数，将产生更接近控制机制/振荡特征的拟合参数。本工作应用于13种材料，包括玻璃和晶体，覆盖可见光阿贝图区域和/或红外阿贝图区域，具体在第二部分中介绍。
2. 最小偏向角折射法
理解最小偏向角的结构和功能对于报告正确的折射率值及其相关误差是必要的。图1显示了M3 Measurement Solution Inc.（M3）最小偏向角折射仪的结构示意图和照片，它利用两种宽带光源的选择：用于可见光到中波红外的钨灯，以及用于波长超过5微米的Globar灯，并可选集成激光线。光源通过Gooch & Housego OL750单色器照射，以根据光栅/波长和所用狭缝隔离波长。狭缝用于单色器的入口和出口，宽度范围从0.125到5.0毫米。制造商报告的波长准确度为0.05%，光栅的精度为0.01%。单色器的输出带宽取决于光栅和狭缝，范围从0.5到20纳米。从单色器出来，光路利用反射镜元件将发散光源准直到样品。光源、单色器和光束整形光学元件都封装在图1(b)左侧的M3 PrismPro-IR外壳中。
图1
下载
全尺寸图像
(a) 最小偏向角折射法中通过样品的光路示意图，其中通过找到偏向角来测量材料的折射率。(b) 仪器在测量位置的照片。
样品具有楔形或棱镜几何形状。图2显示了通过一个折射率高于周围介质的楔形件的典型光束路径。样品安装在倾斜/俯仰/旋转支架上，并固定在旋转台上，位置精度为0.00002度。样品架是Newport GM-1RA万向旋转支架，一种铝制夹具，通过调节旋钮提供360度滚珠轴承旋转，并能够通过连续俯仰螺钉进行±5度的倾斜。光路通过样品和样品架到达距离样品约600毫米的两个离轴抛物面镜（OAP）之一。所用的OAP由所需波长和在该波长下使用的探测器决定。钨光源用于400到5000纳米，而Globar用于5000纳米以上的波长。单色器中光栅的波长范围分别为300到1500纳米、1200到3500纳米、2500到7000纳米和7000到16000纳米。探测器波长如下：硅用于400到1000纳米，铟镓砷用于1000到1800纳米，汞镉碲用于1700到14000纳米。
图2
下载
全尺寸图像
光束通过棱镜的几何考虑。灰色实线是光束路径，灰色虚线是扩展光束方向，橙色点划线是楔形面的法线。
最小偏向角折射技术利用斯涅尔定律，n? sin θ? = n? sin θ?，得出光在具有不同折射率的材料界面处的角度关系。光束起始材料的折射率为n?；n?是光束进入材料的折射率（在此情况下为楔形或棱镜）。当斯涅尔定律通过楔形或棱镜推导时，光束通过棱镜的角偏向角δ可由式(1)表示：
δ = θ? ? α + sin?1((n?/n?) sin(α ? sin?1((n?/n?) sin θ?)))。
当偏向角作为固定材料折射率下入射角的函数绘制时，如图3所示，存在一个最小偏向角，对应于光路通过材料时垂直于α的平分线。
图3
下载
全尺寸图像
对于固定折射率为2.8的材料，偏向角作为入射角的函数，对于各种楔形顶角。
图3还显示了最小偏向角随楔形顶角α的变化。随着顶角增大，偏向角增加，最小偏向点也随之增加，如较粗的橙色线所示。
对于最小偏向角条件，γ? = γ?，θ? = θ?，θ? = θ?，线DE和线BC平行。求解最小偏向角几何中的角偏向δm，得到式(2)：
δm = 2 sin?1((n?/n?) sin(α/2)) ? α。
如果我们假设n?是空气且固定，那么作为材料折射率和楔形角函数的最小偏向角可以可视化，如图4所示。
图4
下载
全尺寸图像
最小偏向角作为材料折射率和样品楔形角的函数。
初始仪器设置使用Taylor Hobson TH097 [142-210-01 ULTRA]自准直仪测量楔形角，并结合用户估计的折射率来确定最小偏向角以及随后的零件和探测器角度进行测量。由M3产生的折射率值是两次独立测量（一次通过楔形的每一侧）的平均值。单侧测量由三次独立扫描组成：快速扫描（0.1度/秒）定位信号，较慢扫描（0.025度/秒）微调信号通过楔形的位置，以及步进函数扫描（步长0.01度）。对最终扫描的数据拟合高斯曲线，使用拟合最大值的位置作为偏向角δ，并求解n?。n?的推导结果如式(3)：
n? = n? sin(α) √( (sin(δ ? θ? + α) + cos(α) sin(θ?))2 + (sin2(θ?) sin2(α)) )。
3. 机械仪器误差
像任何计量设备一样，理解误差来源的限制对于测量的置信度至关重要。对于M3，单次测量的测量误差包括机械限制、仪器的光学限制、样品几何形状、样品的光学特性和样品的表面面形。如果已知每个标准的信息，可以校正样品的厚度、表面面形和内部吸收。如果校正值无法测量，误差计算可用于定义制造和测量的样品制备规格。使用斯涅尔定律和最小偏向角几何考虑，可以由用户输入或设备测量的变量建立θ?的以下关系。为了得到用实验的用户定义或测量值求解n?的方程，图2中的几何关系可以求解θ?：
式(4) θ? = sin?1((n?_est / n?) sin(α/2))，
这导致n?作为用户输入n?_est和测量值α和δ的函数方程。温度也被测量，用于校正n?，即给定温度下空气的折射率。
式(5) n? = n? sin(α) √( (sin(δ ? (sin?1((n?_est / n?) sin(α/2))) + α) + (n?_est / n?) cos(α) sin(α/2))2 + (sin2(sin?1((n?_est / n?) sin(α/2))) sin2(α)) )。
3.1. 探测器步进误差
由于机械限制，仪器中存在固有误差。旋转台的步进精度位置精度为0.00002度，自准直仪测量的精度为0.00005度。n?上的总机械误差由两个自准直仪测量、样品台和探测器臂之间n?方程中的传播决定。

图5展示了Δn?作为探测器臂步进尺寸（Δδ）的函数，以及n?_est和α的影响。

图5 下载完整尺寸图像 探测器臂机械步进引起的折射率误差，通过n?方程传播，作为顶角的函数。绘制了不同的折射率。

折射率越高或顶角越大，步进重复性误差对测量的影响就越小。该仪器和本研究中样本规格的一般范围是n?为1.4到4，α为6到20度。这是探测器台步进对误差的最大影响。测量中对数据进行高斯曲线拟合，因此可以在分辨率点之间找到峰值并最小化该误差。使用此范围，即使在测量的信噪比很低的情况下，也可以使用n?(误差，探测器步进)方程进行误差计算。在这种情况下，高斯拟合可能不足，因此测量更加依赖步进分辨率。简化误差计算时使用测量范围中最低的折射率1.4，以及探测器步进的误差函数，当高斯拟合较差时，该函数可以仅由α定义。该函数仅设计用于拟合α的标准测量范围，即n?(误差，探测器步进)=4.3643×10?1?·α??3.3078×10??·α3+9.5465×10??·α2?1.3037×10??·α+8.3467×10??。

3.2. 自准直仪误差

其他机械误差来自α的测量和θ?的确定。它们受到样本台误差的影响，其定心误差为0.00002度，以及自准直仪误差ACerr，其误差范围为0.00005到0.0133度。ACerr由台定心误差、自准直仪分辨率和样本表面质量的综合作用引起。自准直仪用于通过从样本表面反射的准直光束识别给定角度下面的中心。因此，功率和不规则性会扭曲该光斑。功率越高、不规则性越大，低信号导致寻找中心时产生波动，增加来自自准直仪的误差。可以在自准直仪光路中加入光学光阑以最小化样本边缘效应，这可能扭曲自准直仪测量。方程(4)表明折射率将是f(n?, α, ACerr)，在n?（1.4到4）、α（6到20度）和ACerr（0.00005到0.0133）的常见范围内进行计算，其中ACerr是楔形两侧自准直仪的附加测量误差。此误差用于偏差方程中生成计算误差矩阵。图6(a)展示了不同n?在给定ACerr下误差随α变化的趋势。图6(b)展示了图6(a)的对数-对数图，以及为什么可以使用对数-对数线性回归进行经验拟合。

图6 下载完整尺寸图像 (a) 在ACerr为0.000083度的情况下，一系列n?的n?(误差)作为α的函数。 (b) (a)的对数-对数图。

使用对数-对数线性回归以经验方式识别误差的个别贡献，形式为式(7)：
n?(误差，ACerr)=10^(m?·log(α)+b?)

图7中绘制了不同n?下作为ACerr函数的计算斜率。各种ACerr的点彼此重叠，作为ACerr的函数变化可忽略不计，可在经验拟合中忽略。图7中的结果趋势显示出简单的经验抛物线趋势。

图7 下载完整尺寸图像 不同ACerr下作为n?函数的斜率(m?)。

因此，m?仅为n?的函数，经验表示为：m?=0.00299·n?2+0.00525·n??0.98531。截距b?不具有简单的线性关系。图8展示了不同ACerr下截距值随n?变化的趋势。尽管对数回归接近此趋势，但在图8中与1/n?作图得出更好的线性趋势。

图8 下载完整尺寸图像 最小偏折测量的ACerr的经验拟合b?。

来自ACerr的斜率差异再次可以忽略不计，得出以下方程：
式(8) b?=?1.75521/n?+b?

这使得b?仅成为ACerr的函数。b?的对数具有线性关系，形式为b?=log(6.915·ACerr+1.9×10??)。来自ACerr的完整误差方程为式(9)：
n?(误差，ACerr)=10^((0.00299·n?2+0.00525·n??0.98531)·log(α))+(?1.75521/n?+log(6.915·ACerr+1.9×10??))

此误差方程相对于完全计算值的误差标准差为1.5%。总设备误差给出为：n?(误差)=n?(误差，探测器)+n?(误差，ACerr)。这应该是单次扫描测量使用的最大设备误差。通常，通过使用软件中的高斯拟合可以减少此误差。这应至少将机械步进误差减少一个因子2，在大多数情况下效果会更好。高斯拟合的质量以及测量中的噪声在影响高斯保真度方面发挥作用，从而降低测量误差。

4. 设备角度灵敏度

为了理解折射率作为厚度的函数变化，需要考虑样本之后的光路。系统使用OAP（离轴抛物面镜），将准直光束聚焦通过狭缝或MCT探测器。通过利用样本台直径上独立的七个2毫米孔径完成空间测试，以了解光束形状和部件上的角度差异。光束形状和角度差异源于单色仪固有的波长依赖性、准直光学系统、OAP不规则性和OAP对准。光束形状的参数为单色仪狭缝和光源功率。尽管光源功率影响不大，但单色仪狭缝在光束形状和位置方面起作用。随着单色仪中的光栅将光色散，预期位于光栅之后的狭缝在改变光束形状和峰值位置变化方面起最大作用。位置强度测量在所有入口狭缝选项中取平均值，并在所有点上得出标准差<4%，证实入口狭缝的影响极小。光束形状归一化为最大强度1，并与高斯分布拟合。增大狭缝尺寸引入了明显的第二个峰值，需要两个高斯分布来拟合强度曲线。两个高斯分布的权重作为出口狭缝尺寸的函数变化。高斯拟合以及符合强度测量误差的相应权重列于表1中。

表1 随着出口狭缝变化产生信号的两个高斯峰值，列出光束信号的拟合参数，包括位置均值和标准差，以及每个峰值在不同出口狭缝尺寸下的归一化权重。

高斯分布 | 各出口狭缝尺寸（毫米）下每个峰值的归一化权重 | 标准差 | 均值
0.125 | 0.25 | 0.5 | 1.25 | 2.5 | 5 | 中心光束 | 5.5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0.9 | 0.45 | 0.1
侧光束 | 3 | 2 | 2 | 0.2 | 0.45 | 0.7 | 1 | 1 | 1

图9展示了根据表1参数，光束形状随狭缝尺寸演变的情况。该图展示了增大出口狭缝如何在样本边缘产生更高强度峰值，最终压倒中心峰值。

图9 下载完整尺寸图像 不同出口狭缝尺寸下光束形状的演变。狭缝尺寸单位为毫米。

仅使用出口狭缝0.125毫米，图10(a)展示了角度测量在样本上的变化情况。存在贯穿样本质心的趋势，边缘测量值明显偏离该趋势。由于功率低以及对峰值确定的后续输入以及方程(10)中的几何截断，大多数测量中偏离的端点将被忽略。应注意，样本直径作为检测弧上的弦给出的角度差异约为2.4度，但OAP设计用于将输出光口的准直光引导至单一焦点，因此将角度偏移显著降低至0.125毫米出口狭缝测量质心的<0.13度。样本质心趋势与线性函数拟合。图10(b)展示了相应出口狭缝的质心位置趋势。质心趋势显示随着出口狭缝尺寸增大，斜率增加。

图10 下载完整尺寸图像 (a) 与中心孔径相比的角度变化，线性拟合排除边缘测量值，(b) 绘制狭缝尺寸0.5、1.25和5.0毫米的中心孔径及线性拟合。

孔径测试旨在展示样本上的位置偏移和实际角度位置变化。每个出口狭缝的质心斜率可用于计算厚度误差计算中的角度差异。2毫米孔径在22毫米样本台孔径直径上以3毫米中心间距排列。使用0.125毫米出口狭缝，本研究仪器配置的角度位置变化为每毫米0.0061度。表2列出了不同出口狭缝下的角度斜率变化。

表2 探测器测量的不同出口狭缝尺寸下每毫米的角度位置变化。

出口狭缝（毫米） | 斜率（度/毫米）
0.125 | 0.00606
0.25 | 0.00617
0.5 | 0.01040
1.25 | 0.02735
5.0 | 0.06435

从0.125毫米狭缝到0.25毫米狭缝，斜率变化不显著。除非因信号强度绝对必要，否则不应使用大于0.25毫米的出口狭缝，因为较大狭缝引起的斜率变化与引入的第二峰值可能掩盖真实测量。

5. 样本几何形状

5.1. 法线位置偏移

样本几何形状和制备是潜在误差来源。在制作样本和进行测量之前，应理解其限制，以确保对测量值具有高置信度。样本几何形状和估计折射率影响θ?，进而最小化测量光束直径。样本厚度、表面图元和材料的吸收性可能影响结果测量。样本几何形状和样本台有可能通过截断光束信号的一侧向系统引入误差。大多数样本由平-平零件制成，其中一个平面侧上加工出楔形，类似于图11中的示意图。

图11 下载完整尺寸图像 楔形样本的横截面。

轮廓线是楔形样本横截面的示例。在最小偏折条件下，样本旋转使得参与样本的总光束直径为θ?的余弦乘以样本台孔径直径。图11显示在最小偏折条件下，材料中的光路垂直于α的角平分线，并在平面上加工楔形时产生光束的自然截断。结果光束直径可使用方程(10)计算：
式(10) d_beam=(d??h??·tan(α/2))·cos(θ?)

其中d_beam是最终向探测器传播的结果光束直径或宽度，d?是初始样本台孔径/挡光板直径，h??是楔形厚度在最短点的高度，θ?可通过式(11)计算：
式(11) θ?=δ?+α/2

由于软件中的高斯拟合，不建议样本使光束从第二项减少超过第一项贡献的25%，否则峰值可能偏斜。此标准见于式(12)：
式(12) 25%
潜在截断误差受部件厚度影响。

5.2. 法线位置偏移

部件厚度还有可能导致返回探测器的结果光束发生偏移。探测器和样本台具有相同的旋转轴。标准m3样本台垫片设计使得"平面"侧——即垂直于侧壁的楔形平面侧（图12中的底部表面）——距旋转中心3毫米。m3规定的中心厚度ct为6毫米，以最小化因分别测量每一侧而产生的潜在厚度误差。图12中用粗轮廓线展示了理想样本的横截面。

图12 下载完整尺寸图像 法线位置下带有与误差推导相关的几何点和数值的楔形横截面。

旋转中心由与法线侧直径?2的一半处交点以及α角平分线相交对应的深色圆圈表示。当探测器沿此轴旋转时，理想的角度偏折测量应来自此原点，如实线箭头路径及其在材料中的延伸所示。 2) (d?·cos(θ?)) 潜在截断误差受部件厚度影响。 5.2. 法线位置偏移 部件厚度还有可能导致返回探测器的结果光束发生偏移。探测器和样本台具有相同的旋转轴。标准m3样本台垫片设计使得"平面"侧——即垂直于侧壁的楔形平面侧（图12中的底部表面）——距旋转中心3毫米。m3规定的中心厚度ct为6毫米，以最小化因分别测量每一侧而产生的潜在厚度误差。图12中用粗轮廓线展示了理想样本的横截面。 图12 下载完整尺寸图像 法线位置下带有与误差推导相关的几何点和数值的楔形横截面。>
潜在截断误差受部件厚度影响。

5.2. 法线位置偏移

部件厚度还有可能导致返回探测器的结果光束发生偏移。探测器和样本台具有相同的旋转轴。标准m3样本台垫片设计使得"平面"侧——即垂直于侧壁的楔形平面侧（图12中的底部表面）——距旋转中心3毫米。m3规定的中心厚度ct为6毫米，以最小化因分别测量每一侧而产生的潜在厚度误差。图12中用粗轮廓线展示了理想样本的横截面。

图12 下载完整尺寸图像 法线位置下带有与误差推导相关的几何点和数值的楔形横截面。

旋转中心由与法线侧直径?2的一半处交点以及α角平分线相交对应的深色圆圈表示。当探测器沿此轴旋转时，理想的角度偏折测量应来自此原点，如实线箭头路径及其在材料中的延伸所示。>假设旋转中心????位于等分距离处，理想几何关系应满足公式(13)：

公式(13)：
???? = (?1?? · tan(??) + ?/2) · tan(??/2)

为了理解测量中的角度差异，物理偏移量????定义如下：????为法向位置的偏差偏移，????为楔形位置的偏差偏移，其中????是光束路径从旋转中心起算的附加偏移，源于样品厚度与理想样品的差异。图12展示了本研究所称的“法向”取向，用下标??表示。

为求????的值，我们首先从公式(14)中求出?1??：

公式(14)：
?1?? = (???? / tan(??/2) ? ?/2) · tan(??)

求得?1??后，可计算??：
?? = (?1?? ? ?1??) · cos(??)

利用??，再通过公式(15)求出从理想样品表面到实际样品表面的光束路径延长量bp??：

公式(15)：
bp?? = ?? / cos(??/2)

其中bp??与????的关系如公式(16)所示：

公式(16)：
???? = bp?? · sin(????/2)

由此得到公式(17)，以可测量或可计算的变量表示????：

公式(17)：
???? = (((???? / tan(??/2) ? ?/2) · tan(??) ? ?1??) · cos(??) · sin(????/2)) / cos(??/2)

法向位置的偏移需与楔形位置的偏移进行比较。

**5.3 楔形位置偏移**

在楔形几何中，????是图13所示的关注长度。????的推导首先求出??，即样品楔形表面距理想样品楔形表面法向的距离。

图13
下载
全尺寸图像
楔形位置下的楔形横截面，标示了与误差推导相关的几何点和数值。

如果将??移动到入射光束进入样品的位置，可通过公式(18)求出??section：

公式(18)：
??section = ?? / cos(????/2 + ??/2)

求得??section后，可通过公式(19)求出从样品光束路径到理想光束路径的偏移距离bp??：

公式(19)：
bp?? = ??section · sin(????/2)

其中bp??为光束路径偏移，如图14所示。

图14显示????与bpeo之间存在简单的几何关系，如公式(23)所示。bpeo通过使用bp??求出延伸到理想光束路径的样品光束路径bp??，利用公式(20)计算：

公式(20)：
bp?? = bp?? · tan(????/2)

图14
下载
全尺寸图像
图12的放大图，显示了bpeo、bp??、bpei和bp??的位置。

由于bp??垂直于光束路径，样品内部的光束路径延长量bpei可通过公式(21)求得：

公式(21)：
bpei = bp?? · tan(??/2)

图14展示了光束路径延长段之间的简单关系，即bpeo = bp?? ? bpei，由此得出公式(23)：

公式(23)：
???? = bpeo · sin(????/2)

其中bpeo为样品外部延伸的光束路径。

????与可测量或可计算量的完整关系式如公式(24)所示：

公式(24)：
???? = ((((???? / tan(??/2) ? ?/2) · tan(??) ? ?1??) · cos(??)) / cos(????/2 + ??/2) · sin(????/2)) · (1 / tan(????/2) ? tan(??/2) · sin(????/2))

**5.4 厚度灵敏度**

当以旋转轴为表面参考时，厚度的几何关系有所不同，因此法向与楔形取向的推导也不同。当从光束法向计时时，所得的??偏移是等价的，但相对于探测器法向的偏移则是各??偏移的相反数。这虽然使折射率误差最小化，但并未完全消除。

图15(a)给出了折射率随所得偏转角变化的极端示例，尽管其中某些折射率值对本研究中的材料而言并不现实，但它展示了该关系如何持续变化斜率。图15(b)中的斜率d??/d(测量角度)表明，即使在较小的角度范围内，导数和斜率也会发生变化。

图15
下载
全尺寸图像
(a) 对于估计值??2为2.7、??为10度的样品，计算折射率值随测得峰值角度的变化；(b) 在较小角度范围内1.14(a)的斜率。

一旦已知光束相对样品的偏移量，即可将其应用于厚度误差以计算折射率误差。本研究在典型样品值范围内进行了简单的灵敏度分析。样品直径?和决定????的样品架位置是固定的：?为25.4 mm，????为3 mm。采用三档变量变化范围——顶角（低——6度，中——10度，高——20度）、样品高度几何（低——1 mm，中——4 mm，高——10 mm）和偏转角（低——10度，中——25度，高——40度）——来理解它们对厚度误差所产生偏转偏移值的影响。读者应记住，楔形材料的折射率内在于偏转角中，这正是仪器所测量的量。

以各变量的中间值作为对照，对每个变量独立地探索低值和高值，同时保持其他变量为中间值。表3列出了各参数变量的低、中、高值、所得偏移量、先通过法向侧测量的差异（??2(??)），再通过楔形侧测量的差异（??2(??)），以及取两侧平均后的折射率误差。

表3 典型样品几何范围的灵敏度分析结果

| 参数 | 偏移量 (mm) | (??2(??) ? ??2(??)) 折射率差, ×10?? | 折射率误差, ×10?11 |
|------|------------|-------------------------------|-------------------|
| | 低 | 中 | 高 | 低 | 中 | 高 | 低 | 中 | 高 |
| ???? | ?0.0136 | ?0.0345 | ?0.0566 | ?1.6 | ?4.0 | ?6.2 | ?0.09 | ?1.1 | ?4.3 |
| ?1?? | 0.6205 | ?0.0345 | ?1.3444 | 72.0 | ?4.0 | ?160.0 | ?360 | ?1.1 | ?1700 |
| ?? | 0.1549 | ?0.0345 | ?0.4910 | 30.0 | ?4.0 | ?28.0 | ?34 | ?1.1 | ?140 |

在样品几何参数的正常范围内，?1??的影响最大，其次是??的影响，而计算得到的????对??的影响最小。

将偏移量代入公式(25)的计算中，并对两侧的测量结果取平均。折射率差大于0.001的情况表明，为什么需要取两侧计算折射率的平均值。这避免了对样品中心定位在旋转偏移处所需额外精度的要求。折射率误差通过取两个测量折射率的平均值，并将结果与理想最小偏向角条件（样品中心为旋转轴）下的折射率进行比较来计算。

图16以图形方式展示了从样品几何到最终折射率误差的计算偏移。

图16
下载
全尺寸图像
折射率误差随样品几何光束偏移的变化。

基于几何考虑的计算折射率误差用以下抛物线函数拟合：

公式(25)：
(??2(??) + ??2(??)) / 2 ? ??2(??) = ?9.28 × 10?? · ??2

当??趋近于零时，此误差预期收敛于零，且表中数据显示在典型样品几何范围内折射率误差可忽略不计。此公式可用于根据设计者所用材料和/或光学元件的规格来求解样品的几何极限。进一步地，如果几何考虑超出可忽略范围，此公式可作为偏移量而非误差使用。

**6. 材料吸收**

利用上述厚度方程，可计入待测材料的内部吸收。光学系统设计通常具有最大化透射率的透过率规格。零件或系统图纸上的这个规格通常是针对光学元件上使用的镀膜类型。当系统开始超越标准波段窗口时，设计者偶尔会放宽透过率允差以获得波长空间中的额外功能。若将折射率测量扩展到材料的吸收区，则在使用最小偏向角技术时会得到错误的折射率数据。在最小偏向角技术中使用的棱镜或楔形几何，在吸收区测量时会使所得峰值偏向探测器。

??3系统旨在测量透射材料的折射率。尽管并非行业明确要求，但其设计旨在测量不具有内部吸收的波长下的材料。要在材料吸收的波长下测量，需要知道光程长度和材料吸收系数。楔形测量本质上意味着光束从样品的薄侧到厚侧经历逐渐变化的光程。对于样品上任意位置??处的距离，光程bp??可通过公式(26)求出：

公式(26)：
bp?? = 2 · (?1?? · tan(??) + ??) · sin(??/2)

比尔-朗伯定律 ?? = ???? · (bp??) · 浓度 允许建立吸收与光程之间的比例关系，其中??为内部吸光度，????为摩尔吸收率，乘以光程长度和浓度。这可改写为：??abs = ???? · 浓度，其中??abs为材料吸收系数，得 ?? = ??abs · (bp??)。

内部吸光度的计算首先从透过率测量中去除反射率的影响。这可通过使用给定波长下测得或拟合的折射率值，并利用正入射时的菲涅耳反射率公式（公式(27)）完成：

公式(27)：
?? = |(??1 ? ??2) / (??1 + ??2)|2

其中??为反射率。由于本研究中的材料具有高折射率，该方程用于计入三次内部反射弹跳，以得到材料的最大测量强度???：

??? = (1 ? ??)2 · (1 + ??2 + ???)

然后，材料的??可通过以下公式计算：

公式(28)：
?? = ?log(?? / ???)

其中强度是通过珀金埃尔默 UV-Vis Lambda 900 和 Frontier Optica FTIR 在平面-平面抛光平面上测量的。如公式(28)所述，吸收的对数关系导致透过样品时呈非线性趋势。

图17(a)为样品透过率随??变化的示例，其中测量波长的吸收系数为2，?1??为1 mm，??为15度。当此强度趋势应用于图9中的位置强度峰值时，所得峰值显著降低，但峰值位置也发生了偏移。

为找到新的峰值形状，将高斯峰形乘以百分比透过率，如下所示：

公式(29)：
???? = (1 / (??sd · √(2??))) · e^(?1/2 · ((?? ? ???) / ??sd)2) · 10^(?((??abs · 2 · (?1?? · tan(??) + ??) · sin(??/2)) / 10))

其中???为高斯均值，??sd为高斯标准差，??abs为测量波长的吸收系数。

求解 d???? / d?? = 0 将确定峰值位置。公式(29)已表达为乘积法则所需的两个乘积，变为公式(30)：

公式(30)：
d???? / d?? = ????? · ((?? ? ???) / ??sd2 + (??abs · sin(??/2) · ln(10)) / 5)

当求解吸收样品的峰值位置??时，导数为零。对于任何实值，高斯函数和指数函数不可能为零，因此：

公式(31)：
0 = (?? ? ???) / ??sd2 + (??abs · sin(??/2) · ln(10)) / 5

以及：

公式(32)：
?? = ??? ? (??sd2 · ??abs · sin(??/2) · ln(10)) / 5

将???设为零，可求得峰值距离的变化，该变化可与表2中的斜率结合，求出测得的角差，以计入计算折射率中的偏移。

图17(b)显示了在样品光阑直径22 mm略多于一半范围内的强度变化。峰值从直径上11 mm的位置移动到8 mm以下。

由公式(32)，峰值偏移是吸收系数的线性函数，且由于角度较小，对于楔角也近似为线性函数。

对于给定的样品几何和折射率，可绘制峰值偏移作为折射率的函数。由于峰值总是向样品较薄部分移动，该偏移使测量折射率偏离实际折射率。吸收趋势使测量值向探测器法向偏移，或在两种取向下都向测得的较低折射率值偏移。

图17(c)展示了对于??为15度、?为25 mm、折射率为2.20064的样品，该趋势的变化。

图17
下载
全尺寸图像
(a) 在吸收系数为2 cm?1的波长下，楔形样品透过率变化的示例；(b) 由图17(a)得出的峰值位置变化；(c) 折射率随吸收系数的关系。

除了样品几何和材料吸收外，样品表面在误差和折射率求解中也发挥作用。

**7. 样品表面形貌**

楔形样品的表面面形在光束偏转中起作用。光圈和局部不规则会改变表面的局部入射角。

为理解角度偏差的变化Δ??，单半径光圈或探测器轴不规则的影响为 Δ?? = ???? ? ????，其中????为带有光圈表面时的偏差。总??可描述为两个表面之和：???? = ???? + ????，其中????为法向表面的偏差，????为楔形表面的偏差。

????可描述为 ???? = ??1?? ? ??2??，其中实际入射角??1??为 ??1?? = ??1 ? ??chn，??1为假设表面无光圈或无局部不规则时的计算入射角。

从样品表面中心到光束中心进入样品位置处的弦角??chn由公式(33)表示：

公式(33)：
??chn = 2 · sin?1(chn / (2 · ????))

其中????为指定侧的光圈半径。

法向上的弦长，ch_n，可表示为 ch_n = r_o · tan θ1。一旦求得 θ1a，θ2a 即为公式（34）：θ2a = sin?1((n1/n2) sin θ1a)。与 δ_n 类似，δ_w 可表示为 δ_w = θ4a - θ3a，其中利用光束路径偏差的基本几何关系，θ3a 可定义为 θ3a = θ3t - θchw，其中 θ3t 定义为 θ3t = αs1 - θ2a，其中 αs1 是表面对斜率的调整。光束进入由 αs1 = α - (θ1 - θ1a) 定义的样品，其中 θchw 的定义与公式（33）类似，而等效公式需要由公式（35）定义楔形侧面上的弦长 ch_w：ch_w = (ch_n - (r_o · tan α)) - (bp · sin(α/2 - θ3t))。第二项使用直角三角形作为近似，其中 bpro 是与 r_o 相交的光束路径长度，由公式（36）定义：bp = 2((h1s tan α) + (?/2 + ch_n)) sin(α/2)。将公式（1）与本节中的公式结合，可得到 Δδ 的解。一旦求得 Δδ，即可用于偏移并求解根据功率调整后的实际 δ。法向入射方向计算已与光学设计软件 Ansys Zemax OpticsStudio 进行了对比，以验证功率和/或不规则性的影响。假设光束中心、最大强度起始时指向旋转轴，且不会因半径变化而发生横向偏移。这对于具有恒定或较大半径的情况是成立的，因为功率表面对焦距离几乎没有或没有变化。模拟和计算条件为 8 度楔形，由 Rochester Precision Optics 的 Classic-6（As2Se3 玻璃）制成，光束路径与旋转轴相交，长度为 10 mm，直径为 25 mm，并在 10.6 μm 处测量。表 4 列出了不同的表面曲率用于功率和探测器轴不规则性及其相关的计算偏差角，以及使用 Ansys Zemax OpticsStudio 软件模拟的偏差角。由于某些三角函数假设，本文中的公式与模拟设计之间存在差异。计算被认为是足够的，因为角度变化的差异在第七或第八位小数。

表 4 功率和不规则性计算与 Zemax 模拟对比

| 表面曲率 (mm) | 角度偏差 | 法向 | 楔形 | 计算 | 模拟 | 差异 |
|---------------|----------|------|------|------|------|------|
| 0 | 0 | 14.33444564 | 14.33444564 | 0 | | |
| 5000 | 0 | 14.31387588 | 14.31387635 | -4.741E-07 | | |
| 5000 | 5000 | 14.31977454 | 14.31977468 | -1.429E-07 | | |
| 0 | 5000 | 14.34037174 | 14.34037166 | 7.631E-08 | | |
| 5000 | -5000 | 14.30797747 | 14.30797830 | -8.344E-07 | | |
| 10,000 | 0 | 14.32416055 | 14.32416069 | -1.391E-07 | | |
| 10,000 | 10,000 | 14.32711671 | 14.32711674 | -3.175E-08 | | |
| 0 | 10,000 | 14.33740866 | 14.33740861 | 4.637E-08 | | |
| 0 | -10,000 | 14.33148269 | 14.33148273 | -4.315E-08 | | |

在楔形取向中，弦长按以下方程变化：ch_n = (s + r_o) · (tan θ1 - tan α)，且 ch_w = ch_n - (bp · sin(α - θ3t))。推导步骤与法向侧的推导方式类似。两个样品侧面通常具有不同的表面形状，因此有不同的偏移量，可能需要对此进行考虑。

表面粗糙度会通过散射光束影响最小偏差测量。预计表面均匀分布的粗糙度不会改变光束峰值的角度位置。如果粗糙度在样品架开口的阻挡直径范围内形成梯度，则由于额外散射光导致的粗糙侧光束信号损失，会使光束发生偏移，类似于材料吸收产生的效果。在由给定均匀粗糙度散射的波长范围内，测量将观察到强度降低和峰值展宽，但预计峰值最大值不会移动。因此，如果探测器有足够强的信号，最小偏差测量将不会受到表面粗糙度的影响。

在推导并限定误差后，计算表明，许多误差都可以进行考虑并转化为测量偏移量。这有可能降低最小偏差测量中的误差。为了超越材料的透射窗口，本工作展示了如何使用近法向反射率测量。

8. 近法向反射率添加

为了推进当前测量，本研究利用近法向反射率测量。公式（37）中的反射率关系应允许反射率与折射率之间的直接关系。公式（37）n = (1 - √R)/(1 + √R)。如果已知大气、温度和相关的燃气折射率，测量可以更准确。这项技术不常用于确定材料的折射率，原因包括：测量噪声、设备伪影、样品制备以及未知的光路系统和/或路径长度。大多数光谱仪的噪声表现为显著的指数变化，而无需长时间运行和累积。大多数反射/透射光谱设备中发现的伪影来自光源、探测器、镜子或其他用于调整光束路径的切换和/或移动的光学元件。伪影通常会在数据中产生阶跃，但也可能错误地将数据拉向其预设切换硬件的波长附近。样品制备在最终的反射率测量中起作用。引入表面曲率、不规则性和粗糙度会降低到达探测器的信号。由于许多光谱仪光束路径的长度未知，即使已知表面形状和粗糙度，预测或计算强度衰减也可能需要额外的工作。将需要额外的信息或改变表面形状的实。

反射率设备伪影可以通过识别阶跃并平移数据或去除错误地将数据拉向某个方向的区域来加以考虑。平移数据的一个缺点是在反射率信号是唯一信息的情况下，不知道应正确地将数据向哪个方向平移。将最小偏差测量与反射率测量相结合，可以将反射率测量固定到已知值，并考虑测量中的伪影以及样品的功率和不规则性。这使得样品的表面粗糙度得到考虑。

样品的表面形状和粗糙度会随着表面曲率、不规则性和/或粗糙度的增加而降低测量信号。对于单面反射，功率和不规则性导致的信号损失幅度是恒定的偏移量，不是波长的函数。利用楔形样品几何结构可以将任何额外反射导向远离探测器的方向，从而隔离单面测量。表面粗糙度会产生来自表面特征的散射，而散射是波长的函数。公式（38）描述了法向入射的镜面反射率模型，它是波长的函数。公式（38）R_λ = R_0 · e^(-(4π2σ_sd2/λ2))，其中 R_0 是完美表面的反射率，R_λ 是由粗糙度调整后的反射率，λ 是波长，σ_sd 是与粗糙度相关的测量值。Davies 的原始推导使用 σ_sd 作为粗糙度的标准差，而当 Bennett 采用时，σ_sd 项变成了粗糙度的均方根（rms）。Davies 指出该推导是一种近似。Bennett 表明，当 σ_sd 和 λ 越接近时，公式（38）的偏差会低估实际反射率。Bennett 确实在方程中添加了一个斜率分量，在短波区域更准确地进行了校正，当时两个项接近时，但该模型最终因高估反射率而偏离。两位作者都假设特征尺寸的分布是正态分布，而当今的粗糙度标准在计算均方根时仍使用正态滤波器。本研究使用的模型是对公式（38）的经验适应。该模型使用轮廓仪数据。从原始未处理和未滤波的轮廓仪数据开始，然后减去一个平均线性拟合，以去除测量中斜率的大部分偏差。然后，识别、计数并将峰谷分离到覆盖所有特征尺寸的 200 个等大小箱中。这些箱子根据每个箱中值的百分比进行计算和加权，并将所有箱子求和以实现平坦理想表面反射率的百分比。公式（39）(R_λ/R_0) = ∑(i=1 到 200) w_i · e^(-(4π2σ_i2/λ2))，其中 w_i = N_i/N_0，其中 i 是箱子，N_i 是箱子中的高度台阶数，N_0 是总高度台阶数，σ_i 是箱子的中位高度台阶值。该模型有助于校正粗糙度导致的反射率对波长的依赖性。

9. 结论

本工作展示了使用直接推导或适当假设推导的误差源来表征最小偏差折射仪的方法论。这些方程可用于确定具有目标指数误差的待测样品的设计规范。如果进行了支持性测量，如样品几何形状、表面曲率、不规则性和粗糙度，许多这些误差可以成为测量中的偏移量。使用材料的吸收系数并校正光束通过楔形的路径长度变化，可使典型的最小偏差测量有把握地扩展到材料的吸收波长区域。如果不考虑这些偏移量，测量应显示出由推导关系带来的误差增加。将近法向反射率数据添加到偏移量校正的最小偏差数据中，将有助于最小化向更高吸收区域外推时的误差，同时增加折射率拟合的物理意义。这一点在本工作的第二部分得到了验证。

光学系统变得越来越复杂，对更高质量折射率数据的需求日益迫切。本工作暗示了最小偏差测量和设备的自然下一步发展，以提高测量信心。例如，通过增加探测器臂长（便于在编码器位置之间更容易区分）和/或更高分辨率的编码器来提高位置灵敏度，将增加测量的分辨率。对探测器上的强度进行高斯拟合可提高当前机械限制下的位置精度。也可以在使用楔形表面的自准直仪上这样做。通过对位置进行采样，可以使用位置分布来克服自准直仪的位置灵敏度。自准直仪测量和样品架是系统中来自电机的最后刚性步骤误差，当表面质量降低自准直仪测量时，采样和拟合到分布将有助于校正该误差。

提高光学元件的对准并去除光束偏移将有助于最小化测量中样品几何形状和材料吸收的变化，特别是控制来自单色仪的光束以及将光束聚焦到探测器的非球面镜。