用于捕获离子的全局纠缠门：用于哈密顿量模拟的数值设计及高效门编译技术

《APS Open ScienceNEW》：Global entangling gates for trapped ions: Numerical design and gate-efficient compilation for Hamiltonian simulation

　　随着量子计算规模的扩大，依赖于顺序两量子比特门（sequential two-qubit gates）的电路面临着由于深度过大和 decoherence（量子退相干）而带来的严重挑战。在囚禁离子系统中（trapped-ion systems），全局纠缠门（global entangling gates）提供了一种高度并行的替代方案，但由于复杂的数值优化问题而受到限制。我们提出了一种用于分段恒定幅度调制全局门（piecewise-constant amplitude-modulated global gates）的高效数值框架。基于 M?lmer-S?rensen 协议，我们利用零空间投影（null-space projection）来处理自旋-运动耦合（spin-motion coupling）的线性约束，并采用切线空间梯度下降（tangent-space gradient descent）来最小化激光功率，同时实现对频率漂移的高阶鲁棒性（high-order robustness）。在应用层面，我们发现了硬件原生全局相互作用（hardware-native global interactions）与哈密顿模拟中的泡利字符串（Pauli strings）之间的结构对应关系，并提出了一种高效的编译方案（compilation scheme）。通过将常见的物理模型简化为基本的 ????? 相互作用（fundamental ????? interactions），并将相互作用图分割（interaction graph partitioning）问题表述为集合覆盖问题（Set Cover problem），我们利用全局门显著优化了编译过程。明确的脉冲级基准测试进一步表明，对于测试的加权相互作用图（weighted interaction graphs），纠缠门数量的减少可以转化为总纠缠持续时间的显著降低。这些结果证明了将硬件原生操作与定制的编译策略相结合可以大大降低电路开销，为近期量子模拟器的联合设计（codesign of near-term quantum simulators）提供了实用的路线图。

I. 引言
近年来，量子计算领域取得了显著的进展，在分子模拟、组合优化[1]和机器学习[2]等领域展现了超越经典计算机的卓越计算潜力。得益于长时间相干性[3,4]和固有的全连接性（all-to-all connectivity），囚禁离子系统被广泛认为是实现通用量子计算[5–10]最有前途的平台之一。作为量子计算的基本构建块，量子逻辑门（quantum logic gates）的性能直接决定了系统的计算能力。传统上，囚禁离子量子电路严重依赖于顺序两量子比特纠缠门。为了实现高保真度和鲁棒性的两量子比特门，主流方法是在 M?lmer-S?rensen (MS) 协议[11]的基础上，应用幅度调制（AM）[12,13]、频率调制[14,15]或相位调制[16,17]激光脉冲。此外，二维（2D）囚禁离子阵列[18,19]和新型可扩展架构[20,21]的最新进展为增加量子比特的数量奠定了坚实的基础。然而，随着问题规模的扩大，仅仅依赖于顺序两量子比特门会导致量子电路过于复杂，从而由于系统 decoherence 时间而严重限制性能。在这种情况下，全局纠缠门[22,23]作为一种高度吸引人的替代方案应运而生——它们通过同时耦合多个量子比特以单指令多数据（single-instruction multiple-data）的方式操作，不仅显著提高了操作并行性，压缩了电路深度，减少了总门时间[24]，还充分利用了囚禁离子系统的全连接性优势。

尽管全局门具有巨大的理论优势，但其物理实现却面临严重的数值挑战。当前的设计方案通常将全局脉冲建模为复杂的非线性优化问题，在高维参数空间中寻找最优解。然而，由于非线性约束数量庞大，目标空间表现不佳，存在众多局部最优解。这导致了巨大的计算开销，使得难以扩展到中等或大规模系统[22,24,25]。最近，理论上的进展已经克服了这一可扩展性障碍。例如，最近提出的一种方案[26]采用了频域多音调表示（frequency-domain multi-tone representation），将脉冲设计问题映射到线性和二次约束的代数结构中，从而能够快速构建大离子晶体。时域和频域描述在数学上是相关的，它们的实际优点取决于可用的控制硬件以及实现特定的带宽、采样和串扰约束[27]。在这里，我们关注离子分辨的分段恒定 AM 脉冲，这些脉冲直接对应于分段包络控制（segmented envelope control），并已在囚禁离子实验中得到应用[23]。我们的数值框架针对这种表示进行了优化。通过使用零空间投影（null-space projection）处理线性运动约束，我们将剩余的二次相位方程降维到较低维度的子空间，然后采用切线空间梯度下降（tangent-space gradient descent）来减少激光功率，并加入额外的约束以增强对运动频率漂移的鲁棒性。

除了物理实现层面，有效地在高阶量子算法中利用全局门目前是一个研究的热门课题。利用全局相互作用可以显著减少算法中的纠缠门总数，例如在量子傅里叶变换[28]、克利福德操作（Clifford operations）的恒成本实现和多控制门[29]以及像多面体码（toric code）这样的量子纠错码[30]中。此外，最近的理论工作展示了多量子比特门在执行恒定深度布尔函数[31]和通用量子电路[32]时的算法优势。最近，研究人员还开发了使用 ZX-演算（ZX-calculus）的通用编译算法，自动将任意量子电路映射为包含全局门的序列[33,34]。虽然这些通用算法在减少门数量方面取得了进展，但在针对特定领域问题的优化常数方面仍有很大的改进空间。

量子模拟被广泛认为是量子计算最直接的应用场景之一[35]，已经有许多成功的实验得到验证[36–38]。在当前的噪声中等规模量子（NISQ）时代[39]，量子模拟的开销不能仅通过渐进门复杂度来判断；常数因子和具体的实现细节通常决定了算法的可行性[40]。我们观察到囚禁离子中的硬件原生全局相互作用与哈密顿模拟中的泡利字符串之间存在自然的结构相似性。对于这一特定任务，囚禁离子系统不再仅仅是一个通用计算平台，而更像是一个“领域特定的加速器”。本工作的另一个核心贡献是基于全局门提出了一个高效的编译方案，用于哈密顿模拟电路。通过直接映射硬件原生的全局操作，我们大幅减少了模拟特定物理模型所需的脉冲数量。

本文的其余部分组织如下：在第二节中，我们介绍了分段恒定 AM 全局门的理论框架和数值优化算法。第三节展示了通过所提出算法合成的门设计，并对其功率优化性能进行了详细评估。我们进一步测试了该数值方案的可扩展性、功率效率和鲁棒性，以验证其实际效果。在第四节中，我们提出了一种基于集合覆盖问题（Set Cover problem）的编译算法，通过示例展示了其工作流程和性能，并将其推广到更广泛的场景。最后，在第五节中我们总结并讨论了未来的应用。

II. 全局纠缠门的高效数值方案
在本节中，我们提出了一个用于实现全局多量子比特纠缠门的综合数值框架。首先，我们基于离子链中的 MS 相互作用（MS interaction）建立了理论基础。对于 AM 方案，我们将脉冲设计重新表述为线性代数和二次方程的组合问题，并通过数值方法寻找满足预定约束的解决方案。在此基础上，我们引入了一种功率优化方案，利用梯度下降（gradient descent）在解流形上最小化激光强度。此外，我们扩展了该框架以增强对运动频率漂移的鲁棒性。最后，我们提出了 -量子比特门（-qubit gates）的保真度公式，以定量评估残余纠缠和相位偏差对门性能的影响。

A. 理论框架
在这项工作中，我们考虑了一串被限制在线性陷阱中的离子，这些离子沿着轴排列。我们的目标是实现作用于部分离子的 -量子比特全局纠缠门。通过用激光脉冲对离子进行操作，用表示离子的拉比频率，表示激光相位，表示相对于内部能级跃迁的双光子失谐。在门时刻， resulting unitary evolution operator 表达为 [22]：
(1)
其中 表示沿方向 的离子 的泡利算符。为了简化问题且不失一般性，我们将其设置为方向，即。

对所有离子的所有正常模式进行求和。这里假设激光沿着轴传播，我们将求和限制在径向模式上。这样做可以利用它们的较高频率和较低的热化率，在纠缠操作期间减少非共振激发。设为模式的频率，为相应的标准化特征向量，分别为产生和湮灭算符。我们引入了 Lamb-Dicke 参数，其中 是单个离子的质量，为两束激光沿方向的波矢差。

在上述表达式中， 表示离子 和模式 之间的残余纠缠：
(2)
表示离子 和 之间的耦合强度或累积相位：
(3)
假设我们打算实现的目标 -量子比特全局门的形式为：
(4)
其中 表示所需的累积相位分布。虽然均匀相位是一个常见的选择，但在这里我们考虑了更一般的情况。为了实现这一点，必须满足以下约束：
(5)
这些约束产生了关于内部和运动状态解耦的方程和关于累积相位的方程，构成了我们后续数值算法设计的数学基础。

B. 幅度调制解决方案
在本节中，我们采用了一种 AM 方案，其中所有激光相位都设置为。需要注意的是，如果应用于每个离子的激光幅度序列是相同的，那么表达式中对应于每个模式的积分项将与离子索引 和 无关。在这种情况下，只有系数中的 Lamb-Dicke 参数会在不同的离子对之间变化。因此，我们只有可调的积分值来满足约束。鉴于 ，可用的自由度通常是不够的。为了解决这个问题，我们对每个离子应用不同的幅度序列。我们将总门时间分为等距的段，每个段的持续时间为。然后，每个离子的幅度序列由一个 -维向量表示：
(6)
其中 表示离子 的幅度序列向量，分量表示时间间隔 内的拉比频率。

约束由一个复数方程组成，可以分解为两个实数线性方程。通过代入离散的幅度序列，所有 的解耦约束可以表示为：
(7)
其中 是一个矩阵。这样我们得到了总共 个线性约束（具体的矩阵元素见附录 A）。同样，累积相位的约束可以表示为：
(8)
其中 是一个矩阵，表示总共 个二次约束（详见附录 A）。

为了解这个系统，我们首先解决方程 (7) 中的线性方程。每个 的零空间可以使用奇异值分解或其他标准数值方法有效地确定。用 表示这个零空间，其中 是一个正交基。在全秩假设下，我们可以用这个基来展开：
(9)
其中 是基变换矩阵，是系数向量。通过定义 ，方程 (8) 中的二次约束被转换为：
(10)
然后我们通过数值方法解决这些二次方程，得到简化的系数，并通过方程 (9) 重建幅度序列。一个简单的度数计数论证在全秩假设下给出了以下必要的段数条件：
(11)
这个条件确保了简化变量的数量超过了二次约束的数量，但这本身不足以保证实数解的存在或局部求解器的收敛。在实际应用中，我们使用方程 (11) 作为设计指南，并根据数值收敛性和约束残差来判断可行性。使用牛顿法（Newton's method）解决这些简化的二次方程。这种投影通过构造满足了线性约束，并大幅减少了牛顿法解决的二次方程系统的维度。

C. 功率优化
在前一节中，我们提出了一种获得数值可行解的方法。在实验实践中，更高的激光幅度直接转化为更大的功率需求。由于技术限制和能效考虑，希望最小化总功耗。因此，我们的下一步是对前一阶段获得的解进行功率优化。方程 (10) 的解构成了一个 -维流形，其中 。我们在给定解 的切线空间内进行梯度下降。雅可比矩阵 ，其元素定义为 ，是一个矩阵。用 表示的零空间，其中 是跨越切线空间的正交基。通过引入基变换矩阵，切空间中的向量可以表示为（12），其中是串联的-d维系数向量，是用于切空间基展开的-d维系数向量。为了最小化总功率，我们定义目标函数为所有段上幅度平方的和：（13）。在切空间内，的值由给出。在原点（即，在）处对的梯度为（14）。通过选择一个适当的步长，我们可以在切空间中移动一小段距离，得到更新后的向量。由于更新后的可能不再严格满足方程（10）中的二次约束，我们使用新的作为初始猜测值，应用牛顿法将解拉回到流形上，得到一个精细的解。这个过程迭代进行，直到值收敛，确保功耗显著降低，同时每次更新后将门约束恢复到指定的数值容差范围内。D. 对频率变化的鲁棒性由于实验陷阱配置的固有复杂性和捕获势的不稳定性[41]，理论计算出的正常模式频率与其实际实验值之间通常存在差异。这种偏移会导致门保真度的降低，因此脉冲序列的鲁棒性是一个关键考虑因素。在这项工作中，我们纳入了对正常模式频率变化的鲁棒性。我们通过要求对的一阶导数为零来强制-d阶鲁棒性：（15）。这些条件可以重新表述为一组线性约束：（16），其中每个是一个矩阵。这个系统总共施加了线性约束（具体矩阵元素见附录A）。需要注意的是，与两量子比特门的情况不同，我们还必须明确考虑的鲁棒性。在两量子比特门设计中，只有一个约束。如果发生频率变化，通常可以通过简单地按常数因子缩放整个幅度序列来满足约束，而无需重新设计脉冲。然而，在-d量子比特全局门设计中，缩放幅度序列提供的自由度有限，通常不足以满足累积相位约束。因此，我们还要求相的导数为零：（17）。这些条件可以表示为二次型：（18）。结合主要约束[方程（8）]，这总共产生了二次约束（具体矩阵形式见附录A）。零阶运动和累积相位约束是根据方程（2）和（3）中的完整表达式评估的。为了保持导数约束的解析可行性，在一阶波近似（RWA）下构造了一阶和更高阶的鲁棒性矩阵，详见附录A。尽管如此，最终的频率漂移性能还是用完整的非RWA表达式来评估的。所得系统可以使用第II?A、II?B和II?C节中建立的数值框架来解决。随着鲁棒性阶数的增加，约束数量显著增加，度计数给出了必要的段数估计（19）。与方程（11）类似，这个不等式被用作参数选择指南，而不是充分的可行性条件。其余的数值程序与之前描述的方法相同，出于简洁考虑在此省略。E. 保真度分析如果方程（5）中的约束方程没有严格满足（例如，由于正常模式频率的漂移），保真度将偏离单位值。为了定量评估性能，我们必须分析保真度与和中的偏差之间的关系。正式推导表明，在和小偏移的极限情况下，平均保真度由[13,42,43]给出（20）。详细推导见附录B。这里，表示模式的平均声子数。当使用冷却技术将系统初始化到其振动基态时，我们可以假设，这使得项的系数为单位值。这个函数形式非常直观：残余纠缠误差和相位误差的主要贡献都是二阶项。此外，这两个误差源是完全解耦的，总失真只是它们的算术和。值得注意的是，这个表达式不依赖于相位矩阵元素是否统一设置为。因此，从保真度的角度来看，在脉冲设计过程中没有必要施加额外的相位对称性约束。通过检查这两个项的缩放，我们发现残余纠缠误差随参与门的离子数量线性累积，即。相比之下，累积相位误差涉及所有参与离子对的总和，按缩放。因此，随着纠缠门的规模扩大，相位控制的精度变得日益重要和具有挑战性。这种缩放行为进一步证明了在第II?D节中讨论的对鲁棒性约束的引入是合理的。III. 数值实验结果在这一节中，我们展示了所提算法的实际应用数值结果。以离子链作为基准系统，我们首先说明了全局纠缠门的脉冲序列的构建和功率优化。然后，我们评估了这些脉冲在受到正常模式频率漂移时的性能，同时考虑了鲁棒性约束。最后，我们讨论了我们方法的可扩展性和性能，重点关注计算效率和所需的激光功率。A. 脉冲序列和功率优化我们考虑第II?A节中描述的一维离子链。为了实现更均匀的离子分布，我们采用了一种形式的轴向势[44,45]（21），而径向势简单地取为。通过对轴向势进行适当的无量纲处理，我们得到（22），其中是无量纲势，表示无量纲坐标，是特征长度尺度。离子的平衡配置完全由无量纲常数决定。然后通过最小化来确定正常模式。具体来说，我们考虑一个由个离子组成的一维（1D）链，如图1（a）所示。陷阱的特征长度设置为，中心质量模式（径向捕获频率）取为。在这种条件下，离子由波长为的激光器驱动。对于这个例子，我们将激光器失谐设置为。图1. 一个19离子链上的四量子比特AM全局纠缠门。（a）离子链的示意图，其中纠缠门被应用于第四、第五、第六和第七个离子（分别标记为到），使用相应的脉冲序列。 （b）功率优化前后的脉冲幅度序列，段数为，门持续时间，失谐为。 （c）十轮切空间功率优化过程中的均方根（RMS）和峰值拉比频率。我们使用第II?B和II?C节中描述的算法在链中的第四、第五、第六和第七个离子上实现四量子比特全局纠缠门，目标相位为。我们选择总门持续时间，并且脉冲段数满足方程（11）中的必要度计数条件。这里，我们最初通过将鲁棒性阶数设置为来省略鲁棒性约束。图1（b）展示了功率优化前后的波形。如图所示，优化后的波形幅度显著减小。图1（c）显示了作为迭代次数的函数的均方根（RMS）拉比频率和峰值拉比频率。这两个量在大约十次迭代内迅速减小并稳定。B. 对频率波动的鲁棒性根据第II?D节中开发的方法，我们可以通过将额外的约束纳入优化流形来提高生成脉冲序列的鲁棒性。为了证明这一点，我们回顾了上一节中描述的四量子比特全局纠缠门，并生成了三组不同的脉冲序列，对应于鲁棒性阶数和2。对于所有三种情况，我们设置，这高于方程（19）中对、和的必要度计数估计。此外，总门持续时间延长到，以确保单个脉冲段的持续时间在实验上是可行的。为了评估鲁棒性，我们引入了正常模式频率的全局漂移，使得对所有。对于每个脉冲序列，我们计算在这种漂移存在下的残余运动位移和累积相位。然后根据方程（20）计算平均失真。结果总结在图2中。为了清晰地区分残余纠缠和相位偏差（即方程（20）中的两个项）的误差贡献，我们分别绘制了这两个分量。图2. 19离子链上四量子比特AM全局纠缠门的鲁棒性，段数为，门持续时间，失谐为。面板（a）-（c）分别显示了均匀正常模式频率漂移下的失真贡献，对应于鲁棒性阶数和2。蓝色实线显示了残余运动位移的贡献，红色虚线显示了累积相位的贡献。更高阶的鲁棒性约束是在RWA内构建的，而每个绘制的漂移点都是用完整的非RWA表达式来评估的。从结果中可以得出几个关键观察：首先，随着鲁棒性阶数的增加，门对频率漂移的抵抗力显著提高。使用失真阈值作为基准，可容忍的频率漂移从大约增加到。其次，如图2（a）-2（c）所示，累积相位误差的贡献占主导地位。这与第II?E节中讨论的误差源是一致的。第三，所需的激光功率随着鲁棒性阶数的增加而增加。这是因为鲁棒性要求引入了许多额外的约束，这使得识别高质量的初始种子变得更加困难，并显著妨碍了功率优化过程的效率。我们的数值实验表明，通过延长总门持续时间以增加每个段内的相位累积，以及通过增加脉冲段的数量以提供更多的优化自由度，可以减轻这种功率惩罚，详见第III?C节。C. 可扩展性和性能分析在实际应用中，门设计算法的计算性能——特别是计算时间和功耗作为陷阱大小和门大小的函数——至关重要。传统的全局门设计方法往往受二次约束复杂性的限制，通常仅适用于相对小规模的系统[22]。相比之下，我们的算法在可扩展性方面显示出明显的竞争优势。我们使用与第III?B节相同的陷阱和激光参数进行了一系列基准测试。图3显示了实现鲁棒性阶数和2的全局纠缠门所需的计算时间和RMS拉比频率，总离子数为。门应用于最中心的离子，所有对的目标相位为。脉冲段数比方程（19）中的必要估计值多50，总持续时间设置为。图4显示了对应的剖面，包括峰值拉比频率以及计算时间和RMS值。图3. AM全局纠缠门方案的基准测试结果。热图显示了计算时间（顶部行）和RMS拉比频率（底部行）作为总离子数和门量子比特数的函数，对于鲁棒性阶数和2。对于每个点，设置比方程（19）中的必要估计值高50，段持续时间固定为。对于每个固定的，按升序扫描；如果数值求解器失败或完成的点测量时间超过30分钟，则终止扫描。所有计算都在配备Silver 4110 CPU、运行频率为2.10 GHz的28核服务器节点上进行。图4. 固定总离子数下的性能缩放。（a）计算时间，（b）RMS拉比频率，（c）生成的脉冲的峰值拉比频率作为门量子比特数的函数，对于鲁棒性阶数和2。脉冲段分配和计算硬件与图3相同。对于每个固定的，门大小按升序扫描。如果数值求解器失败，或者完成计算所需的时间超过30分钟，扫描将终止，并且不会尝试更大的门尺寸。因此，图3中彩色区域的边界表示在此协议下所达到的计算范围。在没有鲁棒性约束的情况下，该算法能够成功构建全链门，直到某个最大尺寸。尽管随着尺寸的增加，可访问的范围会减小，但具有第一和第二阶鲁棒性的中等规模门仍然可以轻松实现。如图4(a)所示，计算时间随着尺寸的增加而迅速增长，这反映了大型全连接门所需二次相位约束数量的增加。图3、4(b)和4(c)的下方部分展示了功率优化方案的性能。优化的RMS Rabi频率在广泛的收敛配置范围内仍然保持在一个相对稳定的水平，而峰值则自然更高，并且实例间的变化也较大。提高鲁棒性阶数通常需要更大的驱动幅度，因为需要处理额外的线性和二次约束。尽管如此，结果表明所提出的方法能够高效地生成具有实验上可行脉冲幅度的中等和大规模全局门，包括具有高阶鲁棒性的门。

总之，数值基准测试揭示了鲁棒性、脉冲功率和计算时间之间的权衡，同时也证实了所提出的构建方法对于与电路编译最相关的中等规模全局门具有很强的可扩展性。

IV. 通过全局门进行量子模拟电路编译
在本节中，我们专注于哈密顿量模拟问题。具体来说，给定一个时间独立的稀疏哈密顿量H和一个模拟时间t，目标是实现演算符ε。我们展示了在陷阱离子系统中，本土的全局纠缠门在实现这些演算符方面具有显著的优势，允许在门的数量上进行大幅的常数因子优化。我们描述了具体的编译算法和相应的数值结果，从特定哈密顿量形式逐步推广到一般哈密顿量形式。

A. 基本编译算法
为了阐明所提出的编译算法，我们从最简单的场景开始：模拟一个由沿某个方向排列的Pauli字符串组成的2-局域哈密顿量H，其形式表示为(23)，其中G表示一个简单的无向图，每条边定义了一对相互作用的量子比特，表征了相互作用拓扑。这个模型是后续扩展的基础。我们的目标是实现幺正演算符ε。我们注意到，这个演算符与具有任意相位φ的全局门的形式完全匹配，可以通过识别相应的门G来实现。原则上，这样的哈密顿量模拟可以使用单个全局门来完成。然而，为了便于数值脉冲优化并确保稳定性，最好保持累积的相位相对较小（例如，φ较小）。因此，我们将总演化时间t分解为几个时间切片t1, t2, ..., tk，并通过重复应用门G来实施演化过程。由于哈密顿量中的所有项都是可交换的，这种分解不会引入数字错误。时间切片的长度通常选择为Δt = t/k。

一个关键的挑战是，如第II节和第III节所讨论的，脉冲序列设计的复杂性会随着参与全局门的量子比特数量n的增加而迅速增长。因此，无法在合理的时间内高效地生成大规模全局门的高质量脉冲设计。我们必须假设可以可靠实现的最大全局门尺寸被限制在n个量子比特。在实际场景中，当系统规模N较大时，模拟不再简单，需要分割相互作用。

在每个时间切片ti内，必须将相互作用分成几个组，每个组由相应的全局门实现。这项任务可以抽象如下：给定图G，设V为所有可能的顶点子集的集合，每个子集的大小最多为m。我们的目标是找到一组子集S，使得：
(1) 子集V中的所有边都被覆盖；
(2) 门的数量N最小化；
(3) 在最小化N的同时，子集大小的总和Salso最小化。将V视为全集，每个子集V内的边视为覆盖集，这个问题就简化为了众所周知的集合覆盖问题。由于找到最优解是NP难的，我们采用了一种改进的贪心算法来实现效率。所提出分解的详细过程在算法1中描述。

算法1. 基本全局门分解。
输入：来自方程(23)的哈密顿量H，时间切片Δt，最大门尺寸m。
输出：全局门的序列G。
1. 初始化未覆盖边的集合U。
2. 当存在具有最大剩余度d的顶点v时，执行以下操作：
3. 加入v到集合U中，以最大化新覆盖边的数量。
4. 删除U中多余的顶点，使得覆盖边的数量不变。
5. 定义相位矩阵P(v)，对于v，如果v不属于U，则P(v) = 0。
6. 将v添加到集合U中。
7. 更新集合U。
8. 返回集合U。

对最优顶点集的穷举搜索将导致过高的成本。我们的启发式方法从具有最高剩余度的顶点开始，并在其邻域内贪婪地进行扩展。对于随机图，这种方法几乎是严格贪婪的。外部贪婪循环的近似比率由谐级数[46]限制，其总和等于覆盖子集的最大大小。

尽管近似比率随着m的增加而增加，但它增长非常缓慢。鉴于数值脉冲设计通常受到m的适度限制，这种方法能够高效地产生接近最优的结果。理论上，由于单个全局门可以覆盖多达m个成对相互作用，我们预计这种编译策略可以实现相对于基于两量子比特门的传统方法大约常数因子的加速。数值结果将在下一节中呈现。

B. 应用于典型自旋模型和随机图
在本节中，我们通过将其应用于几种典型的哈密顿量模型来展示我们编译方案的性能。首先，我们展示了如何将几种常见物理模型的哈密顿量简化为第IV.A节描述的基本情况，即实现形式为ε的演算符。为了说明这一点，考虑具有纵向外部场的海森堡模型：
(26)
量子模拟的一个标准方法是Trotter-Suzuki分解[47,48]。对于哈密顿量H，通过在总时间t内将其划分为t1, t2, ..., tn小的时间步长，可以近似实现演算符ε。在一阶近似下，我们有ε ≈ ∑vi*wi*vi*τi，其中wi和τi分别是第i个时间步长内的权重和相位。分解误差由基于对易子的估计[49]所限制。因此，方程(26)可以分解为四个部分：H1, H2, H3, H4，其中H1 = Σwiwi，H2 = Σwiwiτi，H3 = Σwiwti，H4 = Σwiwti*τi。根据误差容忍度计算所需的τi，我们实现每个部分的演化。注意Wi和τi可以通过适当的单量子比特旋转[见方程(29)和(30)]转换为 tipo - type相互作用基。相互作用图G对应于物理系统的格子维度，而term wiwi可以简单地实现为单量子比特旋转。

现在我们通过具体例子来测试我们的编译算法。由于广泛类别的哈密顿量可以简化为基本情况，我们不失一般性地考虑演化ε。我们检验了两种相互作用拓扑：随机图和2D正方形网格。图5展示了九个顶点的随机图（边密度δ，预期有12条边）和2D正方形网格的编译结果。图5(a.i)和5(b.i)显示了相互作用权重，其中边权重对应于Δ的单位。根据方程(24)的要求，这些权重被选为均匀的随机数。

图5. 全局门编译方案和两种相互作用拓扑的不忠实度扫描。行(a)代表一个具有九个顶点和密度δ的随机相互作用图。行(b)代表一个2D正方形网格。列(i)显示了目标哈密顿量拓扑，其中顶点代表量子比特，边值表示相互作用权重（以Δ为单位）。列(ii)显示了生成的全局门序列，其中相同颜色的粗线代表被分配给同一全局纠缠门的边。列(iii)提供了总不忠实度作为激光失谐Δ的函数，假设量子比特映射到具有频率漂移δ的19个离子链的中心9个离子上。脉冲参数设置为Δ, φ, 和鲁棒性阶数ρ。

图5(a.ii)和5(b.ii)展示了算法1的结果，假设硬件限制是一个全局门最多只能覆盖n个量子比特。相同颜色的边代表由单个全局纠缠门覆盖的相互作用。在这两种情况下，12个相互作用都由仅四个门高效地覆盖。对于物理实现，遵循第III节中的离子阱设置，我们将这九个量子比特映射到19个离子链的中心离子上。

在图5(a.iii)和5(b.iii)中，我们扫描激光失谐Δ，并使用第II节中的方案构建具有鲁棒性阶数ρ的脉冲。使用方程(20)，我们在均匀模式频率漂移下计算每个全局门的保真度，并取各个门保真度的乘积以获得总不忠实度。总不忠实度在δ附近呈现显著的最小值，这表明失谐选择对于编译的脉冲序列非常重要。

首先在图6(a)中检验了编译算法的效率。对于具有δ的随机相互作用图，所需门的数量与相互作用边的数量大致呈线性增长。对于两量子比特门和具有ρ和m的全球门，覆盖边的平均数量分别为1.00、8.37和19.55。对于n，平均覆盖率接近理论最大值28，表明利用率很高。将门的大小增加到m可以提高平均覆盖率，尽管这个值离相应的最大值28还有些距离。一般来说，更密集的相互作用图允许在每个全球门内使用更大比例的可用成对耦合。然而，大多数物理哈密顿量是稀疏的而不是完全连接的，因此在选定的顶点子集内可用的相互作用边数并没有像m那样快速增长。因此，增加ρ会降低门数量减少的改进效果，而脉冲设计的计算成本随着门大小的增加而迅速增长，如第III.C节所讨论的。这在电路压缩和脉冲设计复杂性之间造成了实际的权衡。

图6. 编译效率和脉冲级性能。(a) 对于具有δ的随机图，所需的纠缠门数量与相互作用边的数量。线条是线性拟合；对于两量子比特门和具有ρ和m的全球门，每个门覆盖的平均边数分别为1.00、8.37和19.55。(b), (c) 具有连接概率p的随机2D网格和随机图的纠缠门数量。(d) 通过显式设计每个编译门获得的总串行纠缠时间。(e) 在均匀模式频率偏移Δ下的总不忠实度。(f) 物理时间减少，其中δ和φ分别表示两种编译方法的两个量子比特和全球门的总串行纠缠时间。面板(b)–(f) 使用20个独立生成的加权实例显示了每种拓扑和p的平均结果。

图6(b)–6(f)比较了三种实现方式：基于Trotter分解的本地两量子比特门(基于4×4基[50]的质量门集)，以及具有ρ和m的全球门编译。我们考虑了具有连接概率p的随机连接2D网格和随机图，系统大小分别为N。对于每种拓扑和系统大小，生成了20个独立实例并取了相应的平均值。所有三种编译选择都使用了相同的实例。非零相互作用权重是从p中独立采样的，对应于单个Trotter步骤内的相互作用相位。

图6(b)和6(c)显示全局门显著减少了两种相互作用拓扑的纠缠操作数量。对于随机图，这种减少更为明显，因为选定的量子比特集合可以包含许多相互作用边。相比之下，2D网格的最大度数固定在m，因此其边密度随着n的增加而减小。因此，由一个全局门覆盖的相互作用主要是链状的，改进效果更接近于密集图的限制。

为了评估物理资源，我们为每个编译的门显式设计了一个AM脉冲。我们选择鲁棒性阶数ρ，并将段数设置为80，高于方程(19)中的必要估计。对于每个门，通过粗略扫描然后进行边界细化，逐步减少段持续时间，选择满足残差容忍度的最短解。图6(e)中累积的不忠实度是在均匀模式频率偏移下，使用完整的非RWA表达式进行评估的。图6(d)显示，门数量的减少导致总串行纠缠时间的显著减少。对于任何编译路径，总串行纠缠时间定义为，其中是纠缠脉冲的持续时间。因此，和都汇总了所有组成纠缠门的持续时间，而不考虑在不同量子比特上并行调度门。这种串行约定适用于在共同离子链上独立设计的脉冲，因为同时驱动通常通过共享的集体运动模式耦合，并且除非联合设计，否则可能产生不必要的交叉相位。在图6(f)中，对于每个相同的图实例进行评估，然后取平均值，其增益达到了几个因子，对于随机图和获得了最大的增益。如图6(e)所示，全局门编译保持了与两量子比特门基线相当甚至更低的累积漂移不忠实度。随可见的波动源于每个系统大小的最短可行脉冲持续时间的正常模式谱变化。

总体上，全局门编译在纠缠门数量和物理门时间方面提供了明显的优势，同时保持了对频率漂移的相似鲁棒性。

C. 扩展到更一般的情况
在本节中，我们为更一般形式的哈密顿量提供了一种相应的编译方法。

1. 方向不对齐的2-局部项
在IV A和IV B节中，所提出的编译策略仅限于每个相互作用项中的两个泡利算符具有相同方向的情况。现在我们将这个框架扩展到方向不对齐的哈密顿量，例如（27），其中表示相应不对齐类别的相互作用边集。更正式地说，这样的哈密顿量可以表示为（28）。由于方程（28）中的项可能不再交换，我们采用了Trotter-Suzuki分解框架。根据所需的模拟精度，将演化时间划分为时间切片，并在每个切片内划分全局门。注意这里省略了1-局部项，因为在囚禁离子系统中单个量子比特旋转的开销可以忽略不计。
为了处理这些项，我们在应用全局门之前对特定量子比特进行旋转，以将对齐相互作用的方向。我们定义旋转算符为对于。为了将算符映射到其他泡利算符上，我们引入了以下变换幺正矩阵：（29）。这些定义导致了以下恒等式：（30）。这个问题可以抽象为一个在类三层图上的受限图覆盖问题，定义为（31）（32）。我们的目标是找到一组子集，覆盖中的所有边，同时最小化。排他性约束（）反映了物理现实，即在一个全局门操作中只能对单个离子应用一个局部基变换。详细过程在算法2中概述。

算法2. 用于方向不对齐的2-局部项的全局门分解。输入：来自方程（28）的哈密顿量，时间切片，最大门大小 输出：全局门序列
1: 构建分层图
2: 初始化未覆盖的边集
3: 当 时执行循环
4: 找到在 中具有最大残差度的节点
5: 初始化虚拟集
6: 当 且存在有效邻居时执行循环
7: 贪心扩展：将 添加到 ，以最大化在中新覆盖的边，受约束：如果，则对于 。
8: 结束循环
9: 修剪：在保持中覆盖的边数量的同时最小化。
10: 定义活动量子比特集：
11: 相位矩阵：对于 ，否则为0。
12: 基变换：[来自方程（30）] 对于每个。
13: 将 添加到
14: 更新
15: 结束循环
16: 返回

这个排他性约束并不从根本上改变算法的性能；其底层逻辑仍然是Set Cover问题的贪心方法。尽管与IV A节中的均匀情况相比，有效候选子集的范围受到了限制，但近似比率仍然为。因此，相同的贪心Set Cover逻辑保留了相对于单个两量子比特相互作用的纠缠门数量的潜在密集图减少。

2. -局部项
最后，我们解决了最一般和最具挑战性的情况：具有任意-局部泡利字符串的哈密顿量，这些字符串的特点是随机连接性、方向和系数。在每个Trotter时间切片内，首先使用上一节描述的策略划分和实现2-局部项。然后单独处理剩余的-局部项（）。我们提出了一种分解方法，与传统方法相比，可以减少门复杂性。不失一般性地，考虑幺正的实现。对于具有不同泡利基的项，我们可以应用局部旋转来将它们对齐到方向，如前所述。这些门的一个关键属性如下：如果泡利字符串与抗交换，即，则以下相似性变换成立：通过引入一个辅助量子比特并利用这一属性，我们可以迭代地变换算符。对于，我们有（35）。对于，重复该过程得到（36）。通过归纳，我们得到一般形式（37）（38）。关键的是，由于所有项彼此交换，算符可以作为单个全局门来实现。

对于偶数的，我们通过（39）实现目标幺正。通过将辅助量子比特初始化为状态，算符在计算子空间上表现为恒等操作。因此，正确设置实现了。对于奇数的，我们有（40）。在这种情况下，辅助量子比特被准备为状态（的本征态）。设置实现所需的演化。然后通过将辅助量子比特返回到。

总之，-局部项被分解为两个全局门和一个局部旋转，从而在全局门数量上实现了复杂性。相比之下，传统编译需要两量子比特门。由于物理哈密顿量通常由局部相互作用主导，现代全局门的量子比特容量非常适合这种优化。此外，每次-局部操作后，辅助量子比特都与系统解耦，允许其作为通用工作空间量子比特再次使用。

V. 结论
在这项工作中，我们提出了一个全面、高效的理论和数值框架，用于在囚禁离子系统中实现多量子比特全局纠缠门。此外，我们应用了这个框架来优化量子模拟电路的编译。在脉冲控制的基础层面上，在M?lmer-S?rensen多模门框架内，我们开发了一种用于分段常数AM脉冲的数值解决方案。该方法使用零空间投影来满足线性残差纠缠约束，并将剩余的脉冲设计问题转换为低维子空间中的一组二次方程。结合切线空间梯度下降，它显著降低了RMS和峰值激光幅度，同时将门约束保持在规定的数值容忍度内。此外，我们还推导出了一个-量子比特全局门的平均保真度的解析公式，并引入了针对正常模式频率漂移的高阶鲁棒性约束，生成了高保真度和抗噪声的脉冲序列。值得注意的是，我们的算法框架具有高度的物理兼容性和可扩展性。一方面，该框架可以轻松扩展到相位调制方案[16,17]。通过使用特定的替换技术[22,51]，复杂的三角积分约束可以简化为线性约束，并伴有一些额外的二次约束，然后可以使用我们的算法流程来解决。另一方面，基于当前方法，通过简单地对正常模式的解决方案进行某些修改以纳入微运动[52,53]的影响，该算法可以直接应用于2D囚禁离子系统。然而，这需要实验能力来同时独立地处理多个离子，这目前面临几个挑战[19]，并将依赖于未来的技术突破。

在更高层次的应用中，我们展示了全局门在编译复杂哈密顿量演化中的巨大潜力。通过将相互作用图的划分抽象为Set Cover问题，我们提出了一个启发式的贪心编译算法。数值结果表明，对于方向对齐的2-局部物理模型，该方案在纠缠门数量上实现了显著的常数因子减少，与传统的两量子比特门分解相比。明确的脉冲级基准进一步表明，这种减少伴随着总串行纠缠时间的显著减少，同时保持了相当的频率漂移性能。此外，我们将编译策略扩展到方向不对齐的哈密顿量和一般的-局部相互作用，为广泛的量子模拟任务保持了稳定的资源优势。综合来自低级脉冲设计和高级编译的数值结果，我们进一步揭示了全局门在稀疏相互作用系统中的边际收益递减规律。这意味着在当前的容错量子计算和NISQ实验中，不加选择地追求具有全连接性的超大规模全局门并不是最佳策略。相反，利用我们的框架设计和应用中等规模的高保真度全局门足以在电路深度压缩和脉冲控制复杂性之间达到最佳平衡。这为近期量子模拟器的硬件-软件协同设计提供了实用的路线图。