源自内部旋转的整数分级互易趋肤效应

《APS Open ScienceNEW》：Integer-graded reciprocal skin effect from internal rotation

　　

非厄米皮层效应的一突出类别具有 ?? 拓扑分类，其特征是由互易性保护的宇称不变量。我们表明，守恒的内旋对此分类进行了细化，将其提升为一个无界的整数分级层次结构。每个角动量通道都是一个可精确求解的非对称链，具有自身的整数量点间隙缠绕数，而共轭通道在相对边界处累积，从而在全局上保持互易性。对于守恒通道，分类中每个共轭对包含一个整数，独立整数的数量由内多重态决定。半整数自旋实现了辛类 AII?，其 ?? 指数作为分级的奇偶性恢复。共轭通道的混合破坏了分级，并可能导致临界的、无标度皮层效应。环形三格点晶格和无源有损谐振子阵列提供了最小实现。

I. 引言

非厄米皮层效应（NHSE）——在开放边界条件（OBC）下大量体本征态在边界处累积——已成为开放和非保守系统研究中的主要课题，并已在光子学和声学晶格、机械和活性超材料、电路以及冷原子和开放电子系统中得到实现 [1–11]。在一维情况下，其起源为点间隙拓扑：能谱围绕参考能量的非零缠绕数控制了边界累积和相关的半无穷边界指数 [12–14]，而广义布里渊区（GBZ）恢复了周期边界条件（PBC）与 OBC 之间的体-边界对应关系 [2,15,16]。标准示例是 Hatano-Nelson 链 [17,18]，其右跳跃和左跳跃振幅不相等。

该模型，如同大多数扩展模型一样，从明显的非互易性出发。更广泛的问题在于边界累积是否可以在解析内部对称性之后才出现，而整体耦合保持互易性。尽管底层边界物理不同，但量子自旋霍尔效应提供了一种基于对称性的有用比较：时间反演对称性在由 ?? 不变量表征的相中保护螺旋边缘态 [19–21]。非厄米情形允许一种不同的边界现象：在互易皮层效应中，通过互易性连接的伙伴在相对边界处累积，尽管完整的哈密顿量保持互易性。此类互易皮层效应已在多个场景中报告。拓扑电路和声学超材料展示了互易伙伴在两端累积，包括投影镜和纯有损实现 [22–24]，而点间隙拓扑结合内部对称性约束允许时间反演保护的以及双向皮层效应 [13,25,26]。轨道系统、具有自旋相关规范场或非阿贝尔耦合的模型，以及环谐振子和光学系统同样表现出内部态分辨的方向性 [27–32]，另一条路线从空间非对易性获得 NHSE [33]。最近的扩展发现了对称性保护的皮层拓扑、规范场诱导的自旋分辨皮层效应、一般对称性分类以及相互作用系统中的对称性分数化皮层现象 [34–37]。这些发展揭示了日益丰富的对称性分辨皮层现象，但未提供将互易皮层模式组织为具有不同点间隙缠绕数层次的通用微观机制。

我们表明，守恒的内旋提供了这样的机制。链的每个格点携带一个内旋，相邻格点通过两条平行耦合路径连接：一条不改变内部态的直接路径和一条携带相位的旋转路径。完整的耦合矩阵满足互易关系，因此链严格互易。然而角动量是守恒的，因此每个固定角动量通道在两个格间块中看到相同的两个复振幅，分别乘以共轭相位因子和，在这两个格间块中。这两个标量和通常具有不同的量级，因此每个通道表现为非互易 Hatano-Nelson 链，尽管完整的耦合矩阵是互易的。互易性将一个通道映射到具有相反角动量的伙伴通道并反转偏置，因此伙伴在另一端累积。具有奇通道缠绕数的单一 Kramers 对实现了互易皮层效应；对则需要守恒的通道标签。更大的内多重态支持整数分级层次结构。

论文的组织如下。第 II–IV 节介绍了互易转子链，推导了其角动量通道，并呈现了环形三格点实现。第 V–VII 节描述了分级局域化长度、旋转分辨拓扑和半整数自旋情形。第 VIII 和 IX 节呈现了无源实现和数值演示。第 X–XII 节讨论了物理解释和稳定性，并以展望结束。附录 A–D 给出了有限范围实现、无源实现方案、数值检查和与相关分级的比较。补充材料 [38] 给出了最小环形三格点模型的显式实空间哈密顿量、详细的半整数自旋和对称类分析、输运推导以及吸收和非均匀微扰分析。

II. 互易转子链

在解析内部态之前，我们陈述完整哈密顿量的对称性要求。它守恒一个内旋生成元，而互易性反转其本征值。我们记为在每个格点内实现反转的幺正矩阵，。完整晶格哈密顿量则满足转置型互易条件
(1)
这里，在每个格点中相同地作用。对于此处考虑的物理互易操作，我们区分对应于轨道转子、环形晶格和整数自旋的 A 类的，与对应于真正的半整数自旋的 AII 类的 [39]。在前者情形中，适当的局域幺正基使得为恒等式，因此方程 (1) 简化为，如同第 IV 节中环形晶格的格点基中那样。在后者情形中，物理互易矩阵是反对称的，不能变换为恒等式，给出第 VII 节讨论的辛、Kramers 配对结构。对于平移不变链，相同条件在 Bloch 空间中变为 [26,39]。

最小的近邻实现是在一维晶格的每个格点中放置一个紧致转子 [图 1(a)]。带有格点和内振幅向量，哈密顿量作用为
(2)
其中对于开放链，且
(3)
这里，和是两个平行格间路径的复振幅：一条保持内部态的直接路径和一条携带旋转的路径。携带旋转的路径对每个角动量分量在两个跳跃方向引入相反的相位因子和。非零由内部空间中该耦合的有限相对旋转来实现：对于轨道转子，耦合点的方位角位移产生内旋；对于环形多重态，将耦合移动一个内部格点给出（在补充材料 [38] 的第 S7 B 节中逐格点展开）。反方向块携带，因此该有限旋转本身不破坏互易性。在时通道皮层偏置消失。格点项是偶函数，；常数足以满足要求并在全程使用。所有项都是的函数，因此内旋严格守恒。由共轭将映射为并因此交换和，同时保持不变。因为这些内部矩阵在基中是对称的，完整晶格哈密顿量的转置交换两个格间块并给出方程 (1)。因此，该链在选择任何通道之前是互易的；皮层偏置，如果存在，只能在对称性解析之后出现。

图 1. 互易转子链及其分级皮层效应。(a) 相同格点携带紧致转子，方程 (3) 的格间耦合作为矩阵是互易的 [方程 (1)]。成对箭头表示互易耦合矩阵和；将格点映射到，将格点映射到。幺正互易矩阵满足 A 类中的和 AII 类中的。(b) 对于时的 A 类示例，通道描绘了相同的 PBC 环路但以相反方向遍历（赤陶色/青绿色），因此它们围绕公共基点（十字，阴影）的缠绕数为，而轨迹简并为零面积线段通过原点且不缠绕。基点距离每个通道谱至少 0.195（以为单位）。在 OBC 下，每个环路塌陷到内部线段（点）。插图：通道分辨的 GBZ 是精确的圆 [方程 (6)]，位于 Bloch 圆（虚线）上的互易半径。参数：和。

III. 角动量通道和方向性跳跃

因为守恒，其本征值标记独立通道。该标记可以遍历（对于轨道型内部空间）或遍历（对于自旋多重态，整数或半整数）。对于后者，实现了并遵守。在具有本征值的通道内，旋转算子简化为标量相位因子和简化为，留下 Hatano-Nelson 型单带链 [17,18]。其两个格间跳跃振幅为
(4)
其 Bloch 哈密顿量为，其中是晶格常数（补充材料 [38] 的第 S2 和 S3 节）。

方程 (4) 直接显示了通道非对称性的来源。在块中，携带相位的路径相对于直接路径以相位因子进入；在块中，以共轭相位因子进入。相同的两个复振幅，结合共轭相位因子，通常具有不同的量级，因此通道有偏置，尽管完整哈密顿量保持互易性。偏置的大小有闭合形式，
(5)
一个我们称为生成元的实数。

方程 (5) 有三个直接推论。平凡通道无偏置，，因为旋转在其中平凡作用。共轭通道有相反的偏置，，因此它们在相反的两端局域化。偏置与成正比，即在复平面中由两个振幅张成的平行四边形的面积，因此仅当两条路径非共线时才非零。因此，两条路径各自都不破坏左右对称性；非对称性仅从它们的干涉中产生，且仅在内相位为两个格间块分配共轭因子之后。两个要素都是必需的——振幅必须失相，，且旋转相位必须满足。

生成元在无源实现的附录 B 中也有能量耗散解释。相干路径，，携带内旋相位，而耗散路径，，对旋转让不敏感，其 [40]。对于能量归一化的谐振子振幅，每个共享有损元件由相邻格点中场的叠加驱动。同相贡献耗散更多能量，而相等且相反的贡献不会激发该键损耗通道。阻尼最小的 Bloch 波，，因此具有由相干耦合设定的速度，[补充材料 [38] 的方程 (S56)]。单格点激发首先失去其更强阻尼的分量，因此其归一化质心在到达边界之前趋向于以运动。因此，给出向左漂移和左端皮层累积，而给出相反方向。共轭通道具有相反的偏置，尽管耗散耦合保持互易性。归一化漂移和皮层本征模式包络是这种干涉的不同后果，而非放大（补充材料 [38] 的第 S12 节）。

本机制的标量极限。单分量互易键没有区分其两条路径的非平凡旋转本征值。在方程 (2) 和 (3) 内，标量内部空间只携带平凡特征：旋转简化为恒等式，两条路径在两个方向合并为单个振幅，且生成元恒为零。因此该机制需要一个携带非平凡旋转表示的多模内部空间，以及非共线振幅。这并不排除由其他手段产生的标量皮层效应——显式非互易性、长程缠绕、Floquet 驱动或高维几何 [12,17,41]。最小晶格实现现在表明，所需的内部相位可以在普通互易网络中实现。

IV. 具体实现：环形三格点晶格

转子无需抽象。在经典实现中，我们可以在每个原胞中使用三个带有耦合谐振子或电路节点的格点。内旋由循环移位矩阵表示。该置换矩阵将格点映射到格点。因此方程 (3) 中的耦合矩阵变为和 [图 2(a)]。在物理格点基中，它们取显式形式

就键而言，连接相邻格点中索引相同的格点，将格点中的格点连接到格点中的格点，同一格点中的格点不耦合；补充材料 [38] 的第 S7 B 节给出了两个相邻格点的哈密顿量和网络图。由于是置换，每个格间键等于其反向，且复对称：互易性在网络层面是明显的，无需内部反转。

图 2. 具体环形三格点 () 实现。

图2（b）至（d）使用闭合形式解，因此每条曲线在任意参数值处都是精确的，且未涉及对角化。（a）两个相邻晶胞的端面视图——外层三角形和内层三角形——展示了直接键（灰色）和循环位移键（红色）。所有键都是互易的。虚线三角形仅勾勒晶胞轮廓；每个晶胞内的格点是解耦的。（b）各通道的皮肤率与在固定参数下的耦合相位的关系。当两个耦合变为共线时，皮肤率消失，因为式（5）的生成元在此处为零，且每个通道在规范意义上等价于互易链，即在此机制下无NHSE；标记点显示工作点。（c）在特定参数下的精确通道分辨皮肤剖面：某一通道扩展，另一通道在相对两端以相等速率积累，包络如式（6）和（7）所示。皮肤长度是广延量，即与链长无关，因为速率本身是广延的。（d）消除皮肤的相似变换的条件数，衡量谱对扰动的敏感性。它对所有局域化通道随链长指数增长，而对标量链则保持平坦。参数如上所述。

酉变换，满足特定条件，对角化了位移，并在特定参数处给出了三个特征以及将旋转相位替换后的式（4）的精确振幅。结果是极小的分级互易皮肤效应：某一通道保持扩展，而共轭通道在相对两端以相等速率积累[图2(c)]。当两个耦合变为共线时，不平衡关闭[图2(b)]，且谱对扰动的敏感性随链长指数增长[图2(d)]。特征变换是复酉而非正交的，且满足特定关系，其中某一算符是特征反射。因此，格点基中的显式网络对称性等价于特征基中的互易性约束（1）——实现它不需要真正的角动量。

微观构造识别了通道偏差；其边界效应由每个通道的非Bloch问题决定。

**V. 分级局域化长度**

在开放边界条件（OBC）下，通道的谱和态不受单位圆上的函数支配，而是受其向广义布里渊区（GBZ）的延拓支配[2,15]。在代入变量替换后，体方程有两个根，其乘积为定值；对于长开放链，GBZ条件是这两个根等模[2,15]，这独立于参数确定了GBZ。只要振幅都不为零，该通道在每个有限尺寸下都是精确可解的三对角Toeplitz矩阵[42]：对角规范将其共轭为具有跃迁的对称链（见补充材料S4节[38]）。若某个振幅为零，开放链退化为单向Jordan块，其谱坍缩为定值。每个通道的GBZ因此是精确的圆：

**（6）**

其中为逆皮肤长度，正值表示向左积累，负值表示向右积累，而谱和右特征向量在每个有限尺寸下都有闭合形式表达式：

**（7）**

其中参数满足一致分支条件。

式（7）是精确的而非大尺寸近似，且有几个直接推论。在固定通道内，每个本征态都携带相同的指数包络，因此该通道的所有本征态共享单一皮肤长度：通道内的所有本征态表现出相同的指数皮肤局域化，而不仅仅是谱边缘附近的状态。同一包络解释了PBC与OBC之间的差异。在PBC下，本征值在复能面上描绘出环路。在OBC下，该环路坍缩到线段上，其点是有限链允许的驻波值。最后，将非对称链变为对称链的规范变换具有条件数，因此较大的参数缩短皮肤长度并同时恶化相似的适定性：不同的皮肤长度对应谱对扰动不同程度的敏感性[43]。

GBZ半径本身满足两个关系。平凡通道位于单位圆上并保持扩展，而共轭通道位于互易半径上[图1(b)插图]：它们以相同速率局域化但方向相反，因此在相对两端积累。这种配对是精确的空间恒等式。由倒逆算符定义的倒逆交换上下对角线。互易性给出两个关系，因此在每个有限尺寸下都精确成立：

**（8）**

因此，共轭伙伴在OBC下精确等谱，同时携带相反的点间隙缠绕数，且其特征模是空间镜像像。

在具有守恒角动量的均匀链中，互易皮肤效应指的是在相对两端的皮肤通道配对。式（1）关联了两个通道，具有相反的缠绕和互易的GBZ半径。它并不意味着伙伴模式的非空间重叠或两端相等的总信号。边缘平衡则指等权求和的伙伴密度的镜像对称性。它来自额外的组合倒逆，如式（8）中逐通道表达的那样。当激发和探测也尊重组合倒逆时，测量具有此边缘平衡。互易的、角动量守恒的非均匀扰动可以破坏此倒逆同时保持从均匀跃迁继承的互易相似因子；它们不一定保持边缘平衡或物理局域化长度（见第十一节）。

精确的OBC解给出了效应的实空间表现；周期点间隙缠绕给出了其拓扑标签。

**VI. 旋转分辨拓扑：缠绕数**

每个角动量通道都是独立的有向链，其点间隙拓扑由谱关于参考能的缠绕来表征：

**（9）**

对于最近邻链，当参考能位于通道环路内部时缠绕数为±1，位于外部时为0，在环路本身未定义；以下使用的每个基点都避开了所有通道谱[图1(b)]。因此，完整表征是通道缠绕数集合，每个守恒通道一个整数。通道分辨的互易性给出特定关系；转置保持缠绕不变，而动量反射翻转其符号，因此在所有存在自共轭通道的地方——在每个整数多重态中，在无半整数多重态中（见补充材料S5节[38]）。微观上，同一表述读作：共轭通道在相对两端以相等速率积累，因此没有优先的边缘，互易性未被破坏。

通道缠绕数包含的信息比单一宇称不变量更多，总缠绕的消失并不意味每个通道都是拓扑平凡的。该抵消仅由互易性强制。在通道求和之前，每个通道都是独立的一维能带，携带其自身的整数缠绕，即此类能带的完整点间隙不变量[4]。对于有限多重态和位于每个通道点间隙中的公共基点，对称分辨的相位则精确为：

**（10）**

完全由具有正条件的通道缠绕指定。计数对于整数自旋，对于半整数自旋，对于转子（见补充材料S5节[38]）。

完整行列式的缠绕不能区分这些通道缠绕。由于矩阵在角动量上是对角分块的，任何旋转对称截断的行列式在通道上因式分解，因此其缠绕等于特定值并消失。零总缠绕记录了共轭伙伴之间的抵消；它并不消除个别通道携带的非零整数。

这些整数不仅仅是形式上的；它们可以实现。仅用最近邻耦合，每个通道至多在环路中心周围缠绕一次，且当两个振幅大小不同[条件]时，缠绕的符号简单地就是生成元的符号。更大的缠绕只需要更长的耦合范围。如果在最多特定数目的晶胞范围内允许独立的旋转对角振幅，则对于有限多重态，每个幅度至多的互易相容缠绕集都可以实现（附录A）。一个相同双路径形式的次近邻耦合，已经给出特定缠绕数，证明了通道分辨分类不受二元标签限制（图3）。对于无限角动量塔，相同构造固定了任意有限窗口通道的缠绕。对于均匀有界跃迁，随角动量增长的在位能提供了有限支撑描述的充分正规化，前提是公共点间隙保持开放；其他无限塔类别超出我们的范围。体边对应关系则逐通道成立[12,13]：非零缠绕在该通道产生积累，且其符号选择边缘。整数分级还澄清了半整数自旋的作用，其中熟悉的辛NHSE作为守恒通道整数的宇称约化出现。

**图3.** 范围2转子中超越的缠绕。最近邻振幅为特定值。（a）某通道的Bloch轨迹。曲线围绕基点两次，因此缠绕数为±2；基点与每个通道轨迹至少相距1.6。共轭伙伴描绘相同轨迹但方向相反，缠绕数为?2，且自共轭通道退化为零面积轨迹。点：开放边界谱，位于轨迹内部。（b）双重缠绕通道的特征模振幅。每个模式都强烈局域在左侧，在其最左四分之一链中携带特定比例的权重，尽管多指数范围2剖面不必在第一个晶胞处达到峰值（峰值晶胞跨越特定范围）。

**VII. 半整数自旋：Kramers通道和辛类**

前述推导不要求整数角动量，对于半整数自旋多重态，每个通道级的结果——振幅[式(4)]、生成元[式(5)]、精确解[式(6)和(7)]以及镜像恒等式[式(8)]——都原样适用。有三个差异。

第一个是对称类。反演矩阵满足特定条件，因此整数角动量实现类C，而每个半整数角动量实现辛类AIII；这些是由式（1）定义的转置型时间反演的两个类，由此转置对称性区分。一维点间隙分类为特定类别，其标志是Kramers配对皮肤效应[13,25,39]。在此，共轭对正是Kramers伙伴：由式（8）等谱，缠绕相反，具有镜像模式。第二个是半整数多重态没有自共轭通道，因此对于一般的参数每个通道都表现出皮肤局域化；例外角度使参数在至少一个通道中成为特定值的倍数。

第三个涉及计数。在角动量守恒时，分类[式(10)]和附录A的有限范围实现适用，且没有通道缠绕受限于为零，相位形成特定集合。然而，个别缠绕需要精确守恒。一旦允许任意角动量保持的混合，公共点间隙不变量简化为Pfaffian宇称[13,39]：

**（11）**

只要公共点间隙保持开放，它就保持定义；此关系的推导见补充材料S8节[38]。自旋1/2，带有单一缠绕等于1，因此仅由互易性保护；自旋1带有缠绕(1,1)具有平凡的Pfaffian指标，但在角动量守恒时仍具有完整的分级皮肤效应；自旋3/2[补充材料图S6(b)]再次具有非平凡的Pfaffian指标。

分级除了转置型互易性外还需要角动量守恒（见补充材料S8A节[38]）。一旦互易扰动混合了通道，它们的单独缠绕就不再定义了。在C类中，一维点间隙分类是平凡的；所研究的自旋1示例在热力学极限下失去与尺寸无关的皮肤局域化长度而不关闭点间隙（见第十一节和附录C）。弱混合在有限链中仍可留下强边界积累。在AIII类中，剩余的不变量是式（11）中的宇称：奇宇称不能由角动量保持的混合在公共点间隙保持开放时移除，尽管个别通道缠绕和皮肤长度不再受保护。

此关系类似于量子自旋霍尔效应：当自旋守恒时，两个自旋子空间具有相反的Chern数，且任一Chern数的宇称给出时间反演不变量[44,45]。

分类规定了哪些通道缠绕是允许的；物理实现还必须表明所需的非共线性与互易性和无源性相容。

**VIII. 无源紧束缚实现**

非共线性不必被设计到跃迁中，因为损耗自动提供了它。无源实现使用相同的多模谐振器——微环轨道模式或简并腔模式——通过厄米相位携带跃迁和通过损耗元件运行的旋转盲耦合连接。则一个振幅是实数而另一个是纯虚数，给出相对相位π/2。对于固定幅度和旋转角，这最大化了通道不平衡。

在体均匀衰减至少为有损耦合强度两倍时，通过严格的算符界，每条有限开放链严格变为无源系统。有损耦合本身并非临时拼凑的矩阵元：每根键上每一个分量对应一个旋转盲的马尔可夫损失通道——物理上，这是由两个相邻胞元共享的一个强阻尼多模辅助谐振子——与阈值体衰减一起，精确地生成了上述的无跃迁生成元（附录B）。均匀损失刚性地平移了谱，同时使GBZ半径保持不变；无源性和分级皮效应因此共存，每条定域化边界仅由旋转角决定。绕相同平移后的参考能量的缠绕数同样不变。然而，驱动信号在传播过程中仍会衰减，可能在到达边界前便降至检测下限以下。因此，可观测的逐通道分辨累积要求：系统具有足够的空间延伸以分辨皮包络并检测边界信号，以及能够区分各通道的激发与探测手段。补充材料[38]的S12 D节给出了方向性对比度与源到边界传输的独立条件，包括它们对吸收、传播距离和探测器动态范围的依赖关系。

数值计算的作用因此在于验证精确的通道预测，以及检验在保护性通道守恒被放松后剩余的性质。

**九、数值演示**

精确对角化证实了通道预测：在$\lambda$处的相反缠绕数，以及周期边界条件环路坍缩到开放边界条件谱[图1(b)]；在$\lambda = \frac{1}{3}$处的分级速率$r_1$和$r_2$；六个Kramers配对自旋-$\frac{1}{2}$通道；幅度为2的程长为2的缠绕（图3）；无源界；一条无累积的共线对照链；以及一旦自旋-1通道被混合便出现的临界尺度无关渡越（附录C）。这些解析与数值检验将上述机制与现有的NHSE途径进行了对比。

**十、讨论**

内旋转是此处产生不均衡的微观机制，而非显式引入的跳跃不对称性。不等量的通道振幅源自耦合矩阵内部的相位因子，而该矩阵本身满足互易性，这使该机制与若干邻近的模型类别区分开来。在Hatano-Nelson链及其扩展中，跳跃在对称性分辨之前便已不等[17,18]；而此处，哈密顿量满足互易性约束(1)，方向性仅在解析出固定角动量的通道后才出现。在互易皮效应及相关具有内部对称性约束、自旋自由度或规范场的系统中[13,22,23,25,26,28–30,35]，互易关联或具有相反赝自旋的配对同样可以在不同端局域化。一对共轭配对具有相反端的伙伴，而更高内部重数则可支持多个独立的整数缠绕数，无法由单一$\lambda$标签表示[式(10)]。半整数情形实现了A类，其$\lambda$指标作为分级的奇偶性被恢复。相关的晶体、轨道和非对积分级在附录D中进行了比较。

**十一、稳定性：守恒分级与临界混合**

上述比较指向核心的稳定性问题：分配给每个通道的整数仅在通道保持解耦时受保护。任何保持块结构并使每个通道中点间隙保持打开的微扰，都不会改变任何通道。一旦共轭通道被混合，它们各自的缠绕数便不再分别定义。对于此处研究的均匀空间、保持互易性的微扰$H'$，任意固定的$m$耦合了自旋-1（$S=1$）转子链中局域化在相反端的未微扰伙伴。在热力学极限下，混合对具有单位圆GBZ且不存在尺寸无关的指数皮局域化。这并不意味着有限链中边界累积的立即消失。在弱混合时，模式在依赖于混合强度的渡越尺寸以下仍强烈边界集中；更长的链逐步趋向尺度无关分布，其延伸随$L$增长，平均逆参与率正比于$L$[46,47]。补充材料[38]的S9节给出了弱混合数据与渡越估计。对于A类的半整数自旋，混合同样消除了各分整数，但式(11)的奇偶性在公共点间隙保持打开的前提下得以保留。

一个胞元依赖的在体势或各内部分量相等的损失可保持$m$和互易性，但通常破坏$S_1$。在均匀跳跃下，共轭本征模保持$\lambda_1 = \lambda_2$，其中$\lambda_1$在两者分别归一化之前对两个伙伴求解相同的对称化链问题。因子$\lambda_1$和$\lambda_2$不受此在体微扰的影响，伙伴本征值保持相同。然而，一般的非均匀链不具有平移GBZ，因此这些是互易相似因子而非全局GBZ半径。伙伴密度不一定互为镜像。此外，无序或势梯度可将$\lambda_1$局域化在样品内部并改变或抑制端部累积，尽管各因子本身不变。对于保持互易性和$m$守恒的键无序，这些因子本身变为局部跳跃比率的乘积而非固定$\lambda$的幂。补充材料[38]的S12 F节给出了这两种情形。

**十二、结论与展望**

确立了守恒分级与混合通道临界性的区分后，该机制的平台无关实现要求为：一个具有非平凡旋转表示的内部空间，以及两条复振幅不共线的耦合路径。由于仅旋转本征相位进入通道跳跃，内旋转不一定要是字面意义上的机械旋转。它可以是任何守恒的阿贝尔$U(1)$或$\mathbb{Z}_n$内部对称性，其本征值提供链间相位；不需要角算符或非交换的内部结构。相应地，同一构造可以描述环的轨道模式、周期谐振子重数、整数自旋流形或真正的半整数自旋。在最后一种情形中，$S = \frac{1}{2}$且链实现A类，具有Kramers配对的皮通道。具有轨道角动量（OAM）模式的环形谐振子、简并微波或声学腔、耦合波导阵列以及拓扑电路[22,48–54]是可能的平台，而真正的自旋重数——如$^{11}\text{B}$的电子和核自旋或冷原子超精细流形——则提供了半整数情形的直接实现[55]。角动量分辨实现了角动量选择性的边界局域化。通道依赖的皮长度也使谱灵敏度变为通道依赖的，它随系统尺寸指数增长且可逐通道调谐（当然，任何计量学主张都需完整的响应-噪声分析）。在更高维度中，可分离的旋转调制耦合在各方向给出皮速率，不同通道可局域化在不同角落（附录D）。自然的扩展包括非阿贝尔内旋转、线间隙对称性约束[39,56]和保持旋转的无序[57]。总之，内旋转提供了一条系统性途径，实现具有通道分辨整数缠绕的互易皮局域化，尽管整个系统不具优先方向。