用于三能级量子比特纠缠的稀疏各向异性正映射：精确不可分解性与正偏转置几何

《Physical Review A》：Sparse anisotropic positive maps for qutrit entanglement: Exact indecomposability and positive-partial-transpose geometry

　　

正映射但不是完全正映射提供了检测超越正偏迹（PPT）判据的纠缠的最直接方式之一。我们引入并分析了一个可精确求解的两参数稀疏双随机正映射族，作用于三能级量子系统（qutrit）上，其中两个相干通道由参数 $w$ 和 $z$ 独立调节。稀疏结构使得完整的相图解析可解：正性恰好在正方形 $0\leq w,z\leq 2/3$ 上成立，完全正性在较小的正方形 $0\leq w,z\leq 1/3$ 上成立，而在角落 $w,z\geq 1/3$ 处恰好超出四分之一圆的区域之外，可分解性丧失。不可分解区域由显式的PPT纠缠态验证，这些纠缠态适配于相同的见证几何结构。在端点 $W^*=W(2/3,2/3)$ 处，我们构造了一个四参数PPT边缘态族，其秩类型为(5,5)，推导了其解析检测区域，并证明对应的射线是PPT锥的暴露面。最后，尽管 $W^*$ 不是最优的，我们给出了一个显式的最优改进，其在上述族上的检测区域严格更大。该结果提供了一个解析可处理的三能级量子系统设置，在此设置中可以在单一框架内研究正性、不可分解性、PPT纠缠、最优性以及凸几何中的暴露结构。

**I. 引言**

纠缠是量子理论的标志性非经典特征，也是量子信息处理的核心资源。判断一个混合双体态是否可分仍然困难，而正映射提供了该问题最有效的表述方式之一：一个态可分当且仅当它在每一个正线性映射下保持为正定[1,2]。通过Choi-Jamiolkowski对应关系，该判据将关于映射的问题转化为关于双体算符的特征值和块正定性问题[3,4]。

不可分解正映射尤其重要，因为可分解映射无法检测正偏迹（PPT）纠缠态，而不可分解映射则可以[1,5–7]。在低维空间中，Woronowicz[8]和St?rmer[9]的结果排除了这类映射的存在，而在维度 $d^2 \geq 9$ 时，它们已经出现在Choi映射及其推广中[10]。随后Ha-Kye对Choi型见证、暴露映射和PPT边缘态的分析表明，正映射提供了一个具体设置，在该设置中可以同时研究映射几何和态几何[11–15]。互补的发展将正映射和纠缠见证与张量锥的特征化、谱和几何构造、正双二次型、初等算子判据、合并程序以及张量幂次可分解性联系起来[16–23]。近期发展还利用正映射构建实用的可分性判据、纠缠见证以及基于对称测量、矩判据、重排类见证构造和对称正映射构造的纠缠估计方法[24–27]。对于量子信息应用而言，拥有不仅不可分解而且解析可处理的例子是有用的。这样的例子可以作为数值搜索正映射的基准、测试PPT态上纠缠判据的工具，以及区分正性、完全正性、可分解性、最优性和暴露性等不同概念的范例。挑战在于这些性质通常由不同的凸锥控制，很少能在同一个族中以闭式形式同时获得。

本文提供了这样一个精确可解的构造。我们分析了文献[28]中引入的三能级量子系统稀疏正映射族，聚焦于两个存活相干项具有独立权重的各向异性区域。Choi矩阵有一个被抑制的相干扇区和两个活跃的反对角扇区。这种简单的模式是主要的物理和数学简化：该映射探测双体三能级量子系统的两个选定相干项，而缺失的扇区使正性和PPT几何足够刚性以精确求解。

在均匀双随机切片中，我们得到以下结果。首先，正映射占据正方形 $0\leq w,z\leq 2/3$，而完全正（CP）映射占据较小的正方形 $0\leq w,z\leq 1/3$。其次，从可分解到不可分解正映射的过渡是精确的：每一个满足 $w\leq 1/3$ 或 $z\leq 1/3$ 的正映射都是可分解的，而在角落 $w,z\geq 1/3$ 处，边界是四分之一圆：
$$w^2 + z^2 \leq 1/3. \tag{1}$$
第三，不可分解区域由适配于相同两个相干通道的解析PPT纠缠态检测。第四，在端点见证 $W^*$ 处，我们构造了一个四参数PPT边缘态族，秩类型为(5,5)，确定其检测区域，并证明对应的PPT态射线是暴露的。最后，我们证明 $W^*$ 非最优，并给出一个显式的最优改进，其在所构造态上的解析检测区域严格更大。

因此，该构造提供的不仅是一个相图。它提供了一个受控的见证-态对应关系，其中相同的稀疏三能级量子结构决定了正性区域、可分解性阈值、见证所检测的PPT纠缠态以及PPT锥的相关面。

本文的组织如下。第II节回顾正映射、可分解性和Choi矩阵的基本概念。第III节引入三能级量子映射族并专门化到均匀双随机切片。第IV节给出正性区域。第V节识别物理量子通道扇区并证明其完全正映射都是纠缠破坏的。第VI节使用显式的PPT见证建立可分解性阈值。第VII节构造见证适配的PPT边缘态族并分析其检测区域。最后，第VIII节收集端点映射的见证侧性质，包括其对偶面、非最优性以及具有更大检测区域的最优改进。

**II. 预备知识与符号**

我们回顾矩阵代数之间保持Hermit性的线性映射的基本概念及其与双体纠缠的关系。

设 $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ 表示复 $d\times d$ 矩阵的代数，设 $\mathcal{W}$ 为线性映射。我们考虑保持Hermit性的线性映射，满足 $\mathcal{W}(A^\dagger) = \mathcal{W}(A)^\dagger$。在这些映射中，以下类别起着核心作用。

(1) $\mathcal{W}$ 是正的，如果对每个半正定算符 $\rho$，都有 $\mathcal{W}(\rho) \succeq 0$。

(2) $\mathcal{W}$ 是 $n$-正的，如果扩增 $\mathcal{W}\otimes \mathrm{id}_n$ 在 $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\otimes \mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ 上是正的；这一层级也与Schmidt数见证和精细纠缠分类相关[29]。

(3) $\mathcal{W}$ 是完全正的，如果它对每个 $n$ 都是 $n$-正的。

(4) $\mathcal{W}$ 是完全共正的，如果 $\mathcal{W}^{T_1}$ 是完全正的，其中 $T_1$ 表示 $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ 上的转置。

(5) $\mathcal{W}$ 是可分解的，如果可以写成完全正映射和完全共正映射之和。

主要工具是Choi矩阵
$$J_{\mathcal{W}} = (\mathcal{W}\otimes \mathrm{id}_d)(|\Omega_d\rangle\langle\Omega_d|), \tag{2}$$
其中
$$|\Omega_d\rangle = \sum_{i=1}^d |i\rangle\otimes |i\rangle \tag{3}$$
表示未归一化的最大纠缠矢量。Choi定理指出，$\mathcal{W}$ 完全正当且仅当 $J_{\mathcal{W}} \succeq 0$[4]。等价地，对于 $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ 上的映射，$d$-正性已经蕴含完全正性[3,4]。

普通正性弱于完全正性。一个保持Hermit性的映射 $\mathcal{W}$ 是正的当且仅当其Choi矩阵是块正的，即
$$\langle \psi, \rho|\; J_{\mathcal{W}}\;|\rho,\psi\rangle \geq 0, \quad \forall\, \rho,\psi. \tag{4}$$
由凸性，这等价于在所有可分态上非负。相反，一个双体态是纠缠的当且仅当它被某个正但不是完全正的映射检测到[1]，意味着对于至少一个这样的 $\mathcal{W}$，$\mathcal{W}(\rho)$ 不正定。在这个意义上，正但不是完全正的映射充当纠缠见证。

我们将使用以下PPT测试来判断不可分解性（全文中，偏迹 $T_2$ 作用于第二个张量因子，除非明确说明否则）。

**定理1.** 设 $J_{\mathcal{W}}$ 是正映射 $\mathcal{W}$ 的Choi矩阵。假设存在一个双体态 $\rho$ 使得 $\mathrm{tr}(J_{\mathcal{W}}\,\rho) < 0$。则 $\rho$ 必然是纠缠的。如果此外 $\rho$ 是PPT的，即 $(\mathrm{id}\otimes T)(\rho) \succeq 0$，则 $\mathcal{W}$ 是不可分解的。

这个标准判据来自可分解见证与PPT锥之间的对偶性[1,7]。

**证明.** 如果 $\mathcal{W}$ 是可分解的，则其Choi矩阵可以写成
$$J_{\mathcal{W}} = A + B^{T_2}, \tag{5}$$
其中 $A, B \succeq 0$。对于每一个PPT态 $\rho$，则会有
$$\mathrm{tr}(J_{\mathcal{W}}\,\rho) = \mathrm{tr}(A\rho) + \mathrm{tr}(B^{T_2}\rho) = \mathrm{tr}(A\rho) + \mathrm{tr}(B\rho^{T_2}) \geq 0, \tag{6}$$
因为 $A$ 和 $B$ 都是半正定的。因此，存在一个PPT态使得期望值为负排除了形式(5)的任何分解。第一个断言来自 $J_{\mathcal{W}}$ 在可分态上的块正定性。

**III. 三能级量子系统族与均匀双随机切片**

我们现在将文献[28]中的稀疏三能级量子映射专门化到各向异性区域和均匀双随机切片。每个映射作用于 $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ 上，形式为
$$\mathcal{W}_{w,z}(A_{ij}) = \frac{1}{3}\delta_{ij}\sum_k A_{kk} + w\,A_{12}E_{21} + z\,A_{13}E_{31}, \tag{7}$$
其中参数为 $w$ 和 $z$。相关联的Choi矩阵有两个非平凡的 $2\times 2$ 块和五个一维扇区，因此其谱可以显式读出[28]：
$$\mathrm{spec}(J_{\mathcal{W}_{w,z}}) = \{1/3 + w, 1/3, 1/3 + z, 1/3, 1/3, 1/3, 1/3\}. \tag{8}$$
因此，完全正性等价于
$$w \geq -1/3, \quad z \geq -1/3. \tag{9}$$
文献[30]最初报告了该稀疏族中不可分解成员的数值证据。

文献[28]还表明，(7)的正性等价于一个Hermitian双二次型的非负性，或等价地，对所有的 $\psi, \phi$，一个 $9\times 9$ Hermitian矩阵 $M(\psi,\phi)$ 的正性。在转到单纯形变量 $\alpha_i$（其中 $\alpha_i = |\psi_i|^2$，$\sum \alpha_i = 1$）之后，问题归结为一个标量函数的符号。这个归约在均匀双随机切片
$$\text{即}\quad w, z \geq 0, \quad \mathcal{W}_{w,z}(\mathbb{I}) = \mathbb{I}, \quad \mathrm{tr}(\mathcal{W}_{w,z}(A)) = \mathrm{tr}(A) \tag{10}$$
中特别有效，在该切片中，映射既是迹保持的又是幺正的。从现在起我们限制于此情况，将映射记为 $\mathcal{W}_{w,z}$，其Choi矩阵记为 $J_{w,z}$。我们使用有序乘积基
$$E_{ij} = |i\rangle\langle j|\otimes |i\rangle\langle j|, \quad i,j = 1,2,3. \tag{11}$$
我们写 $E_{ij}$ 表示秩-1算符 $|i\rangle\langle j|$。在此基下，活跃的反对角Choi条目恰好是两个相干对 $E_{12,21}$ 和 $E_{13,31}$，分别以 $w$ 和 $z$ 加权。使用式(2)，我们可以写成
$$J_{w,z} = \frac{1}{3}\left(\sum_{i,j} E_{ii}E_{jj}\right) + w\left(E_{12}E_{21} + E_{21}E_{12}\right) + z\left(E_{13}E_{31} + E_{31}E_{13}\right), \tag{12}$$
其中点表示零条目。

**简单非幺正变形**

尽管下面考虑的精确求解切片是双随机的，但稀疏构造并不依赖于幺正性。一个简单的非幺正正映射通过可逆输出滤波器获得。对于 $A_{ii} = a_i > 0$，定义
$$F = \mathrm{diag}(a_1, a_2, a_3), \quad \widetilde{\mathcal{W}}_{w,z}(A) = F^{-1}\mathcal{W}_{w,z}(F^{1/2} A F^{1/2})F^{-1/2}. \tag{13}$$
由于 $F$ 的共轭是完全正的，只要 $\mathcal{W}_{w,z}$ 是正的，$\widetilde{\mathcal{W}}_{w,z}$ 就是正的。显式地，
$$\widetilde{\mathcal{W}}_{w,z}(A_{ij}) = \frac{a_j}{a_i a_1}A_{ij}\delta_{i1}\delta_{j2}\cdot w + \ldots, \tag{14}$$
且 $\widetilde{\mathcal{W}}_{w,z}(\mathbb{I}) = \mathrm{diag}(a_1/a_2, a_2/a_2, a_3/a_3) = \mathrm{diag}(a_1/a_2, 1, 1)$，所以当 $a_1 \neq a_2$ 时映射非幺正。如果 $F$ 可逆，不可分解性也得以保持：$\widetilde{\mathcal{W}}_{w,z}$ 的任何分解在组合完全正逆滤波器之后会诱导 $\mathcal{W}_{w,z}$ 的一个分解。这个例子不是迹保持的，包括它是为了说明如何通过局域滤波从本见证生成非幺正正映射。更一般的非均匀切片及其精确正性阈值在文献[28]中处理。

**IV. 正性区域**

我们的第一个目标是确定在 $w$-$z$ 平面上哪些映射 $\mathcal{W}_{w,z}$ 是正的。在均匀切片中，正性问题可以直接从秩-1投影的像来处理。

**引理1（均匀切片中的直接标量测试）.** 映射 $\mathcal{W}_{w,z}$ 是正的当且仅当
$$w^2 x_1 x_2 + z^2 x_1 x_3 \leq \frac{1}{9}x_1 + \frac{1}{9}x_2 x_1 + \frac{1}{9}x_3 x_1, \tag{15}$$
对所有满足 $x_i \geq 0$，$x_1 + x_2 + x_3 = 1$ 的 $x$ 成立。

**证明.** 只需在秩-1投影上测试正性。设 $\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$，令
$$x_i = |\psi_i|^2, \quad \sum x_i = 1, \tag{16}$$
使得 $x$ 属于概率单纯形。从式(7)出发，取 $\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$，得到
$$\mathcal{W}_{w,z}(\rho) = \begin{pmatrix} \frac{1}{3}(x_1+x_2+x_3) & w\psi_1\overline{\psi_2} & z\psi_1\overline{\psi_3} \\ \bar{w}\overline{\psi_1}\psi_2 & \frac{1}{3}x_2 & 0 \\ \bar{z}\overline{\psi_1}\psi_3 & 0 & \frac{1}{3}x_3 \end{pmatrix}. \tag{17}$$
对于 $x_1 > 0$，所有对角条目严格为正。取下对角 $2\times 2$ 块的Schur补得到单一条件
$$\frac{1}{3}x_2 - w^2|\psi_1\psi_2|^2 \geq 0, \quad \frac{1}{3}x_3 - z^2|\psi_1\psi_3|^2 \geq 0. \tag{18}$$
除以 $x_1$ 恰好得到式(15)。反之，如果式(15)对单纯形的每一点成立，则式(17)对每个 $\rho$ 都是半正定的，因此 $\mathcal{W}_{w,z}$ 是正的。$\square$

**命题1（$\mathcal{W}_{w,z}$ 的正性条件）.** 设 $w, z \geq 0$。则 $\mathcal{W}_{w,z}$ 是正的当且仅当
$$w \leq 2/3, \quad z \leq 2/3. \tag{19}$$
因此，$w$-$z$ 平面上的正性区域是正方形 $0\leq w,z\leq 2/3$。

**证明.** 由引理1，正性等价于 $\mathcal{W}_{w,z}$ 在单纯形上非负。固定 $x_1$。对于 $x_2$ 或 $x_3$ 等于零的情况，条件是自动满足的。对于 $x_i > 0$，变量 $x_j$ 的范围在 $[0, 1-x_1-x_k]$ 上，且
$$f(x_j) = w^2 x_1 x_j + z^2 x_1 x_k(x_j) \tag{20}$$
是 $x_j$ 的仿射函数。因此，在此区间上的最小值在端点处取得。如果 $w \geq z$，最小值在 $x_j = 0$ 处；如果 $w \leq z$，它在 $x_j = 1-x_1$ 处。因此
$$\min_{x} \frac{f(x)}{x_1} = \max(w^2, z^2(1-x_1)^0) \to \text{取最坏情况}. \tag{21}$$
由于 $x_1$ 从 0 到 1 变化，在 $x_1 = 1$ 处等号成立，在单纯形上的正性等价于
$$9w^2 \leq 4, \quad 9z^2 \leq 4, \tag{22}$$
这等价于式(19)。$\square$

**推论1.** $\mathcal{W}_{w,z}$ 的完全正区域为 $0\leq w,z\leq 1/3$。

**证明.** 式(8)中的Choi谱，专门化到 $w,z\geq 0$，给出完全正性当且仅当 $w\leq 1/3$ 且 $z\leq 1/3$。因此，正性仅由两个活跃相干权重中的较大者控制。较小的完全正性正方形是两个活跃Choi块已经半正定的区域。剩余的问题是正性正方形内部的可分解性。

**V. 量子通道与纠缠破坏区域**

在完全正正方形内部，$\mathcal{W}_{w,z}$ 是迹保持完全正映射，因此是三能级量子通道。在原点处它是完全去极化通道：
$$\mathcal{W}_{0,0}(A) = \frac{1}{3}\mathrm{tr}(A)\,\mathbb{I}. \tag{23}$$
参数 $w$ 和 $z$ 分别保留了输入相干 $A_{12}$ 和 $A_{13}$，而23相干被完全擦除。因此CP正方形是完全去极化通道的各向异性两相干变形。以下结果给出了其操作分类。

**命题2（纠缠破坏区域）.** 在均匀双随机切片中，$\mathcal{W}_{w,z}$ 是纠缠破坏的当且仅当它是完全正的。等价地，
$$\mathcal{W}_{w,z}\text{ 是纠缠破坏的} \iff w\leq 1/3 \text{ 且 } z\leq 1/3. \tag{24}$$

**证明.** 纠缠破坏映射必然是完全正的，所以只需证明 $\mathcal{W}_{w,z}$ 的Choi矩阵在整个CP正方形上都是可分的[40]。令 $A = J_{w,z}$。由仿射依赖性，
$$A = (1-3w)(1-3z)A_{00} + 3w(1-3z)A_{w,0} + 3z(1-3w)A_{0,z} + 9wz\,A_{1/3,1/3}. \tag{25}$$
因此只需在四个顶点处证明可分性。显然，$A_{00} = \frac{1}{3}\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}$ 是可分的。对于三个非平凡顶点，定义
$$A_{w,0} = \frac{1}{3}\mathbb{I}\otimes\mathbb{I} + w\left(E_{12}E_{21}+E_{21}E_{12}\right), \tag{26}$$
$$A_{0,z} = \frac{1}{3}\mathbb{I}\otimes\mathbb{I} + z\left(E_{13}E_{31}+E_{31}E_{13}\right), \tag{27}$$
$$A_{1/3,1/3} = \frac{1}{3}\mathbb{I}\otimes\mathbb{I} + \frac{1}{3}\left(E_{12}E_{21}+E_{21}E_{12}+E_{13}E_{31}+E_{31}E_{13}\right). \tag{28}$$
直接相位平均给出
$$A_{w,0} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{-i\theta(2P_{11}-P_{12}-P_{21}+P_{22})}\left(\frac{1}{3}\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}+w(E_{12}E_{21}+E_{21}E_{12})\right)e^{i\theta(2P_{11}-P_{12}-P_{21}+P_{22})}d\theta, \tag{29}$$
$$A_{0,z} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \ldots d\theta, \tag{30}$$
$$A_{1/3,1/3} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \ldots d\theta. \tag{31}$$
事实上，在第一个积分中，唯一重合的相位指数对应于对 $P_{11},P_{22}$；在第二个中，它们对应于 $P_{11},P_{33}$；在第三个中，它们对应于两对。所有其他反对角项在相位平均下消失。因此所有四个顶点都是可分的。$\square$

方程(25)及可分锥的凸性证明了该断言。因此，该族中不含既完全正又非纠缠消除的信道：完全正边界与纠缠消除边界重合。CP 方块中的每个信道因而都存在"测量–制备"实现，而方块外的正映射本身并非物理信道，但通过其 Choi 矩阵定义了纠缠检验算符[40]。这为图 1 中三个主要区域提供了直接的量子信息诠释。

图 1. 映射 ρ 在 (a,b) 平面上的相图。蓝色方块为命题 1 中的正性区域 A，橙色方块为推论 1 中的完全正区域 B。右上角处，方程(33)的绿色四分之一圆将可分解扇区与命题 3 所证的不可分解帽状区域分隔开。

VI. 可分解性边界

我们现在精确判定方程(19)中哪些正映射是可分解的。答案是填满整个正性方块，仅在上右角留下一个帽状区域。证明分两部分。首先，显式 PPT 态检测圆外的所有点，证明不可分解性。其次，显式表示 Δ+Δ?=0 证明圆上及圆下方的可分解性。

命题 3（ρ 的可分解性条件）。设 ρ∈A。则 ρ 可分解当且仅当(32)。等价地，凡满足 a≥1 或 b≥1 的正映射都可分解，而在角落 a<1, b<1 中，可分解与不可分解映射的边界为(33)。

证明。首先证明方程(32)区域之外的不可分解性。由定理 1，只需构造一个在 ρ 上期望值为负的 PPT 态。设 n≥1，取 a=1?1/n, b=1?1/n，并定义 ρ=(1/n)ρ。(34) 矩阵 ρ 具有单位迹且半正定，因为它是正的一阶 ρ 块与非负标量块的直和。偏置后同样如此：支在 ρ 与 ρ 上的相干项分别移至对 (ρ, ρ) 与 (ρ, ρ)，同样只产生正的 ρ 一阶块与非负标量。故 ρ 为 PPT。利用方程(12)中的显式检验算符，得(35)。现设 a<1, b<1 且方程(32)被违反。令 δ=(1?√(ab))/2 (36)，则 δ>0，且 ρ?δ 为正。代入方程(35)得(37)。故在方程(32)之外 ρ 不可分解。

余下证明方程(32)之内的可分解性。令 ρ=ρ0+Δ+Δ? (38)，其中 Δ±=ρ。则 ρ?Δ+Δ?=ρ，四个参数均在零与 n 之间。条件方程(32)等价于(39)。现写(40)与(41)。直接比较非零元可知 ρ?Δ+Δ?=ρ。矩阵 ρ 半正定，因为它是正块的直和：(42)。矩阵 ρ 半正定，因为它是(43)与零块的直和；第一个 ρ 块恰由方程(39)为正，其余各显式块显然为正。故方程(32)成立时 ρ 可分解。结合上述 PPT 态检测，命题得证。

VII. 适配检验算符的 PPT 边界态族

命题 3 证明中用于方程(34)的 PPT 纠缠态 ρ 适配了稀疏检验算符的两个活跃相干项。本节将该观察转化为被端点检验算符 ρ 检测的显式 PPT 边界态族。(44) 构造采用"核优先"方式：为某态及其偏置指定相容的核，然后在相应的 PPT 面上求解。边界态性质与检测区域随之保持显式。

我们使用如下形式的值域判据[31]。定理 2（值域判据）。设 ρ 为 ρ 上非零可分半正定算符。则存在乘积矢族{ρ}满足(45)。特别地，存在非零乘积矢 ρ 使 ρ。再回顾边界态术语。定义 1（边界态）。PPT 纠缠态 ρ 若不存在非零乘积矢 ρ 使 ρ，则称为边界态。等价地，无法减去任何非零的乘积矢投影而同时保持正性与 PPT 性质[7,32]。

A. 被端点检验算符检测的 PPT 边界态

对参数 a, b，定义 ρ=(1/n)ρ (46)，并令 ρ=ρ。(47) 显式为 ρ=ρ。(48) 在第三节固定的有序基下，该态的矩阵形式为 ρ。(49) 方程(34)中的态 ρ 可通过取 a, b, a 恢复。

命题 4。对任意 ρ，态 ρ 是秩型 (5,5) 的 PPT 边界态。此外 ρ。(50) 故 ρ 检测 ρ 当且仅当(51)。

证明。正性直接由 ρ 的显式一阶分解立得。对第二子系统偏置，ρ。(52) 故(53) ρ。(54) 因此 ρ 为 PPT。两个一阶分解还给出(55)与(56)，从而(57)。余下验证边界态性质。设乘积矢 ρ 满足(58)，写 ρ 与 ρ。第一值域条件等价于正交于 ρ，即(59)；第二值域条件给出(60)。这些方程无非零乘积解。确然，若 ρ，则 ρ，由 ρ 得 ρ；方程 ρ 然后给出 ρ，最终 ρ 给出 ρ，矛盾。故 ρ。则 ρ 蕴含 ρ。若 ρ，则 ρ；方程 ρ 与 ρ 然后给出 ρ，再次矛盾。故 ρ。带 ρ，或 ρ（此时 ρ 然后 ρ），或 ρ。所有情况下乘积矢为零。因此无非零乘积矢满足值域判据，ρ 为边界态。最后，与端点检验算符的配对为(61)。由于(62)，前述检测公式与条件随之得到。检测条件方程(51)是对该四参数边界态族被端点检验算符检测区域的显式解析描述。参数 a、b 控制与 ρ 配对的两个相纤项，而 ρ、ρ 在保持 PPT 性质与边界态性质不变的前提下改变值域或核的几何。这与基于值域的 ρ PPT 边界态与 Choi 型检验算符的一般方法一致[12,14,33]。

推论 2（对称两参数切片）。令 ρ 得两参数族 ρ。对每个 ρ，该态为秩型 (5,5) 的 PPT 边界态，且(63)。故 ρ 恰在圆盘(64)上检测 ρ。此外，由于(65)，等号当且仅当 ρ 成立，对称切片在固定 ρ 时为检测最有利者。固定 ρ 时，检测区域为 (a,b) 平面上一个平移圆盘，最大者在 ρ 处；见图 2。固定 ρ 时，只要方程(51)可解，(a,b) 平面上的检测集为 (1,1) 附近的 plectrum 形邻域；见图 3。

图 2. 四参数族 ρ 在若干固定 ρ 值下 (a,b) 平面上的检测区域。阴影区域由使端点检验算符 ρ 检测该态的参数组成，等价于 ρ。黑点标记 ρ。左上面板对应 ρ，为对称切片，检测区域为圆盘 ρ。当 ρ 和/或 ρ 偏离 1 时，区域收缩，与 ρ 及 ρ 相符。

图 3. 四参数族 ρ 在若干固定 ρ 值下端点检验算符 ρ 在 (a,b) 平面上的检测区域。阴影区域由满足 ρ 的参数组成。黑点标记 ρ。由于 ρ 与 ρ，等号仅在 ρ 处成立，故固定 ρ 时点 (1,1) 始终是检测最有利的点。右下角面板示意一种检测区域为空的参数选择。

B. 所构造 PPT 边界态的暴露性

我们接下来证明这些 PPT 边界态生成 PPT 锥的暴露射线。定义 2（PPT 锥的暴露射线）。设(66)为可能非归一化的 PPT 算符的 PPT 锥。射线 ρ 是 ρ 的暴露射线，若存在在 ρ 上非负的实线性泛函 ρ 使(67)。等价地，ρ 是 ρ 的一维暴露面[34,35]。于是可证下列。

命题 5（四参数族的暴露性）。对每个 ρ，态 ρ 生成 PPT 锥 ρ 的一条暴露射线。等价地，ρ 是暴露的 PPT 边界态。

证明。令(68)。由 ρ 与 ρ 的一阶分解有(69)与(70)。考虑由值域对 (ρ, ρ) 确定的 PPT 锥的面：(71)。显然 ρ。我们证明该面恰好是由该态生成的射线。由 ρ 与 ρ，等价于 ρ，满足第一值域约束的每个厄米矩阵可写为(72)，其中(73)是 ρ 的基。施加第二值域约束 ρ，等价于 ρ，故(74)。下述计算纯为线性代数：两个值域约束给出系数 ρ 的齐次线性方程组。用规则(75)解这些方程，直接计算得(76)，故(77)。类似地，(78)，用(77)得(79)。接着施加 ρ。用(77)与(79)后，唯一剩余项为(80)，故(81)与(82)。最后施加 ρ。所有非对角系数已消去，化为(83)，故(84)。方程(77)–(84)连同 ρ 的厄米性表明：所有非对角系数为零，所有对角系数由单一实参数 ρ 固定。故满足两个值域约束的每个厄米矩阵形如(85)。于是满足两个值域约束的厄米矩阵的实向量空间为一维，其半正定部分恰为 ρ。故(86)。最后，令 ρ 与 ρ 为到 ρ 与 ρ 的正交投影。定义(87)。对每个 ρ，(88)。此外，ρ 当且仅当(89)。故 ρ 在 ρ 中的零集恰为 ρ。由于已证(86)，ρ 生成的射线是暴露的。

上述构造与正映射和二体态之间的标准对偶一致：不可分解检验算符检测 PPT 纠缠态，而相应的值域几何组织 PPT 锥的相关面[11,13,36]。端点检验算符 ρ 在检验算符侧也扮演特殊角色。它在可分锥中的对偶面、其非最优性，以及一种最优细化，将在下一节分析。

VIII. 端点检验算符 ρ：非最优性、最优细化、对偶面与暴露性

本节收集完成几何图景的检验算符侧性质。此检验算符侧问题不应与上述所证 PPT 态射线的暴露性混淆：前者涉及正映射锥，后者涉及 PPT 锥。我们证明 ρ 非最优，给出一种自然的检验算符细化，并证明该细化最优且在第七节四参数 PPT 边界态族上扩大检测区域。然后，我们确定 ρ 在可分锥中的对偶面，并解释为何相应正映射不生成暴露射线。这些问题属于可分锥与 PPT 锥更广泛的 facial 结构分析；参见 Refs.[7,15,34,35,37,38]。

命题 6。端点检验算符 ρ 非最优。证明。令 ρ 为相应正映射，定义 ρ，其中(90)。则 ρ 为非零完全正映射。考虑 ρ。我们断言 ρ 为正。只需在秩 1 投影 ρ 上检验正性，其中 ρ。写(91)，得(92)。其对角元非负。非平凡 ρ 主子式为(93)(94)(95)，行列式为(96)。故所有主子式非负，于是(97)，ρ 为正。因此 ρ 可减去非零完全正映射仍保持正，故 ρ 非最优。等价地，ρ 非最优[7,15]。

证明挑出细化检验算符(98)，其中 ρ 是 ρ 的 Choi 矩阵。我们记录其显式形式、在 ρ 上的作用及其最优性。命题 7（一种细化最优检验算符）。令 ρ 由方程(98)定义。则有以下结果。(1) ρ 为最优纠缠检验算符。(2) ρ 的 Choi 矩阵为(99)。(3) 对每个 ρ，(100)。(4) 若 ρ 表示使 ρ 检测态 ρ 的参数 ρ 之集，则(101)。

证明。由命题 6 证明，ρ 为正，故其 Choi 矩阵 ρ 块正。先计算它在族 ρ 上的作用。由 ρ 直接计算得方程(99)。故(102)，其中用了第七节 ρ 的显式矩阵形式。代入 ρ 并用第七节定理中 ρ 的公式，ρ 项精确抵消，得方程(100)。特别地，(103)，故 ρ 非半正定。因其块正，故为纠缠检验算符。ρ 的检测条件由方程(51)给出，而由方程(100)，ρ 的检测条件为(104)。因 ρ，方程(51)蕴含方程(104)，故 ρ。包含是严格的；例如 ρ 满足第二不等式但不满足第一。这证明了方程(101)。改进的检测公式方程(100)也清晰地表明了 ρ 的独立性。为证最优性，我们使用纠缠检验算符的张成判据；参见 Refs.[7,15]。令 ρ，设方程(91)，并回顾第八节的 ρ。

直接验证表明，以下两组解属于其核空间。

(1) 若 ，则 (105)

(2) 若 ，则对非零的 有 ，在固定 的全局相位使得 后， (106)

因此，由恒等式等式 (2)，对应的乘积态向量 被 湮灭。现在我们给出九个这样的乘积态向量，其张成的空间恰为全部 空间：

(107)

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

由 和 可得 和 。于是 (116)

故 属于该张成空间。接下来， (117)

将前两项相加得到 ，因此 属于该张成空间；然后 和 可由其余组合得到，所以 也属于该张成空间。最后， (118)

以及 (119)

因此 也属于该张成空间。故 (120)

因此，被 湮灭的乘积态向量集合张成整个空间，所以 具有张成性质。由标准的张成判据， 是最优的。

推论 3（与 - 变形的独立性）。

对每一个 和 都有 (121)

特别地， 的探测条件独立于 ，由等式 (104) 给出。

命题 8（端点见证量的精确对偶面）。

设 表示 上的可分态锥，定义 (122)

则 (123)

其中 表示锥包，即所给出投影算符的有限非负线性组合，且 (124)

其中 (125)

证明。设 是以 为 Choi 矩阵的正映射。对任意乘积态向量 ，由 Choi 配对得 (126)

因此 的零乘积态向量正是那些满足 的向量。将 写为 的形式，其中 ，有 (127)

行列式计算给出 (128)

当且仅当 时该行列式为零。在全局相位下，每一个这样的 都具有形式 (129)

对此选取，直接验证可得 (130)

因此 的零乘积态向量恰为 (131)

由于对偶面 恰好由被 湮灭的可分态组成，它是相应秩-1 乘积投影算符的锥包。

备注（对偶面描述所蕴含与不蕴含的内容）。 的显式描述应置于可分锥面由 PPT 相关几何所诱导的一般理论框架中来理解；参见文献 [34,35]。命题 8 精确确定了可分锥 内的对偶面 。这识别出了被见证量 湮灭的所有可分态。然而，映射侧的暴露性是关于我们由 在正映射锥中所生成的面，这需要双对偶等式 (132)

对于一般保证正映射生成暴露射线的充分条件，参见文献 [39]。因此 的精确描述本身并不能证明暴露性。

在本情形中可以进一步说明： 事实上并非暴露的。确实，暴露射线是极端的，而任何不完全是正的极端正映射必然是最优的 [7,15]。但命题 6 表明 不是最优的，而 不是完全正的，因为 位于完全正平方 之外。因此 既不是极端的也不是暴露的。

IX. 结论

我们引入了一族在量子三元系统上可精确求解的稀疏幺正迹保持正映射 。两个参数分别控制相关 Choi 见证量的两个不同相干通道，第三个相干扇区的缺失使得该构造在解析上可处理。在均匀双随机切片中，完整的两参数相图是精确的：正性占据 ，完全正性占据 ，而不可分解性恰好从四分之一圆边界 (1) 之外开始。

相同的稀疏结构也给出了由相应见证量探测到的显式 PPT 纠缠态。特别地，端点见证量 探测了一族四参数 PPT 边缘态，其秩类型为 (5,5)，且具有解析探测条件。这些态的核空间和值域约束确定了 PPT 锥的一维面，证明了所构造的 PPT 态射线是暴露的。因此，该族提供了一个具体的量子三元系统设置，在其中 PPT 纠缠、边缘态几何和暴露面可以显式地展示出来。

在见证量方面，端点 将不可分解性与最优性区分开来：它能探测 PPT 纠缠但不是最优的。我们识别了一个简单的完全正减项，它保持正性并产生最优精细化 。该精细化在所构造的 PPT 边缘态族上具有严格更大的解析探测区域，显式地展示了优化如何在保持可处理性的同时改进见证量。

高维扩展在概念上是自然的，但在解析上更具挑战性。在维度 中，额外的活跃相干扇区引入了快速增长的独立权重数量、更大的耦合 Choi 块以及多变量单纯形最小化问题。使得等式 (21) 在单个单纯形坐标上为仿射的端点约化通常丢失，且显式 分解必须满足显著更多的耦合正性约束。一条系统性途径是施加对角酉或正交协变性，这将 Choi 矩阵组织为不变扇区，并将正性、可分性和纠缠破坏转化为锥成员问题 [41]。最近的逐对余正或完全正且逐对可分解锥构造为广义协变族给出了正性和可分解性的相关刻画，并在任意维度中给出图参数化的示例 [42]。将这些对称性和锥论工具适应于稀疏通道选择性模式是未来工作的一个自然方向。

该族可用作正映射和 PPT 纠缠态数值及变分搜索的基准，因为精确的正性、可分解性和探测阈值是已知的。自然的扩展包括偏离均匀双随机切片的微扰、高维稀疏构造，以及在可调节更多相干扇区的同时保持解析 PPT 态几何的稀疏族的搜索。