腔体高次模阻尼器中吸收功率对束团填充模式依赖性的观测与模拟研究

《Physical Review Accelerators and Beams》：Observation and simulation study on bunch fill pattern dependence of absorbed power in cavity HOM dampers

　　

在SuperKEKB加速器中，超导（SC）腔体内的 HOM 阻尼器所吸收的高阶模（HOM）功率，制约了高能环设计电子束流强度目标的实现。关于安装在超导腔内的圆柱形铁氧体阻尼器，我们观察到其有效损耗因子对束团填充模式有显著的依赖性。为了详细研究这一行为，我们开展了尾场模拟研究。HOM 功率通常通过数值计算的耦合阻抗来评估，而该方法仅提供结构内的总束流功率损耗。然而，当存在多个吸收体时，每个吸收体所吸收的功率则无从知晓。为解决这一局限，我们引入了利用局部电磁场来评估吸收功率的计算方法。本研究阐述了这些方法的理论基础，并将其应用于 SuperKEKB 超导腔。

**一、引言**

在高强度存储环中，射频（rf）加速腔内激发的高阶模（HOMs）会导致有害的耦合束团不稳定性。为抑制这些效应，广泛使用了 HOM 阻尼腔 [1–6]。在此类腔体中，微波吸收体（包括铁氧体 [7–9] 和陶瓷 [10,11]）被安装在 HOM 波导的末端或束流管道壁上，从而实现对单极和偶极 HOM 的强阻尼。

SuperKEKB 加速器 [12] 是一台亮度前沿的不对称能量电子-正负电子对撞机，其中使用了两种类型的 HOM 阻尼腔：常导 ARES 腔 [3] 和超导（SC）单胞腔 [2]。图 1 展示了 SuperKEKB 主环中射频站点的分布。束流能量为 4 GeV 的正电子束在低能环（LER）中运行，而束流能量为 7 GeV 的电子束在高能环（HER）中运行。正电子束由 22 个 ARES 腔加速，而电子束由 8 个 ARES 腔和 8 个 SC 腔加速。这些腔体自 KEKB 加速器时代（SuperKEKB 的前身）起便已投入使用。

**图 1.** SuperKEKB 主环中射频站点的分布。4 GeV 正电子束在 LER 中运行，7 GeV 电子束在 HER 中运行。

SuperKEKB 射频系统面临的一项主要挑战是极高的设计束流强度：正电子束为 3.6 A，电子束为 2.6 A，约为 KEKB 所实现水平的两倍。随着束流强度的增加，微波吸收体所吸收的功率与束流强度的平方成正比增长。这会导致吸收体的热膨胀，进而引致开裂。为防止此类事故，必须对其吸收功率进行检验。在 SuperKEKB 的高能环中，超导腔内铁氧体阻尼器吸收的过量 HOM 功率对实现设计电子束流强度构成了关键瓶颈。值得注意的是，吸收功率的增长率对束团填充模式有极强的依赖性。这种意想不到的行为表明束流谱与腔体 HOM 谱之间存在谐振效应。为理解这一现象，开展了关于 HOM 功率的模拟研究。

结构内激发的 HOM 功率可通过其耦合阻抗 [13,14] 来评估。然而，这种方法仅提供结构内的总束流功率损耗。当存在多个阻尼器时（如超导腔中所示），无法确定每个阻尼器各自所吸收的功率。

Bane 等人利用 S 矩阵和扩散方法评估了 LCLS-II 低温模块中 HOM 功率的分布 [15]。另一方面，也存在直接利用局部电磁场来评估吸收功率的方法。在 SuperKEKB 射频组中，开发了一种使用 CST 尾场求解器 [16] 来计算方法来分析每个阻尼器的功率损耗 [17]。在该方法中，将功率流监测器放置在阻尼器和束流管道末端的表面上。此外，BESSY 的一组研究人员提出了一种替代计算技术 [18]。他们利用材料内部的电场来计算介电吸收体的功率损耗。

在本研究中，我们以更为严谨的方式系统地重新表述了上述技术。利用电磁场能量守恒定律，我们讨论了任意束团运行条件（任意束团填充模式和束团长度）以及吸收体（任意数量、位置和材料色散）的一般条件下所吸收的功率。本文详述了详细的推导过程和系统分析。随后，将这些公式应用于评估超导腔中 HOM 阻尼器的吸收功率，并将计算结果与高电流运行条件下的测量结果进行对比。

本文组织结构如下：第二节介绍 SuperKEKB 超导腔的 HOM 阻尼器并描述吸收功率测量。第三节回顾利用耦合阻抗评估 HOM 功率的方法。第四节分析电磁能量守恒定律，推导出计算色散材料吸收功率的公式，并给出两种计算方案。第五节将这些技术应用于 SuperKEKB 超导腔，对比计算与测量结果，并验证所提出技术与传统耦合阻抗评估方法之间的一致性。第六节讨论研究结果以及降低功率负载的可能途径。第七节对全文进行总结。

**二、SuperKEKB 超导腔中 HOM 功率的束团填充模式依赖性**

**A. SuperKEKB 超导腔**

图 2 展示了 SuperKEKB 超导腔及其阻尼器。主要腔体参数列于表 I 中。主环的射频工作频率为 508.876 MHz。超导腔安装在高能环中，具体位于日光直线段的 D10 和 D11 射频站点。上游直径为 220 mm 的束流管道称为小束流管（SBP），下游直径为 300 mm 的束流管道称为大束流管（LBP）。圆柱形铁氧体阻尼器安装在 SBP 和 LBP 中 [7]。在从 KEKB 升级到 SuperKEKB 的过程中，在腔体之间安装了 SiC 阻尼器 [19]。这些 SiC 阻尼器吸收束流管道中传播的 HOM 功率，从而减轻下游腔体铁氧体阻尼器的功率负载 [20]。截至 2025c 运行时的 SiC 阻尼器布局如图 3 所示。目前已安装了两个 SiC 阻尼器，未来计划在所有腔体之间进行安装。

**图 2.** SuperKEKB 超导腔的 HOM 阻尼器：SBP 铁氧体阻尼器（左上）、LBP 铁氧体阻尼器（右上）和 SiC 阻尼器（底部）。

**图 3.** 截至 2025c 运行时的 SiC 阻尼器布局 [21]。

**表 I.** SuperKEKB 超导腔的主要腔体参数。

| 参数 | 数值 |
|------|------|
| 腔体类型 | 单胞 |
| 材料 | 铌 |
| 工作温度 | 4.4 K（液氦） |
| 射频工作频率 $f_0$ | 508.876 MHz |
| 几何因子 $R/Q$ | 1.84 |
| 未加载 Q 值 $Q_0$（1.5 MV 时） | — |
| 加载 Q 值 $Q_L$ | — |

注：$V_{rf}$：射频电压；$f_0$：加速模式共振频率；$U$：储存能量；$E_{acc}$：加速梯度；$E_{s,p}$：表面峰值电场；$B_{s,p}$：表面峰值磁场；$Q_{ext}$：外耦合器的品质因数。

**B. 吸收功率的束团填充模式依赖性测量**

在束流运行过程中，通过监测每个阻尼器冷却水入口与出口之间的温升来单独监测其吸收功率。这些测量表明，吸收功率随束流强度的增长率对束团填充模式有极强的依赖性。该现象仅在 LBP 铁氧体阻尼器中被观察到 [20–22]，以下将详述。

在 SuperKEKB 运行初期，束团数通常为 1565，对应 3 个射频周期的束团间隔（3-rf）。为实现更高的平均束流强度，束团数逐步增加至 2346，同时将束团间隔缩短为 2 个射频周期（2-rf）。图 4(a) 展示了 2346 束团配置下的填充模式。射频桶的总数（谐波数）为 5120。存在两个中止间隙，每个包含 60 个桶。中止间隙为束流中止系统激发提供所需的待机时间。填充模式具有 49 桶周期，如图 4(b) 所示。该子周期来源于主环射频系统（工作频率为 508.876 MHz）与注入器直线加速器射频系统（工作频率为 1.3 GHz）之间的公频率。

**图 4.** (a) SuperKEKB 中典型的束团填充模式，束团数为 2346，束团间隔为 2 个射频周期；(b) 2-rf 间隔情况下的 49 桶子周期；(c) 2-rf 和 3-rf 间隔混合时的子周期。每根柱子表示一个射频桶中的相对束团电荷。

SuperKEKB 主环采用补充注入方案，即束团持续注入每个射频桶中。在保持束团填充模式不变的情况下，通过逐步增加每个射频桶中的束团电荷，可以提高总束流强度。

为比较不同填充模式下的吸收功率，我们使用有效损耗因子，表达式如下：

$$\varepsilon_{eff} = \frac{P_{abs}}{N_b \cdot E_{loss} \cdot f_{rev} \cdot N_b \cdot f_{rev}}$$

（1）

其中 $Q_{bunch}$ 表示束团电荷，$E_{loss}$ 表示每个束团的平均能量损失。若对于给定填充模式的测量吸收功率为 $P_{abs}$，则 $\varepsilon_{eff}$ 可表示为：

$$\varepsilon_{eff} = \frac{P_{abs}}{N_b \cdot E_{loss} \cdot f_{rev}}$$

（2）

其中 $N_b$ 表示束团数，$T_{rev}$ 表示回旋周期。有效损耗因子可改写为 [23]：

$$\varepsilon_{eff} = \frac{P_{abs}}{I_{avg} \cdot E_{loss}}$$

（3）

其中 $f_{rev}$ 表示回旋频率，$I_{avg}$ 表示平均（或总）束流强度。有效损耗因子 $\varepsilon_{eff}$ 代表储存束流反复通过结构时的能量损失，而传统损耗因子 $\varepsilon$ 则定义为束团单次通过时的能量损失。在存储环中，仅 $\varepsilon_{eff}$ 可被实验观测到。

图 5 展示了 SBP 和 LBP 铁氧体阻尼器及 SiC 阻尼器中测得的吸收功率示例。所示数据来自 D11B 射频站点。横轴表示 $I_{avg}$。在此测量中，通过在保持束团填充模式不变的情况下逐步增加束团电荷 $Q_{bunch}$ 来提高总束流强度 $I_{avg}$。$N_b = 1565$ 和 2346 的数据以标记点绘制，虚线和实线分别为线性拟合。这些拟合的斜率给出了有效损耗因子。LBP 铁氧体阻尼器的有效损耗因子随束团间隔的缩短（$N_b$ 增加）而增大，而 SBP 铁氧体阻尼器和 SiC 阻尼器的有效损耗因子则保持不变。

**图 5.** D11B 站点某腔体中 SBP 和 LBP 铁氧体阻尼器及 SiC 阻尼器所吸收的功率。展示了束团数为 $N_b = 1565$ 和 2346 时的吸收功率。实线（虚线）分别展示 $N_b = 2346$（1565）测量数据的线性拟合。图上方标示了 $N_b = 1565$ 或 2346 时的平均束流强度。

图 6 展示了更多不同填充模式下测得的有效损耗因子。所有超导腔中 SBP、LBP 和 SiC 阻尼器的有效损耗因子均以束团数为函数进行绘制。这些测量值由如图 5 所示的线性拟合斜率评估得出。每个图顶部的束团间隔用 "n-rf" 表示 $n$ 个射频周期的间隔。百分比值表示两种不同束团间隔混合的情况。当混合两种束团间隔时，49 桶子周期按图 4(c) 所示进行调整。在此例中，子周期被分为两部分，其中束团分别以 2-rf 或 3-rf 间隔排列。仅在 LBP 阻尼器中观察到明显的有效损耗因子堆积现象，而 SBP 和 SiC 阻尼器的有效损耗因子对填充模式几乎无依赖关系。

**图 6.** 位于 D10（左）和 D11（右）区域的 HOM 阻尼器测得的有效损耗因子，以束团数为函数绘制。每个图顶部标示束团间隔，其中 n-rf 表示 $n$ 个射频周期的间隔。当两种不同束团间隔混合时显示百分比。为便于比较，计算得到的有效损耗因子以黑色标记点绘制（第五节）。

$\varepsilon_{eff}$ 与束团填充模式之间的这种显著关联表明 SuperKEKB 超导腔的束流谱与 HOM 谱之间存在谐振效应。为查明堆积效应的根源，对超导腔进行了尾场模拟研究。在第三、四节中，介绍了用于评估任意填充模式下 HOM 功率的计算方法。

**三、耦合阻抗与 HOM 功率**

本节简要回顾利用耦合阻抗评估 HOM 功率的方法。首先介绍纵向尾场函数。设一个前导点电荷 $q$ 以光速 $c$ 沿正 $z$ 轴通过一个谐振结构（如射频腔体）。

该电荷在位置处激发出电磁场和，其中表示前导电荷的横向位置。纵向尾场函数表达如下[24]：(4)，其中表示纵向方向的单位向量，，且。积分在整个结构的范围内进行。按照定义，正的对应于粒子减速。以下假设粒子束团沿束流轴线运动，同时忽略尾场函数的横向依赖性。在储存环中，粒子束团反复通过该结构。在稳态下，束流感应电压表达为尾场函数与瞬时束流电流的卷积(5)。在储存环中固定位置测得的瞬时束流电流表达如下：(6)，其中表示第th个射频桶中的束团电荷（），为谐波数，为束团内的纵向线电荷密度。射频频率表达为。此处不考虑偶极子或四极子振荡等纵向集体运动。线密度归一化为(7)。利用泊松求和公式，我们有(8)，其中表示回旋角频率。系数(9)表示的离散傅里叶变换，且(10)为的傅里叶变换。定义纵向耦合阻抗为(11)，束流感应电压改写为(12)。储存束流在结构中的瞬时功率损耗表达如下：(13)。利用能量守恒，总功率损耗可表达为(14)，其中表示结构中储存的电磁能量，为壁面损耗功率，为辐射至束流管道和外部耦合器的功率，为微波吸收器吸收的功率。外部耦合器包括射频输入耦合器和用于高次模阻尼的HOM耦合器。在大多数实际情况下，关注的是时间平均功率而非瞬时功率。因此，我们将在一个回旋周期上取平均：(15)。此处因为是的周期函数，与无关。由于电磁能量具有相同的周期性，其时间平均为零。因此，式(14)的时间平均表达如下：(16)，其中，和分别表示在时间上的时间平均值。利用以下性质(17)，其中表示Kronecker delta，式(13)的时间平均为[13,14](18)。式(18)是著名的HOM功率表达式。它表明当束流频谱线与HOM共振频率重合时，HOM功率会共振式增大。IV. 材料中吸收功率的评估技术如前一节所讨论，式(18)可用于任意填充模式下的时间平均HOM功率评估。然而，该方程仅表示结构中束流的总功率损耗。当存在多个HOM阻尼器时，如SuperKEKB超导腔的情况，无法确定每个单独阻尼器的吸收功率。在SuperKEKB射频组之前使用的方法中，进行了时域尾场模拟，并监测每个阻尼器表面的功率流以评估吸收能量[17]。这种方法得出的能量损耗对应于单个束团一次通过结构的情况。因此，它无法分析HOM与束流频谱之间的共振效应。BESSY组开发了一种替代方法[18]，其中介质材料内部的功率损耗密度由局部电场和束流频谱决定。该公式包含了共振效应。本节中，我们从电磁能量守恒定律出发，将这些技术重构为适用于任意填充模式的形式。考虑两种计算吸收功率的方法：(1)评估吸收器内部的功率损耗密度并对其体积积分；(2)计算通过吸收器表面的功率流并对该表面积分。A. 色散材料中的能量守恒定律从Maxwell方程组出发，电磁场中的能量守恒定律表达如下：(19)，其中表示电场，表示磁场，表示电位移矢量，表示磁感应强度，表示电流密度。坡印廷矢量为。对于色散材料，必须考虑场矢量和的时间响应如下：(20)(21)，其中表示材料的电响应函数，表示磁响应函数。此处假设材料为线性的各向同性材料。和的傅里叶变换分别与电介常数和磁导率相关：(22)(23)，其中表示相对电介常数，表示相对磁导率，和为其实部，和为其虚部。一般而言，和为复数，其非零虚部表示电磁功率损耗。在真空中，式(19)右侧第二项和第三项对应于电磁能量密度的时间变化。在有耗色散材料中，必须考虑其功率损耗密度为(24)，其中表示电磁功率损耗密度。B. 储存环中微波吸收器的吸收功率在时域尾场模拟中，可以直接评估式(24)的右侧。然而，除非明确建模材料色散[25–28]，否则无法将功率损耗密度从能量密度的时间导数中分离出来。相反，我们重新考虑第三部分中描述的情况，即粒子束团反复通过结构，并利用时间平均来评估式(24)。我们引入函数和，利用由点电荷激发出的电场和磁场定义为(25)(26)，其中所有粒子假设沿束流轴线运动，前导粒子的横向位置被省略。在稳态下，电场和磁场表达如下，类似于式(5)：(27)(28)，其中已在式(6)中定义。类似于第三部分的分析，对式(24)中的能量守恒进行时间平均，我们可以导出时间平均功率损耗密度。详细讨论见附录A。因此，导出为(29)，其中和分别为和的傅里叶变换。体积为的吸收器内部的时间平均功率损耗表达如下：(30)，其中积分在整个吸收器体积上进行。即使存在多个吸收器，也可以通过指定相应的积分区域来评估每个吸收器的吸收功率。或者，可以利用坡印廷矢量计算吸收功率。假设吸收器内部没有传导电流，吸收器中的能量守恒定律表达如下：(31)，其中表示体积的表面积，为指向外侧的法向单位向量，且(32)(33)。坡印廷矢量由式(A1)和(A2)表达的束流感应电磁场得到如下：(34)。对式(31)和(34)取时间平均后，吸收功率表达为：(35)，其中时间平均坡印廷矢量为(36)。时间平均吸收功率既可以通过功率损耗密度的体积积分[式(30)]评估，也可以通过时间平均坡印廷矢量的面积分[式(35)]评估。每个吸收器的常规损耗因子也可以用类似于有效损耗因子的方法计算，其中是单个束团电荷在吸收器中的能量损耗。在计算时，束团电荷仅一次通过结构。详情见附录B。V. 利用尾场模拟评估吸收功率前一节中，我们推导了评估每个阻尼器中吸收功率的方法。我们将这些技术应用于SuperKEKB超导腔。为评估每个阻尼器中的吸收功率，我们利用时域尾场模拟进行以下步骤：(i)准备包含HOM阻尼器的模拟模型。(ii)设置阻尼器的材料色散特性。(iii)在时域模拟尾场，同时记录阻尼器内部及其表面的电磁场。(iv)利用式(30)和(35)，根据记录的电磁场评估吸收功率。本节描述模拟设置和获得的结果。A. 模拟设置利用cst studio suite中的Wakefield Solver进行尾场模拟[16]。采用超导腔的轴对称模型（图7）。为简化起见，省略了若干结构，包括耦合器端口、探针端口和真空抽气端口。前导束团轨迹设定为沿腔体对称轴。由于腔体几何结构的轴对称性，平面和平面被定义为磁平面，其中磁场垂直于该平面。束流管道端平面被赋予开放边界条件，以便出射波被吸收而无反射。图7. SuperKEKB超导腔的模拟模型及场探针分布（单位：mm）。表II列出了解算器参数。使用高斯束团，均方根束团长度为，接近SuperKEKB主环中的实际束团长度。尾场长度是解算器计算尾场势的距离。500 m的尾场长度足以使腔体HOM得到充分阻尼，如后文所述。腔壁被建模为完美电导体，表示壁面损耗功率为零。表II. cst尾场解算器的模拟设置。参数数值均方根束团长度，5.0 mm前导束团电荷，1.0 nC尾场长度500 m速度（beta）1.0每sigma线数10.0背景完美电导体电流注入方式解析法尾场积分方法间接测试束法对于铁氧体和SiC吸收器的色散特性，采用了一阶Debye模型。在该模型中，复介电常数或磁导率表达如下：(37)(38)(39)，其中表示实部，表示虚部，为低频极限，为的高频极限，为弛豫时间。对于电介常数，对应于；对于磁导率，它对应于。表III列出铁氧体和SiC材料的参数。这些值通过拟合实测电介常数和磁导率至Debye模型获得。SiC的磁导率设为1。表III. 铁氧体和SiC的色散特性设置。铁氧体SiC181001112381cst时域解算器包含一项名为场探针的函数，可记录时域中指定空间点处的电场和磁场信号。如图7所示，在铁氧体和SiC阻尼器内部及其表面上布置了大量场探针。在束流管道上游和下游端平面处也等距放置了额外探针，以评估从腔体辐射出的功率。由于腔体几何结构为轴对称，且前导束团沿对称轴运动，产生的电磁场也是轴对称的，无角向依赖性。因此，场探针仅放置在平面。记录信号的时间步长约为9.4 ps。在以下评估中，我们未对这些信号进行降采样。设和为高斯前导束团激发并由场探针记录的电场和磁场。这些场可用函数和表达为(40)(41)，其中为模拟中假设的前导束团电荷，且(42)。对式(40)和(41)取傅里叶变换，和的傅里叶变换表达如下：(43)(44)，其中对高斯束团成立，和代表和的傅里叶变换。在我们的模拟中，前导束团的均方根束团长度被设定为与实际运行中的束团长度相等。然后，我们可以直接使用和进行功率损耗评估，无需在式(43)和(44)中进行反卷积过程。这一模拟设置有利于避免信号反卷积过程中产生的计算误差。我们仅在下一小节中展示去卷积后和的频谱时使用它们。图8中绘制了计算所得的尾场势（蓝色线）。由于加速模式不耗散能量，其储存能量在腔体单元内保持守恒。因此，尾场势满足渐近行为，其中为加速模式的尾场势。对于高斯束团，及其渐近形式表达如下[24]：(45)，其中表示均方根束团长度为时加速模式的损耗因子，表达为：(46)，其中表示共振角频率，为加速模式的并联阻抗，为加速模式的无载。

我们从的渐近形式中提取了诸如和等参数。图8中还用橙色线给出了排除加速模式后的尾场势。来自高阶模的尾场势在500米距离处得到了充分阻尼。场探测器记录的电磁场在该模拟时间范围内也得到了充分阻尼。

图8. rms束团长度为5毫米时的模拟尾场势。蓝色线表示总尾场势，橙色线表示排除加速模式后的尾场势。

图9. 腔体内部空间平均后函数的频率谱。上方面板显示磁场谱，下方面板显示电场谱。垂直虚线表示LBP（0.765 GHz，红线）、SBP（1.043 GHz，蓝线）以及锥形段外束流管道（1.523 GHz，绿线）中传播模式的截止频率。

B. 阻尼器内部束流诱发电磁场的频谱

图9展示了阻尼器内电场和磁场的模拟频谱。在此，我们定义一个体积为的阻尼器内部的频谱为（47）式（48）式，其中的分别通过（43）式和（44）式所示的反卷积求得。上述频谱分别在SBP铁氧体阻尼器、LBP铁氧体阻尼器和SiC阻尼器内求值。在图9中，垂直虚线表示LBP、SBP以及锥形段外束流管道中传播模式的截止频率。

图10展示了的第二和第三次谐波附近的频谱放大视图。在LBP阻尼器中约1.0 GHz处和SBP阻尼器中约1.6 GHz处观测到两个显著峰值。这些峰值频率分别对应于类似模式和类似模式的谐振频率。值得注意的是，类似模式与的第二次谐波重合。由于高阶模频谱在该频率处与束流频谱重叠，预期在LBP铁氧体阻尼器中会发生谐振增强。

图10. 图9在第二和第三次谐波附近的放大视图。

（47）式和（48）式是单个束团通过一次所感应电磁场的连续频谱。为了验证腔体高阶模与束流频谱之间的谐振增强，我们接下来评估由储存束流感应的场的离散频谱，定义如下：（49）式（50）式。幅度由归一化。利用（29）、（30）、（49）和（50）式，有效损失因子可表示为（51）式，其表示形式与利用式(B4)中给出的传统损失因子类似，但在（51）式的和中间包含了束团频谱。为了考察对束团间距的依赖性，我们首先考虑均匀填充模式，即在等束团间距下储存等电荷。具有均匀射频间距的填充模式由（52）式给出，其中省略了中止间隙和49个桶子周期。其离散傅里叶变换为（53）式，其中。具有射频间距的束流在的谐波处具有频率分量。图11展示了在束团间距为和6时，针对LBP铁氧体阻尼器评估的磁场离散频谱。注意，对于和6的情况，相关填充模式并非完全均匀，因为不能被3整除。从（49）和（50）式可知，频谱中每个峰值的高度与成正比。当高阶模频率与的谐波重合时，如（51）式所示，较短束团间距下产生的增强效应更大。

图11. 在若干束团间距下评估的LBP铁氧体阻尼器磁场离散频谱。

C. 有效损失因子和吸收功率的计算

利用场探针信号，我们评估了每个阻尼器的吸收功率。图12展示了SBP、LBP铁氧体阻尼器和SiC阻尼器的有效损失因子作为束团间距的函数。为进行比较，通过式(B5)评估的各阻尼器的传统损失因子由水平虚线表示。结果表明，仅在LBP阻尼器中有效损失因子有明确的建立。这源于类似模式与束流频谱之间的谐振。在SBP铁氧体和SiC阻尼器中，有效损失因子与传统损失因子几乎相等。

图12. SBP、LBP和SiC阻尼器作为束团间距函数的有效损失因子，分别用体积积分法（实心标记）和面积积分法（空心标记）计算。水平虚线表示由式(B5)给出的传统损失因子，分别对应SBP铁氧体阻尼器（蓝线）、LBP铁氧体阻尼器（红线）和SiC阻尼器（绿线）。

图13展示了各阻尼器中按平均束流电流平方归一化的吸收功率。在固定平均电流下，随着束团间距缩小（即束团数增加），所有阻尼器——包括LBP铁氧体阻尼器——的吸收功率均下降。如（3）式所示，归一化吸收功率满足。图13表明，在所有阻尼器中，的增加超过了的建立效应。

图13. SBP、LBP和SiC阻尼器作为束团间距函数的吸收功率，分别用体积积分法（实心标记）和面积积分法（空心标记）计算。

在图12和13中，比较了两种计算方法：（1）功率密度的体积积分（（30）式）和（2）功率流的面积分（（35）式）。对于SiC阻尼器，两种方法之间的差异为。对于SBP和LBP铁氧体阻尼器，差异为1%–1.8%。由于SiC阻尼器体积最大，与体积积分相关的数值误差相对较大。

为与测量结果进行比较，在图6中给出了SBP铁氧体、LBP铁氧体和SiC阻尼器的计算有效损失因子（黑色标记）。在该计算中，采用了面积积分方法，同时假设了包含中止间隙和49个桶子周期的实际运行填充模式。计算值在实验不确定度范围内与测量结果一致，并成功再现了仅在LBP阻尼器中观测到的建立效应。

图14展示了2346个束团填充模式下阻尼器中计算吸收功率密度的等高线图。在此，吸收功率密度使用（29）式计算。束流从负轴向正方向传播。吸收功率集中在上游侧。最大功率密度出现在LBP阻尼器中，达到。

图14. SBP铁氧体阻尼器（上图）、LBP铁氧体阻尼器（中图）和SiC阻尼器（下图）在2346个束团填充模式下按平均束流电流平方归一化的计算吸收功率密度等高线图。水平轴表示纵向方向，垂直轴表示径向方向。束流从负轴向正方向传播。

D. 能量守恒的验证

为验证吸收功率评估的准确性，我们验证了能量守恒。在稳态下，能量守恒定律由（16）式表示。在尾场模拟中，加速模式的负载为无穷大，因为假设腔壁无损耗且省略了输入耦合器。为避免非物理贡献，我们将从高阶模功率计算中排除加速模式。排除加速模式后的总高阶模功率表示为：（54）式，其中表示排除加速模式后的耦合阻抗（55）式。总高阶模功率被分为辐射和吸收分量：（56）式。对于SuperKEKB超导腔体，总吸收功率表示为（57）式，其中、和分别表示SBP铁氧体、LBP铁氧体和SiC阻尼器中的吸收功率。

辐射功率表示为：（58）式，其中和分别表示向上下游束流管道辐射的功率。这些量使用时间平均坡印廷矢量评估，表示如下：（59）式（60）式，其中在（36）式中表达，而和分别表示上游和下游束流管道的端表面（分别为图7中的和）。在面积积分中，束团自场的贡献被排除以避免在处的发散。束团的自场表示如下[13,24]：（61）式（62）式。为了在（59）和（60）式中排除自场，我们将函数和重新定义为（63）式（64）式，其中和分别表示在束流管道端面记录的电磁场的傅里叶变换，和表示由（61）和（62）式表达的自场的傅里叶变换。

2346个束团填充模式下计算出的总高阶模、辐射和吸收功率列于表IV。所有功率值均按归一化。利用耦合阻抗通过（54）式获得的总高阶模功率为。向束流管道辐射的功率计算为。根据（56）式中的能量守恒，总吸收功率必须为。另一方面，总吸收功率使用体积积分法（（30）式）计算为，使用面积积分法（（35）式）计算为。使用面积积分法计算的总吸收功率与的吻合程度优于体积积分法。体积积分下与的相对差异为2.0%，面积积分为0.5%。

表IV. 2346个束团填充模式下计算的总高阶模功率、吸收功率和向束流管道的辐射功率。所有功率值均按平均束流电流的平方归一化。rms束团长度为。

参数 | 数值（）
|
（尾场势） | 9.498 | 1.600 | 0.198 | 1.402 | 7.898 |
| 体积积分（（30）式） | 面积积分（（35）式） |
| 8.057 | 7.938 | 1.220 | 1.240 | 3.133 | 3.169 |
| 3.704 | 3.528 |

VI. 讨论

我们展示了计算SuperKEKB超导腔体中高阶模阻尼器吸收功率的两种方法。第一种包含体积积分，即将由（29）式表达的本征电磁场获得的功率密度在整个阻尼器体积上进行积分。该方法的主要优势在于提供了吸收功率的空间分布（热图），这对于后续的热分析和机械分析很有用。第二种包含面积积分，即通过对阻尼器表面的能流进行积分来评估吸收功率。该方法的优势在于所需的场探针更少，因为它们只需放置在阻尼器表面上。这在不损失精度的同时降低了计算成本。如果只需要阻尼器的总吸收功率，面积积分方法更为合适。

如图12所示，通过比较阻尼器的有效损失因子和传统损失因子，我们可以实际估计谐振效应在其功率损耗中的主导地位。如果没有谐振效应，将是有效的。在1个射频间距处，LBP阻尼器的有效损失因子增加到其传统值的倍，这意味着谐振性质在其功率损耗中占主导地位。在SBP铁氧体阻尼器和SiC阻尼器中，由于与的差别很小（），阻尼器与每个束团之间的短程相互作用在其功率损耗中占主导地位。

基于V节的分析，我们考虑两种降低高阶模功率的方法。第一种是利用具有1个射频间距的填充模式。图15展示了LBP阻尼器中吸收功率的测量和计算值随束团数的变化。在计算中，还额外评估了1个射频间距情况下的吸收功率。与当前运行中使用的2个射频间距相比，在固定平均束流电流下，LBP阻尼器中的吸收功率可减少约27%。此外，这种方法还会降低SBP铁氧体和SiC阻尼器中的吸收功率。计划利用1个射频间距的束流研究来实验验证该效应。

图15. LBP铁氧体阻尼器中按平均束流电流归一化的吸收功率随束团数的变化。彩色标记表示D10段的测量值，黑色标记表示计算值。垂直虚线分别表示对应于2个射频间距和1个射频间距的束团数。

第二种方法是移动类似模式的谐振频率。如果可以将谐振频率移动约，预期LBP阻尼器中的有效损失因子将降低30%–40%。然而，这种方法仅对LBP阻尼器有效。

VII.

结论

在SuperKEKB SC腔体运行期间，观察到LBP铁氧体阻尼器的有效损耗因子对束团填充模式具有强依赖性。为阐明这一现象，我们利用时域尾场分析进行了仿真研究。为准确评估各阻尼器中的吸收功率，我们考察了两种计算方法：体积积分法和面积积分法。测量值与计算得出的有效损耗因子在束团填充模式依赖性方面表现出合理的吻合。为验证我们的计算结果，在仿真中验证了能量守恒。结果证实了该关系成立，表明本评估方法与利用耦合阻抗进行的传统高频谐波功率评估方法相一致。基于吸收功率的评估结果，将进一步研究降低高频谐波阻尼器功率负荷的方法。