电子冷却设备中电子磁化运动的特性

《Physical Review Accelerators and Beams》：Features of magnetized motion of electrons in electron cooling devices

　　在电子冷却装置中，低能量时电子束浸入连续的螺线管中，这为冷却和传输段提供了冷且聚焦良好的电子束。在低能量下，当磁场变化的典型长度远大于拉莫尔螺旋长度时，电子运动满足绝热条件。在相对论能量下，这一条件通常无法满足，因此需要一种特殊的电子束传输方法。本文描述了其中一种方法，该方法利用特殊的“共振”元件来引导电子束沿所需轨迹运动。

**引言**
电子冷却是一种高效的技术，可用于产生高亮度、低动量弥散的高质量离子束[1-4]。在这种方法中，由于“热”离子束与“冷”电子束之间的库仑相互作用，离子束的相空间密度得到增加。离子束不断将其热能传递给以相同速度运动的电子束。许多离子加速器环都配备了适用于不同能量的电子冷却系统（如SIS-18、费米实验室的Recycler、RHIC、CSRm、CSRe、LEIR、ESR等）。电子束的能量范围从几个电子伏特（eV）到几兆电子伏特（MeV），电流可达1安培（A）。电子束处于能量回收模式，因此应特别关注电流损失的最小化。这些装置可分为两类：第一类是在强纵向磁场中电子运动；第二类则没有磁场。费米实验室Recycler储存环中使用的4.3 MeV能量、0.1-0.5 A直流电流的电子冷却器[5]证明了在冷却段使用弱纵向磁场的可行性。此外，该项目还采用了非磁化电子束光学系统来传输电子束到冷却段。BNL的基于射频（rf）的电子冷却器[6-10]也使用了非磁化电子束和非磁化光学系统。然而，在大多数电子冷却装置中，还是使用强纵向磁场来传输电子束。纵向磁场的主要优点是它能够在较宽的能量范围内工作。在低能量下，电子的横向运动不是重要参数，因为电子运动是绝热的，横向动量通常不会有显著增加。但在高能量下，纵向拉莫尔长度增加，电子运动不再是绝热的，横向动量可能显著增加。这会导致高能量下的摩擦力减小[11]，从而使得电子束的传输更加困难。

电子束的横向动量可能由多种原因产生。主要原因是横向磁场和电场的存在，以及沿轨迹的纵向磁场的不均匀性。因此，减少电子的横向动量成为一个重要挑战。这需要特殊的电子束光学设计，本文对此进行了描述。本文的结构如下：第二节作者解释了在有纵向磁场系统中激发横向运动的主要特点。接下来的章节描述了低能量和高能量电子冷却器的运动特性。第三节重点介绍了有实验经验的情况，第四节则讨论了未来的项目。

**纵向磁场中的运动**
带电粒子在具有固定轨道曲率的纵向磁场中的运动方程可表示为：
（1）
对于接近磁场轴线附近的运动，该方程可以重写为：
（2）或以复数形式表示为：
（3）
其中，
是电子横向动量的复数组合；
是与拉莫尔螺旋长度成反比的量；
是电子的动能；
是纵向磁场；
是横向磁场。
方程（3）的解为：
（4）
其中，
是初始动量；
（5）
对于有限长度的扰动，方程（4）的第二项可以重写为：
（6）
这描述了所有磁场元件共同作用导致的横向动量增加。如果函数可以表示为一组局部扰动，那么该解可以重写为：
（7）
其中，
是每个扰动的位置；
是其复振幅；
是扰动点和观测点之间回旋运动的相位变化。方程（1）-（7）描述了电子在纵向磁场中的所有运动特性。

有几种方法可以减少电子的横向动量。第一种方法是减小每个扰动（例如弯曲磁体边缘）的冲击幅度。由于右侧的积分是具有固定波长的傅里叶谐波，因此可以应用以下简单规则：振幅越集中，其傅里叶变换越分散，反之亦然。因此，随着磁场强度的增加和电子能量的减小，函数振幅会减小。如果扰动足够平滑，那么函数谱将主要包含大波长的谐波（或小），特定大值下的短波长谐波振幅将很小。这对应于粒子运动理论中的绝热近似。另一种减少弯曲磁体边缘引起的踢动幅度的方法是确保粒子轨迹与磁场线更加精确对齐。在这种情况下，函数振幅的绝对值会很小。这可以通过对磁场元件的计算机建模来实现。在这里，产生纵向场的线圈半径起着重要作用：较大的半径可以实现更平滑的磁场变化，而较小的线圈可以实现弯曲场轮廓与磁场线之间的更精确匹配。

第二种方法是补偿磁场元件入口和出口处边缘场的影响。例如，如果入口和出口场是反对称的，则在方程（7）中：
（8）
如果回旋运动的相位变更为，则：
（9）
为了使这种方法成功，建议在入口和出口处都尽量减小。但从实际角度来看，很难实现磁场元件边缘的完全相同设计。

如果传输通道中有很多磁场元件，可以使用第三种方法来减少横向拉莫尔转动的幅度。这涉及使用任何直线磁螺线管来调整拉莫尔相位。有可能所有局部扰动之和接近零。另一种选择是在传输通道的特定位置实施具有正确关系的特殊单次踢动，以补偿横向运动。
寻找最佳解决方案的真正策略可能需要结合使用上述所有方法。

**低能量电子冷却器**
图1展示了EC-300装置的示意图，作为低至中等能量电子冷却器的例子。电子束在电子枪中生成，并在静电管中加速。环形部分将电子束和离子束合并。在冷却段，电子束与离子束相互作用后，电子束离开离子轨道，然后减速并被收集器吸收。

**图1. EC-300冷却装置的示意图。**
电子束由电子枪（1）产生，在静电管（2）中加速后进入冷却段（3）。离心力由静电板（4）补偿。在另一个静电管（2）中减速后，电子束被导入收集器（5）。纵向磁场由枪/收集器的螺线管（6）、环形部分（7）和冷却段（8）的螺线管产生。枪和收集器通过高压馈线（9）连接以实现能量回收。高压电源位于容器（10）中。离子束真空室为（11）。冷却装置从一个法兰到另一个法兰的长度为720厘米。枪/收集器和冷却段中线圈的平均直径分别为66厘米和45厘米。环形线圈呈矩形，尺寸为……
在低电子能量下，强磁场导致横向动量变化（在100 keV能量和1 kG磁场时）。枪/收集器、环形部分和冷却段中线圈的典型尺寸范围为45-110厘米。因此，在磁场中的粒子运动几乎是绝热的。在这种情况下，通过拉莫尔圆的磁通量是横向绝热不变量，并且精度很高地保持恒定。因此，如果纵向磁场不变，电子的横向速度保持不变。因此，低能量电子不需要特别关注维持低横向速度的问题。然而，在电子靶实验以及冷却高电荷离子时，实现低横向动量至关重要[12]。在复合实验中，高精度测量需要与低横向动量的电子束相互作用，并利用磁绝热膨胀来获得几毫电子伏特（meV）或更低的横向温度[13,14]。

BINP制造的电子冷却器中弯曲部分（环形部分）对电子施加的离心力可以通过静电板（见图1）、磁校正线圈或两者的组合来抵消[15-17]。磁弯曲场仅校正具有正向速度的电子。从收集器反射回来的反向电子在环形部分会发生双位移。在从枪到收集器多次振荡过程中，电子会从束流中逸出并丢失。另一种选择是在弯曲部分使用电场完全补偿离心力。这样，对于两种电子流，电子都不会相对于纵向磁场发生横向漂移，从而实现非常低的泄漏电流和高回收率。这种方法首次在EC-300中实现，能量达到300 keV。

图2和图3显示了从阴极中心出发的磁场线曲率、横向电场、纵向磁场和横向磁场的变化。显然，这些剖面并不完全匹配（见图3）。图4显示了在这种系统中横向振荡激发的计算结果。横向场线圈较大，位于纵向场线圈之外。因此，磁场不均匀性的长度较大，横向动量的激发较小。相反，电场剖面接近阶梯函数，因为板之间的距离为7厘米，横向加热效应可能是重要的（见第二节的第一种方法）。沿电子束路径的电场长度对应于一个角度维度（而不是……），并且比横向磁场的长度短，因为静电板之间必须有间隙以允许离子束进入冷却段。因此，静电弯曲是整体实现的。

**图2. 纵向磁场和横向磁场与磁场线的纵向坐标的关系。**区间对应于冷却段；枪和收集器的坐标分别为……
**图3. 拉莫尔曲率和归一化电场与磁场线的纵向坐标的关系。**
**图4. 电子通过半径为100厘米的90°弯曲后的计算机计算横向角度与纵向磁场的关系。**曲线1-3对应于静电弯曲，能量分别为50、100和150 keV，而曲线4对应于300 keV下的磁场弯曲。在静电弯曲结构中，横向振动的激发与纵向磁场的强度存在共振特性。如图4所示，在某些情况下，入口和出口处的边缘扰动会在整个拉莫尔周期内相互抵消。在半整数个拉莫尔旋转周期内，横向动量会加倍。发生补偿的磁场值范围相当狭窄。对于电子能量，观察到最小加热值的范围大约为……；对于……，该范围为……。因此，静电弯曲可以产生横向电子动量；然而，在低能量下，这个值并不大，实际经验表明它在冷却速率中并不起显著作用。在[18]中，复合率的降低被描述为由特殊静电板引起的横向运动的影响；然而，测量到的冷却速率并没有显著变化。在高能量下，必须考虑这种效应[11,19]。

IV. 高达2 MeV的电子冷却器
用于COSY的2 MeV电子冷却器[20,21]具有迄今为止开发的任何用于电子束磁化冷却和传输的冷却器中最高的能量。静电柱中的磁场强度为500 G，传输通道中的磁场强度为1 kG，冷却部分的磁场强度为2 kG。COSY冷却器的设计基于强纵向磁场（图5）。在高能量下，很难确保电子的运动是绝热的；因此，必须使用其他方法来最小化横向动量。边缘效应导致电子束沿期望路径产生显著的横向磁场分量，从而引起拉莫尔旋转。

图5. 高能冷却器设计。电子由位于高压端部的电子枪发射（1）。在加速柱（2）中加速后，电子通过传输通道（3）进入冷却（相互作用）部分（4）。一个环形部分（5）将电子与在真空室（6）内移动的离子束合并。偶极磁铁（7）由于环形磁场的作用补偿了离子的横向踢力。在270厘米长的冷却部分之后，电子束通过另一个环形磁铁分离，然后通过传输通道（8）进入静电加速器。减速后，电子被注入位于高压端部（1）内的特殊收集器中。

在理想的弯曲磁铁中，电子的纵向动量与磁场的纵向分量平行，相应的洛伦兹力为零。在实际设计中，弯曲部分的几何尺寸和螺线管线圈有所不同，通常无法完美地对齐电子轨迹与纵向磁场的磁场线。图6展示了一个实际设计的例子，其中弯曲磁场轮廓尽可能紧密地对齐所需的电子轨迹。图7显示了带有纵向磁场的弯曲磁铁（9）的特征函数。这里，表示纵向动量，而（ ， ， ）表示磁场的垂直、水平和纵向分量，是相对论因子，是基线的曲率。

图6. 90°弯曲磁铁内部的线圈设计。纵向磁场由线圈（1）产生，横向（弯曲）磁场由线圈（2）产生。弯曲线圈（2）由两个电源供电，以调节弯曲磁场的场指数。磁性元件安装在与磁轭（未显示）相连的支撑件（3）上。相邻元件（4）的磁轭可用于位置诊断或真空元件，如真空门（5）。弯曲半径为100厘米，弯曲部分内线圈的平均直径为20厘米，相邻元件内为42.3厘米。

图7. 带有纵向磁场的90°弯曲磁铁的光学功能。这里，基线用于计算光学功能，曲率表现为阶跃函数。

所有值都是相对于几何基线指定的，该基线由两条线和一段半径为……的弧组成，对应于磁性元件的中心线。从物理角度来看，纵向磁场的磁场线被认为是计算磁函数的首选基线；然而，从实际角度来看，线条和弧的组合更为方便。磁场各分量在入口和出口之间的贡献可能有所不同（见图7）。该函数的符号交替变化，其对回旋运动的影响可以在入口和出口处独立自我补偿，因为该函数的积分接近于零。然而，入口处的踢力只能通过出口处的相应变化来补偿。因此，完全补偿偏差所需的回旋旋转周期接近于整数；然而，其确切值只能通过在弯曲磁铁中精确建模电子运动来确定。

为了减少穿过磁性元件后发生的运动扰动，可以采用类似于低能冷却器的“共振”光学原理[22,23]。这要求弯曲磁体的入口和出口具有相同的设计，以便在出口处最大限度地补偿入口处的扰动。此外，对于“共振”光学，需要选择正确的纵向磁场以确保所需的拉莫尔相位，如图8所示。可以看出，在狭窄的纵向磁场值范围内观察到最小的拉莫尔半径。

图8. 90°弯曲后的横向拉莫尔半径与纵向磁场的关系。曲线1-3对应于电子能量0.5、1和2 MeV。

如果条件不理想，前面的解决方案不能完全解决问题，则需要使用带有横向磁场的特殊补偿线圈来减少电子的拉莫尔运动幅度（见第2部分中的第三种方法）。安装这种线圈最方便的位置是轨迹的直线部分。

电子在直线上的运动方程由方程（3）给出。图9展示了一种鞍形线圈类型的函数示例。在高能量下，冲击力会增加，因为线圈的行为更类似于薄（块状）元件，纵向磁场的影响可以忽略不计。在低能量下，运动是绝热的，横向扰动被纵向磁场抑制。这不是问题，因为在其他磁性元件中产生的扰动也会被抑制。为了避免在大约200 kV的能量处偶极踢力急剧下降（局部共振），使用了适当的纵向磁场值。在这种情况下，拉莫尔螺旋的长度较短，因此可以在广泛的纵向磁场值范围内实现共振通过弯曲。

图9. 马鞍形线圈类型的绝对值与电子能量的关系。偶极校正器的弧半径为10厘米；长度为12厘米。横向磁场的积分……。纵向磁场分别为800 G（曲线1）和600 G（曲线2）。

电子束的光学质量可以通过多种方法进行实验评估。一种方法涉及估计摩擦力[11]，另一种方法涉及使用纵向磁场中的相位移动进行特殊诊断测试并测量BPM信号[24]。还有另一种方法来评估光学质量。对于每种运行模式，直线螺线管内都存在一系列纵向磁场值，在此范围内电子束的恢复效率足够高。这对应于方程（7）中的拉莫尔相位移动。如果这个范围广泛，意味着每个磁性元件中的拉莫尔振荡可以忽略不计，不会影响电子束的通过。图10显示了在COSY 2 MeV冷却器的冷却部分，随着纵向磁场的变化，损失电流的依赖性。这里，冷却螺线管仅用于改变电子束在传输通道两个对称部分（冷却部分之前和之后）之间的回旋运动相位。

图10. 损失电流（1，左轴）、X射线辐射强度（2，左轴和任意单位）以及加速管分压器（3，右轴）上的电压差与冷却部分磁场的依赖性。电子能量为500 kV；电子束电流为……。底部图像对应于弯曲处磁场的共振值（……），顶部图像对应于磁场没有最优值的情况（……）。

显然，这显著影响了电子束的恢复，因为当电子束穿过传输通道时，磁场在弯曲磁铁中的值不是最优值。当纵向磁场具有共振值时，拉莫尔相位不会产生显著效果（见图10）。因此，相位移动产生了光学误差被共振最佳取消的区间。在这种情况下，形成了有效的传输“窗口”，在此期间泄漏电流和X射线辐射具有最小值。如果弯曲磁铁中的磁场具有最优值，则在任何电子束在传输通道两个部分（冷却部分之前和之后）之间的相位变化时，都能实现最小的泄漏电流和X射线辐射。这种电子束通过的调整是最优的，因为它允许在电子冷却器的各种参数范围内稳定恢复电子束。

泄漏电流和辐射表明了真空室中的电子束损失。这些参数通常之间存在相关性；然而，X射线探测器在高电子束能量下更为敏感。使用了富含铊的NaI晶体作为X射线探测器。当暴露于伽马射线束时，这种晶体会发出波长约为415纳米的光子。由光电阴极发射并在二次电子倍增器中放大的电子产生的信号触发了比较器。比较器触发的频率允许评估辐射水平。这种方法足够灵敏，可以在非常早期阶段检测到泄漏电流，但它没有提供准确的定量值。

静电管（加速管和减速管）之间的电阻分压器之间的电压差表明电子已经落在其中一个管子上（通常是减速管）。泄漏电流是用连接到静电加速器地电位的特殊电阻器测量的。

这个实验（图10）只能在低电流和低电子能量下进行。因为在操作电流约为1 A时调整难度较大，因为存在恢复模式失败和高压击穿的风险。

在冷却部分下游的BPM中可以观察到通过共振减少拉莫尔振荡的证据。冷却部分磁场的变化导致与之前在该元件处积累的横向踢力相关的束位移。在这种情况下，电子束的横向位置如图11所示。

图11. 由于冷却部分磁场变化引起的拉莫尔振荡相位变化期间电子束的横向位置。磁场的共振值为曲线1，没有最优值为曲线2。磁化电子的运动与能量1–8 MeV

上述方法可以在未来项目中的高能电子冷却器中得到应用[25–28]。图12展示了一种设计例子，该设计实现了一个180°的弯道，半径为100厘米，通过 kombining 两个90°的弯道来完成。在这种情况下，这种弯曲设计与已经测试过的设计类似。此外，与使用单个180°元件的设计相比，这种类型的弯道设计显著简化了组装过程。在弯道的入口和出口处需要特殊的螺线管，以便安装额外的设备，如真空泵、诊断设备等。设（10）为磁化参数，它表征了沿弯道长度的拉莫尔振荡次数。参数1和2分别对应90°和180°的情况。

图12. 180° COSY型弯曲磁体的构造。

表I列出了在典型参数下，不同能量值的磁化参数。对于任意能量，为了保持参数（10）不变，磁场必须按比例变化[见公式（10）]。在低能量下，当纵向磁场较低时，磁化参数（10）的值可以在2到4之间变化。但是对于4到8 MeV的能量范围，弯曲半径为100厘米，典型的纵向磁场约为1 kG时，磁化参数仅为1。要增加这一参数，必须增加磁场强度或弯曲半径。这会导致传输通道的功耗增加，从技术角度来看，一个适当的（10）值可能是最佳选择。

表I. 通过半径为100厘米的90°弯曲磁体的电子的磁化参数。能量（MeV）：1.2时为1；220时为1.2；870时为4；670时为4.5；1330时为4.5；2300时为8。

图13显示了电子通过半径为100厘米、弯曲角度为180°的COSY型弯曲磁体时的计算轨迹，能量分别为1.2 MeV和4.5 MeV。可以清楚地看到，电子在入口和出口位置的横向运动得到了很好的补偿。在4.5 MeV的能量下，横向电子位移的范围大约为2.5厘米（峰对峰值）。图12中的180°弯曲磁体的磁化参数（10）表明，在这个角度下，观察到两次拉莫尔振荡。纵向磁场的共振值为870 G，这超过了表I中列出的值。这可以解释为弯曲磁场的有效长度与磁场分布边缘之间的距离并不完全相等。在8 MeV的能量下，根据4.5 MeV情况下的系数重新计算，磁化参数（10）对应的纵向场值为1.5 kG。

图13. 能量为1.2 MeV（左）和4.5 MeV（右）的电子在180°弯曲磁体中的轨迹。电子运动的磁化参数分别为（10）和（11）。

另一个使用磁化传输的例子是NICA对撞机的电子冷却器[27,28]。图14展示了半径为（具体值未给出）且最大纵向场为（具体值未给出）的弯曲磁体设计。电子通过弯道的过程具有共振特性。为了改善共振传输，弯曲磁体的设计使得入口和出口尽可能相同。磁场曲率的计算使用了MAGEL程序[29]进行。图15显示了磁场线曲线与弯曲场曲线之间的匹配情况。尽管所有线圈的尺寸都很小，但磁场线与弯曲场曲线之间存在差异。然而，在这种情况下，共振原理允许电子在最小的横向运动激励下移动。

图14. NICA对撞机的90°弯曲磁体构造。弯曲半径为100厘米，弯曲处线圈的平均直径为21厘米，相邻元件中的线圈平均直径为24厘米。

图15. 纵向坐标下，曲率（曲线1）和横向磁场（曲线2）的关系。

在共振能量下，进入弯曲磁体且没有横向振幅的电子在离开时不会“加热”。其中一些能量（对于1 kG的磁场）分别为4.865、2.5、1.65、1.185和0.905 MeV。这些能量下电子相对于弯曲平面的轨迹显示在图16中。

图16. 在NICA冷却器的90°弯曲磁体中，纵向磁场为1 kG时电子的运动。能量范围为1–905 keV、2–1185 keV、3–1650 keV、4–2500 keV、5–4870 keV。

可以看出，在高能量下，电子束在弯曲磁体内部的几何基线上的偏差变得相当显著；因此，有必要研究减少这种偏差的方法。例如，将弯曲半径增加到1.5–2米或增加磁场强度可能是8 MeV冷却器项目的适当选择。但显然，在这个范围内存在某个电子能量点，在该点上使用具有强纵向磁场的磁化运动是可取的。

另一种方法是不使用连续的纵向磁场，而是创建一个由一系列弯曲磁体和基于集总轴对称螺线管的透镜组成的传输通道。在弯曲场指数（具体值未给出）的简单情况下，具有纵向磁场的弯曲磁体中的运动具有旋转对称性；也就是说，粒子垂直和水平振荡的运动方程是相同的。在这种情况下，可以将粒子从一个螺线管移动到另一个螺线管，而不会在其进入冷却螺线管时引起轴向不对称的扰动。文章[30,31]表明，基于KAM理论的其他解决方案也是可能的。

在高能下，使用局部化元件是最有效的；然而，在低能和中能下，由于电子离开纵向磁场时“磁发射”值较高，会出现一些困难。在这种情况下，需要对电子束进行额外的聚焦，这使得连续螺线管和局部化元件之间的区别变得模糊。同时，还需要考虑减少电子束相对于螺线管中心的位移以及确保边缘场的方位均匀性的挑战。因此，使用强纵向磁场实现8 MeV能量的电子冷却仍然是一个相当好的方法，尤其是在需要在整个能量范围内进行调节时。

关于使用纵向磁场进行冷却过程的讨论需要分析大量的论点、参数和具体的实验要求，这超出了本文的范围。例如，LERec实验[6–10,32]是一个基于射频（“聚集”）的电子冷却器，在冷却部分没有使用连续的螺线管场。但是，当将其结果外推到Fermilab和COSY实验的结果时，冷却速率可能远未达到最大值。因此，关于使用纵向磁场来增加电子束电流和摩擦力的问题仍然是一个未解决的问题[33]。

VI. 结论

共振电子光学概念在电子冷却方法发展的初期就已出现[24,25]。然而，在低能冷却器中，这一想法通常并不十分受欢迎。随着使用磁化电子束的新高压电子冷却系统的发展，共振传输的概念得到了新的生命力，并且得益于在COSY冷却器中进行冷却实验所获得的经验，在这类系统的调试中发挥了重要作用。另一个非常重要的问题是电子束的诊断，目的是优化共振传输。其中一些想法已经在COSY冷却器中得到了测试和改进；然而，经验表明，这一问题需要进一步研究，以开发出有效的冷却方法。经典方法的潜力尚未完全发挥，它可以应用于NICA[25,26]和HESR[27,28]的高能电子冷却器。