准线性等离子体尾波加速器中驱动束与见证束不对准的容差

《Physical Review Accelerators and Beams》：Tolerances to driver-witness misalignment in a quasilinear plasma wakefield accelerator

　　

基于等离子体的加速器具有极高的加速梯度和通过分段加速或长等离子体源实现的扩展性，使其成为未来加速器和粒子对撞机概念的有力候选方案。质子驱动加速器尤其具有潜力，能够在单级中将粒子加速至高能量。在准线性区域（即等离子体尾波仅被部分清空的区域）中，一簇见证电子束会驱动一个空化尾波，从而保护位于此自击穿区域内的见证束部分的发射度。当驱动束与见证束之间存在横向不对齐时，这种作用仍然可以持续，但其效果会降低。本文研究了该区域中的见证束横向动力学特性，并开发了一个解析模型来描述见证束的运动。我们表明，发射度保持的程度可以通过估计相位混合后的束流密度来预测。使用AWAKE Run 2c基准参数的粒子模拟（PIC）显示，与所开发的预测模型高度吻合。本研究使得我们能够针对AWAKE实验以及其他在准线性区域运行的尾波加速方案设定对准约束条件。

I. 引言

未来粒子加速器的前瞻性设计致力于推动能量前沿。为此，基于等离子体加速的高加速梯度极具吸引力[1,2]。虽然传统射频（rf）腔体的加速梯度因射频击穿限制在数十的量级，但等离子体可以支持高达的量级的加速梯度，因此有潜力大幅缩小未来加速器设施的占地面积[1,3–5]。

为了将等离子体用作加速器，需要通过将电子与离子分离来建立高电场。这需要一种合适的驱动束，可以是强超短脉冲激光[6]或高能粒子束[7]。当该驱动束在等离子体中传播时，会排开等离子体电子，而质量大得多的离子移动则相对较小。这种电荷分离会感应出电场，使等离子体电子产生振荡，并在驱动束后方形成一列相位速度等于驱动束速度的行进电子密度波。这就是等离子体尾波，可以将一簇"见证"电子束注入其中并加速至高能量。

随着驱动束在等离子体中传播，能量逐渐传递给尾波，并最终传递给见证束。如果驱动束传播距离足够远，它将损失大部分能量，尾波将崩溃，加速便不再可能。与对撞机相关的等离子体加速器需要数百至数千米的长度，这使其面临驱动束耗尽的风险。

解决该问题的两种主要方案。一种是周期性地替换已耗尽的驱动束以继续加速见证束，此过程称为"分段加速"。分段加速要求在保持见证束的同时，既需要提取已耗尽的驱动束，又需要注入新的驱动束[8]。另一种方案是选择能量足够高的驱动束，使其耗尽长度保证长于加速器。质子束是实现该方案的唯一实用选择[9,10]，其极高的质量使其能够在现有环形对撞机基础设施中以较低的同步辐射损耗被加速。

后文中，我们讨论的是质子驱动的等离子体尾波加速器。质子束是目前唯一能够实现单级达到能量前沿的驱动束。

AWAKE实验[10,11]是一个原理验证加速器，利用来自CERN超导质子同步加速器（SPS）的400 GeV质子束在等离子体中加速电子。SPS束流长约5 cm，等离子体相当稀疏，其等离子体波长为，因此束流跨越了多个等离子体周期。该束流初始长度过长，无法有效驱动强尾波进行加速，但周期性的聚焦和去聚焦作用使其发生自调制。束流在数米距离上调制为一列微束[12,13]，其周期性为等离子体波长量级。经过调制的束流随后适合进行共振尾波激发。

随着质子束调制，尾波的相位会发生偏移。因此，在尾波稳定之前尝试加速是不理想的[14]。AWAKE Run 2c实验将调制阶段与加速阶段在物理上分离为两个串联的等离子体源。这使得质子束可以在第一个等离子体源中完全自调制，然后电子被注入第二个等离子体源中稳定的尾波内。每个阶段长10 m，中间留有1 m的间隙以供注入[11]。

在质子驱动加速器概念的基础上，ALiVE方案[5]提出使用单个短质子束[15,16]驱动尾波，从而完全避免调制的需要。

在加速电子时，通常工作在击穿区域。在此区域内，驱动束将其后方的所有等离子体电子完全排出，仅留下背景离子。这样做不仅因为对于给定的等离子体密度它能产生最强的加速场，还因为作用在束流上的聚焦场是线性的。通过将见证束的贝塔函数与等离子体聚焦场匹配，可以保持见证束的发射度[17]。然而，质子驱动的尾波往往工作在准线性区域，其中尾波未被完全清空，因此我们不能期望完全保持见证束的发射度。尽管如此，见证束本身也会驱动尾波，当其电荷密度足够高时，可以驱动自身的击穿[18]。这在一定程度上提供了发射度的控制。这一现象的示意图如图1所示，其中我们用短驱动束代替了微束列。

图1. 模拟设置的示意图。对于驱动束与见证束对齐的设置，(a) 为等离子体（灰色），驱动束（紫色）和见证束（红色）从左到右依次运动。(b) 为纵向场，展示了见证束的束流负载效应，(c) 为相对论性粒子感受到的横向力。我们可以看到见证束的自击穿在更大的尾波内创造了一个聚焦场区域。场强以波破碎场进行归一化。此处为相对于驱动束质心的纵向坐标。

对于外部注入的见证束，我们研究了驱动束与见证束在注入时横向对准不完善的影响。这在任何实际实验中都会存在，并且已经针对击穿情况进行了研究[19]，发现了严格的容差要求。在准线性尾波的背景下，我们研究横向错位对最终束流特性的影响，并从中可以提取出什么样的实验容差。

II. 模拟设置

我们使用三维准静态粒子模拟（PIC）代码QV3D [20]和HiPACE++ [21]进行了模拟，发现两者结果高度吻合。以下参数遵循参考文献[18]，该文献进行了类似的研究。这里我们更详细地研究了在初始错位存在下发射度保持的情况。我们模拟了长度10 m、半径1 mm的等离子体，等离子体密度恒定为，对应肤深度为。400 GeV驱动束被建模为带正电、不自演变的高斯椭球，半径为，长度为，总电荷为（驱动束峰值密度为），由此产生的峰值加速梯度为。这些参数的选取是为了模拟AWAKE Run 2c中完整微束列所驱动的尾波[11]。

电子见证束同样为高斯椭球，注入能量为（），相对能散为，纵向长度为，径向尺寸根据击穿匹配条件选取：

(1)

其中为归一化发射度，为电子见证束的洛伦兹因子。尽管质子驱动的尾波为准线性，我们仍然选择使用击穿匹配条件，因为我们预期大部分束流电荷将位于自生成的击穿区域内。

随着等离子体流过见证束，击穿需要一定的形成时间，且该时间取决于电荷密度[18,22]。我们将见证束发射度从变化到，对应径向尺寸范围为。束流电荷也从100 pC变化到400 pC，导致见证束峰值密度从3变化到。驱动束与见证束之间的横向偏移从0变化到。见证束在尾波中的纵向位置经过选择以使能散最小化，在6.2到之间线性变化，等效于驱动束与见证束之间的延迟为4.1–3.8 ps，取决于见证束电荷（高-低）。

III. 结果与讨论

模拟设置示意图如图1所示，其中展示了完美对齐见证束情况的初始配置。图1(a)显示了等离子体、驱动束和见证束的相对密度，可以立即看出低密度驱动束未能完全清空尾波，使得高密度的见证束能够在此更大的尾波内驱动自身的击穿。图1(b)中还展示了束流负载效应，位于见证束所在区域，加速场有所减小（颜色较浅）。最后，图1(c)展示了横向场，可以看到准线性尾波场被见证束驱动的小型击穿所扰动。我们注意到，即使在包含准线性尾波的去聚焦相位中，见证束的击穿也投射出了一个聚焦区域。

A. 主要结果

模拟在10 m内演化，在此期间，投影能散增加至5%–10%，具体取决于电荷量（低-高）。能量增益与束流电荷量成反比，在2–4 GeV范围内变化（高-低）。最终能量和投影能散基本上与初始偏移无关。

图2展示了最终密度图以及见证束每个纵向切片的发射度分布。图2(a)展示了无初始偏移情况下经过10 m加速后的快照。展示的是400 pC、的情形，但该图像具有典型性：见证束的头部位于驱动束产生的准线性尾波中，而尾部则位于自击穿区域内。

图2(b)展示了该情况下的纵向切片发射度（红线），以及所有其他无初始偏移且初始发射度的见证束电荷情况。使用匹配半径确保了位于击穿区域内的见证束部分发射度几乎不变，这在切片发射度中有所反映。我们看到，尽管图2(a)中束流头部没有明显的退化，但仍存在一定的发射度增长，该增长在加速初期饱和，此时见证束头部与等离子体达到新的匹配条件[18]。随着局部等离子体电子密度趋近于零，匹配条件趋近于公式(1)，发射度增长逐渐减小。束流电荷越高，击穿形成越早，发射度保持在更大比例的束流上发生。总体而言，投影发射度增长从变化到，具体取决于电荷量，电荷越高增长越少。

图2(c)展示了与图2(a)类似的情况，但现在有（）的初始横向偏移。我们看到经过10 m后，见证束呈现出独特的分布轮廓，束流头部被展宽超出了初始偏移的范围。这是因为低密度头部无法驱动击穿，从而由于未匹配而发散[回忆公式(1)假设的是击穿条件，但这里的聚焦场更小]。因此束流不同纵向切片的振荡频率不同，并发生相位混合，净结果是发射度增加[23]。从束流头部往回一定距离，在大约处，束流密度足够高以形成击穿，束流尾部保持紧密聚焦，相干振荡并保持发射度。

相较于零偏移的情况，爆裂区沿粒子束纵深方向进一步靠后形成，并且随着偏移量增大，这一距离也随之增加。图2(d)展示了具有特定偏移量和初始发射度的粒子束的最终切片发射度。在最低电荷情形下（黑色曲线），束头的稀释意味着横向尾波已不足以保持见证束聚焦，整个束的长度范围内都经历了剧烈的发射度增长，最终投影发射度为给定数值。然而，在较高见证束电荷下，发射度仍可部分保存，因为见证束密度的增加依然允许形成爆裂区，从而保护逐渐更多的束体，其中400 pC情形下的最终投影发射度为给定数值。

B. 见证束摆线运动

在图3(a)中，我们绘制了图2(c)所示400 pC束、具有特定初始偏移的横向质心位置，分别沿束本身长度方向(z_0)和沿传播方向(z)分布。可以看到，在约给定位置处存在明显的模式转变指标：束头经历相混合，而束尾则经历相干摆线振荡。

图3。(a) 束横向质心位置沿束长z_0和传播坐标z的水印图；(b) 短时傅里叶变换(STFT)，显示在见证束中z_0位置处的传播距离分辨振荡频率，该位置由(a)图中虚线标出。虚白线表示爆裂区摆线频率ω_b，实白线表示数值计算的准线性摆线频率。

图3(b)展示了见证束的摆线频率随传播距离的变化。该结果通过固定z_0，并取该点沿传播方向的见证束横向质心位置得到，如 图3(a)中虚线所示。对该信号施加短时傅里叶变换可得摆线波数k_β随传播距离z的变化。我们可以将时间频率近似为ω = c·k_β，代表所选z_0处的有效摆线频率。我们看到信号有两个频率分量，低频分量占主导。

这可以类比解释。设想一个球（见证束）放在篮子（其自爆裂区）中，篮子以低频来回移动（驱动束头在准线性尾波中的振荡）。球在篮子中的位置并不固定；然而，球自身的惯性会导致它根据篮子的形状（自爆裂区的横向势能）进行高频振荡。当测量球的运动频率时，会出现两个分量：篮子的低频运动和球在篮子内的高频运动。由于慢运动的振幅远大于快运动的振幅，低频分量的信号更强。

在此情形下，高频分量易于确定。在自爆裂区中，根据高斯定律，所得横向场为公式(2)。因此，高频分量即为爆裂区中的特征摆线频率，如公式(3)所示。

我们可以通过泊松方程对准线性尾波势进行建模，从而估计低频分量：公式(4)，其中Φ为尾波势，ρ_p为等离子体电荷密度，ε_0为真空介电常数。在准线性区中，电荷密度的纵向分量沿z_0呈正弦分布，因此我们可以将纵向与横向部分分离：公式(5)，其中ρ_p⊥表示横向分量。鉴于ρ_p可分离且等离子体响应为线性的，势也可表示为相同形式[24]：公式(6)。

将公式(5)和(6)代入公式(4)，并通过求Φ的导数消去纵向分量，我们得到横向尾波势具有屏蔽泊松方程的形式：公式(7)。

一般而言，公式(7)的解析解是非平凡的。对于点状[25]和均匀驱动束[24]可以找到解，但对于高斯驱动束的完整解析解已超出本文范围。

从粒子模拟中，我们通过数值确定尾波中受扰的等离子体密度。取横向密度分布与驱动束相似，我们数值求解公式(7)得到尾波势，并从Φ提取场。假设见证束偏离轴的距离较小，我们仅将Φ展开至最低阶，发现准线性尾波衰减至给定值。此处我们忽略方位磁场的贡献，因为我们明确只考虑弱非线性尾波，这种情形下等离子体电流不会驱动显著的磁场。关于磁场效应的详细讨论见参考文献[26]。因此，低频分量为给定表达式。将其与模拟结果对比，在图3(b)中，我们将数值计算的低频（实线）和高频（虚线）分量叠加，发现两者均与结果吻合良好。

C. 参数扫描

扩展模拟范围，我们可以扫描多个参数并寻找规律。取初始发射度在一定范围内、电荷在100–400 pC、偏移量在一定范围内，我们将所得发射度作为这三个变量的函数绘制在图4中。我们得到直观的结果：总体而言，较高电荷在整个范围内均导致较小的发射度增长。通过观察即可发现这一点，作为视觉辅助，我们在所有图中标记了给定投影发射度的等压线。可以看到，随着电荷增加，该等压线向上移动，表明在更广泛的参数范围内发射度得以保存。

图4. 10 m后的投影发射度。取x和y平面发射度的几何平均值作为代表量，同时变化初始发射度和偏移量。子图(a)–(d)显示电荷从100增至400 pC。给定投影发射度的等压线以白色虚线表示。

当存在偏移时，偏移平面内的发射度将大于非偏移平面的发射度。虽然偏移平面（此处为x）的发射度显著增长，如图2(d)所示，但正交平面（此处为y）的发射度保持在无偏移束的量级，例如 图2(b)。我们使用x和y发射度的几何平均值作为束整体质量的代表量，从而得到图4中记录的较为温和的投影发射度增长。

在存在初始偏移的情况下，束头会绕轴振荡并经历相混合。对于低电荷见证束，其横向尾波场完全由驱动束决定，整个束在偏移平面内展开。结果是如下密度分布：公式(8)，其中描述了一个沿某一方向被因子η均匀展开的束的峰值密度。如果密度足够高，见证束除了驱动束的尾波外，还会驱动自身的尾波场。见证束尾部经历的聚焦力比束头强，若见证束密度足够高，则会形成爆裂区。爆裂区形成的确切位置取决于束头的电荷密度，假设纵向束分布相同，该密度始终与该"有效密度"成正比。因此，我们可以将公式(8)视为判断束能否驱动爆裂区的指标。此外，公式(8)将多个束参数（电荷、偏移量和发射度[通过公式(1)]）编码为一个量，使其成为有用的参考依据。

我们现通过检查纵向切片统计来计算每种情况的保存发射度比例。我们观察沿束的切片发射度，并选择某一阈值发射度，低于该阈值的切片视为"已保存"。设定该阈值是任意的；我们此处选择超过初始发射度10%的阈值。然后我们将每个阈值以下切片的电荷累加，并与整个束的电荷进行比较，从而得到每种情况的"保存比例"。

我们将模拟中见证束驱动爆裂区的能力与公式(8)预测的能力在图5中进行了对比，可以看到保存比例与有效密度之间存在强相关性。选择不同的阈值会改变曲线形状——较低值使其变平，较高值使其变陡——但总体趋势保持不变。存在一组有效密度较低的点，其发射度保存极少甚至没有保存。这是预期的结果[23,27,28]，因为可以推断存在某一临界阈值，低于该阈值时在任何峰值密度下都无法驱动爆裂区，因此无法保存发射度。

图5. 发射度得以保存的束电荷比例（最终发射度低于初始发射度若干倍）。束的有效峰值密度取为给定值。点的颜色反映束参数：电荷（红色度）、偏移量（蓝色度）和初始发射度（透明度）。

我们可以利用这种相关性确定容差。通过指定期望的最终发射度，在给定初始束电荷和发射度的条件下，可以找到实现所需性能的最大偏移量。此外，我们还可以扩展这一方法估计指向误差。假设束的运动为简谐运动，横向偏移可以通过考虑测试粒子穿越轴时的轨迹转化为角度：公式(9)，其中k_β为准线性尾波的摆线波数，并假设z_0保持较小。若将这些结果转化为角向偏差，则结果令人鼓舞：此处考虑的最大偏移量结合注入处的摆线波数给出的角向偏移量约为1.7 mrad，相比当前可实现的性能而言较大[29]。这是由于等离子体中存在强大的聚焦场；如此小的角度偏移并不会导致大幅振荡。

我们发现本文的结果具有良好的标度性，模型有效性的主要要求是处于准线性区，与驱动束种类的电荷无关。如果作用于束头的尾波发生变化，则图像会变得更加复杂。这可能由于去相位或驱动束演化引起，但在典型加速方案中这两种效应都不太可能产生显著贡献。在爆裂区中，控制方程为公式(4)且，物理过程因场变为线性而简化。

IV. 结论

分级或注入时的横向或角向对准偏差会降低束质量，因此有效的发射度控制是未来等离子体加速器和对撞机必须解决的挑战。

我们发现等离子体加速在准线性区表现出独特的横向动力学，可分为两种模式：粒子在准线性尾波中振荡的慢摆线运动和粒子在自泡中振荡的快摆线运动。快运动可由现有理论良好描述，我们已发展出描述偏移情形下见证束自爆裂区运动的慢摆线运动解析模型。见证束束头振荡，导致自爆裂区振荡，而在其中见证束以教科书摆线频率振荡。

见证束自爆裂区形成的时间取决于束头的电荷密度，并极大影响发射度保存的程度。我们证明最终发射度与从束参数和偏移导出的有效密度[公式(8)]强相关，后者估计了相混合后束的电荷密度。该模型的预测能力通过模拟验证，显示出良好的吻合度。

利用该模型，可以轻松确定期望发射度控制水平对应的容差，并将位置偏移转化为等效角向偏移。等离子体的一个有益特性是，由于等离子体的强聚焦作用，典型角向容差相比横向对准容差更为宽松。

本模型的适用范围涵盖尾场加速的线性至准线性阶段，即在等离子体未被完全耗尽的区域。本研究将为AWAKE Run 2c及后续阶段的持续设计提供有益参考，同时也适用于其他在准线性阶段运行的加速方案。