受限双粒子系统中的纠缠控制：质量不平衡、势阱不对称性、相互作用范围与局域化势

《APS Open ScienceNEW》：Entanglement control in confined two-particle systems: Mass imbalance, trap asymmetry, interaction range, and localized potentials

　　

# 纠缠控制的一维双粒子谐振约束系统中的系统研究

我们针对一维两个可区分相互作用粒子在谐振约束下的纠缠控制进行了系统研究。利用密度矩阵重正化群（DMRG）计算，我们考察了冯·诺依曼熵在质量比、阱频率非对称性、相互作用范围和局域外场变化下的演化。研究结果揭示了一幅连贯的图景，将实空间密度重叠、量子涨落的重新分布以及由此产生的纠缠联系起来。在所研究的参数范围内，质量不平衡比阱频率非对称性对纠缠的影响更为显著。此外，相互作用范围与场诱导极化之间的竞争决定了短程或长程关联的主导地位。通过将冯·诺依曼熵与可测量量（如密度差 $\Delta n(x)$ 和相空间乘积 $\langle x^2_i \rangle \langle p^2_{x_i} \rangle$）联系起来，我们建立了量子关联的实验可及指纹。我们的分析展示了外部和几何参数如何调节约束双粒子模型中的纠缠，为在合适的实验环境中探索相关控制方案奠定了基础。

## I. 引言

量子纠缠是现代物理学中的基本概念，通过子系统间的非经典关联将量子信息、凝聚态和原子系统联系起来。基础性综述已建立了其理论框架及其在量子信息和凝聚态研究中的核心作用 [1–3]。近期的发展扩展了这一视角：Wang 等人 [4] 采用纠缠显微镜方案揭示了自旋和费米子多体系统中的多体纠缠，而 Fran?a 和 Capelle [5,6] 分析了空间非均匀费米子系统并识别了块纠缠的普适和非普适组分。进一步的贡献探索了少电子原子中的纠缠 [7]、超冷气体中的非高斯关联 [8]，以及利用量子神经网络检测纠缠相变 [9]。其他研究考察了复杂多体量子系统中纠缠的几何和动力学 [10]，或其在无序超流体和费米子晶格相变附近的行行为 [11–13]。这些工作确立了纠缠熵作为关联强度的定量度量以及量子系统中相干性和临界性的指标。

Busch 等人 [14] 的开创性解决方案建立了理解谐振约束下两个相互作用粒子的基础性框架，并激发了大量关于束缚少体关联的文献。在这一更广泛的背景下，谐振约束少粒子系统提供了一个极简但富有洞察力的设置，用于研究相互作用、约束和量子纠缠之间的相互作用 [15]。Sanino 等人近期表明，纠缠可以充当谐振约束费米-哈伯德链中的拓扑标记 [16]，而 Toro? 等人 [17] 研究了相对论效应对纠缠束缚电子的影响。Zhang、Vidmar 和 Rigol 的早期研究分析了约束晶格玻色子中局域量子相变的纠缠特征 [18]，McKenney 等人 [19] 探讨了驱动谐振阱中纠缠熵的时间演化。Ko?cik [20] 和 Sun 等人 [21] 提供了少粒子谐振阱中冯·诺依曼熵的精确结果，揭示了从离域到类 Wigner 分子态的交叉。Deuretzbacher 等人 [22] 将这一方法扩展至偶极玻色子，突出了长程关联的作用。在更广泛的范围内，Mistakidis 等人 [23] 综述了低维少体玻色气体静态和动态性质的最新理论进展。此外，Brouzos 和 Schmelcher 探索了一维阱中的两分量少费米子混合物，比较了描述从弱相互作用到费米化交叉的数值和解析方法 [24]。Becker 等人 [25] 展示了如何通过交替与两种自分离多数物种的相互作用强度来动态控制双阱中杂质的输运和束缚。

这些研究共同表明，即使在极简模型（如一维约束中的两个相互作用粒子）中，也可以捕捉到动能离域、外部约束和粒子间耦合之间的本质竞争。通过调节相互作用强度、质量比和阱非对称性等参数，可以探索几何和动力学非对称性如何塑造量子关联的程度。此外，该系统为分析局域化和离域化区域之间的转变、粒子间不确定性的重新分配以及双体纠缠的出现提供了直接途径。

从实验角度来看，超冷原子和束缚离子平台提供了对这些参数前所未有的控制能力。特别是，光镊平台的最新进展使得能够在单粒子水平制备、操控和探测超冷原子 [26]。紧密聚焦的激光束产生高度局域化的光学阱势，其位置、深度和几何形状可以精确控制并动态操控。这些能力为工程设计局域约束和控制单个粒子的空间分布提供了现实途径。此外，光镊中的中性原子可以通过 Feshbach 共振调节其相互作用 [27]，而束缚离子 [28] 可以实现长程库仑耦合和局域电场。

从理论角度来看，此类少体束缚模型可以用高精度方法处理，如密度矩阵重正化群（DMRG）[29,30]、矩阵乘积态（MPS）算法和精确对角化方法 [31]。这些技术产生高精度的基态波函数、约化密度矩阵和纠缠谱，揭示关联如何随系统参数变化。近期工作表明，纠缠可以作为相互作用驱动交叉和约束系统中结构变化的敏感指标 [32–34]。特别地，已证明纠缠熵可以通过将熵发散解释为实空间和相空间中可用空间的量来检测维度交叉和有限希尔伯特空间效应 [32,34]。这一概念框架确立纠缠有效探测相互作用粒子可访问的构型空间体积，在量子关联与系统有效维度之间建立了更深层的联系。除其内在兴趣外，这些模型还可以作为构建量子关联功能方法的基准，包括纠缠密度泛函和密度泛函理论的扩展 [35–39]。

此外，基础性研究表明，在强相互作用极限下，当系统达到各向同性极限时，纠缠熵表现出对数发散 [32,33]。这些工作确立了相对关联在相空间中可用空间是此类发散的主要驱动力，在纠缠特征与有限希尔伯特空间效应之间建立了概念联系 [32,34]。本研究在此基础上，考察此类关联在不同非对称性和局域外场下如何物理地重新分布。

在本工作中，我们呈现了 DMRG 对两个可区分相互作用粒子在一维谐振势中的系统研究。我们考察了相互作用强度、质量不平衡、阱频率非对称性、相互作用范围和粒子选择性局域势如何共同决定冯·诺依曼纠缠熵。我们分析的核心贡献是识别这些不同非对称性如何竞争以增强或抑制量子关联。特别地，我们表明质量不平衡对纠缠的影响强于阱频率非对称性，且局域势提供了一个能够极化粒子密度并减小其空间重叠的外部控制参数。此外，在特定参数范围内，场诱导极化反转了短程和长程相互作用的相对纠缠效率，产生了定性上不同关联区域之间的切换。通过将熵与密度差及单粒子相空间量联系起来，我们的结果提供了参数图，用于通过相互作用强度、阱频率比和局域势幅度的组合控制来识别相对高纠缠和低纠缠构型。

本文组织如下：第 II 节介绍模型哈密顿量和形式体系；第 III 节呈现 DMRG 方法和结果；第 IV 节总结主要结论和展望。

## II. 形式体系与背景

考虑一个由两个质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的量子粒子组成的系统，它们被限制在一维谐振阱中并通过势 $V(x_1 - x_2)$ 相互作用。完整哈密顿量为

$$H = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} - \frac{\hbar^2}{2m_2}\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \frac{1}{2}m_1\omega_1^2 x_1^2 + \frac{1}{2}m_2\omega_2^2 x_2^2 + \frac{1}{2}m_2\Omega^2 e^{-x_2^2/\sigma^2} + V(x_1 - x_2) \quad (1)$$

其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是粒子位置，$\omega_1$ 和 $\omega_2$ 标记约束频率。前两项对应动能，接下来两项对应谐振约束，第五项表示仅作用于粒子 2 的高斯势，其实验实现可通过空间聚焦的光学或静电势完成 [40]，其中 $\Omega$ 与相应电场的幅度相关。从实验角度来看，此类局域势在光镊（用于中性原子）或束缚离子和混合原子-离子系统中的聚焦静电势等平台上被精确实现。最后一项表示粒子间相互作用势，其可能是长程或短程的，取决于物理系统。我们可以说，这一通用哈密顿量可应用于广泛的物理设置，从具有库仑相互作用的束缚离子到准一维光学阱中的中性原子 [28,40,41]。

式（1）的哈密顿量可以方便地用无量纲变量重写，具体形式为

$$H = -\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} - \frac{1}{2\gamma}\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{\gamma}{2\alpha^2}x_2^2 + \frac{\gamma}{2\alpha^2}F e^{-\gamma x_2^2/\alpha^2\sigma^2} + \frac{\alpha\gamma}{\lambda}V\left(\frac{\gamma}{\alpha}(x_1 - x_2)\right) \quad (2)$$

其中 $\gamma = m_2/m_1$，$\alpha = \omega_1/\omega_2$，$\lambda = \sigma\omega_1\sqrt{m_1/\hbar}$。因此，$\gamma$、$\alpha$ 和 $\lambda$ 是无量纲参数。这一表示提供了理论研究中束缚粒子系统常用的有用尺度不变框架 [14,15,33,42–44]。在本文全文中，我们取 $\hbar = 1$ 和 $\omega_1 = 1$。

为了模拟粒子间相互作用，考虑两类相互作用势：对于长程相互作用，我们使用软库仑势

$$V(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \quad (3)$$

该势常用于描述降维中的离子-离子耦合 [33,44–48]。对于短程相互作用（典型于准一维阱中束缚的中性原子），我们采用平滑软核势：

$$V(x) = \frac{1}{\sqrt{(x/\lambda)^2 + 1}} \quad (4)$$

该势有效模拟了接触相互作用，并再现例如范德瓦尔斯力的物理 [49]。两种势在粒子重合时具有相同的值 $V(0) = 1$。

无量纲耦合 $\eta$ 描述排斥（$\eta > 0$）或吸引（$\eta < 0$）模型相互作用。对于中性原子系统，磁 Feshbach 共振调节低能散射性质和有效相互作用强度 [27]。对于给定离子对，库仑系数是固定的，不可通过 Feshbach 调节。对于软库仑模型，其相对于约束的强度可通过调节阱频率来改变：在式（3）的归一化下，$\eta = \frac{q_1 q_2}{a_0 \hbar \omega_1} \cdot \frac{\hbar}{\mu \omega_1^2}$，其中 $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$。因此，对于固定的电荷和质量，$\eta$ 与 $\omega_1$ 成反比。改变阱频率也可以修改其他无量纲参数，因此不一定再现单独的 $\eta$ 变化。吸引支 $\eta < 0$ 源于带相反电荷粒子间的库仑吸引。

通过总波函数 $\Psi(x_1, x_2)$，单粒子密度为

$$n_1(x) = \int |\Psi(x, x')|^2 dx' \quad (5)$$

$$n_2(x) = \int |\Psi(x', x)|^2 dx' \quad (6)$$

其中 $L$ 标记系统大小。粒子 1 的约化密度矩阵为

$$\rho_1(x, x') = \int \Psi(x, x'') \Psi^*(x', x'') dx'' \quad (7)$$

其本征值 $\lambda_i$ 给出冯·诺依曼纠缠熵

$$S = -\sum_i \lambda_i \ln \lambda_i \quad (8)$$

它量化了两个粒子之间的空间关联 [1,2]。等价地，Schmidt 分解

$$\Psi(x_1, x_2) = \sum_i \sqrt{\lambda_i} \phi_i(x_1) \chi_i(x_2) \quad (9)$$

其中 $\phi_i$ 和 $\chi_i$，导致 $\rho_1(x, x') = \sum_i \lambda_i \phi_i(x) \phi_i^*(x')$。

总之，式（2）的哈密顿量描述了两个具有四个无量纲模型参数的相互作用粒子：(1) 相互作用强度 $\eta$；(2) 质量比 $\gamma$；(3) 阱频率比 $\alpha$；(4) 外场幅度 $F$。通过改变这些参数，可以在对称和非对称约束、局域化和离域化区域或弱关联和强关联态之间连续移动。该模型为研究具有软库仑或软核相互作用的约束双粒子系统中的纠缠提供了框架，分别受到带电粒子和中性原子设置启发。此处，中性原子系统指两个束缚原子，不假设分子二聚体形成。扩展到混合原子-离子系统需要适当的具有长程尾部的相互作用，与 $1/x^3$ 成正比 [50]，留待未来工作。

在整个工作中，参数 $\gamma$、$\eta$ 和 $\alpha$ 以均匀增量 $\Delta\gamma$、$\Delta\eta$ 和 $\Delta\alpha$ 独立变化，实现了对质量不平衡、相互作用强度和阱非对称性对量子纠缠影响的受控和系统研究。

**粒子可区分性与交换统计。** 我们考虑两个可区分组成粒子，它们可能对应于不同物种、同位素或可区分的内部态分量。坐标 $x_1$ 和 $x_2$ 标记这些组成粒子，式（8）中的熵量化它们的双体纠缠。局域势选择性地作用于组成粒子 2；这种选择性假设了可区分性且本身不改变粒子的交换统计。

当 $\gamma = 1$ 且 $\alpha = 1$ 时，哈密顿量在坐标交换下不变，即 $H(x_1, x_2) = H(x_2, x_1)$。在此极限下，我们的数值程序明确投影到对称空间扇区。该投影与正则化哈密顿量的非简并基态一致，该基态交换对称且与受相同哈密顿量作用的两相同玻色子的空间基态一致。当质量或约束频率不同时，或当 $F \neq 0$ 时，该投影被禁用，空间波函数不受交换对称性约束。两相同自旋极化费米子所需的反对称空间扇区不在本研究中考察。

## III. 结果与讨论

本工作中呈现的所有数值结果均通过使用专为连续一维系统开发的 DMRG 算法获得。该代码使用式（2）的哈密顿量求解定态薛定谔方程。

对空间区域进行了均匀网格离散化，网格步长确保了波函数在区域边界处趋于零。算法并非对二体哈密顿量矩阵进行完全对角化，而是通过局部矩阵-向量乘法将哈密顿量算符直接作用于态向量上。总共执行了十次DMRG循环，在每次循环中，双分区态被表示为最大键维度为的MPS。奇异值分解（SVD）被用于获取施密特表示，最多保留241个奇异值。采用的能量变化停止判据为。参数分别决定了局域扰动的空间位置和宽度。在本计算中，它们被固定为和，而外控制则通过势振幅来实现。的有限值定义了一个平滑的局域势，可以可靠地在DMRG计算所用的空间网格上表示。在实验中，对该势有选择性地作用于粒子2可以通过物种选择性或内态依赖的光学势来实现，使得两个可区分组分经历不同的局域捕获景观。对参数和依赖关系的系统研究超出了本工作的范围。

在每次DMRG迭代中，二体波函数被重塑为矩阵形式，并分解为，其中是从SVD中获得的奇异值，分别是粒子1和粒子2的正交归一单粒子基函数。该展开在形式上等价于双分区纯态的施密特分解，提供了对纠缠谱的直接访问途径。平方奇异值对应于约化密度矩阵的特征值，并用于计算冯·诺依曼纠缠熵。单个主导奇异值表征一个可分离的非纠缠态，而几个相当的奇异值的出现则预示着强的双分区量子关联。

在图1中，我们展示了冯·诺依曼纠缠熵作为相互作用参数和质量比函数的演化，分别针对短程和长程相互作用，在两种条件下：无外场和施加弱局域电场。在所有情况下，陷阱频率被选为，以确保两个粒子经历相同的谐振曲率；因此，分析隔离了质量不平衡的影响。结果描述两个可区分粒子。在完全对称点和处，计算出的基态还可额外被识别为两个全同玻色子的空间基态。

图1. 质量不平衡效应：由公式(8)给出的冯·诺依曼熵，作为质量比和相互作用参数函数的变化，分别对应公式(3)和(4)中的短程和长程相互作用。考虑了两种具有有效参数和的电场。此外，我们令；即两个粒子都在相同的谐振曲率下被限制。结果描述两个可区分粒子。在完全对称点和处，计算出的基态还可额外被识别为两个全同玻色子的空间基态。交叉阴影区域突出了图中数值超出色彩标尺最大或最小限制的域，以增强视觉强调和对比度。

对于，纠缠模式根据相互作用范围和的符号表现出不同行为。对于吸引耦合，随着吸引增强，显著增加，反映了两个粒子之间空间重叠的增强。此效应在大时尤为显著，较重的粒子保持更局域化，而较轻的粒子围绕其去局域化，产生强烈的空间关联，从而得到更高的值（橙红色区域）。对于排斥耦合，纠缠也从低到中开始上升，但最终趋于饱和，因为粒子在空间上分开。随着的增加而持续上升，因为较轻的粒子探索了更宽的空间区域，部分补偿了重叠的减少。

当施加弱局域电场时，纠缠图发生了显著变化，反映了场诱导极化与粒子间关联之间的相互作用。对于吸引耦合，两种相互作用范围内的保持较大（红色区域）。对于排斥耦合，电场增强了空间分离并放大了两种相互作用类型之间的对比度。在短程情况下，随着增加而适度下降，因为电场和排斥作用共同将每个粒子局域在不同的区域，从而抑制了量子相干性。然而，在长程情况下，外场强化了类库仑排斥将粒子分开的自然趋势，产生了一个延伸至大值区域的宽阔低值域（蓝色区域）。在此区域中，系统变得强烈极化，空间分离主导了由去局域化引起的量子关联。

图1的最后两个面板展示了长程和短程相互作用获得的纠缠熵之差，定义为。虚线标记了等值线，分隔了长程相互作用产生更高（或更低（纠缠与短程情况相比的区域。对于，虚曲线左侧的区域对应于，表明对于足够强的吸引耦合，短程势产生略微更高的。这是因为在强吸引区域，短程耦合将两个粒子限制在一个狭窄的空间区域内，它们的波函数更高效地重叠，导致尽管相互作用具有局域性，但纠缠更高。然而，对于大部分参数空间——特别是对于排斥相互作用和大——长程相互作用占主导，产生。这种行为强化了一点：类库仑尾巴即使在粒子空间分离时也能维持关联。当施加外场时，的景观变得更加复杂且强烈不对称。第一虚线左侧和第二虚线右侧的区域——主要为蓝色——对应于，揭示在极化下，短程相互作用能产生比长程更强的纠缠。这种显著的翻转源于外场增强了空间不对称性：长程势对这种极化更为敏感，从而放大了粒子之间的空间分离并减少了它们的重叠。换言之，它不再促进去局域态，而是强化了电场引起的局域化。相比之下，短程势将两个粒子限制在势场最小值附近，保留了部分重叠，因此更高。在两个虚线边界之间，意味着在此中间区域，长程关联仍然占主导地位。这些图展示了相互作用范围、质量不平衡和外极化之间的相互作用如何定义了不同的域，在其中局域或去局域关联主导量子纠缠。

因此，对质量不平衡的依赖关系是依赖于区域的。在时，增加在两种相互作用的排斥区域部分都会增强熵，而在时，长程相互作用在较广排斥区域和较大处表现出明显的抑制。因此，偏离质量相等并不普遍抑制纠缠。

图2中展示的结果补充了图1的分析，首先显示了空间密度差，其次显示了每个粒子的相空间乘积之差，由公式(10)给出。这里使用的量是原始单粒子二阶矩的乘积，而非中心化的不确定度乘积。它们被用作空间与动量分布的结构指标。在局域势存在的情况下，粒子密度可能从陷阱中心偏移，因此不一定为零，也通常不与位置方差一致。

图2. 对于图1中考虑的情况，上方两个面板显示了作为位置和函数变化的密度差，其中。在下方两个面板中，我们展示了由公式(10)定义的，针对每种类型的相互作用。交叉阴影区域的定义同图1。

对于和，图2上方两个面板显示，短程势产生几乎对称的密度，围绕陷阱中心有小振荡，而长程势产生明显的极化，随着增加两个粒子被位移到相对两侧。这种由外场和非局域尾巴共同作用引起的分离减少了空间重叠，从而降低了纠缠，与图1中的趋势一致。图2下方两个面板显示了质量不平衡如何在两个组分间重新分配单粒子二阶矩乘积。结果符合从密度图和图1纠缠行为中获得的定性图像：和显著不同的区域通常对应于较弱的纠缠，而更平衡的相空间分布则与较大的相关。较大的值表明两个粒子具有显著不同的空间与动量展宽，其中一个组分在空间上更延展或动力学上更展宽。这种不平衡与极化构型及减弱的双分区相干性相关。相反，相当的二阶矩乘积表明单粒子相空间展宽分布更为平衡，并与更大的纠缠相关。

在图3中，我们展示了冯·诺依曼熵作为相互作用强度和陷阱频率比函数的变化，针对短程和长程相互作用。在无外场的情况下，两种情况下，都在对称约束附近及中等排斥耦合处达到最大值，此时谐振曲率相当，粒子发展出平衡的空间关联。当偏离1时，陷阱不对称性破坏了这种平衡：一个粒子变得越来越局域化，而另一个去局域化，导致减少。对于吸引相互作用，短程和长程势均表现出迅速增加，与吸引相互作用下更强的对局域化相关。在这些区域，交叉阴影（阴影）区域指示熵值超出色彩条标尺预设限制之处。这种视觉编码用于增强过渡区域的对比度。值得注意的是，与图1的比较表明在此几何不对称情况下总体纠缠较小，这表明变化（陷阱曲率不对称性）对量子关联的影响比前面讨论的质量不平衡机制更弱。

图3. 陷阱不对称性效应：由公式(8)给出的冯·诺依曼熵，作为频率比和相互作用参数函数的变化，分别对应公式(3)和(4)中的短程和长程相互作用。考虑了两种具有有效参数和的电场。为了单独测量陷阱不对称性的效应，我们考虑。结果描述两个可区分粒子。在完全对称点和处，配合，计算出的基态还可额外被识别为两个全同玻色子的空间基态。交叉阴影区域的定义同图1。

当施加外电场时，图3中所示的纠缠景观发生了明显的重新分布。对于短程和长程相互作用两者，当时的熵相比情况有所下降，反映了场诱导极化通过将单粒子密度移向陷阱的相对两侧来部分抑制量子关联。在短程情况下，在附近仍近乎对称，并且仅在排斥相互作用下表现出适度的增强，此时外场与约束不对称性相互竞争以平衡每个粒子的空间局域化。对于长程势，观察到类似趋势，但类库仑尾巴放大了场的效应，在附近产生了一个熵增强的窄区。值得注意的是，现在需要的显著变化（与情况相比）所要求的场强比图1中质量不平衡情况所用大了两个数量级，这表明仅几何不对称性与场诱导极化机制的耦合更为微弱。

图3的最后两个面板显示了相同参数集下的差值，突出了相互作用范围对纠缠的相对影响。对于（左图），虚线标记了条件。在其左侧区域（），意味着短程相互作用产生的熵略大于其长程对应情况，与图1中观察到的一致。对于排斥相互作用，占主导，因为长程势即使在较大分离时也能维持关联。当电场增加到（右图）时，出现了两个区域——一个在强吸引（ ）区域，另一个在强排斥（ ）区域。后者以蓝色调为主，尤为引人注目：尽管类库仑势具有非局域特性，但短程相互作用却产生了更大的 。这种反直觉行为（亦见于图1）源于强场极化与几何约束之间的相互作用，这种相互作用对长程情形下的空间重叠抑制更为有效，从而降低了其纠缠效率。在两条虚线边界之间， ，这意味着在该中间区域，长程关联仍然占主导。总体而言， 图强调了：虽然长程力通常更有利于强关联，但在外场或极端约束不对称条件下，其优势可能发生逆转。图4的上方两个面板展示了在短程和长程相互作用下， 和 时的空间密度差 。在这两种情形中，改变阱频比 会改变密度差的大小和空间结构。对于短程势（左图），密度不平衡保持中等且平滑分布，表明局域相互作用将两个粒子都限制在中心附近，同时仍允许部分空间重叠。相比之下，长程情形（右图）显示出更明显的极化，随着 的增加，两个密度分布的分裂更为强烈。这些特征直接与图3中观察到的熵行为相关联：在外场下，强排斥和长程耦合导致 受到抑制。图4. 针对图3中考虑的情形，上方两个面板显示了 与 的密度差，它是位置和 的函数，其中 。下方两个面板显示了每种相互作用类型下按式(10)定义的差值 。交叉阴影区域的定义与图1相同。与文献[32]中各向同性极限的分析一致，在排斥区域中，熵通常在 附近取值较高，而在较大的约束不对称性下取值较低，因为在该区域中，关联可用的相空间受约束不对称性的限制较小。然而，在所研究的参数范围内，改变质量比引起的纠缠熵变化比改变阱频比更为显著。图4下方两个面板展示了每种相互作用类型下的相空间差 ，按式(10)定义，说明了外场和阱不对称性如何影响单粒子二阶矩乘积。短程结果显示出更平滑的变化，并且两个粒子的数值更为接近。相比之下，长程情形在排斥耦合下 显著增加，表明其空间和动量展宽之间存在更大的不平衡。因此，图4强化了由图2获得的定性图像：相近的二阶矩乘积对应于更平衡的空间和动量分布，通常也对应更大的纠缠；而显著的不平衡则对应更弱的 和更极化的构型。这些关联仅针对此处比较的相互作用区域而言，并不构成纠缠的一般判据。特别地，相近的二阶矩乘积并不意味着非零熵，如 处的可分离基态所示。纠缠散度的相空间解释，如文献[34]所讨论，为解释图1–4的结果提供了更广泛的框架。虽然基础性研究利用这些散度来表征各向同性极限中的“可用空间”[32,33]，但我们采用二阶矩乘积不平衡 和密度差 作为由质量不平衡、阱频不对称性和局域势所引起变化的结构指标。目前的单粒子描述是对文献[32–34]中采用的相对坐标和质心坐标表述的补充。将相对坐标定义为 ，质心坐标定义为 ，为分析相互作用诱导的关联以及这些工作中讨论的熵行为提供了自然框架。然而，在本模型中，质量和约束不对称性以及粒子选择性局域势通常耦合相对运动和质心运动。因此，在这些坐标下进行完整的定量分析需要额外的计算。此处使用的单粒子二阶矩乘积应理解为补充性的结构指标。图1–4中的参数图提示了一种简单的准静态控制方案，用于在不同双体纠缠度构型之间切换。对于选定的一对可区分粒子，质量比 由所选种类或同位素确定。阱频比 和局域势振幅 在合适的实现中提供了外部控制参数。相互作用参数 的实验可调性取决于平台，如式(4)后所讨论。系统可以首先制备在接近平衡约束构型 附近，相互作用强度选择在熵相对较大的区域内。然后，可增加作用于粒子2的局域势以位移其密度并减小密度重叠，从而将系统驱动至低纠缠、极化的构型。反向斜坡则恢复较大重叠区域。密度差 和单粒子二阶矩提供了该切换过程的实验可测指标。此外， 图表明，局域场可以改变哪一种相互作用范围产生更大的熵，从而提供了基于场致极化与相互作用范围之间竞争的第二种控制机制。IV. 总结与结论在本工作中，我们分析了两个相互作用的粒子在一维谐振子阱中的量子关联，重点关注相互作用范围、阱不对称性和局域外场的联合效应。利用精确的DMRG计算，我们获得了在长程和短程粒子间相互作用下冯·诺依曼纠缠熵和单粒子密度的系统趋势。结果揭示了一个一致的物理图像，将空间重叠、阱几何结构和受限量子系统中的纠缠程度联系起来。最重要的是，粒子选择性局域势提供了一个切换参数，将高重叠、相对纠缠的构型与降低纠缠的极化构型连接起来，并且可以逆转短程和长程相互作用的相对纠缠效率。图1–4建立了一个统一的物理图像，说明了质量不平衡、阱几何结构和外场如何共同支配一维谐振子阱中两个相互作用粒子的空间结构和量子关联。对于两个可区分粒子，结果表明纠缠以依赖于区域的方式取决于质量和约束不对称性。这些不对称性可以增强或抑制熵，具体取决于相互作用强度、相互作用范围和外场振幅。在所研究的参数范围内，质量不平衡对纠缠熵的影响比阱频不对称性更为显著，强调了这两个控制参数的不同作用。特别地，当不对称性或极化减小粒子间的空间重叠时，纠缠通常受到抑制。长程相互作用在广泛参数区域内通常维持更强的关联，但当外场或几何不对称性强烈极化密度时，其纠缠优势可能被逆转。密度差 和二阶矩乘积不平衡 （图2和图4）提供了关于熵图（图1和图3）中识别区域的结构性补充信息。在所讨论的相互作用区域中，显著的不平衡通常伴随纠缠的减小，尽管这些观测量本身并不能确定熵。这些发现强调了几何和场致不对称性可用于操纵受限二粒子模型中的纠缠，从而激励在合适的中性原子或带电粒子设置中探索相关的控制协议。本工作的未来扩展可能包括含时外场以研究纠缠动力学和控制协议、自旋自由度的引入，以及推广到可能出现集体效应的三体或多组分系统。将DMRG结果与含时密度泛函理论方法进行基准比较，并设计纠缠熵的有效泛函，从而连接多体方法和量子信息框架，也将是有趣的。本文呈现的结果有助于统一理解相互作用范围、几何结构和外部控制如何共同决定低维量子系统中量子关联的结构。