具有可调斯格明子纹理的时空电子波包

《APS Open ScienceNEW》：Space-time electron wave packets with tunable skyrmion textures

　　时空波包（STWPs）展现了许多非平凡的特性，例如可调的群速度、非衍射性以及光场中的非局域自旋结构。然而，这些特性在物质波中尚未得到充分研究。在这里，我们研究了自由电子STWPs，它们是一种传播不变的、且群速度可调的物质波包，通过限制电子波函数在动量空间的时空谱来构建。由于自由电子独特的色散特性，电子STWPs能够携带两种不同的拓扑结构，并在动量空间中呈现出meron和skirmion这两种拓扑纹理。我们通过光谱几何调节展示了拓扑相变和可调的skirmion数量。我们还展示了电子脉冲的拓扑鲁棒性传播，以及每个单个电子波函数中编码的相应实空间skirmion期望值结构。我们的结果为拓扑自由电子波包在传感和信息传输中的应用开辟了一个新平台。

**I. 引言**

结构化的自由电子波已成为控制量子物质波的一个可靠而强大的平台，使得能够产生携带角动量的电子涡旋束[1–4]，以及用于显微镜和光谱学的形状化电子波包[5–7]。然而，单个自由电子波包仍然受到诸如衍射扩散、色散和时间衰减等问题的根本限制，这些限制了自由电子-光子相互作用中的相互作用长度，成为电子光学应用中的持续瓶颈[8–10]。此外，自由电子具有内在的自旋自由度，这从根本上限制了为单个电子创造自旋结构的可能性[11]。这样的自旋结构可以提供快速的自旋滤波器，用于从相互作用哈密顿量中的Hund交换项测量材料自旋结构[12,13]（见补充材料第F节[14]），而无需复杂的矢量重构或样品倾斜。

最近，时空波包（STWPs）是一类新兴的结构化波，它们具有相关的空间和时间自由度，赋予了波明确的、可调的群速度，并且对普通衍射和色散具有很强的抵抗力[15–32]。通过使用超表面在动量空间中印制偏振纹理，还展示了光学STWPs可以携带非衍射的meron[33]；而通过光子晶体板也实现了相关的动量空间meron[34,35]。Meron是一种半skirmion，是一种最初在核物理学中引入的拓扑非平凡自旋结构，此后在其他领域中也得到了实现[36–46]。skirmion纹理的关键特点是其拓扑鲁棒性，使其在稳定传输和信息编码方面具有吸引力[47–49]。在光学STWPs中，光锥的基本结构使得meron成为唯一自然存在的拓扑结构。然而，非相对论性自由电子遵循二次色散关系（见图1(a)）在色散表面上。这使得自由电子STWPs可以是非衍射的、非色散的，具有可调的群速度，并且在动量空间和相应的实空间波函数中可以承载完整的或半skirmion拓扑结构。这样的实现为自由电子提供了全新的自由度。

**图1.**
(a) 动量空间skirmion的构建使用了(b)空间中的封闭光谱环。(c) 光谱平面与色散表面的交点给出了最低点（称为载体），以及另一个点。它们之间的差异是。当是允许的最大组成电子平面波能量时，我们在文本中将该点表示为。(d)–(f) 通过产生在平面中抛物线投影的交点可以获得merons。

在本文中，我们通过工程化二次色散关系上的时空谱来展示这种非相对论性自由电子STWPs的构建方法。我们展示了尽管这种构建具有传播不变性，但它也支持动量空间中的skirmions和merons，并进一步推导了它们之间的解析拓扑相变。在实空间中，我们展示了在扩展的传播距离后，传播不变的skirmion和meron纹理在局部自旋期望值（SEV）中的存在性，这些纹理保持稳定。这为实现实空间拓扑结构在自由空间中不变传输的拓扑化电子波包铺平了道路，可用于传感和信息传输。

**II. 结果**

为了构建电子STWPs，自由电子的色散关系由封闭系统中的薛定谔方程的解给出，表示为，其中和是基本电子的动量和质量。在本文中，出于分析计算的需要，和都被视为1。以平面形式的光谱约束在角度与色散表面相交，赋予电子波包一个明确的群速度[图1(a)]。这个交线被称为光谱支撑曲线，可以投影到平面上[图1(b)]，它与光谱平面至少有一个交点。我们将这个最低频率称为载体频率，如图1(c)所示。通过调节参数和（光谱平面的倾斜角度），可以在和平面上得到不同的光谱投影[图1(d)–1(f)]。在本文中，我们关注的是具有高于载体群速度的超光速电子。

这些投影形成了电子平面波应具有的能量-动量关系，以形成单个电子STWPs。引入维度后，图1(b)和1(e)中的曲线被旋转成动量空间中的三维（3D）表面。三维表面的不同拓扑结构，无论是封闭的还是开放的，分别用于形成动量空间skirmions和分数skirmions。这是由于动量空间表面覆盖了整个布洛赫球或布洛赫球的一部分。下面将详细介绍这一点。首先，我们基于光谱空间的三维拓扑和给定的最大电子能量，给出了动量空间merons和skirmions能够存在范围的解析描述。

为了研究拓扑结构，我们将载体波数和群速度的值作为自由参数。首先，通过施加条件，使得光谱平面恰好在载体频率处与色散表面相交，得到了电子波包必须具有的最低群速度，以获得封闭的动量空间表面。这等同于色散表面在点处的梯度。为了使电子波包承载动量空间skirmion，群速度必须满足方程(1)。

同时，存在一个上限，超过这个上限后只能获得开放的动量空间表面，因此只能承载merons。分析的起点取决于构成波包的给定最大电子能量。我们注意到，当光谱平面恰好在和处切割色散表面时，可以承载skirmion的最大群速度，其中是光谱平面可以切割色散表面的最大纵向波数值[图1(c)及相应图例，见图2]。这直接导致了方程(2)中的约束。merons和skirmions的两个群速度约束在图2(a)中可视化。

在可以承载skirmons的区域内，由跨越的封闭三维表面也具有对群速度和载体频率的大小依赖性。这种大小依赖性由光谱平面与色散表面相交的两个值之间的差异捕获[图1(c)]。这些点由和方程(3)给出（见补充材料第A节[14]）。

图2. (a) 在电子STWPs中承载动量空间skirmion和meron的允许参数空间。彩色图表示动量空间中的纵向光谱线宽，白色和黑色星号分别用于skirmion和meron的实空间计算。插图：作为群速度和载体波数函数的纵向光谱线宽。所示的在没有限制的情况下测量。(b) 对于载体波数为的群速度区域，使用光谱倾斜角度显示。(c) 电子STWPs的传播不变性可以通过脉冲从移动到时峰值强度（蓝线和轴线）几乎不变的可见性来看出。为了清晰起见，概率幅度图按比例缩放，并在实验室坐标系中显示。

图2(a)上的彩色图描绘了不同群速度和载体波数值下的动量空间表面的不同大小。对于更高的值，较低的具有负的纵向光谱线宽，仅仅是因为在光谱平面中定义的交点将是最大值而不是最小值。这是亚光速电子的区域，其中群速度低于图1(c)中的群速度。对于更高的，尽管高能量电子也应被相对论性地处理，但在达到拓扑相变成为动量空间meron之前构造动量空间skirmion将变得越来越困难。

在可以承载skirmons的范围内，固定的与更大的群速度相结合会产生动量空间中skirmon的更小尺寸[图2(a)，插图]，这直接影响了合成整个单个电子波包所需的电子平面波的光谱要求。实际上，在STWPs的合成中这种光谱范围的差异可以在实空间的概率分布中直接观察到。保持，群速度被调节以构建不同的动量空间表面，并验证了由分析推导给出的边界。白色星号用于构建skirmon，黑色星号用于构建meron。图2(b)显示了为了清晰起见，使用光谱倾斜角度而不是群速度。

在动量空间表面上使用允许的平面波分量构建电子波函数足以创建传播不变且非衍射的电子STWPs[见图2(c)，蓝线和轴线是叠加在概率幅度图上的强度]。然而，这样的标量STWPs构建在动量空间表面缺乏矢量结构。因此，我们现在详细说明如何构建动量空间skirmions和merons。我们使用非相对论性电子旋量，并将其施加到动量空间表面上的每个点。实际上，这形成了一个动量空间skirmion（类似于参考文献[33]中的动量空间meron），而在实空间中，它形成了由动量-旋量耦合的平面波组成的传播的局部化电子波包。

旋量被定义为如方程(4)中的两分量正交态，这导致布洛赫球上的向量被定义为。在这里，分别是涡度和螺旋度。在本文中，分别设置为1和0。我们为动量空间skirmons采用极性1，为动量空间merons采用极性-1（见补充材料第C节[14]）。

由于电子自旋是一个内在量，我们研究了实空间中电子波函数的局部SEV，由给出，其中是实空间波函数。是来自动量空间表面上每个点的每个组成平面波的振幅，是对应于的分量。的控制方程理想上是泡利方程，但在没有磁场的情况下，这是一个满足独立薛定谔方程的两分量场。我们定义了向量，它是局部规范化的SEV[方程(5)]，并指出这些信息包含在每个单个电子波函数中。

skirmions和merons的构建是在动量空间中完成的，而方程(5)用于研究实空间概率分布。现在转向实空间中的行为，我们将三个泡利矩阵的期望值投影到平面上[图3(a)和3(b)分别对应skirmions和merons]。对于skirmon SEV，从红色到蓝色的径向转变表示中的平面外分量的反转，以及布洛赫球的全极覆盖。相比之下，meron SEV并不表现出从头到尾的覆盖性。图3显示了电子波函数的实空间结构。(a)和(b)分别展示了在共动参考系中斯格明子和meron SEV的时空结构。SEV通过局部概率幅度进行了归一化。(c)是斯格明子的实空间SEV，(d)是meron的实空间SEV。平面内的箭头表示和的方向，而颜色图和图例则表示的方向。插图：嵌入了斯格明子和meron结构的电子脉冲的概率图，按比例缩放。

接下来，我们在平面上绘制了SEV（分别见图3(c)和3(d)中的斯格明子和meron SEV）。对于斯格明子，波包的中心完全朝向正方向，高概率区域的末端具有期望值。对于meron，高概率区域的末端则给出。有趣的是，这些纹理显示出螺旋度的相位移动（见图3(c)和3(d)）。在动量空间中的Néel斯格明子会在实空间中产生Bloch SEV，其原因是一个额外的因子。直观地说，动量空间中的因子被映射到实空间中的。因此，整数缠绕和纹理的拓扑特性通过斯格明子数得到了保留，但额外的相位将平面内的自旋方向旋转了。这解释了观察到的螺旋度偏移（见图4）。傅里叶变换通过贝塞尔函数重新塑造了径向轮廓（更多细节见补充材料的第B部分[14]）。斯格明子和meron的局部SEV的存在允许在实空间中计算斯格明子数[方程(6)]，该计算利用了每个单独电子波函数中编码的信息。

由于电子的STWP遵循和的线性关系[图1(c)和1(f)]，物质波包在大距离上传播时是不变的。因此，测量实空间中斯格明子数的传播不变性是非常重要的，这一点在图5中为斯格明子展示了。传播不变性的测量通过两种方式进行：首先，通过改变载波频率和波数；其次，通过调节群速度。图5显示了这两种测量结果。重要的是，所有斯格明子在大距离上传播时都是不变的，这在任何显著衰减发生之前就已经得到证明，这直接表明嵌入在电子STWP中的可调结构在相对较长的距离上传播是不变的。不同群速度和载波波数下的大距离衰减差异是由于有限的光谱权重造成的。理想的STWP将在所有距离上显示出完全平坦的轮廓。最近在光学STWP中也已经产生了时空meron纹理[33]，这些纹理也自动从STWP的构建中继承了传播不变性。

图4显示了动量空间中的3D斯格明子旋量纹理与其在实空间中经过傅里叶变换后的对应物之间的关系。由于额外的项，存在螺旋度偏移，其中是缠绕数（见补充材料的第B部分[14]）。是旋量纹理在动量空间中的螺旋度，是实空间中的螺旋度。

图5。(a)对于不同的载波波数，群速度下的斯格明子SEV的传播不变性；(b)作为群速度函数的斯格明子SEV的传播不变性。

在实验中，最近在电子波形塑造[1–3,5,6]方面的进展可以用来塑造电子波包的时空谱。为了在动量空间中的自由电子平面波上印制旋量纹理，可以利用磁场来给出概率分布，并实现完整的或半个布洛赫球面。这项工作是自由电子色散关系中频率对动量二次依赖性的一个普遍性质。对于其他波，也可以使用准粒子固有的伪自旋自由度[50,51]。

III. 结论

总结来说，我们证明了可以使用非相对论性的自由电子物质波来创建在自由空间中传播的STWPs，并且可以使用电子旋量来构建通过群速度和载波波数可调制的传播不变的动量空间拓扑纹理。在高群速度下，动量空间表面只能容纳merons，因为通过光谱平面和色散平面的交集无法直接得到封闭的动量空间表面。然而，在较低的群速度下，自由电子色散的抛物线性质自然允许在( )空间中形成封闭的球面。封闭的动量空间结构允许构建动量空间斯格明子，并形成类似布洛赫球面的结构。通过这种特定的调整，我们展示了在实空间中生成具有螺旋度相位移动的持久斯格明子SEV结构的可能性。

本文揭示了一类具有拓扑波函数和电荷的新类型自由空间波包，其拓扑结构可以独立调节，而不需要依赖材料带结构。由于这种拓扑信息存在于实空间中，这可能是一种新的、稳健的信息传输方式，适用于物质传输和传感应用。

时空波包结构自动继承的另一个特性是自愈性[52]，这使得这里提出的斯格明子和meron SEV即使在小的扰动下也能在大距离上传播。这种方法在STWP和结构化物质波之间架起了一座桥梁，并且所提出的系统也可能为研究物质波中的可调拓扑纹理提供一个平台，超越了通常通过玻色-爱因斯坦凝聚态进行的研究方法[53–57]。据我们所知，这是第一个通过电子的局部SEV展示的单电子波包在自由空间中传播的斯格明子，我们断言这仍然是一个单电子态。我们的工作为与现有的关于光学斯格明子和自由电子行为的文献相结合打开了多种可能性。这样的电子斯格明子波包可能与自由电子量子光学、自由电子-光子相互作用、自由电子纠缠、显微镜技术、自由电子-物质相互作用以及由自由电子产生的过渡辐射和光有关[58–64]，同时也可能为未来的信息编码和传输方案提供支持。