考虑相干同步辐射效应的弧形束团压缩器设计

《Physical Review Accelerators and Beams》：Arclike bunch compressor design with coherent synchrotron radiation effects

　　

弧形束团压缩器是循环加速器直线加速器、能量恢复直线加速器和高亮度光源中的重要组成部分。然而，其设计因纵向非线性光学效应和相干同步辐射（CSR）而变得复杂，其中既包括弯曲磁铁中的稳态CSR（ss CSR），也包括其后漂移段中的CSR（dr CSR）。这些效应会降低纵向压缩质量，产生电流尖峰，并诱发横向发射度增长。在本工作中，我们开发了一种分析模型，用于在不依赖小角度近似的条件下评估复杂弧形压缩器中的CSR效应。所提出的方法同时包含了ss CSR和dr CSR的贡献，并应用于抑制CSR引起的横向位移以及非线性压缩下的纵向匹配。基于这些方法，设计了一种采用非对称四弯消色结构的两级弧形压缩器。数值模拟表明，所提出的压缩器能够将100 pC的束团压缩至接近50 fs，同时保持可忽略的发射度增长。该分析模型还被进一步用于研究CSR引起的压缩过程修正，包括均方根束团长度和峰值电流行为。与bmad模拟的基准对比显示出良好的一致性，证实了该模型作为压缩器设计和优化工具的有效性。

一、引言

弧形束团压缩器广泛用于环形机器中，如循环加速器直线加速器（RALs）、能量恢复直线加速器（ERLs）和高亮度同步辐射源[1–4]。在束团压缩过程中，需要解决两个主要问题：偏转束线中的纵向非线性光学效应和相干同步辐射（CSR）效应。束团经过加速段后，会产生非线性能量展宽。这种非线性能量展宽会恶化束团的纵向质量，对最终压缩比产生不利影响，并导致束团尖峰的形成[5]。对于常规直线加速器，可以通过引入高阶谐波腔来实现束流的线性化，从而减轻非线性能量展宽带来的影响[6]。然而，对于具有循环线的机器，尤其是ERL，减速用的高阶谐波腔可能影响直线加速器的光学设计和能量回收效率。一种更常见的方法是调节弧形段中的六极磁铁来控制压缩后束团的纵向质量[4,7]。对于CSR效应，束团横向平面的质量退化主要源于CSR引起的位移所导致的发射度增长[8]。抑制CSR引起的发射度变化的主要方法有两种：(i) 使偏转束线出口处的相空间与CSR效应引起的位移对齐[9–11]。(ii) 通过专门的束线设计最小化CSR效应引起的位移[12,13]。在大多数情况下，CSR引起的位移无法完全抵消，因此通常将两种方法结合使用。

CSR引起的横向位移通常使用踢击点方法[11]或积分方法[14]进行评估，这使得若干种CSR抑制压缩器设计得以实现[12,13,15]。然而，它们在弧形压缩器中的应用仍面临重要限制。简单的DBA（双弯消色）布局通常不足以同时实现非线性光学校正和强纵向压缩，因此需要更复杂的MBA（多弯消色）或多DBA结构。在这样的格构中，尤其是大弯曲角度的情况下，小角度近似可能导致不可忽略的误差，应避免使用。此外，之前的弧形压缩器研究主要考虑稳态CSR（ss CSR），而对于超短束团，其后漂移段中的CSR（dr CSR）可能变得重要。尽管dr CSR在蛇形压缩器中已有研究[16,17]，但在弧形压缩器中的处理由于格构几何复杂而更为复杂。

另一个重要问题是束团压缩器中的CSR引起的纵向效应。广义纵向匹配模型被广泛用于直线加速器的快速优化[18]，并已扩展到多程ERL等复杂系统[19]。然而，这些模型通常忽略CSR，目前仍缺乏一个对CSR修正纵向压缩的良好定义的分析模型。因此，传统研究依赖于多粒子追踪代码，如elegant [20]、ocelot [21]、impact [22]和bmad [23]。尽管这些工具提供了高精度，能够处理复杂格构，但它们计算代价昂贵，尤其在100 MeV以上，横向和纵向动力学虽然大部分解耦，但完整的3D追踪仍然演化完整的横向相空间。为了提高效率，一维代码litrack被开发用于具有光学压缩和ss CSR效应的纵向匹配[24]。包含所有CSR效应的一维快速例程以及基于多项式展开且具有潜在回溯能力的模型也已被提出并与3D模拟进行了基准对比[25,26]。然而，这些一维模型主要设计用于具有常规C型蛇形结构的直线型加速器，通常无法重现更复杂弧形格构的3D模拟结果。

基于上述讨论，本研究中的弧形压缩器设计包含两个主要部分。第一部分聚焦于抑制CSR引起的横向膨胀。压缩器被分为前级和后级两部分。由于CSR退化对于更短的束团变得更强，因此只有后级压缩器被纳入横向CSR优化中，束团长度被约束为沿参考路径单调递减。根据文献[27]，我们提出了一种方法来计算一般压缩器格构中ss CSR和dr CSR引起的横向位移。前级压缩器主要提供所需的压缩，压缩比较小，因此其横向CSR效应与后级相比可以忽略。

第二部分涉及非线性光学和CSR效应下的纵向匹配。我们提出了一种分析模型来评估CSR引起的纵向压缩修正，同时包含ss CSR和dr CSR，对数值追踪的依赖较小，并与模拟结果良好一致。结合文献[18]中的广义纵向匹配模型，该分析模型被用于研究所提出压缩器中的非线性压缩。

论文组织结构如下：第二节介绍横向CSR抑制方法。第三节给出两级非对称QBA弧形压缩器的设计，并通过模拟验证了压缩至接近50 fs时发射度增长可忽略。第四节提出基于CSR的纵向匹配模型。第五节将分析模型应用于非线性压缩，同时使用高斯束团和实际束团分布，并将结果与模拟进行基准对比。第六节总结工作并推荐设计工作流程。

二、压缩器中的CSR效应

在本节中，考虑了ss CSR和dr CSR。对于束团中任意纵向位置$s$，CSR引起的位移可以表示为

$$\Delta x = \int_{z_1}^{z_2} M_{x z} \left|_2 \frac{d\delta}{dz} dz \right|_1 \tag{1}$$

$$\Delta y = \int_{z_1}^{z_2} M_{y z} \left|_2 \frac{d\delta}{dz} dz \right|_1 \tag{2}$$

其中，$s$表示沿参考路径的位置，下标$1$和$2$分别表示束线入口和出口，$M$表示传递矩阵元素，上标$2$表示从$1$到$2$的传输。CSR引起的相对能量偏差用$\delta$表示。其单位路径长度的局部变化量为$\frac{d\delta}{dz}$。随着束团被压缩，线密度增加，$\frac{d\delta}{dz}$的量级通常会增大。在后续讨论中，式(1)和(2)的左边被称为"CSR踢击"。然后，为了简化优化过程，基于传递矩阵的辛性质，式(1)和(2)可以被替换为[27,28]

$$\Delta x = \int_{0}^{L} M_{x z} \left|_r \frac{d\delta}{dz} d\tilde{s} \right|_1 \tag{3}$$

$$\Delta y = \int_{0}^{L} M_{y z} \left|_r \frac{d\delta}{dz} d\tilde{s} \right|_1 \tag{4}$$

注意，$\tilde{s}$是本研究中反向束线的位置索引；它表示从束线出口$2$到任意点的相对距离。它满足$\tilde{s} = L - s$，其中$L$是束线的总长度。使用$\tilde{s}$避免了重复计算残差前向矩阵$M$，将CSR权重评估的计算复杂度从$O(N^2)$降低到$O(N)$，这可以显著提高优化过程的效率[29]。

此外，束团中任意纵向切片索引$s$在压缩过程中会变化。因此，我们使用切片索引$\eta$，其中$\sigma_z$是均方根束团长度。对$\eta$也应用相同的替换。可以直观地证明，当只考虑线性压缩时，切片索引$\eta$（以及$\xi$）是不变量。

**A. ss CSR踢击抑制**

在从$s$到$\tilde{s}$的替换下，ss CSR引起的$\frac{d\delta}{dz}$为

$$\frac{d\delta}{dz}\bigg|_{ss} = \frac{r_e}{\rho^2 \gamma^2} \int_{\eta}^{\eta_{tail}} (\eta - \eta') \lambda_0 \left|_0 \left(\eta' \right) d\eta' \tag{5}$$

其中

$$\frac{d\delta}{dz}\bigg|_{ss} = \frac{1}{\rho} \int_{0}^{L} \frac{dr}{d\tilde{s}} \frac{d\delta}{dz}\bigg|_{ss} d\tilde{s} \tag{6}$$

式(5)可以按照卷积积分的形式表达为更常用的形式。这里，$r_e$是经典电子半径，$N_e$是束团中的电子数，$\rho$是偶极磁铁的半径，$\gamma$是相对论因子，$\eta_{tail}$是束团尾部的切片索引，$\lambda_0$是束团的归一化纵向分布，满足$\int_{-\infty}^{\infty} \lambda_0 d\eta = 1$。因此，$N_e \lambda_0$给出束团的电子数线密度分布。式(6)中定义的函数$\frac{dr}{d\tilde{s}}$在线性压缩下保持不变，仅由束团的纵向分布决定。通过将式(5)代入式(3)和(4)，可以计算束线出口$2$处任意$\eta$的ss CSR踢击。在设计过程中，通常将束线中偶极磁铁的磁场设为均匀，而式(3)和(4)现在仅涉及与$\eta$相关的三个变量：$\frac{d\delta}{dz}$和$\eta$。当只考虑线性压缩时，$\eta$为

$$\eta = \frac{\delta - \langle\delta\rangle}{\sigma_\delta} \tag{7}$$

其中$\sigma_\delta$是束团的均方根能量展宽，$\langle\delta\rangle$是能量啁啾。此外，对于消色结构，$\frac{dr}{d\tilde{s}}$满足以下关系：

$$\frac{dR_{56}}{d\tilde{s}} \bigg|_{0} = R_{56} \tag{8}$$

$R_{56}$是束线的总$R_{56}$。式(8)中所述关系的证明可以在附录A中找到。根据所选的参考束团长度，压缩比$C$定义如下：

$$C = \begin{cases} \sigma_{z,0} / \sigma_{z,2} & \text{(情况A)} \\ \sigma_{z,0} / \sigma_{z,1} & \text{(情况B)} \end{cases} \tag{9}$$

这些情况对应不同的优化场景。情况A适用于目标束团长度固定的场合。当初始束团长度固定或$R_{56}$受到严格约束时，例如在解压缩器设计中，情况B是首选形式。

对于情况A，ss CSR踢击可以表示为

$$\Delta x_{ss} = C_x \int_{0}^{L_{bend}} \frac{dr}{d\tilde{s}} d\tilde{s} \tag{10}$$

$$\Delta y_{ss} = C_y \int_{0}^{L_{bend}} \frac{dr}{d\tilde{s}} d\tilde{s} \tag{11}$$

其中

$$C_x = \frac{r_e N_e}{\rho \gamma^2 \sigma_\delta \sigma_{z,2}} \cdot \eta, \quad C_y = \frac{r_e N_e}{\rho \gamma^2 \sigma_\delta \sigma_{z,2}} \cdot \xi$$

积分上限$L_{bend}$表示积分被限制在弯曲磁铁内的区域，因为ss CSR仅存在于偶极磁铁内部。式(10)和(11)中积分项的系数沿束线为常数，仅取决于格构参数和目标束团长度。尽管相关研究表明CSR引起的效应可以通过特定的纵向分布来抑制[30]，但在大多数实际场景中，这些系数无法降低为零。

为了使任意$\eta$在$\tilde{s}$处的ss CSR踢击接近于零，需要满足以下条件：

$$\int_{0}^{L} \frac{dR_{x1}}{d\tilde{s}} \frac{dr}{d\tilde{s}} d\tilde{s} = 0 \tag{12}$$

$$\int_{0}^{L} \frac{dR_{x2}}{d\tilde{s}} \frac{dr}{d\tilde{s}} d\tilde{s} = 0 \tag{13}$$

**B. dr CSR踢击抑制**

对于dr CSR，仅考虑束团长度较短的情况。这意味着束团长度满足条件：$\sigma_z \ll \rho/\gamma^2$。在此近似下，随后漂移段中CSR引起的附加能量展宽可以表示为[27]

$$\frac{d\delta}{dz}\bigg|_{dr} = \frac{r_e N_e}{\rho^2 \gamma^3} \frac{1}{\sigma_z^3} \int_{0}^{s'} (s' - s'') \lambda_0 \left|_0 \left(\frac{s''}{\sigma_z}\right) ds'' \tag{14}$$

这里，$s'$表示从弯曲出口到下游漂移中观测点的距离，$\frac{d\delta}{dz}$定义为

$$\frac{d\delta}{dz}\bigg|_{dr} = \frac{2}{3} \frac{r_e N_e}{\rho^2 \gamma^3} \frac{1}{\sigma_z^3} \left(\frac{s'}{2} - \frac{s'}{2} \right) \int_{0}^{s'} (s' - s'') \lambda_0 \left|_0 \left(\frac{s''}{\sigma_z}\right) ds'' \tag{15}$$

同时，忽略漂移中的速度压缩，因此非弯曲区域中的$\sigma_z$保持不变。并且式(14)和(15)中的$\frac{d\delta}{dz}$保持不变。然后从式(3)和(4)，dr CSR踢击可以表示为

$$\Delta x_{dr} = \sum_{k=1}^{N_{bend}} \int_{0}^{d_k} \frac{dR_{x1}}{d\tilde{s}} \bigg|_{k} \frac{d\delta}{dz}\bigg|_{dr,k} d\tilde{s} \tag{16}$$

$$\Delta y_{dr} = \sum_{k=1}^{N_{bend}} \int_{0}^{d_k} \frac{dR_{x2}}{d\tilde{s}} \bigg|_{k} \frac{d\delta}{dz}\bigg|_{dr,k} d\tilde{s} \tag{17}$$

下标$k$表示反向束线第$k$个弯曲后的物理量。注意，由于我们正在优化反向束线，反向束线的参考轨道与实际束流轨迹相反。因此，参数$d_k$应由反向束线的第$k$个弯曲确定。关于反向束线的详细信息将在后续章节中介绍。

类似于式(9)中的两种情况，上述方程中的$\eta$也可以分为两种情况：

$$\eta = \begin{cases} \frac{\delta - \langle\delta\rangle}{\sigma_{\delta,2}} & \text{(情况A)} \\ \frac{\delta - \langle\delta\rangle}{\sigma_{\delta,1}} & \text{(情况B)} \end{cases} \tag{18}$$

根据式(16)和(17)，为了完全抵消dr CSR踢击，反向束线需要满足以下两个条件：

$$\int_{0}^{L} \frac{dR_{x1}}{d\tilde{s}} \bigg|_k \frac{d\delta}{dz}\bigg|_{dr,k} d\tilde{s} = 0 \tag{19}$$

$$\int_{0}^{L} \frac{dR_{x2}}{d\tilde{s}} \bigg|_k \frac{d\delta}{dz}\bigg|_{dr,k} d\tilde{s} = 0 \tag{20}$$

对于满足上述条件的束线，dr CSR踢击的影响将显著降低。

综上所述，本节将文献[27]中的CSR踢击抑制方法扩展到了束团压缩器。在反向束线优化框架内推导了ss CSR和dr CSR踢击的广义抑制条件。与文献[27]中考虑的等时结构不同，束团压缩器必须满足规定的出口束团长度这一附加约束。因此，将反向优化锚定在出口束团参数上为压缩器设计提供了更合适且高效的策略。

三、弧形压缩器的线性光学设计

在本节中，重点放在抑制压缩器中的CSR踢击上。按照本研究采用的约定，蛇形压缩器具有$R_{56} < 0$，压缩需要初始啁啾，其中束团头部的能量低于尾部。

头尾相互作用（如CSR和空间电荷（SC））会增加波头的能量并降低波尾的能量，从而在束团中心附近诱导出一个与初始啁啾相反的局部啁啾。因此，由此产生的局部压缩因子和峰值电流都会减小。相反，拱形压缩器可以在的情况下工作。在这种情况下，相同的头尾相互作用诱导的局部啁啾会增强压缩，从而增加局部压缩因子和峰值电流，如图1所示。图1. 头尾相互作用对相反符号下的压缩的影响。左图：具有 的拱形压缩器；右图：按照本研究的约定，具有 的蛇形压缩器。蓝色曲线为初始纵向分布，紫色和红色曲线分别为无头尾相互作用和含头尾相互作用时的压缩后分布。头尾相互作用在 情况下增强局部压缩，在 情况下减弱局部压缩。

尽管拱形压缩器的 可以调整为正值，但不推荐此构型，因为它在最后一个弯转处会产生显著的解压缩，特别是对于具有大偏转角的结构，并因此可能诱导出强烈的且可避免的集体效应。由式（12）、（13）、（19）和（20）中的条件所支配，优化过程严格针对线性光学。对于任何压缩器，压缩因子可以表示为 （21）其中下标 或 分别代表束流线入口或出口的参量。 对应压缩，而 对应解压缩。对于多级压缩器，2 总压缩因子 可表示为 （22） 是 级压缩器的压缩因子。在大多数情况下，末级压缩器具有更大的压缩因子，这意味着该级的CSR影响更为显著。

先前的研究表明，非对称DBA（分散消除弯转消色差）晶格具有抑制ss CSR脉冲的卓越能力[12,13]。然而，由于结构限制，DBA架构无法在单个DBA单元内有效抑制dr CSR脉冲。此外，二阶项 对于二阶无色差DBA单元是固有固定的（见附录B）。因此，缓解非线性压缩的不利影响需要修改DBA的线性光学设计。基于先前的研究[27]，QBA（准弯曲消色差）结构具有高度的灵活性，使其能够同时满足特定的 要求3并实现ss CSR和dr CSR脉冲的抑制，同时满足各种其他晶格约束。此外，与等时结构不同，序列段中的CSR脉冲幅度显著更大。因此，类似于先前的DBA设计，本工作中采用了非对称QBA构型。

拱形压缩器被分为两个部分。第二部分，称为末级压缩器，负责将束团压缩至目标长度，在此阶段CSR诱导的效应变得非常显著。相反，预级压缩器提供初始预压缩，同时补偿所需的总偏转角。由于此阶段的束团长度变化相对较小，CSR脉冲的消除在等时近似下进行处理。在本设计中，采用了具有 矩阵的双三次弯转消色差（TBA），该结构原则上可以在等时晶格中完全抑制CSR脉冲[31]。

如第二节所讨论的，所提出的设计侧重于反向束流线，如图2所示。与实际的束流传播方向（虚线）相反，在优化过程中束团以反向进行跟踪（实线）。因此，束团长度沿反向束流线增加，其在任意纵向位置 处的值可由式（9）和（18）表示。这种反向方法不仅提高了计算效率，还与实际设计考虑相一致：压缩器出口的束团长度是主要关注的问题，因为它受到下游插入段的严格约束。因此，即使上游束团参量发生变化，实际运行通常通过调整上游压缩（对应较低的压缩因子和较长的束团长度）来保持固定的出口参量。因此，反向优化及其相关计算更真实地反映了实际的压缩器设计过程。

图2. 束流线示意图。实线表示优化方向（反向束流线），虚线表示实际物理束流方向。

目标最终束团长度 设定为 （100 pC时的800 A）。入口束团参量取自文献[28]，初始束团长度约为0.7 mm。根据式（33），需要超过 的加速相位，对应投影能散的 下限。上限设定为0.5%纯粹是为了避免过大的能散，否则可能在束流线中诱发高阶效应或降低FEL光谱。

末级压缩器的优化过程分为两个明确的步骤。在第一步中，主要关注的是偶极磁铁 到 中的ss CSR脉冲以及序列段 到 中的dr CSR脉冲，目标函数由式（12）、（13）、（19）和（20）定义。施加的约束包括维持水平和垂直聚焦，以及保持 以防止 的振荡，特别是 内的振荡。该阶段的优化变量为匹配段 和 ，以及从 到 的总长度。在第二步中，优化目标是关闭色散，利用匹配段 作为调谐变量。

图3展示了优化结果。为适应上游束流变化，啁啾参量 被考虑在 到 的范围内，对应 值从0.5%到0.3%。在式（12）和（13）的约束下，随着 的减小， 的值下降， 和 在 处达到局部极小值。对于式（19）和（20）， 在 附近达到极小值，而 随着 趋近于 而减小。由于 同时趋近于零， 中诱导的CSR脉冲得到有效抑制。根据文献[14]中式（20）的ss CSR发射度增长模型，任何残余的发射度膨胀可以通过在束流线出口处匹配到较小的 函数来抑制。

图3. 第一步中随 变化的优化结果。上面板：式（12）和（13）中定义的积分项 和 。中间面板：式（19）和（20）中定义的 和 的绝对值。下面板：由式（9）的Case A给出的压缩因子。

完成第二步后，末级压缩器的参量如表I所示。进行包含所有CSR效应的bmad模拟，以不同的 值验证QBA晶格抑制CSR脉冲的能力[23]。在这些模拟中，从Liénard-Wiechert场减去SC贡献后计算CSR脉冲[32-34]。由于本部分仅关注CSR脉冲对横向发射度的影响，模拟假定初始高斯束团为理想情况。此外，引入六极磁铁以确保二阶项 、 和 等于零。由于 在优化过程中保持不变，改变 需要同时调整初始束团长度和能散，其必须满足以下关系： （23）

表I. 末级压缩器的参量。参量 数值[单位] 偏转角 弯曲半径 参考能量 长度 长度 长度 矩阵( ) , 1.506 , 0.571 矩阵( ) , 2.03 , 2.22

此外，束流线出口处的Twiss参量固定为 和 ，初始归一化水平发射度为 。图4分别展示了含和不含CSR效应的出口发射度变化。在扫描的啁啾范围内，最终rms束团长度保持在15.58到 之间。两组发射度数据之间的差异代表CSR效应的附加贡献，保持在 以下，即初始发射度的0.5%以下。因此，CSR效应对水平发射度的影响可以忽略不计。

图4. 末级压缩器的出口归一化水平发射度变化和最终rms束团长度随最终啁啾的变化。此处 = 。红色圆圈和黑色方块分别表示含和不含CSR效应的bmad结果，蓝色菱形表示最终rms束团长度。

预级压缩器负责补充压缩，确保束团可以从上游束团长度压缩到目标束团长度。因此， 为 （24） 和 分别表示预级和末级压缩器的 值。 也可表示为式（23）中的公式。在预级压缩器中，束团长度相对较长，压缩因子远低于末级压缩器，导致CSR脉冲较为温和。因此，可以直接或间接参考为等时结构建立的CSR抑制方案。如上所述，采用了具有 传输矩阵的双TBA。在恒束团长度近似下，此构型不仅能完全抑制CSR脉冲，还能有效限制几何像差的增长，从而显著减轻对上游段的匹配约束。

整个拱形段的地面布置图如图5所示。预级压缩器的偏转角设定为 。类似地，使用理想高斯束团进行了模拟。模拟配置包含了如表I所述的双TBA和QBA晶格构型。在这些模拟中，初始束团长度 固定为 ，初始发射度相应设定为 。预级压缩器的 作为随啁啾参量 变化的函数进行动态调谐： （25）

图5. 拱形段的地面布置图。

图6分别展示了整个拱形段含和不含CSR效应的出口发射度变化。在扫描的啁啾范围内，含CSR效应的发射度变化保持在 以下，不含CSR效应的变化保持在 以下，最终rms束团长度范围从15.09到 。两组发射度数据之间的间隔代表CSR效应的附加贡献，保持在 以下，即初始发射度的3.4%。尽管这一贡献大于仅末级压缩器的结果，但在扫描范围内仍然很小。

图6. 整个拱形段的出口归一化水平发射度变化和最终rms束团长度随最终啁啾的变化。此处 = 。红色圆圈和黑色方块分别表示含和不含CSR效应的Bmad结果，蓝色菱形表示最终rms束团长度。

在本节中，我们利用反向束流线方法和第二节推导的CSR缓解条件，介绍了拱形段的线性光学设计。该设计满足所需的线性压缩因子，同时强烈抑制了CSR引起的发射度增长。具体来说，对于 束团，在扫描的啁啾范围内，CSR引起的附加归一化水平发射度变化保持在 以下。非线性压缩效应将在后续各节中进一步讨论。

四、压缩器中的纵向非线性光学

在前一节中，我们介绍了缓解CSR引起的横向发射度膨胀的方法。然而，在压缩过程中，纵向匹配也起着至关重要的作用。各种因素影响非线性束团压缩，主要来自单粒子动力学中的非线性效应——如rf腔曲率和拱形段中的非线性光学——以及集体效应引起的纵向相空间中的非线性调制，特别是CSR效应诱导的调制。在本节中，我们将研究这两个主要影响因素，并利用已建立的模型有效评估最终束团压缩质量。

A. 单粒子动力学中的非线性效应

对于任何束团，能散可以表示为 （26）系数 可以通过拟合束团的纵向分布获得。在本研究中，对应峰值电流的切片能散被设定为零。当 对于 时，初始啁啾是线性的。然而，线性啁啾是一种过度理想化的假设。特别是，在ERL中引入谐波腔可能具有挑战性，导致主直线加速器出口处存在强非线性的能啁啾。引入了一种纵向匹配模型来量化压缩后束团的质量[18,19]。第 个元素出口的纵向位置为 （27）其中 （28） 是元素 出口的粒子能量。在此模型中的压缩因子为 （29） 是初始束团的纵向位置。对式（29）进一步求导可得压缩后束团的电流梯度，详见文献[18]。

然后，任何切片的压缩电流为

(30)

此处描述的纵向切片重叠现象被称为纵向相空间中的焦散形成。当相邻粒子轨迹合并且纵向映射变为多值时，便产生焦散，从而在纵向相空间中形成折叠并产生特征性的电流尖峰。该现象及其与灾变理论的关联已在先前的理论研究和实验研究中得到证实[35–38]。此类电流尖峰通常伴随着增大的能量分散和极窄的全宽半高值，因此会退化束流品质。

根据式(27)和(28)中描述的压缩模型，当不同的初始位置被映射到同一最终位置时，即焦散形成发生。为保持一对一的纵向映射并避免焦散形成，我们施加判据

(31)

对于任意。各种因素影响非线性束团压缩，主要来源于单粒子动力学中的非线性效应——如射频腔曲率和弧段中的非线性光学效应——以及集体效应引起的纵向相空间中的非线性调制，特别是由共聚焦轫致辐射效应引起的。在本节后续内容中，我们将研究这两个主要影响因素，并利用已建立的模型有效评估最终束团压缩品质。

本研究聚焦于具有单个射频加速结构和单个弧段的再循环加速器，如单次通过电子回旋线性器和回旋加速线性器。在对纵向位置进行泰勒展开并保留至三阶项后，直线加速器出口处的能量分散为

(32)

此处，为射频波数，分别为射频加速前后的参考能量，且。对于三阶动量压缩接近于零的压缩器，压缩束团的束团长度最小值为

(33)

在此条件下，弧段满足。式(33)表明，对于固定的压缩束团长度，当初始束团长度确定时，加速相位必须偏离波峰一定量值，反之亦然。此最小相位偏移量可通过求解该方程确定。

B. ss CSR 和 dr CSR 效应引起的非线性调制

在本小节中，将 ss CSR 和 dr CSR 效应纳入束团压缩分析。类似于 CSR 效应引起的横向位移，压缩器出口处的纵向偏移量为

(34)

类似于 CSR 踢击的计算方法，通过将标准映射替换为反向束线计算，我们可以从式(5)和(6)以及式(8)和(9)确定弧段末端的纵向位置，即

(35)

其中表示式()给出的表达式。对于任意该段出口处的能量分散为

(36)

与 ss CSR 类似，dr CSR 引起的纵向修正可表示为

(37)
(38)

在快速计算评估中，在整个过程中被视为常数。它可以从数值计算中推导或直接由模拟数据拟合得到，满足拟合系数满足各阶拟合系数条件，其中为第阶拟合系数，且为实际束团长度与拟合所用参考束团长度之比。值得注意的是，这仅提供 ss CSR 在线性输运下纵向影响的估计。在更极端条件下，可能发生显著畸变，例如在局部较大或较大区域中束团形状发生显著变化时。为减轻此问题，栅格设计应避免的振荡，以确保最严重的 CSR 效应发生在束线出口处，此时局部和相对较小。或者，当束团形状发生剧烈变化时，必须重新计算。

在本节中，我们建立了本研究使用的纵向匹配解析模型。通过扩展先前模型[18]，建立了新的匹配判据以纳入 CSR 引起的效应。此外，提出了一种快速计算模型来评估 ss CSR 和 dr CSR 在具有复杂分布的栅格中对纵向压缩的影响。与 bmad 模拟的基准验证结果将在下一节中呈现。

五、包含 CSR 效应的纵向匹配

在第四节讨论的基础上，本节探讨考虑 ss CSR 和 dr CSR 效应的束团压缩器纵向匹配。研究分为两部分。首先，建立基于初始高斯束团的解析模型，推导用于初步评估的一般理论表达式。其次，展示端到端模拟，演示针对实际束流分布的实用压缩器设计。

A. 高斯束团

1. 初始峰值电流处的压缩因子

尽管第四节讨论了无 CSR 的非线性压缩，但 CSR 会修正压缩因子和均方根束团长度。忽略弧段的三阶输运，纵向映射可写为

(39)

其中，为归一化高斯分布，为 ss CSR 尾波函数。无 CSR 映射为

(40)

其中系数列于附录 C 1。ss CSR 强度为

(41)

dr CSR 强度为

(42)

对于高斯束团，初始峰值电流切片位于处。[4]由于，dr CSR 项不改变该切片的压缩因子，尽管它贡献于均方根束团长度。详细推导见附录 C 1。以下表示欧拉伽马函数，与 CSR 尾波相区分。中心切片压缩因子的倒数为

(43)

由式(43)，可计算对应于初始峰值电流切片的局部压缩因子。为验证该表达式的准确性，与一维解析模型进行了比较。在实际多粒子追踪中，精确确定特定区域的局部压缩因子较为困难。因此，我们将该表达式与一维模型进行比较，而非与直接宏观粒子追踪比较。我们还开发了一个基于八度音节的代码来快速模拟束团压缩器，包括 ss CSR 和 dr CSR 尾波。简要介绍见附录 D。该代码能够对任意初始分布快速评估具有 CSR 效应的纵向分布。以下各节的基准验证也证明了一维模型代码的可靠性。

在此比较中，使用理想的为和的高斯束团。束团通过射频结构加速，从加速至。加速相位设为，对应于从式(32)推导出的。束线构型遵循第三节描述的结构，其中为。为避免焦散形成，针对不同的束团电荷动态调整。图7所示的比较结果表明，两者吻合良好。微小偏差源于 CSR 效应的存在使得最终束团长度并非严格常数，这偏离了解析公式中固定的假设。在更高束团电荷下，由于严重的 CSR 效应，焦散形成已无法避免；因此，局部压缩因子会不可预测地放大。

图7. 基于代码的一维解析模型与式(43)获得的局部压缩因子比较。

2. 压缩束团的峰值电流

在上文中讨论了初始峰值电流切片的局部压缩因子。由于它仅依赖于 ss CSR 效应，因此可快速估计。然而，压缩后，对应于压缩束团峰值电流的切片可能不再是具有峰值电流的同一切片。在本节中，我们尝试利用半解析解来确定压缩后的峰值电流。由式(31)和(39)，压缩束团的电流为

(44)

因此，最大电流不一定位于处，而是满足

(45)

对于归一化高斯束团分布，此条件变为

(46)

完整的峰值电流方程可写为

(47)

此处使用了高斯恒等式。推导见附录 C 2。dr CSR 贡献引入指数项，因此当包含 dr CSR 时，峰值电流位置通常需通过数值求解式(47)获得。

对于仅考虑 ss CSR 的快速估计，即在附近进行局部展开并执行一次牛顿步骤。定义

(48)

其中，定义见式(40)；尾波导数见附录 C 2。峰值电流位置近似为

(49)

对应的峰值电流为

(50)

此外，我们使用不同方法评估压缩束团的峰值电流。束团电荷固定为，其他参数与前述中心切片基准相同。为计算切片电流并避免焦散形成，在特定范围内扫描。基准结果如图8所示。在上方面板中，ss CSR 的近似解与一维解析模型和 bmad 中的弯曲 CSR 模拟吻合良好。然而，当包含 dr CSR 时，其精度降低。数值求解式(47)则与解析模型和模拟均吻合良好。不过，由于完整方程更为复杂，建议初步估计时仅考虑 ss CSR。

图8. 使用不同方法计算的压缩束团峰值电流。上方面板比较了 ss CSR 计算与 bmad 中的弯曲 CSR 模拟，下方面板额外包含了 dr CSR。此处，"bmad 弯曲 CSR" 包括从暂态到稳态演变过程中所有弯曲磁铁中的 CSR。灰色虚线表示无 CSR 情形，蓝色实线表示式(47)的数值解，红色实线表示式(50)的近似解。蓝色圆圈显示 bmad 结果，红色方块显示一维解析模型结果。

3. 压缩束团的均方根束团长度

除峰值电流外，均方根束团长度是表征压缩束团纵向品质的另一项重要品质因数。束线出口处的均方根束团长度为

(51)

此处，

(52)

式(51)中最后三项为 CSR 强度的二阶项。在高电荷下它们变得重要，并解释了弱 CSR 近似的失效。当 CSR 作为一阶微扰处理时，这些项被忽略。为紧凑表示，定义

(53)

高斯矩和中间积分推导见附录 C 3。所得包含 ss CSR 和 dr CSR 的一阶表达式为

(54)

图9比较了式(54)的预测值、解析模型和 bmad 模拟。在此基准中，固定在，而和射频参数与前例相同。束团电荷从零扫描至。[5] 式(54)中的弱 CSR 近似在以下能很好地重现 CSR 引起的束团长度变化，但在更高电荷下因式(51)中高阶耦合项变得不可忽略而失去精度。相比之下，基于切片的解析模型通过加权切片计算追踪束团长度演变，在较强 CSR 区域中比弱 CSR 近似保持更高的精度。然而，在极高电荷下，局部 CSR 尾波修改束团的后续纵向演变。因此，模型化的 CSR 尾波无法再表示为各尾波贡献的直接线性叠加，因为 CSR 尾波与演变中的束团分布之间产生了更复杂的耦合。此效应导致解析模型与模拟在以上相比低电荷区域出现更大的偏差。尽管如此，解析模型在此区域仍为总体趋势提供了有用的参考。因此，它可用于识别合适的参数范围和初始解，以进行基于模拟的后续优化。

图9. 使用不同方法随束团电荷变化的束团长度计算结果，其中。和射频腔参数固定为本节其他基准中使用的值。

尽管弱 CSR 近似对于此栅格仅限于电荷以下的情况，但它在实际设计中仍然有用。在高压缩因子的 ERL 中，标称束团电荷通常低于，此时近似仍然有效。在高电荷直线加速器中，蛇形压缩器通常表现出较小的变化，尤其在最终压缩器级，这降低了并保持弱 CSR 近似的适用性。

B. 实际束团

在实际束团压缩过程中，束流分布经常偏离理想高斯分布。这种复杂的纵向结构可能诱发不可预测的动力学行为，包括多尖峰结构的出现。因此，仅依赖中心切片压缩因子或均方根（rms）束长是不充分的。基于一维解析模型，电流加权的rms束长可表述如下： （55）其他统计量具有类似的形式。合并出口处的实际束流分布是通过使用astra [39]和bmad的从头到尾模拟获得的。基于文献[28]中的先前工作，束流参数列于表II中。在优化过程中，我们采用了多目标遗传算法（MOGA），具体为非支配排序遗传算法II [40]。在优化过程中，峰值电流（或目标束长）被视为约束条件，因此需要对纵向形状进行直接评估。鉴于缺乏标准公式来量化纵向分布质量，我们引入了一个度量，定义为压缩束流分布与其等效束长高斯分布之间的rms差异。因此，该过程中的目标函数为 （56） 表II. 初始和压缩束流参数。参数 值 单位 束电荷 100 束能量 1000 MeV 初始rms束长 690 目标rms束长 16 初始峰值电流 15 归一化水平发射度 0.47 归一化垂直发射度 0.45 在优化过程中，纵向坐标系的原点自动固定在峰值电流切片处，使得该切片的 设为0。优化变量包括位于[ , ]范围内的加速相位， 在 范围内，以及dR56在 范围内。 的基线为 。关键的是，当式(31)中的条件不满足时，优化程序终止并返回一个大的惩罚值。得益于本研究引入的解析模型，包括稳态CSR（ss CSR）和漂移段CSR（dr CSR）效应在内的压缩动力学可在毫秒内计算完成。相应的模拟结果如图10所示。首先，以最小化发射度增长为目标扫描初始Twiss参数。尽管CSR效应不直接改变垂直发射度，但对于实际束流，各切片之间的不匹配仍可能降低最终的垂直发射度[41]。因此，在垂直平面内匹配入口Twiss参数也是必要的。发射度演化如图10的上方面板所示。在无CSR和有CSR效应的情况下，压缩器出口处的水平发射度分别为0.47和 。因此，沿弧线段的总水平发射度增长小于 ，其中纯由CSR引起的增长限制在小于 。这一行为与理想高斯束流获得的模拟结果高度一致。图10. bmad模拟和一维解析模型的结果。上方面板展示了bmad计算的水平发射度演化，呈现了两种情形：有CSR效应和无CSR效应。上方提供插图以比较束线出口附近的发射度差异，从而分离出纯由CSR引起的发射度增长。下方面板的两个图展示了来自bmad模拟和一维解析模型的纵向相空间（左）和纵向分布（右）。模拟结果呈现了三种情形：无CSR、仅弯转段CSR，以及包含所有CSR效应。纵向相空间（左）和纵向分布（右）显示在下方面板。左图比较了压缩束流的三种情形：无CSR、bmad中的弯转段CSR，以及bmad中的所有CSR效应。此外，还提供了一维解析模型的预测，具体包含纯ss CSR效应[式(35)和(36)]以及ss CSR与dr CSR效应的结合[式(37)和(38)]。一维解析模型与bmad模拟表现出极好的一致性，有效验证并解释了由ss CSR和dr CSR引起的相空间畸变。同样，如预测所述，束流被压缩至接近1 kA的峰值电流，且由CSR引起的纵向分布变化也被很好地预测。电流分布中的局部差异主要来源于高阶横向-纵向耦合项的影响以及平滑方法的不同。总体而言，这一维解析模型能够准确且快速地预测压缩器中CSR效应，即使对于复杂的弧形结构也是如此。 VI. 结论在本研究中，我们提出了一种集成CSR抑制的类弧压缩器设计方案。对于横向平面，引入了目标函数以抑制ss CSR和dr CSR效应。基于这些准则，设计了非对称四弯消色差（QBA）晶格，以提供足够的自由度来满足多个约束条件。数值模拟表明，一个 的束流可被压缩至 ，对应峰值电流超过 ，同时保持可忽略的发射度增长。对于纵向平面，我们通过扩展先前的纵向压缩模型以包含ss CSR和dr CSR效应，开发了一个快速解析模型。该模型与包含所有CSR效应的模拟结果吻合良好，并为复杂类弧压缩器中的快速纵向匹配提供了高效工具。该模型首先用于推导理想高斯束流下广义CSR诱导的压缩行为，然后与MOGA结合以优化实际束流分布。在此优化过程中，施加了非焦散准则以保持一一对应的纵向映射，并避免人为的高峰值电流与低纵向束流质量。应用于合并出口处的实际束流分布，所提出的框架产生了具有高横向和纵向束流质量的压缩束流。关键的是，我们提出了一种基于反向束线方法的类弧压缩器设计策略，能够大幅抑制CSR效应。此外，我们提供了一组辅助代码以协助设计过程，如附录D所述。总之，弧段的设计流程可概括为以下步骤：（i）定义压缩后的所需参数，包括但不限于最终束长、能量散度、加速相位[例如式(33)中给出的约束条件]以及对应于式(43)中描述的峰值电流的压缩因子，以及压缩器入口处的初始束流参数。（ii）对于多弯消色差（MBA，本研究中具体为QBA）结构，优化应确保反向束线中第一至第 个偶极磁铁满足式(12)、(13)、(19)和(20)中的条件，且压缩因子与式(9)和(18)中的情形A一致。在此过程中，必须严格避免最终阶段中 的振荡，以减轻与超短束相关的负面影响。（iii）利用反向束线的最后一个偶极磁铁以及最后与倒数第二个偶极磁铁之间的匹配段，使束线完全消色差。（iv）主要目标是确定辅助参数，包括弯转角度和 。预压缩器（本研究中为带负 的双TBA结构）的配置通过式(24)确定。（v）集成六极磁铁以确保在每个压缩器出口处二阶色散项 和 消失，同时调节二阶纵向色散（ ）。考虑式(27)中描述的非线性光学以及式(37)和(38)中的CSR效应，对 进行优化以满足式(31)中定义的条件。还可施加额外的约束条件，如纵向分布的偏度和峰度，以评估最终束流压缩质量。（vi）进行系统参数扫描以最小化由CSR引起的横向发射度增长。优化变量包括初始Twiss函数和相邻压缩级之间匹配段的参数。一个显著的局限性在于本研究中的纵向模型仅专注于ss CSR和dr CSR效应。对于第III节中考虑的高斯束流，解析模型预测的全弧段CSR诱导能量散度与包含瞬态CSR（tr-CSR，未显示）的结果相差小于8%。然而，在其他运行条件下，tr-CSR可能变得不可忽略，例如，当相对较长的束流进入弯转段且过渡角 与弯转角 相当[42]时。为了解决此类情况，需要在解析模型中纳入tr-CSR；基于CSR尾场半解析解的相关研究正在进行中。此外，对于能量回收直线加速器（ERL）的低能段，还必须考虑纵向空间电荷及其他相关集体效应。最后，该方法在大型设施（如具有多个弧段的多通ERL）中的稳定性仍需进一步研究。