快循环同步加速器的相邻差约束神经网络轨道校正方法

《Physical Review Accelerators and Beams》：Orbit correction for a rapid cycling synchrotron using an adjacent-difference-constrained neural network

　　在快速循环同步加速器（RCS）中，闭轨校正对于维持高束流质量和机器稳定性是一项重要任务。由于RCS中的轨道在能量爬升期间会发生变化，基于响应矩阵的轨道校正被分段执行，这可能导致校正磁铁电流爬升率超过安全限制以及轨道精度损失。为解决这些问题，本文采用机器学习进行RCS轨道校正。构建了一种相邻差分约束神经网络（ADCNN），并在中国散裂中子源（CSNS）的模拟和机器实验中进行了测试。校正结果表明，使用神经网络进行RCS轨道校正是可行的。ADCNN展现出与基于响应矩阵校正相当的校正效果，同时有效限制了校正磁铁的电流爬升率。I. 引言中国散裂中子源（CSNS）是一台基于高流强质子加速器的100 kW脉冲中子源，是世界第四台脉冲散裂中子源[1]。加速器设施由一台80 MeV直线加速器、一台1.6 GeV质子快速循环同步加速器（RCS）[2–6]（重复频率为25 Hz，加速周期为20 ms）以及一个100 kW靶站[7]组成。RCS将80 MeV注入束流累积并加速至1.6 GeV，然后将高能束流引出至靶站[8]。其晶格具有四重对称结构，包含四个长直线节，分别用于注入、引出、射频腔和束流准直。如图1所示，给出了加速器的示意图布局，主要参数列于表I中。图1. CSNS示意图布局。表I. RCS设计参数。参数 值 周长 227.92 m 超周期数 4 注入能量 80 MeV 单次注入束流峰值电流 15 mA 引出能量 1.6 GeV 重复频率 25 Hz 引出束流功率 100 kW 设计工作点 (4.80, 4.86) 由于RCS制造和安装误差，闭轨将偏离理想轨道，导致束流损失。因此，轨道校正系统至关重要[9]。CSNS的RCS采用基于响应矩阵（RM）的轨道校正算法[10]，该算法已在许多现代储存环和同步加速器的常规运行和调试中广泛使用[11–15]，且基于RM的轨道校正框架仍在不断完善[16–18]。由于RCS中的轨道在20 ms能量爬升期间会发生变化，轨道校正以时间切片方式实施，由校正磁铁决定。可编程校正磁铁在每个整数毫秒（21个设定点）接受离散电流设定值。束流位置监测器（BPM）平均512圈的逐圈束流位置以获得闭轨。在每个设定点，通过插值这些BPM导出的轨道来获得轨道，然后执行基于RM的校正。这种校正方法很好地满足了日常运行的需求。然而，每次校正过程中获得的校正磁铁电流可能变化显著，导致校正磁铁的电流爬升率超过安全限制。我们必须非常谨慎地处理这种情况，这极大地影响了我们的校正精度和效率。此外，在从BPM读数获取21条轨道的过程中，部分轨道精度会损失（下面给出定量估计）。因此，所得的校正磁铁设定值可能是次优的。为解决这些问题，我们将机器学习（ML）应用于RCS轨道校正。近期的研究探索了基于ML的方法作为传统基于RM轨道校正的可能补充。特别是，已研究了诸如神经网络等监督模型，用于学习从测量轨道到校正磁铁设定的映射，并在给定运行条件下实现数据驱动的校正[19–21]。同时，提出了自适应和在线ML框架，以通过基于近期测量数据的更新来减轻时变条件（如部件漂移、环境变化或非线性机器行为）引起的性能退化[22,23]。然而，这些研究并不意味着ML方法普遍优于基于RM的方法；相反，它们表明ML在某些情况下可能具有优势，具体取决于特定机器和运行环境。这些进展表明，ML方法可以提供快速、数据驱动的替代模型，适应不断演化的加速器状态，减少对频繁响应矩阵测量的依赖，并在存在缓慢漂移和非线性效应时实现鲁棒的轨道控制。然而，尚未有研究明确证明ML方法在RCS一个周期内能量爬升期间校正时间相关轨道方面具有明显优势。本文关注CSNS的RCS。由于垂直方向的轨道变化较小且校正更容易完成，我们仅关注水平轨道的校正。我们将一种相邻差分约束神经网络（ADCNN）引入RCS轨道校正。模拟和实验结果表明，ADCNN能够有效校正RCS中的时间相关轨道，达到与基于RM方法相当的校正效果。同时，校正磁铁电流的爬升率被明确约束。本文其余部分分为三个主要部分。第二部分介绍了基于RM的RCS轨道校正方法，并给出了从模拟和实际机器获得的校正结果。第三部分详细介绍了本研究中使用的ML模型结构及其在模拟和机器实验中的结果。第四部分总结了主要结论并概述了未来研究方向。II. 基于响应矩阵的RCS轨道校正 A. CSNS RCS的轨道校正系统CSNS RCS的轨道校正系统包含32个BPM和37个偶极校正磁铁，其中21个用于水平平面，16个用于垂直平面。BPM数据以圈数表示，而校正磁铁电流按时间设定。增强器爬坡被分为38个时间断点，对于每个断点，轨道通过平均BPM测量的每512圈逐圈数据获得[24]。为了建立轨道与时间的对应关系，需要根据磁刚度曲线计算爬坡期间的束流速度。本机器中束流的磁刚度可以表示为时间的函数： (1)其中 单位为 。磁刚度通过以下关系与束流动量关联： (2)总能量由下式给出： (3)其中质子静止能量为 。因此，相对论速度因子可以写为： (4)从注入到时间 的累积圈数通过下式获得： (5)其中 为周长。通过令 ( )，可以确定每个512圈区间的边界时间。分配给第 个块的平均时间定义为区间中点 。这样，每条轨道与增强器爬坡上的一个时间戳相关联，列于表II中。表II. BPM读取轨道的时间表。索引 时间(ms) 索引 时间(ms) 索引 时间(ms) 1 0.4971 14 9.1780 27 15.0051 2 1.4712 15 9.6596 28 15.4317 3 2.3851 16 10.1324 29 15.8568 4 3.2525 17 10.5976 30 16.2806 5 3.9948 18 11.0564 31 16.7034 6 4.7036 19 11.5096 32 17.1253 7 5.3623 20 11.9580 33 17.5464 8 5.9805 21 12.4022 34 17.9668 9 6.5660 22 12.8427 35 18.3868 10 7.1249 23 13.2801 36 18.8063 11 7.6621 24 13.7147 37 19.2255 12 8.1814 25 14.1469 38 19.6445 13 8.6859 26 14.5770 如图2所示，不同颜色代表不同时刻的轨道，RCS中的轨道随能量增加而变化，最大未校正闭轨畸变（COD）达到 。在图3中变化更为明显，其中我们展示了一个周期内部分BPM测得的轨道。图2. 在CSNS-RCS一个加速周期内测量的未校正水平闭轨。每条彩色曲线对应于沿爬坡38个时间戳之一的闭轨。这里 相对于磁体机械中心定义。红色虚线表示最大观测COD包络，范围为 ，38条轨道的平均标准差为 。工作点为4.80/4.86，束流脉冲宽度为 ，束流功率为20 kW。图3. 在一个加速周期内四个BPM位置测量的未校正闭轨轨迹：BPM1 ( )，BPM2 ( )，BPM3 ( )，BPM4 ( )。与轨道读数不同，校正磁铁在0到20 ms的每个整数毫秒被赋予21组电流。在校正过程中，BPM给出的轨道被插值到每个整数毫秒的21条轨道上。然后通过SVD方法[25]使用相应的插值轨道和预测量的RM获得校正磁铁强度。由于轨道校正分段进行，相邻时间之间的轨道或RM显著差异导致校正磁铁电流爬升率过高，可能超过安全限制，有电源跳闸风险并降低长期稳定性。 B. 离线模拟中基于响应矩阵的轨道校正使用Accelerator-Toolbox包[26]，我们构建了CSNS RCS的Python模拟程序。在晶格上施加随机对准误差和磁体强度误差以生成时间相关轨道。这里使用的误差模型旨在为评估所提出的轨道校正方法提供一个代表性测试环境，而非对真实机器中所有可能误差源的高保真重构。因此，可能导致轨道畸变的机器特定效应（如漏磁场）未包含在本研究中。未校正轨道如图4所示。图4. 具有误差的CSNS-RCS晶格 平面中的模拟未校正轨道。COD分布在( , 20.08 mm)范围内，轨道平均标准差为7.47 mm。在模拟中，可以计算任何时刻的精确轨道。通过将每个整数毫秒的精确计算轨道与根据表II时间表从BPM读取的轨道插值得到的轨道进行比较，我们量化了由插值引起的轨道精度损失。如图5所示，插值引起的精度损失在较早时间更为显著。在最初5 ms内，平均相对误差约为10%，最大值可超过20%。对于0到3 ms之间的插值点，用于插值的原始BPM数据通常与目标时间戳相隔约0.3–0.5 ms，导致相对较大的插值误差。这主要是由于加速早期束流能量较低以及BPM轨道测量的时间分布稀疏。相反，当目标时间戳接近原始BPM测量时，插值变得更为准确。例如，在4 ms时，时间差仅为约0.01 ms，因此产生的插值误差几乎可以忽略。图5. 每个整数毫秒处精确轨道与插值轨道之间的相对误差。通过依次激活每个校正磁铁并记录轨道变化，我们可以获得所有响应矩阵。然后我们采用SVD方法对RCS模拟执行基于RM的轨道校正。如图6和图7所示，在基于RM的方法中，模拟轨道的COD已降低至 。然而，部分校正磁铁的电流爬升率超过安全限制。这样的校正电流不能直接长期应用于实际机器。因此，当前的轨道校正过程在一定程度上依赖于科学家的校正经验。图6. 基于RM校正后模拟 平面轨道。COD分布在( , 2.74 mm)范围内，轨道平均标准差为0.54 mm。图7. RCS模拟基于RM校正中所有水平校正磁铁的电流。红色条表示电流爬升率超过安全限制，黄色条表示达到安全限制的80%。 C. 实际CSNS-RCS机器中基于响应矩阵的轨道校正与模拟中的校正过程类似，我们在实际机器上进行了基于RM的轨道校正实验。基于RM校正后的轨道如图8所示，图9显示了所使用的校正电流。可以看出，基于RM校正中获得的许多校正电流的爬升率非常接近甚至超过安全限制。如实验结果所示，实际机器上的轨道校正性能明显差于仿真结果。CSNS处相对较大的残余COD可能归因于仿真中未完全包含的机器特有误差源，包括BPM偏移、动态场误差、对准误差及其他来源。作为比较，J-PARC RCS校正后的残余COD据报道约在 [27] 范围内。然而，直接比较应谨慎进行，因为CSNS RCS采用基于三合体的晶格 [28]，而J-PARC RCS使用FODO结构 [29]。此外，CSNS的BPM偏移校准尚未对所有BPM完成，因为分组供电的四极磁体无法为常规偏移测量独立调节。先前的研究还表明，CSNS二极磁体和四极磁体之间的场偏差会引入额外的闭合轨道畸变和β拍频 [30,31]。这些综合效应增加了初始轨道畸变，使后续校正更具挑战性，从而导致实际机器中观测到的较大残余COD。图8展示了实际RCS机器x平面中基于RM的校正轨道。COD分布在（?6.26 mm，6.26 mm）范围内，轨道平均标准差为2.55 mm。图9展示了实际RCS机器基于RM校正中水平校正器的校正器电流。在实际轨道校正中，在将校正器电流设置到机器之前，需要处理超过斜坡速率限制的校正器电流。通常可采用两种方法：使用SVD进行基于RM的轨道校正时使用较少的奇异值，或手动调整校正器电流。两种方法都会降低校正效果和效率。

III. 基于神经网络的RCS轨道校正

在计算能力快速增长的推动下，机器学习方法在许多学科中显示出巨大优势 [32–34]。越来越多的研究将ML应用于加速器物理 [35,36]。许多实验室已开始将各种机器学习算法应用于实际应用，如CERN、BNL和IHEP [37–42]。神经网络作为ML的核心分支，通过分层网格计算输出。通过训练每个节点的权重，网络再现输入-输出关系 [43]。理论上，只要有足够的隐藏层和神经元，网络就能拟合任何连续非线性函数 [44]。

A. 用于RCS轨道校正的相邻差约束神经网络

从前面对轨道校正系统的描述可知，水平校正使用32个BPM给出38条轨道，而21个校正器需要21组电流。基于上述轨道校正系统，水平校正使用32个BPM。对于每个加速周期，每个BPM沿斜坡提供38个时间点的轨道测量。可编程校正器接受21个离散电流设定点（从0到20 ms的每整数毫秒一个），对应于21个水平校正器。因此，测量的轨道（通过插值到21个切片）被映射到一组21个校正器电流向量，用于水平轨道校正。

可以清楚地证明，每个在38个时间点的轨道仅受两组校正器电流影响，即

（6）

其中 δ_k 表示第 k 个闭轨切片由校正器引起的轨道偏转，M_k 表示第 k 个切片中校正器与轨道之间的映射，t_k 表示与 δ_k 关联的时间戳，I(t_{k-1}) 和 I(t_k) 分别是 t_{k-1} 和 t_k 毫秒处的校正器电流设定点。

反之，每组校正器电流影响其前后1 ms时间窗口内的轨道。因此，理论上，我们可以使用若干相邻轨道来计算最佳的校正器电流点集合，即

（7）

其中 I_m 是第 m 毫秒处的校正器电流设定点，M_m 表示用于从轨道偏转确定 I_m 的映射，D_m 是所有轨道偏转 δ_k 的集合，这些轨道偏转的时间戳 t_k 在 I_m 的1 ms范围内（即可能受电流设定点 I_m 影响的轨道切片）。

因此，我们可以设计一个包含多个子神经网络（sub-NNs）的模型：对于每个校正器电流组，我们分配一个神经网络，其输入仅是该电流组将影响的轨道。该概念如图10所示。

图10. 多子网络模型架构图。

在该ML模型中，我们使用一个包含18条连续轨道的滑动窗口。这一选择由数据结构和校正时序决定：每个加速周期沿斜坡提供38个轨道测量，而校正器系统需要21个时间切片（0–20 ms）。使用18轨道窗口恰好产生21个重叠窗口，这些窗口可以与21个校正切片自然地对齐一一对应，从而简化模型构建和训练。因此，每个子神经网络接收576个输入并输出一组校正器电流，因此输入层有576个节点，输出层有21个节点。通过对数据分组并创建多个子神经网络，我们将轨道与校正器之间的已知关系嵌入模型中，从而加快收敛速度并提高预测精度。

然而，上述模型仍无法解决电流斜坡速率过大的问题。在我们研究的模型中，我们在末尾添加了一个累加求和过程，可描述为

（8）

其中 I 是第 k 个子网络的电流点集合，I_k^NN 表示第 k 个子神经网络的输出，r_{safe} 和 I_{max} 分别是电流变化率的安全限制和最大电流。在这里，我们将每个神经网络最后一层的激活函数设置为双曲正切函数（tanh），从而将每个输出限制在 [?1, 1] 范围内。

如上所述，ADCNN的结构已建立，如图11所示。BPM读取的轨道数据 X 通过滑动窗口被分成组 X_k。然后，每组使用神经网络进行训练，输出 I_k^NN 被限制在 [?1, 1] 范围内。最后，应用简单的累加求和过程得到最终的校正器电流 I。

图11. 相邻差约束神经网络架构图。

注意到CSNS中RCS的校正系统有32个BPM和21个水平校正器，模型层的详细信息列于表III中。

表III. 相邻差约束神经网络的模型摘要。

| 层 | 形状 | 参数 |
|------|------|------|
| 输入 | (32, 38) | 0 |
| 滑动窗口 | (21, 32, 18) | 0 |
| 展平 | (21, 576) | 0 |
| 全连接（ReLU） | (21, 256) | 3M |
| 归一化 | (21, 256) | 1k |
| 全连接（tanh） | (21, 21) | 113k |
| 输出 | (21, 21) | 0 |

输入层接收形状为 (32, 38) 的轨道矩阵（一个周期内38条轨道的32个BPM读数）。然后滑动窗口层应用滑动窗口形成21个重叠样本，这些样本随后由展平层重塑。接下来，第一个全连接（ReLU）层将输入映射到256维潜在表示，并应用ReLU非线性。归一化层随后对256维特征进行归一化，以提高训练稳定性和预测精度。第二个全连接（tanh）层将潜在表示映射到输出，并应用tanh激活函数将输出限制在 [?1, 1] 范围内。最后，输出层使用累加求和提供 (21, 21) 数组，对应于21个校正器在0–20 ms的21组电流。

在该模型中，采用滑动窗口对轨道进行分组，这起到局部特征提取的作用。这种局部特征提取方法在许多机器学习任务中具有优势，例如时间序列分析和语言处理，其中局部特征可以捕捉数据的基本特征。在我们的研究中，这种分组过程将轨道和校正器的物理先验知识引入模型，加快了收敛速度，同时提高了精度和整体性能。更重要的是，它为校正器电流斜坡速率的约束提供了基础。

B. 离线仿真中的基于ML的轨道校正

在仿真中，我们使用标准的全连接神经网络和上述ADCNN校正轨道。模型的输入是期望的轨道变化，输出是校正器的电流。我们通过随机采样校正器电流并计算相应的轨道变化，构建了一个包含1,000,000个样本的数据集，其中80%用于训练，20%用于测试。

在RCS中，随着束流能量的增加，为实现相同校正角度所需的校正器强度也增加。为提高模型精度，我们在模型训练过程中应用加权平均绝对误差作为损失函数。我们使用自适应矩估计作为优化器。

1. 使用全连接神经网络进行轨道校正

为初步测试ML算法在RCS轨道校正中的有效性，我们训练了一个具有512个单元的单隐藏层FCNN。

如图12和13所示，FCNN有效地校正了RCS中随时间变化的轨道，表明ML对于此任务是可行的。然而，与响应矩阵方法一样，它没有对校正器电流斜坡速率提供限制。

图12. RCS仿真x平面中FCNN校正后的轨道。COD分布在（?2.41 mm，2.41 mm）范围内，轨道平均标准差为0.57 mm。

图13. 使用FCNN的RCS仿真校正中水平校正器的校正器电流。

接下来，为解决基于RM的校正方法中插值过程引起的轨道精度损失，我们分别使用原始轨道数据和插值轨道数据训练了两个相同的FCNN，以校正前5 ms的轨道。

图14表示这两个网络获得的前5 ms轨道校正结果。如图所示，由于插值过程中轨道精度的损失，使用插值轨道训练的网络校正结果劣于使用原始轨道训练的网络。该结果表明，通过采用机器学习算法，我们可以更好地处理RCS轨道与校正器之间的关系，实现等效甚至更好的校正效果。

图14. 分别使用原始数据和插值数据训练的FCNN的前5 ms轨道校正结果。(a) 原始数据训练的FCNN。(b) 插值数据训练的FCNN。

2. 使用相邻差约束神经网络进行轨道校正

按照相同的过程，我们训练了一个每个子网络具有128个单元单隐藏层的ADCNN，并将其应用于仿真RCS的轨道校正。

如图15和16所示，ADCNN同样有效地校正了轨道，同时有效地对校正器电流斜坡速率施加了约束。

图15. RCS仿真x平面中ADCNN校正后的轨道。COD分布在（?3.52 mm，3.52 mm）范围内，轨道平均标准差为0.81 mm。

图16. 使用ADCNN的RCS仿真校正中水平校正器的校正器电流。

C. 在线机器校正

在离线仿真验证了ML算法对RCS轨道校正的有效性后，我们在实际机器上进行了轨道校正实验。

图17和18的结果表明，ADCNN仍能提供有效的校正。校正后的COD略大于图8中基于RM方法的结果，但与图9相比，电流斜坡速率现在得到了良好控制。

图17. 实际RCS机器x平面中ADCNN校正后的轨道。COD分布在（?5.49 mm，5.49 mm）范围内，轨道平均标准差为3.00 mm。

图18. 使用ADCNN的实际RCS机器校正中水平校正器的校正器电流。

图19显示了这两种方案获得的校正器斜坡速率的比较。校正器电流分析表明，在ML架构中嵌入斜坡速率约束，相比基于RM的解决方案，最大电流斜坡速率降低了54%。较低的斜坡速率提高了运行稳定性，并为未来高功率运行提供了可能的途径。

图19. 两种校正方案中具有不同安全限制的两类校正器的电流斜坡速率分布。

IV. 结论

对于RCS轨道校正，挑战之一是如何在控制校正器电流斜坡速率的同时校正显著变化的轨道，而这正是传统基于RM方法的不足。在本文中，我们提出了一种使用ADCNN的RCS轨道校正方法。仿真和实际机器实验都证实了ML算法在RCS轨道校正中的可行性。通过分析现有方案的问题，我们设计了一种专门的网络来约束校正器电流斜坡速率。ADCNN的校正效果与基于RM的校正相当，且校正器的电流变化率得到有效约束，从而提高了运行稳定性。虽然本实现方案源于CSNS RCS的特定插值结构，但约束相邻模型输出之间差异的基本思想并不限于此应用。类似的约束在加速器运行中很常见，因为电源、射频系统和机械执行器由于硬件带宽、运行稳定性和设备安全要求，通常不能任意快速变化。因此，所提出的相邻差值约束输出策略也可能适用于其他涉及执行器速率限制的控制问题。

此外，将机器学习应用于RCS轨道校正还带来其他普遍优势。通过在日常运行中持续或定期纳入新的实时机器数据，模型可以动态跟踪时变系统而无需重新训练[45-49]。这确保了模型与当前机器运行状态保持一致，从而能够在线更新轨道校正系统。此外，与RM测量过程相比，机器学习模型训练过程通过大量特征和分布参数将异常值稀释为可忽略的噪声，显示出对数据误差更强的容忍度。

我们的研究仍存在一些次要问题。当前工作侧重于展示基于ADCNN的轨道校正方案在RCS中校正器约束条件下的可行性和有效性。然而，在实际RCS运行中，由于电源、射频系统、注入装置、环境温度变化以及可能的地面运动引起的缓慢漂移，机器状态可能在数周到数月时间尺度上演变。这些效应可能影响模型的长期鲁棒性和泛化能力。未来，我们将探索其在延长运行周期内的轨道校正性能，并将机器学习应用于局部校正任务。