相对论重离子对撞机中大发射度比离子束的束内散射研究及其对电子-离子对撞机的启示

《Physical Review Accelerators and Beams》：Intrabeam scattering studies with large-emittance-ratio ion beams in the relativistic heavy ion collider and implications for the electron-ion collider

　　将在布鲁克海文国家实验室建造的电子-离子对撞机（EIC）将使极化高能电子束与强子束发生对撞，实现高达1.0×103? cm?2 s?1的峰值亮度。为了达到如此高的亮度，EIC将在相互作用点采用扁平束对撞。在强子储存环中，设计横向发射度比约为10∶1。得益于随机冷却和精确解耦，我们在相对论重离子对撞机中成功产生并加速了发射度比为11∶1的金离子束。在本文中，我们介绍了大发射度比金离子束的束内散射（IBS）测量和建模结果，分别包括无受控贝塔特龙耦合和有受控贝塔特龙耦合的情况。为了对IBS增长进行建模，我们使用了Lebedev和Nagaitsev提出的公式。

一、引言
将在布鲁克海文国家实验室建造的电子-离子对撞机（EIC）将使极化高能电子束与强子束发生对撞，在质心能量范围为20–140 GeV内实现峰值亮度 [1]。EIC由两个储存环组成：强子储存环（HSR）和电子储存环，两者都将安置在相对论重离子对撞机（RHIC）的现有隧道内 [2]。HSR将重新使用RHIC黄色环的弧段，并通过新的直线段将它们连接起来。RHIC已于2026年2月退役。

为了达到高亮度，EIC将在相互作用点（IP）采用扁平束。扁平离子束可以通过IP处不相等的横向发射度和β函数来实现，其中发射度比和β函数比均约为10 [1]。得益于随机冷却和精确解耦，我们于2023年在RHIC中使用金离子束展示了横向发射度比 [3,4]。2025年，我们进一步展示了将大发射度比离子束从31加速到100 GeV/核子 [5]。这些结果验证了HSR的设计假设，即大发射度比强子束可以在注入时产生，并在加速到对撞能量期间得以保持。

RHIC中扁平束的可用性使得一系列与EIC相关的束流物理研究成为可能。在本工作中，我们介绍了具有大横向发射度比的金离子束的束内散射（IBS）测量和建模，包括无受控贝塔特龙耦合和有受控贝塔特龙耦合两种情况。这是一项为大发射度比强子束的IBS增长建立基准的实验研究，同时也包括有意引入的贝塔特龙耦合。

粒子加速器中IBS的理论首先由Piwinski [6]提出，后来由Martini [7]扩展以考虑环内光学参数的变化。Bjorken和Mtingwa（B–M）利用量子力学开发了另一种方法 [8]。多年来，为了加快IBS增长率的计算，已经开发了多种全理论的高能近似 [9–12]。随后，Nagaitsev基于B–M形式开发了一种快速计算IBS增长率的数值方法 [13]。在文献[14]中，Wilson奖获得者Piwinski、Bjorken和Mtingwa对IBS的理论发展进行了全面综述。

Piwinski和B–M方法都求解了六维非耦合高斯束的局域双粒子库仑散射问题。最近，Lebedev和Nagaitsev基于等离子体物理中的Landau碰撞积分开发了一套替代公式 [15]。结合Lebedev和Bogacz开发的耦合参数化 [16]，这些公式使得包含贝塔特龙耦合的IBS计算成为可能。在非耦合极限下，这些公式简化为B–M表达式，但用第二类椭圆积分表示，可以使用文献[13,17,18]中描述的方法高效求值。

尽管Piwinski也推导了包含贝塔特龙耦合的IBS增长率表达式 [19]，但其实际使用受到特征向量和所涉及的双重积分复杂性的限制。对于具有同步辐射的电子储存环，Kubo和Oide提出了一种考虑贝塔特龙耦合的束流包络方法 [20]，尽管它没有明确提供IBS扩散矩阵。

对于高能强子（例如RHIC中的100 GeV/核子），IBS增长通常由纵向和横向平面主导，其中横向增长由环内的色散驱动 [9,10]。相比之下，由于垂直色散较小，直接垂直IBS增长可以忽略；相反，垂直发射度增长主要通过贝塔特龙耦合产生。

因此，许多先前关于强子束的IBS研究假设横向束流发射度相同或横向IBS增长率相等（“完全耦合”条件）[21–24]。然而，对于具有大发射度比的束流，这些假设不再成立。在我们的实验中，水平发射度超过垂直发射度约一个数量级。为了产生和维持这样的束流，必须仔细最小化残余耦合。

在这些条件下，必须独立处理水平和垂直IBS增长。在实验中，我们观察到两个横向平面中的增长率不同，这也取决于离子束能量。因此，我们放弃完全耦合近似。在本工作中，我们采用Lebedev–Nagaitsev公式分别且一致地处理横向本征模的增长，包括无受控贝塔特龙耦合和有受控贝塔特龙耦合两种情况。

本文的结构如下。我们首先回顾贝塔特龙耦合理论、Lebedev–Nagaitsev IBS公式和实验装置。然后，我们介绍在31和100 GeV/核子下具有大横向发射度比的良好解耦束流的IBS测量和建模。接下来，我们分析在31 GeV/核子下受控弱耦合条件下大发射度比离子束的IBS增长。最后，我们估计EIC HSR在不同束流能量、不同扁平度和弱贝塔特龙耦合下的IBS增长时间。

二、理论与实验装置
A. 贝塔特龙耦合
影响EIC HSR中保持大横向发射度比的两个主要因素是：贝塔特龙耦合和IBS。贝塔特龙耦合共振耦合了粒子的水平和垂直运动，导致贝塔特龙频移和横向发射度的混合 [25,26]。贝塔特龙耦合的来源包括探测器螺线管、斜四极磁铁，以及残余耦合源，如四极磁铁滚转误差和六极磁铁中的垂直闭轨。

对于环中随机贝塔特龙耦合源，哈密顿微扰理论比严格的矩阵方法更适合解析估计。在以下内容中，我们使用哈密顿微扰理论中定义的耦合系数振幅来度量全局耦合强度，其定义为 [26]：

（方程1）

这里 [c_k] 和 [c_s] 分别是斜四极磁铁和螺线管的强度，[β] 和 [φ] 是未扰动的Twiss参数，[φ] 是未扰动的贝塔特龙相位推进。

在贝塔特龙耦合下，水平和垂直运动都由两个横向本征模组成，具有本征频 [Q?, Q?] 和本征发射度 [ε?, ε?]。对于弱耦合，本征模1通常与水平平面相关联，本征模2与垂直平面相关联。

本征频可以通过微扰理论解析求解：

（方程2）
（方程3）

这里 [Q_x, Q_y] 是未耦合的分数频，[δ] 是 [...]。带耦合的分数本征频分裂为：

（方程4）

当 [Δ] 时，最小频分裂等于耦合系数振幅 [...]。对应差耦合共振。在一些文献中，[...] 被称为最小频分裂 [...]。

贝塔特龙耦合还改变了环内横向束流尺寸。已知本征发射度，带耦合的束流尺寸矩阵可以计算为 [27,28]：

（方程5）

其中 [B] 包含Edwards–Teng的Twiss和耦合参数：

（方程6）

在Lebedev和Bogacz [16]的贝塔特龙参数化中，[B] 被记为 [B?]，因为它也可以直接从单圈映射的特征向量构造。在贝塔特龙耦合下，本征发射度无法直接测量。在以下实验中，通过建模获得本征发射度后，我们可以使用方程（6）计算耦合条件下的横向束流尺寸。

B. Lebedev–Nagaitsev公式
Piwinski和Bjorken–Mtingwa都从两体库仑碰撞的第一性原理出发推导了IBS公式。最近，Lebedev和Nagaitsev基于等离子体物理中的Landau碰撞积分开发了另一组IBS公式 [15]。对于具有高斯分布的均匀非相对论等离子体，束流坐标系中均方根速度的时间导数为：

（方程7）

其中：

（方程8）
（方程9）
（方程10）

这里 [n_p] 是等离子体密度，[m] 和 [q] 是带电粒子的质量和电荷，[L_c] 是库仑对数。[E] 是第二类椭圆积分。

为了将上述方程应用于加速器中的IBS增长，我们将束流坐标系中的均方根速度表示为实验室坐标系中的均方根动量（[p_x], [p_y], [p_z]），从而可以推导出本征发射度的导数。使用Lebedev和Bogacz的4D贝塔特龙耦合参数化，Lebedev和Nagaitsev得到：

（方程11）
（方程12）

方程（11）和（12）在此从文献[15]的方程（53）和（54）中复现。这里 [N_b] 是每束团的粒子数，[r_p] 是带电粒子的经典半径，[c] 是光速。[γ] 和 [β] 是相对论参数。[ε?] 和 [ε?]，其中 [ε_⊥]，是横向本征发射度，[δ_p] 是均方根动量散布。[p_x], [p_y], [p_z] 是束流坐标系中的非耦合均方根动量。关于 [A], [B], [C] 的定义，参见文献[15]。注意矩阵 [M] 具有长度量纲，而 [A] 和 [B] 都是无量纲的。这些量用耦合光学参数表示，这些参数将本征发射度与均方根动量值联系起来。

为了得到方程（11）和（12），假设所有六个维度都是高斯分布。通常，对于强子加速器中的弱耦合束流，分布保持接近高斯分布，这证明了在本研究中使用这些公式的合理性。如前所述，在没有耦合的情况下，Lebedev–Nagaitsev IBS公式简化为Bjorken–Mtingwa公式，但用 [E] 表示，这加速了IBS增长率的计算。

C. 实验装置
在RHIC中，横向发射度使用电离轮廓监测器（IPM）测量 [29,30]，一个用于水平平面，一个用于垂直平面。它们安装在环中不同的位置，水平和垂直β函数分别约为200 m。IPM直接测量横向束流轮廓，并将其拟合为高斯分布以推导均方根束流尺寸。结合IPM位置处的模型β函数，报告横向发射度。IPM发射度测量的主要不确定性来自IPM处β函数的不确定性。RHIC的晶格模型存在约10%的β振荡不确定性。在本文中，实验数据使用95%归一化横向发射度，即：

（方程13）

这里，均方根发射度 [ε_rms]，其中 [σ] 和 [β] 分别是横向束流尺寸和β函数。

束团长度使用RHIC中的壁电流监测器（WCM）测量。在以下实验中，我们使用了28个等间距的金离子（[Au???]）束团，以提高IPM发射度测量的质量。每个束团的纵向轮廓可以直接测量。在RHIC中，束团长度通常使用半高全宽（FWHM）报告。在以下实验中，假设为高斯分布，其FWHM束团长度是均方根束团长度的2.355倍。根据文献[22]，RHIC束团长度测量的不确定性约为0.25 ns，即7.5 cm。这些实验中典型的均方根离子束团长度大于1.4 m。

2006年，我们成功在RHIC中演示并实施了全局解耦反馈系统 [31,32]。该系统依赖于耦合系数的连续测量，通过基带锁相环频计实现。耦合系数从测得的本征模振幅在横向轴上的投影导出。由于耦合系数是复数，我们将RHIC中现有的斜四极磁铁分为两个正交族，以有效校正全局耦合。从那时起，解耦反馈已成为RHIC常规运行的组成部分，在注入、储存和加速期间应用。在RHIC中，应用解耦反馈后，耦合系数振幅通常约为0.001。

为了产生用于IBS研究的大发射度比，我们在实验中使用了随机冷却。RHIC中聚束离子束的纵向运行冷却于2007年首次实现 [33]，随后于2011年实现了垂直冷却。2012年，随着水平平面的加入，完整的三维随机冷却开始运行 [34]。为了最大化横向发射度比，水平平面冷却被关闭，而垂直平面冷却保持运行。在这种配置下，IBS增加了水平发射度，而随机冷却抑制了垂直发射度，从而使横向发射度比最大化 [4]。

三、良好解耦束流的 IBS

对于良好解耦的情况，我们使用了近期在 RHIC 中加速大发射度离子束实验的测量数据，该实验于 2025 年 7 月 23 日进行。图 1 显示了整个过程中测量的横向发射度以及发射度比。在两条竖线之间，束流从 31 GeV/核子加速至 100 GeV/核子。

图 1. 2025 年 7 月 23 日实验的测量结果，下方图为横向发射度，上方图为横向发射度比。

在此实验中，RHIC 黄环中使用了 28 个金离子束团。加速前平均离子数约为每束团 0.57 × 10^9。在 31 GeV/核子时，我们首先仅通过施加垂直随机冷却来产生大的发射度比，从而减小垂直发射度，同时允许水平发射度因 IBS 而增长。在随后的实验中，通常需要约 2.5 小时才能达到约 2.5 的横向发射度比。

当发射度比达到约 2.5 时，束流被加速至 100 GeV/核子。在能量爬升期间，通过对轨道、工作点和耦合进行高性能控制，成功保持了大的发射度比。在 100 GeV/核子时，大发射度比的束流维持了约 2 小时。

横向分数工作点在 31 GeV/核子以及加速至 100 GeV/核子期间保持在 (0.238, 0.212)。在存储期间，这些工作点维持了前 50 分钟。随后，工作点移至 HSR 设计值 (0.238, 0.210)，束流在此处保持约一个小时。

整个实验过程中，利用解耦反馈对贝塔函数耦合进行了校正。在此实验中，我们测量了最小工作点分裂，即耦合系数 C 的振幅，在 100 GeV/核子下，在实验结束前进行，如图 2 所示。由于冷却、加速以及存储开始期间工作点分裂为 0.026，比残余耦合振幅大一个数量级以上，我们假设在此实验期间黄环处于良好解耦状态。

图 2. 在 100 GeV/核子下测量最小工作点分裂（即耦合系数 C 的振幅）期间的贝塔函数工作点。

A. 31 GeV/核子下的建模

在加速大发射度比束流之前，我们有意暂停约 5 分钟，不进行任何冷却。最初目的是确保随机冷却完全关闭。在此，我们模拟了此期间因 IBS 导致的横向发射度和束团长度的演化。表 I 列出了用于 IBS 建模的初始测量束流参数，以及从测量和建模获得的 IBS 增长时间。

表 I. 31 GeV/核子下用于 IBS 建模的初始束流参数以及从测量和建模得到的 IBS 增长时间。
| 量 | 单位 | 值 |
| :--- | :--- | :--- |
| 初始参数： | | |
| 束团强度 | | 0.57 × 10^9 |
| 水平发射度 | | 17.3 μm |
| 垂直发射度 | | 1.33 μm |
| 束团长度 | m | 1.47 |
| 动量散度 | | 1.30 × 10^-3 |
| 测量得到的 IBS 增长时间： | | |
| 水平发射度 | h | ∞ |
| 垂直发射度 | min | 25.1 |
| 束团长度 | h | 239 |
| 建模得到的 IBS 增长时间： | | |
| 水平发射度 | h | ∞ |
| 垂直发射度 | min | 25.7 |
| 束团长度 | h | 31.6 |

对于 IBS 建模，需要均方根动量散度，但无法直接测量。在此实验中，使用了 400 kV 的 28 MHz 射频腔。根据测得的均方根束团长度和晶格模型，可以通过在射频腔开启状态下进行单粒子追踪来确定均方根动量散度。

在这 5 分钟（31 GeV/核子）期间，我们观察到垂直发射度增加了约 19.1%，而水平发射度和束团长度几乎保持不变。横向发射度比从约 2.5 降至约 2.1。图 3 显示了平均束团强度、横向发射度和束团长度。测量数据以红色显示，IBS 建模结果以蓝色显示。

图 3. 31 GeV/核子下测量和 IBS 建模的发射度与束团长度。左上：束团强度。右上：水平发射度。左下：垂直发射度。右下：均方根束团长度。

在这些实验中，我们并不试图比较测量与建模之间的瞬时 IBS 增长时间，因为这些量无法精确确定且通常带有很大不确定性。相反，我们关注有限观测时间段内的净变化。为简单起见，我们使用某量的初始值和最终值定义平均增长时间 τ，如下所示：

τ = t / ln(ε_f / ε_i) (14)

其中 ε_i 和 ε_f 分别是初始值和最终值，t 是观测时段的时间长度。根据测量，垂直发射度的平均增长时间为 25.1 分钟。水平发射度和束团长度的增长时间分别为 ∞ 和 239 小时，可视为实际上无限长。

如图 3 所示，在这 5 分钟内，束团强度损失可忽略不计，因此在 IBS 建模中予以忽略。在模拟中，IBS 增长速率、发射度、束团长度和动量散度每秒更新一次。模型很好地再现了测量结果。从模拟得到的垂直发射度平均增长时间约为 25.7 分钟，与测量值吻合良好。水平发射度和束团长度的增长时间分别实际上为负无穷大和正无穷大。表 I 总结了测量和建模的平均 IBS 增长时间。

B. 100 GeV/核子下的建模

接下来，我们对 100 GeV/核子下的 IBS 测量数据进行建模。在工作点从 (0.238, 0.212) 变为 (0.228, 0.210) 期间，测得的横向发射度和束团长度出现小的不连续性。为保持一致性，我们仅使用前 40 分钟的数据，在此期间工作点保持在 (0.238, 0.212)。

图 4 以红点显示测得的束团强度、横向发射度和束团长度，以及蓝色的 IBS 建模结果。与 31 GeV/核子的情况不同，观察到两个横向发射度和束团长度均出现明显增长。水平和垂直发射度的平均增长时间分别为 4.9 小时和 11.1 小时，表明水平发射度增长大约比垂直快两倍。束团长度的平均增长时间为 4.8 小时，与水平发射度相当。

图 4. 100 GeV/核子下测量和 IBS 建模的发射度与束团长度。左上：束团强度。右上：水平发射度。左下：垂直发射度。右下：均方根束团长度。

在这 40 分钟内，束团强度下降了约 6%（由 WCM 测量），而直流电流互感器测量的束流电流几乎保持恒定。这表明束流损失主要是由于离子从纵向射频桶中泄漏所致。对于 IBS 建模，WCM 束团强度在 1440 秒前后分别用分段指数函数进行拟合。在模拟中，IBS 增长速率、发射度、束团长度和动量散度每 10 秒更新一次。

表 II 列出了用于 IBS 建模的初始束流参数以及测量和模拟的平均增长时间。如图 4 所示，IBS 模型较好地再现了测量的发射度和束团长度演化。模拟得到的水平和垂直发射度的平均增长时间分别为 4.3 小时和 13.2 小时，而束团长度的增长时间为 4.2 小时，略短于测量的 4.8 小时。这一差异可能归因于离子从射频桶泄漏，这实际上减缓了束团长度增长。在 V A 节中，我们将对测量与建模之间束团长度的差异进行额外讨论。

表 II. 100 GeV/核子下用于 IBS 建模的初始束流参数以及从测量和建模得到的 IBS 增长时间。
| 量 | 单位 | 值 |
| :--- | :--- | :--- |
| 初始参数： | | |
| 束团强度 | | 0.57 × 10^9 |
| 水平发射度 | | 18.50 μm |
| 垂直发射度 | | 1.66 μm |
| 束团长度 | m | 1.32 |
| 动量散度 | | 5.35 × 10^-4 |
| 测量得到的 IBS 时间： | | |
| 水平发射度 | h | 4.9 |
| 垂直发射度 | h | 11.1 |
| 束团长度 | h | 4.8 |
| 建模得到的 IBS 时间： | | |
| 水平发射度 | h | 4.3 |
| 垂直发射度 | h | 13.2 |
| 束团长度 | h | 4.2 |

IV. 弱耦合束流的 IBS

在本节中，我们考虑弱耦合条件下由 IBS 导致的横向发射度和束团长度增长。为此，于 2025 年 11 月 14 日进行了一项专用束流实验。为避免在 100 GeV/核子时观察到的离子从射频桶泄漏，实验在 31 GeV/核子下进行，如前所述，在此能量下束团长度增长可忽略不计。

在此实验中，28 个金离子束团存储在黄环中，平均束团强度为 0.57 × 10^9。在冷却之前，测量了最小工作点分裂——对应于贝塔函数耦合系数 C 的振幅——以验证有效解耦。通过调整弧线四极铁强度，尽可能拉近贝塔函数工作点。如图 5 所示，实现了约 0.005 的最小工作点分裂，表明晶格解耦良好。在随后的 IBS 实验中，解耦的贝塔函数工作点设置为 (0.235, 0.215)。

图 5. 2025 年 11 月 14 日实验期间，在 31 GeV/核子下测量最小工作点分裂（即耦合系数 C 的振幅）时的贝塔函数工作点。

在三种条件下进行了 IBS 导致的发射度和束团长度测量：良好解耦、C ≈ 0.002 和 C ≈ 0.004。对于每种情况，首先在良好解耦条件下冷却垂直发射度，以获得约 2.5 的发射度比。然后关闭冷却，通过斜坡上升斜四极铁电流引入耦合。束流演化记录约 10 分钟。每次测量后，重置斜四极铁，并重新冷却束流，为下一种条件做准备。

每个 RHIC 环包含三个斜四极铁族（F1、F2 和 F3），每个族由四个独立电源供电。在此实验中，F1 和 F3 族用于在良好解耦的晶格基础上引入受控耦合。

在没有耦合的情况下，IPM 直接测量水平和垂直发射度，即本征发射度。然而，在耦合条件下，IPM 测量均方根束斑尺寸，并且仍使用非耦合晶格函数 β_x, β_y 来推断发射度。这些推断的量不对应于本征发射度，因此在此称为准发射度。利用准发射度和模型 β 函数，我们可以重建 IPM 处测得的束斑尺寸 σ_x, σ_y。

尽管在耦合期间无法直接测量本征发射度，但它们由于 IBS 和耦合而发生的变化，可以通过在引入耦合前和移除耦合后立即测量的本征发射度之差来推断。

图 6 显示了整个实验过程中准发射度的演化，并标明了三种耦合条件。准水平发射度几乎保持恒定，除了 C ≈ 0.004 的情况，这将在下面讨论。相比之下，准垂直发射度在引入耦合时立即增加，且耦合越强，增加越大。这些瞬时变化源于耦合效应，已在参考文献 [4] 中详细讨论。接下来，我们将重点关注耦合存在时本征发射度和束团长度的增长。

图 6. 2025 年 11 月 14 日实验的 IPM 测量横向发射度。

均方根束团长度如图 7 所示。在大约 1 小时内，束团长度仅增加约 3%，证实了在此能量下纵向增长仍然很弱。在大约 3000 秒时观察到增长速率略有增加，这与 C ≈ 0.004 情况下斜四极铁电流的斜坡上升相吻合。

图 7. 2025 年 11 月 14 日实验测量的束团长度。

为了完整性，还对良好解耦条件进行了 IBS 建模。测得的和模拟的垂直发射度增长时间分别为 36 分钟和 35 分钟，吻合极好。对应的水平发射度和束团长度的增长时间实际上为无限长。

A. 在 C ≈ 0.002 情况下

在此情况下，通过改变 F1 和 F3 族的斜四极铁强度引入耦合，目标 C ≈ 0.002。总变化分两步等量施加。耦合系数的振幅比应用全局解耦反馈后的典型值大约一个数量级。

在引入耦合之前，测得的分数工作点为 (0.235, 0.215)。施加耦合后，工作点移至 (0.236, 0.214)。正如预期，贝塔函数工作点分离随耦合增加而增大。使用模型晶格，对非耦合晶格施加相同的斜四极铁强度变化，得到工作点为 (0.2362, 0.2138)，与测量结果吻合良好。

施加耦合后，束团长度变化保持可忽略不计。图 8 和图 9 显示了测得的准水平和准垂直发射度（红点）。在引入耦合之前立即测得的本征发射度为 (18.07, 1.30) μm，而在移除耦合之后立即测得的为 (18.29, 1.48) μm。模式I的本征发射度在观测期间基本保持不变。模式II的本征发射度增加了约31%，对应的平均增长时间为38分钟。图8展示了准水平发射度与模式I发射度随 的变化关系。图9展示了准垂直发射度与模式II发射度随 的变化关系。

用于IBS建模的初始束团长度和动量散度分别为1.51 m和 。平均离子数为每束团 。为模拟IBS引起的发射度和束团长度演化，我们采用Lebedev–Nagaitsev的IBS公式。在模拟代码中，IBS增长率、本征发射度、束团长度和动量散度每1秒更新一次。

为与测量结果对比，建模得到的本征发射度也在图8和图9中以蓝色曲线显示。建模的最终本征发射度为(18.17, )，与耦合移除后立即进行的IPM测量结果(18.29, )吻合良好。根据建模结果，模式II的本征发射度在10分钟内增加约32%，对应的平均增长时间为37分钟。

利用耦合期间建模得到的本征发射度 ，可以重构IPM处的束流尺寸及相应的准发射度；这些结果在图8和图9中也以绿色曲线显示。测量与建模的准发射度之间的相对差异在水平面和垂直面分别约为1.5%和10%。

为进行对比，我们还假设环内无耦合的情况建模了本征发射度的增长。在该情况下，模式II的本征发射度将增加至 ，相当于10分钟内增加约34%。无耦合时本征模式II的增长时间为35分钟。与存在β函数耦合 时的37分钟相比，环内耦合减慢了本征模式II的发射度增长。

在本实验中，当β函数耦合为 时，耦合最显著的影响是准垂直发射度增加约71%，准发射度之比从约 变为 。B. 对于 的情况，在环内引入了更强的横向耦合。所产生的耦合系数约为施加去耦反馈后典型残余耦合的20倍。F1和F3族中的斜四极铁强度变化为 ，也分两个等步施加。

在引入耦合之前，测量的β函数振荡频率为(0.235, 0.215)。施加耦合后，频率移动至(0.238, 0.212)。晶格模型对相同斜四极铁设置的预测频率为(0.2391, 0.2108)，与测量结果吻合良好。

图10和图11以红色显示了测量的准水平发射度和准垂直发射度。在引入耦合之前，本征发射度立即为(18.25, )，而在移除耦合后立即为(17.38, )。模式I的本征发射度（主要与水平发射度相关）下降了约5%，而模式II的本征发射度（主要与垂直发射度相关）增加了约65%。

图10展示了测量得到的准水平发射度以及建模得到的模式I发射度随 的变化关系。图11展示了测量得到的准垂直发射度以及建模得到的模式II发射度随 的变化关系。

用于IBS建模的初始束团长度和动量散度分别为1.52 m和 。离子数为每束团 。利用这些初始束流参数，我们使用Lebedev和Nagaitsev的IBS公式建模了本征发射度的演化。在模拟中，增长率、本征发射度、束团长度和动量散度以1秒为间隔更新。由此产生的本征发射度演化在图10和图11中以蓝色曲线表示。

根据模型，在约10分钟耦合期间，模式I和模式II的本征发射度将为(18.42, )，相对变化分别约为0.9%和25%。本征发射度与耦合移除后立即进行的发射度测量结果(17.38, )不一致。此外，在耦合期间，测量与建模的准发射度之间也存在显著差异。

图12显示了整个实验过程中记录的束流损失率。在斜四极铁电流为 情况增大之前，损失率保持在2%/h以下，对应图中约3000秒处。此时，损失率峰值达到约25%/h，然后逐渐下降。耦合移除后，束流损失率恢复到其标称水平。

图12展示了整个束流实验中的束流衰减率。

我们将IPM测量的准水平发射度降低归因于水平面上大振幅粒子的损失。一种可能的解释是，强耦合 将模式I的本征频率推近0.25处的四阶共振。在RHIC质子-质子碰撞物理储存的早期阶段，类似效应一直被观测到，即在束束相互作用存在的情况下，由于动量孔径减小，大振幅粒子会损失。在那里，我们也观测到储存第一个小时内IPM测量的横向发射度减小[35]。在附录A中，我们将提供额外的证据支持我们的假设，即耦合系数 下观测到的束流损失是由0.25处的四阶β函数共振引起的。

比较耦合移除后测量和建模的本征模式II发射度，我们推断在斜四极铁电流斜坡上升期间发生了额外的发射度增加。相对于 的情况，斜坡上升速率大约快两倍，这可能诱导了非绝热的本征发射度增加。

此外，在图10和图11中约3200秒处，测量的准发射度观察到小的不连续性，这可能对额外的本征发射度增加有所贡献。在3200秒时，触发了非计划性的自动储存轨道校正。

为了更好地表示耦合 情况下IBS建模的初始束流参数，我们调整了初始本征发射度，以匹配引入耦合后立即测量的IPM准发射度(16.20, )。通过优化程序获得了相应的本征发射度(18.51, )。与耦合前的测量值(18.25, )相比，这意味着本征模式II发射度增加了约36%。这些结果表明需要更缓慢地斜坡上升斜四极铁电流以保持本征发射度。

使用这些调整后的初始本征发射度(18.51, )，我们重新建模了耦合情况 下本征发射度和束团长度的演化，如图13和图14所示。利用更新后的初始条件，IBS模型在耦合移除后立即复现了IPM测量的本征模式II发射度，相对误差为4%。建模的准垂直发射度也与测量结果吻合良好，尽管在约3200秒处由于自动储存轨道校正观察到小的增加。如上所述，本征模式I发射度的降低归因于水平面上的粒子损失，因此模型未捕捉到这一效应。

图13展示了测量得到的准水平发射度以及IBS建模得到的模式I发射度随 的变化关系。这里，IBS建模使用了调整后的初始本征发射度。图14展示了测量得到的准垂直发射度以及IBS建模得到的模式II发射度随 的变化关系。这里，IBS建模使用了调整后的初始本征发射度。

作为对比，在初始本征发射度为(18.25, )时，本征模式II的建模增长时间约为46分钟。与上述 情况下获得的37分钟增长时间相比，本征模式II的发射度增长更慢。因此，环内更强的耦合进一步减缓了IBS引起的本征模式II的发射度增长。

V. 进一步讨论

在本节中，我们提出额外的讨论，以解决测量与建模束团长度之间的差异、有限射频桶高度引起的离子损失、横向发射度测量的不确定性及其对IBS建模结果的影响。在附录B中，我们将回顾库仑对数的定义及其对EIC HSR质子晶格IBS增长率计算的影响。

A. 测量与建模束团长度之间的差异

在对实验数据的IBS建模中，我们发现测量的束团长度始终小于IBS建模预测的值，如图3和图4所示。我们将此归因于有限的射频桶高度，或有限的射频最大动量接受度。在31 GeV/核子下进行的IBS实验中，环处于良好去耦状态，束团长度增加了0.1%，束团强度在约300秒内下降了0.6%。在100 GeV/核子下进行的实验中，环同样处于良好去耦状态，束团长度增加了14%，束团强度在约300秒内下降了5%。束团长度和束团强度的相对变化处于相似的数量级。

在我们的束流实验中，仅使用了400 MV 28 MHz的射频腔。作为示例，图15显示了31 GeV金离子束的纵向相空间。射频桶高度在31 GeV时为 ，在100 GeV时为 。如上所述，束流均方根相对动量散度在31 GeV时为 ，在100 GeV时为 。因此，射频桶高度仅约为束流均方根相对动量散度的2.3倍。对于初始高斯分布，相对动量偏差超过射频桶高度的粒子会泄漏出射频桶，变成非聚束状态，最终损失。因此，IBS引起的束团长度变化受到强烈抑制。

图15展示了实验中31 GeV金离子束的纵向相空间。射频桶高度约为束流均方根相对动量散度的2.3倍。

为说明IBS引起的束团长度演化，我们采用简化的具有常数扩散系数的谐波势 中的一维扩散模型。相应的控制粒子分布演化的福克-普朗克方程为：

(15)

这里， 是纵向密度分布， 是与IBS相关的扩散系数， 是由于谐波势引起的漂移系数，其中 。

假设初始高斯分布，在扩散过程中束团分布保持高斯分布。均方根束团长度演化为：

(16)

这里， 是初始均方根束团长度。对于 的短时间段，我们有：

(17)

这对应于自由一维扩散过程的解。对于足够长的时间， ，系统达到扩散与约束平衡的平衡状态：

(18)

这与初始束团长度 无关。

如果由于有限的动量动态孔径或射频桶高度，在 处存在孔径，则留在孔径内的粒子数为：

(19)

这里， 是没有孔径时初始高斯分布中的总离子数，erf是误差函数。

关于非高斯束流在IBS和随机冷却存在情况下的纵向分布演化和束流损失的更严格处理，请参考参考文献[36]。

B. 横向发射度测量的不确定性

在我们的实验过程中，IPM发射度测量的不确定性对我们的IBS增长基准测试的不确定性贡献最大。IPM测量由束流电离残余气体产生的自由电子分布。电子通过横向电场从束流管线中扫出，经过微通道板（MCP）放大，并收集在平行于束流轴方向的条状阳极电路板上。平行于扫描电场的均匀磁场补偿了由空间电荷和反冲动量引起的散焦效应。

使用IPM进行发射度测量时，误差有两个可能的来源：硬件相关误差和数据处理误差[37]。硬件相关误差主要包括校准不良的通道、MCP老化、探测器和读出系统故障以及其他相关效应。第二类包括原始数据高斯拟合的不确定性以及IPM位置处局部 -函数的不确定性。对于现代IPM，束流尺寸测量的不确定性通常在5%以内。如上所述，RHIC中模型给出的典型 -拍约为10%。

我们无法直接估计实验中IPM发射度测量的绝对误差。相反，我们将IPM发射度测量的不确定性分为两类：系统误差和随机误差。IPM发射度测量的系统误差可以通过对测量发射度施加比例因子来校正。在RHIC中，在质子运行期间，IPM发射度测量可以与光度模型和偏振计测量进行基准测试。

随机误差导致相同束流条件下多次测量之间的变化。下面，我们使用几个连续测量来估计该变化。在我们的实验中，由于IPM的弛豫时间限制，通常每30秒进行一次测量。我们将百分比变化定义为：(20) 其中，、和分别是三次连续发射度测量值的最大值、最小值和平均值。图16展示了弱耦合实验中IPM发射度测量的百分比变化。两个横向平面内测得的发射度典型变化均低于2%。我们注意到，耦合系数为时水平发射度测量的变化（如图8所示）略大于耦合系数为时的变化（如图10所示）。造成这种差异的原因尚不清楚。我们注意到，在此次实验中，水平IPM有一个通道存在明显的校准错误或功能故障。

图16. 弱耦合实验期间IPM发射度测量的百分比变化。

为了估计初始发射度不确定性对IBS建模结果的影响，我们将两个横向发射度的初始均方根发射度输入值分别改变了。例如，对于31 GeV/nucleon下无耦合的IBS研究，图17显示了初始横向均方根发射度具有不确定性时垂直束流均方根发射度的演化。在此实验中，垂直发射度增长比水平面更为显著。可以看出，水平发射度的不确定性对最终垂直发射度预测影响很小。尽管初始垂直发射度的变化会改变建模垂直发射度的绝对值，但IBS建模得出的平均垂直发射度增长时间几乎不受影响。

图17. 31 GeV下IBS研究垂直发射度的测量与建模演化。假设初始横向束流发射度具有不确定性。

图18显示了100 GeV/nucleon下无耦合IBS研究中初始均方根发射度具有不确定性时水平均方根束流发射度的演化。在此实验中，我们重点比较水平发射度的测量值与建模值。可以看出，初始垂直发射度10%的变化对水平发射度演化影响很小。尽管初始水平发射度的变化会改变建模水平发射度的绝对值，但建模得出的平均水平发射度增长时间几乎不受影响。

图18. 100 GeV下IBS研究水平发射度的测量与建模演化。假设初始横向束流发射度具有不确定性。

对于我们的大发射度比离子束实验，测量与建模之间IBS增长时间的差异通常小于15%，但耦合系数为的情况除外。在先前其他强子加速器上进行的具有相同横向发射度的实验中，测量到的IBS增长率与理论预测之间的差异约为10%–20% [38,39]。

VI. 对EIC的影响

在本节中，我们首先评估EIC HSR在不同束流能量下的IBS增长时间。然后，我们研究横向发射度比和β振荡耦合对IBS增长时间的影响。IBS增长时间是使用最新的质子设计晶格计算的，并采用Lebedev–Nagaitsev形式。

Wei和Parzen [40] 研究了大型强子对撞机（VLHC）中高能扁平束的IBS增长率标度。对于VLHC设计，质子束能量为50 TeV，设计横向发射度比约为，这可通过质子同步辐射阻尼实现 [41]。从他们在高能下的IBS解析公式 [9,10] 出发，他们发现水平和纵向增长率彼此成正比，且当时发生垂直阻尼。

A. HSR的IBS增长时间

EIC HSR将复用RHIC黄色环的弧段，并连接新的直线段。RHIC的强子注入加速器将保留用于EIC HSR。RHIC注入加速器的典型95%归一化横向发射度约为。

对于EIC中的质子-电子碰撞，相互作用点处横向束流尺寸比约为，以实现高峰值亮度。质子束将首先在约23.8 GeV的注入能量下使用常规电子冷却进行冷却 [42]。注入晶格的转变能量为23.5 GeV。在实现大发射度比后，扁平质子束将被加速至各种碰撞能量。

表III列出了注入能量以及两个碰撞能量（100和275 GeV）下的设计参数。为了全文一致性，我们在该表中使用95%归一化横向发射度。注入参数对应于冷却后的质子束。IBS增长时间分别对应横向和纵向发射度。

表III. 质子束设计参数及计算的IBS增长时间。

| 量 | 单位 | 23.8 GeV | 100 GeV | 275 GeV |
|---|---|---|---|---|
| | | 25.4 | 106.6 | 293.1 |
| 束团强度 | | 28 | 6.9 | 6.9 |
| 水平发射度 | | 18.7 | 19.2 | 19.9 |
| 垂直发射度 | | 1.7 | 1.72 | 1.76 |
| 束团长度 | m | 1 | 0.07 | 0.06 |
| 动量散度 | | 6 | 9.7 | 6.8 |
| IBS | h | | 1.7 | 2.1 |
| IBS | h | 0.3 | 4.1 | |
| IBS | h | 0.67 | 3.0 | 3.9 |

注入能量下的质子束团强度为。该束团将在碰撞能量下分为四个束团。IBS增长率与束团强度成正比，并且强烈依赖于粒子能量。如表III所示，冷却束的垂直发射度IBS增长时间仅为18分钟。在设计发射度达到后立即加速束流至关重要。

从表III可以看出，随着质子能量增加到碰撞能量，垂直发射度的增长时间逐渐增加，并在275 GeV时趋近无穷大。原因是EIC HSR设计上没有垂直色散。垂直发射度随IBS的增加将来自由于β振荡耦合引起的水平发射度增长。

B. IBS与横向发射度比的关系

对于注入能量下的电子冷却，同时冷却两个横向平面比仅冷却垂直平面更高效。将横向发射度冷却到（0.5，）大约需要30分钟。表IV比较了不同横向发射度比下的IBS增长时间。在该计算中，垂直发射度保持不变。横向发射度比通过调整水平发射度来改变。

表IV. 质子注入能量下不同横向发射度比的IBS增长时间。对于此计算，垂直发射度保持不变。

| | IBS (h) | IBS (h) | IBS (h) |
|---|---|---|---|
| 11 | | 0.30 | 0.67 |
| 8 | | 0.26 | 0.60 |
| 6 | | 0.24 | 0.56 |
| 4 | | 0.22 | 0.50 |
| 1.7 | 0.4 | 0.24 | 0.41 |

从表IV可以看出，注入时更大的初始水平发射度或更大的横向发射度比导致垂直发射度和束团长度的增长时间稍慢。基于模拟，当发射度比大于时，水平发射度会减小。冷却设计团队提出了发射度比或。如果我们在两个横向平面上冷却质子束，则需要在碰撞能量下将水平发射度吹散以匹配设计碰撞发射度比。

在碰撞能量下，更大的横向发射度比导致更高的峰值亮度。然而，EIC的束流-束流相互作用模拟表明，质子束将具有更大的垂直发射度增长率和更小的动态孔径。因此，有必要平衡横向发射度比（峰值亮度）和束流寿命，以最大化积分亮度。

表V比较了275 GeV下横向发射度比从到范围的IBS增长时间。在这些计算中，水平发射度保持不变，而横向发射度比通过调整垂直发射度来变化。

表V. 质子275 GeV下不同横向发射度比的IBS增长时间。对于此计算，水平发射度保持不变。

| | IBS (h) | IBS (h) | IBS (h) |
|---|---|---|---|
| 11 | 2.1 | | 3.9 |
| 8 | 2.5 | | 4.7 |
| 6 | 3.0 | | 5.6 |
| 4 | 3.8 | | 7.1 |
| 3 | 4.5 | | 8.4 |
| 2 | 5.8 | | 10.9 |
| 1 | 9.2 | | 17.0 |

结果表明，减小横向发射度比会增大水平和纵向发射度的IBS增长时间。我们数值验证了Wei和Parzen早期的发现，即当时发生垂直阻尼。然而，表V中的垂直IBS增长（或阻尼）时间实际上保持无限大（大于1000 h），无论横向发射度比如何。在运行期间，275 GeV下的垂直发射度增长预计主要来自β振荡耦合。

C. IBS与β振荡耦合的关系

HSR中β振荡耦合的来源包括探测器螺线管、四极铁滚转误差以及弧段六极铁处的垂直闭合轨道畸变。EIC探测器螺线管位于相互作用区6（IR6），总长度为4 m，设计纵向磁场约为2 T。探测器螺线管的影响与粒子能量成反比。它在23.8 GeV时对全局耦合系数的贡献为0.053，在275 GeV时为0.0053。

对于沿环随机分布的四极铁滚转角，耦合系数的振幅可估计为：(21) 其中是四极铁滚转误差的均方根值。其贡献对粒子能量不敏感。例如，使用最新的275 GeV HSR储存晶格并假设，得到的为0.0054。

有两组用于耦合补偿的斜四极铁：全局斜四极铁和局部斜四极铁。局部斜四极铁位于相互作用区。在储存能量下，它们用于补偿探测器螺线管的耦合效应和相互作用点处的垂直蟹形色散，而全局斜四极铁用于残余耦合校正。在注入时，我们可以使用全局或局部斜四极铁进行全局耦合校正。我们正在评估不同解耦方式下的IBS速率。

如参考文献 [4] 所述，耦合系数的振幅应比横向工作点分裂小约一个数量级。例如，对于HSR碰撞能量下的设计工作点（0.228, 0.210），应小于0.0018。我们将为EIC HSR采用与RHIC相同的解耦反馈。如前所述，应用解耦反馈后，RHIC中的典型耦合振幅约为0.001。在注入冷却和加速期间，如果束流寿命可接受，可以增加工作点分裂。

在这里，我们模拟了残余弱β振荡耦合存在时本征发射度的演化。使用275 GeV HSR储存晶格，通过四极铁滚转引入耦合。无耦合时的横向工作点设为（0.228, 0.210）。在模拟中，IBS增长率和本征发射度每10秒更新一次。图19和图20显示了四种不同耦合条件下模式I和模式II的本征发射度：无耦合、、和。模拟在4小时的实际束流时间上进行。

图19. 275 GeV质子束不同耦合下模式I本征发射度的演化。

图20. 275 GeV质子束不同耦合下模式II本征发射度的演化。

从图中可以看出，随着环中β振荡耦合的增加，本征模II的IBS增长率增加，而本征模I的IBS增长率减小。比较无耦合和有耦合的情况，模式I本征发射度的相对变化远小于模式II。如果环中没有耦合，模式II本征发射度在4小时内增加约5%。无耦合和的情况之间本征发射度演化没有显著差异。对于，模式II的本征发射度在模拟过程中增加了约32%。模式II本征发射度的增大增加了相互作用点处的垂直束流尺寸，从而降低了亮度。

在我们31 GeV/nucleon的束流实验中，我们观察到在环中引入耦合后本征模II的发射度增长率变慢。原因是，在低能下，由于大的横向发射度比，主要IBS增长发生在垂直平面，而水平IBS增长可忽略不计。当引入耦合时，IBS驱动的本征模II发射度增长部分转移到本征模I。相反，对于275 GeV质子束，IBS诱导的主要发射度增长发生在水平平面，垂直增长可忽略不计。在引入耦合后，由IBS驱动的本征模I的发射度增长部分转移至本征模II。耦合对IBS的主要影响是混合或重新分配发射度及其增长。如文献[4]所述，存在耦合时IBS引起的发射度增长不能简单解释为仅在一个横向平面（水平或垂直）内发生扩散的过程，而另一平面中的发射度增长完全通过耦合从IBS主导平面转移而来。实际上，耦合改变了横向粒子分布，进而影响IBS增长率。VII. 总结本文利用Lebedev–Nagaitsev形式，针对RHIC中具有大横向发射度比的束流，在无β-耦合及有β-耦合两种情况下，对IBS引起的发射度增长进行了基准测试。模拟结果再现了在31 GeV/核子及100 GeV/核子下无耦合情况以及弱耦合情况下的观测结果。对于，强耦合将本征模I的tune值推近四阶共振，导致粒子损失及本征模I发射度减小。本征模II的发射度随斜四极磁铁强度的增加而增大。通过调整IBS模型中初始本征发射度以匹配准发射度，可以再现本征模II发射度的观测演化。本文还评估了EIC HSR中质子束在能量范围内的IBS增长时间。为实现并维持高亮度碰撞所需的大发射度比，必须最小化β-耦合。对于EIC HSR，将采用类似RHIC的解耦反馈将耦合振幅抑制至0.002以下。