用于非线性束流动力学分析的基于方阵的六维收敛图

《Physical Review Accelerators and Beams》：Square matrix-based six-dimensional convergence map for nonlinear beam dynamics analysis

　　基于方阵的收敛图（CM）方法已被证明能有效表征若干四维动力系统中的非线性动力学特性。然而，当存在含时微扰（例如对撞机中的crab-kick）时，需要全面的六维分析来准确捕捉横向与纵向运动之间的耦合。在本工作中，我们通过采用基于特征分解的方阵表述并结合迭代过程，将CM方法推广至完整的六维相空间。所提出的六维CM方法首先在简化的crab映射上得到验证，随后应用于未来电子-离子对撞机的动力学孔径研究。仅使用单圈映射，CM结果在识别主共振结构和稳定性边界方面与频率分析定性一致，表明六维CM可作为一种快速指标用于非线性束流动力学分析。I. 引言理解非线性动力系统中的长期稳定性[1,2]仍然是一项关键挑战，尤其是在粒子加速器的动力学孔径（DA）研究中[3]。目前，直接粒子追踪仍是评估DA最可靠的方法，但通常计算量巨大。对于轻子环，评估通常需要数千圈，对应于阻尼时间。对于强子环，DA的评估计算量更大，可达10^5至10^6圈[4–6]。在过去几十年中，研究人员开发了预测长期稳定性的更快技术，如正则微扰理论、Lie算子方法、幂级数展开和正规形[7–14]。然而，这些方法往往因展开阶数不足、共振穿越的复杂性或在大振幅下的不准确性而精度受限。此外，DA本身的长期演化在强子环中已有研究，包括逆对数标度模型[15]以及后续改进，旨在外推DA演化超出数值追踪可直接触及的圈数范围[16]。对于经历准周期运动的粒子，基于基本频率数值分析[19]的频率映射分析（FMA）[17,18]已被应用于初始条件网格上，以提取主频的偏移，作为识别稳定区域、共振和混沌区的指标[20–22]。最近，数据驱动指标也被研究，包括基于舍入误差和可逆性误差的非线性束流动力学指标[23,24]，以及针对CERN大型强子对撞机（LHC）的混沌指标综述[25]。与此同时，基于机器学习的替代方法也被探索用于预测与DA相关的稳定区域，包括光源晶格中的快速DA评估[26]和强子环的储备池计算模型[27]。近年来，方阵方法[28]在周期非线性动力系统的高效分析中取得了显著进展，特别是在高阶共振的识别方面。在此基础之上，收敛图（CM）方法被提出[29]。CM方法采用迭代变换将非线性轨迹转化为近乎纯旋转运动，并将残余收敛误差作为稳定性指标。该框架已在若干四维动力系统中得到成功验证，包括四维Hénon映射[30]和NSLS-II储存环的横向动力学[31,32]。与常规粒子追踪和FMA技术相比，CM方法仅需在计算中使用单圈传输映射，因而具有更快的计算效率。在现代环形对撞机中，横向与纵向动力学之间的同步-回旋耦合源自各种效应，如位于色散位置处的加速腔、束-束相互作用以及其他具有到达时间依赖性的横向场[5]。在近期的对撞机设计中，强子束设计为与另一强子束或电子束对撞，例如LHC高亮度升级和电子-离子对撞机（EIC）[33]项目。crab腔提供含时偶极场，用于补偿因交叉角引起的几何亮度损失。先前研究表明，crab腔中的高次谐波磁矩会影响DA[6]，并可能产生额外的共振线，影响束流的长期稳定性[34]。使用降维的四维分析可能不足以捕捉此类效应。在本工作中，我们将CM从四维推广至完整的六维相空间，以研究这些同步-回旋耦合效应。所提出的六维CM公式基于单圈传输映射的特征分解，与原始四维CM方法中的Courant-Snyder形式相比，能够更精确地重构上三角方阵。通过将该公式与迭代收敛分析相结合，我们重构了近似作用-角变量，这些变量提供了耦合六维空间中近似准周期运动的局域坐标。该扩展使得CM能够识别常规FMA无法分辨的细微高阶共振和非线性耦合。该方法首先在包含含时多极分量的简化crab映射上得到验证，随后应用于EIC的强子储存环，以评估其DA及非线性crab腔场的影响。内容组织如下：详细的六维CM方法将在第II节中给出。该方法随后将在第III节中应用于从crab腔踢摆中抽象出的简化六维非线性映射。在第IV节中，该方法也应用于EIC的强子储存环，以研究crab腔中多极分量的影响并评估其DA。II. 方法 A. 使用方阵的近似作用-角变量对于周期动力系统，如同步加速器，单圈映射可以表示为一组多项式方程，并重写为方阵。对于由正则变量\(q\)及其动量\(p\)描述的动力系统，如果使用复Courant-Snyder变量\(z\)及其共轭\(\bar{z}\)来替换\(q\)和\(p\)，则\(z\)将构成一个新的列向量，其中单圈映射可由方阵\(M\)描述： \(z' = M z\) (1)原则上，多项式方阵表示是无穷维的。在实际计算中，它被截断至有限多项式阶数，因此仅提供非线性单圈映射的局域有限阶表示。在本工作中，我们不尝试确定精确Koopman算子的谱，也不将截断方阵的特征向量解释为全局收敛的Koopman特征函数。相反，这些特征向量被用作计算基，以构造非线性坐标，使局域动力学更接近纯旋转。随后的收敛过程用于量化与这种旋转行为的残余偏差。所有方阵均可通过变换矩阵\(V\)、特征值\(\lambda\)和约当矩阵\(J\)变换为约当形式[35]： \(M = V J V^{-1}\) (2)其中\(I\)是单位矩阵，约当矩阵形式为： \(J = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}\) (3)则方程(1)给出： \(z' = V J V^{-1} z\) (4)定义变换： \(w = V^{-1} z\) (5)其中\(w\)表示\(z\)在由左特征向量（即矩阵\(V^{-1}\)的行）张成的不变子空间上的投影。因此，\(V^{-1}\)的每一行表示为\(\phi_i\)，它是\(z\)的多项式。经过\(n\)圈后的新向量变为： \(w_n = J^n w_0\) (6)根据KAM理论，对于足够小的微扰且满足适当的非共振和非退化条件，一组不变环面在微扰下幸存，并支持准周期运动[36]。在该情形下，变换后的变量预计保持接近纯旋转，因此\(\phi_i\)近似不变，相位推进与线性值相差一个小修正\(\delta_i\)，其中\(\delta_i\)是修正值。因此，经过\(n\)圈后，向量\(w\)仅改变一个相位因子\(e^{i n \delta_i}\)： \(w_{i,n} \approx e^{i n \delta_i} w_{i,0}\) (7)由方程(7)，我们有： \(e^{i n \delta_i} = \frac{w_{i,n}}{w_{i,0}}\) (8)利用方程(3)中约当矩阵的性质，上述方程可显式写为： \(w_{i,n} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} \lambda_i^{n-k} \phi_{i,k}(w_0)\) (9)其中\(\phi_{i,k}\)表示\(\phi_i\)的第\(k\)行。\(\delta_i\)通过比较两边得出： \(\delta_i = \arg\left(\frac{w_{i,n}}{w_{i,0}}\right)\) (10)对于六维情形，方程(7)分别针对\((x, p_x)\)、\((y, p_y)\)和\((z, p_z)\)平面推导，得到三组多项式\(\phi_x\)、\(\phi_y\)和\(\phi_z\)。这些多项式可用作一组近似作用-角变量。它们的轨迹形成一个圆，与纯旋转有微小偏差。据报道在文献[29]中，在稳定区域边界附近，这些作用量偏离纯旋转的程度提供了不变环面破坏的重要指标，从而测量轨迹的稳定性。B. 特征分解的方阵在具有强非线性和耦合项的实际动力系统中，仅使用方程(1)中的Courant-Snyder变量不一定能得到上三角方阵\(M\)。为提高方阵构造的精度，我们使用传输矩阵\(T\)的数值分解——特征分解，将\(T\)重构为规范形式。原始传输矩阵定义为： \(z_{n+1} = T z_n\) (11)其中\(z\)表示相对于闭合轨道的六维坐标向量。通过特征分解，\(T\)可重构为： \(T = A D A^{-1}\) (12)其中\(D\)是包含特征值的对角矩阵，\(A\)是复\(6\times6\)矩阵。类似地，新的列向量\(z\)可写为\(w = A^{-1} z\)。第II.A节中的方阵现在由特征坐标的传输映射\(T_w\)替代。与方程(5)类似，\(\phi\)变量定义为： \(\phi = A^{-1} z\) (13)这里\(\phi\)表示与\(z\)相同的物理量，但通过特征向量\(A\)在基上表达，即： \(z = A \phi\) (14) C. 收敛图方法在前一节中，通过特征分解生成变换\(A^{-1}\)以创建一组新变量\(\phi\)，使得传输映射\(T_\phi\)近似为纯旋转，且\(\phi\)由近似作用-角变量组成。考虑到新的一组\(\phi\)变量不唯一，对于六维动力系统，我们使用\(\phi_1\)、\(\phi_2\)和\(\phi_3\)来表示所选的近似作用-角变量。它们的相位定义相应的角变量： \(\theta_i = \arg(\phi_i)\) (15)其中\(i\)分别对应\((x, p_x)\)、\((y, p_y)\)和\((z, p_z)\)平面。注意，与哈密顿系统中的标准定义不同，“近似作用-角变量”一词使用较宽松，以其绝对值作为作用量，相位作为角度。这可以进一步宽松地使用\(|\phi_i|\)作为角度和\(\theta_i\)[29]。对于给定的初始条件，我们寻求一个环面表示，其中运动尽可能接近纯旋转。为此，我们引入一组环面角坐标： \(\theta_i = 2\pi (n_i / N_i)\) (16)其中\(n_i = 0, 1, ..., N_i-1\)在离散三维网格上采样。然后我们将变换后的运动写为： \(\phi_{n+1} = R(\mu) \phi_n + \epsilon_n\) (17)其中\(\phi_0\)由追踪的初始条件确定，\(n\)是迭代索引，\(\epsilon_n\)是第\(n\)次迭代的修正场。初始环面取为： \(\phi_0 = \phi_{\text{init}}\) (18)在每次迭代中，当前环面向前映射一圈。更具体地，对于每个网格点\(\theta\)，我们首先重构： \(\phi = \phi(\theta)\) (19)然后从\(\phi\)-空间变换回原始相空间变量，应用非线性单圈映射，再将结果变换回\(\phi\)-变量。这给出单圈像\(\phi'\)。当前环面的局域相位推进通过以下方式测量： \(\mu(\theta) = \arg\left(\frac{\phi'}{\phi}\right)\) (20)如果环面是纯旋转，则\(\mu\)将独立于\(\theta\)。因此我们将其分解为常数部分和非均匀余量： \(\mu(\theta) = \mu_0 + \delta\mu(\theta)\) (21)其中\(\delta\mu\)测量对纯旋转的偏离。数值上，\(\mu_0\)从\(\mu\)的零傅里叶模式获得，而非零傅里叶分量用于更新修正场\(\epsilon\)。具体地，写为： \(\delta\mu(\theta) = \sum_{m} c_m e^{i m \cdot \theta}\) (22)其中\(m = (m_1, m_2, m_3)\)，对应的傅里叶修正包含因子： \(c_m \propto \frac{1}{e^{i m \cdot \omega} - 1}\) (23)这里\(\omega = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)\)表示三个旋转数。当\(m \cdot \omega \approx 2\pi k\)时，方程(23)的分母变小，其中\(k\)为整数，对应共振条件： \(m_1 \omega_1 + m_2 \omega_2 + m_3 \omega_3 = 2\pi k\) (24)因此，共振穿越自然地增强了相应的傅里叶修正，并可能导致迭代收敛性变差。通过这种方式，共振敏感性明确进入递归傅里叶过程。修正场通过迭代更新，使变换后的运动越来越接近纯旋转。迭代的收敛性通过两个连续修正场之间的均方根差来监测： \(\Delta_n = \sqrt{\frac{1}{N_1 N_2 N_3} \sum_{i,j,k} |\epsilon_n(\theta_{i,j,k}) - \epsilon_{n-1}(\theta_{i,j,k})|^2}\) (25)其中\(N_1\)、\(N_2\)和\(N_3\)是三个方向上的网格点数。收敛度量为： \(\Delta_{\text{CM}} = \min_{n \le n_{\max}} \Delta_n\) (26)其中\(n_{\max}\)是最大迭代次数。\(\Delta_{\text{CM}}\)的小值表明环面构造过程收敛良好，因此暗示存在邻近的光滑准周期环面。大的\(\Delta_{\text{CM}}\)值表明收敛性差，通常发生在共振线附近或正则稳定区域之外。在这个意义上，收敛残差提供了局域稳定性的实用数值指标。该构造的精度必然受多项式截断的限制。增加截断阶数可以改善局部单圈映射的形式表示，但未必能改善收敛映射迭代，因为高阶项同时会增加方阵的维数以及变换后坐标的数值敏感性。因此，收敛映射应被视为有限阶的局部稳定性指标，而非全局不变环面的收敛重构。本研究采用三阶映射，因为它在非线性信息与计算成本之间提供了实用的平衡。

综上所述，收敛映射过程包含三个步骤。首先，构造非线性单圈映射的有限阶多项式表示，并将其表达为方阵。其次，该矩阵的选定特征向量定义了一组非线性坐标，其中规则轨迹近似为旋转运动。第三，利用非均匀相移的傅里叶分量对这些坐标进行迭代修正。迭代过程中的最小残差定义了收敛度量。

**III. 在6D玩具映射上的应用**

螃蟹腔是专用的射频腔，用于在对撞机中恢复对头碰撞以实现高亮度。本文研究了一个包含螃蟹腔踢的6D周期系统。一个与时间相关的六极踢也被纳入螃蟹腔模型，作为腔中的多极分量。与螃蟹腔踢相关的哈密顿量和传递映射可以表示为：

(27) (28) (29) (30)

其中，\(\theta\) 为交叉角，\(k\) 为波数，\(K_2\) 为螃蟹腔中时间相关六极踢的强度，\(\beta_c\) 和 \(\beta^*\) 分别为螃蟹腔和相互作用点处的β函数。

周期映射的其余部分由工作点为 \((\nu_x, \nu_y, \nu_s)\) 的纯旋转组成。这些工作点数值满足高阶共振条件 \(2\nu_x + \nu_s = 1\)，表明系统中存在潜在的共振行为。值得注意的是，该玩具模型及其工作点数值是为测试收敛映射方法而引入的，并不旨在复现任何实际加速器的工作点。为使同步-回旋耦合足够强，六极项强度设为 \(K_2 = 200 \, \text{m}^{-3/2}\)，这是一个不切实际的高值。

尽管螃蟹腔哈密顿量包含纵向坐标的三角函数，方阵是从参考轨道周围完整单圈映射的有限阶泰勒表示构造的。JuTrack 自动生成该高阶多项式映射，因此 \(\sin(k s)\) 和 \(\cos(k s)\) 等三角函数项在构造方阵表示之前被一致地展开到相同的规定多项式阶数。

为了研究该系统的6D束流动力学，特别是同步-回旋耦合，我们在 \((x, y)\) 平面生成一个均匀网格的 \(80 \times 80\) 个粒子。所有粒子的初始纵向坐标 \(s\) 固定为 \(0.5 \, \text{mm}\)，而初始动量 \(p_x, p_y\) 和 \(p_s\) 均为零。该系统的高阶传递映射使用 JuTrack [37] 构造，这是一种在 Julia 编程语言中开发的新型可自动微分模拟代码，然后在选定的初始条件下进行评估。得到的动力学随后使用最高三阶的收敛映射进行分析。作为比较，FMA 方法也应用于该玩具系统。使用粒子跟踪模拟获得的2000圈轨迹来计算频率扩散。

图1展示了将收敛映射方法应用于玩具模型的结果，并与FMA方法进行了比较。结果表明，收敛映射成功检测到FMA所识别的共振，验证了其在该系统6D非线性动力学表征中的准确性和有效性，可作为定性的替代方法。特别是，收敛映射方法还揭示了FMA未检测到的额外共振结构，例如图1中高亮的选定点。这些结构位于FMA显示小调谐扩散的区域。

**图1.** 玩具系统在 \((x, y)\) 平面的收敛映射和FMA结果。面板(a)显示了收敛度量 \(\delta_{\text{CM}}\)。收敛度量的较大值表示收敛映射发散。面板(b)的颜色刻度表示轨迹的调谐扩散。

图2所示的调谐足迹提供了进一步的见解，其中高亮点被发现穿越八阶共振线 \(2\nu_x + \nu_s = 1\)。该共振被有意引入模型以测试两种方法。收敛映射方法成功识别了该八阶共振。这一结果表明收敛映射方法对共振具有高灵敏度，尤其对于高阶或微小共振。

**图2.** 频率空间中收敛映射(a)和FMA(b)的结果。左图中的黑色圆圈对应于图1(a)中空间空间所示的黑色圆圈。水平轴表示 \(\nu_x\)，垂直轴表示 \(\nu_s\)。

收敛映射方法的目的不是取代FMA或长期跟踪。相反，它提供了一种补充指标，直接从单圈非线性映射中提取共振结构和局部稳定性信息，而无需对每个初始条件进行长期跟踪。

**IV. 在电子-离子对撞机上的应用**

EIC的设计旨在实现极化电子与多种离子种类之间的碰撞，包括能量高达275 GeV的自旋极化质子。EIC的强子储存环（HSR）旨在复用相对论重离子对撞机 [38] 的大部分现有基础设施，并进行修改以适应EIC物理计划的需求。特别是，EIC中使用螃蟹腔来恢复对头碰撞以获得更高亮度。

评估HSR的动力学孔径需要长期粒子跟踪，通常超过 \(10^5\) 圈，计算成本高昂。为高效评估HSR的DA并研究其非线性束流动力学，将收敛映射方法应用于HSR晶格，以分析相空间不同切片上的局部稳定性。HSR晶格使用JuTrack构造。该模型包括晶格非线性和下文描述的选定射频腔，但并不试图包含与该机器最终DA相关的所有效应，例如束-束相互作用的完整处理及所有可能的误差源。HSR晶格中有两对螃蟹腔。为简单起见，本研究仅考虑一对197 MHz腔。根据EIC螃蟹腔多极分量的研究 [39,40]，类似于方程(19)–(21)，将几何强度为 \(K_2 = 1.3 \, \text{m}^{-3/2}\) 的时间相关六极分量添加到螃蟹腔中。仅激活591 MHz腔和五个197 MHz腔以产生纵向振荡。

收敛映射在相空间的不同切片上计算。具体而言，我们考虑 \((x, p_x)\)、\((y, p_y)\) 和 \((s, p_s)\) 平面上的三个切片，将第三个坐标固定在均方根束流尺寸处（分别为 \(\sigma_y = 1.3 \, \text{mm}\)、\(\sigma_x = 1.3 \, \text{mm}\) 和 \(\sigma_s = 6 \, \text{cm}\)）。扫描范围为 \(x \in [-20, 20] \, \text{mm}\)、\(y \in [-20, 20] \, \text{mm}\) 和 \(s \in [-15, 15] \, \text{cm}\)，与DA尺寸相比覆盖了空间中较宽的区域。初始动量 \(p_x, p_y\) 和 \(p_s\) 设为0。

图3显示了在HSR相空间的两个纵向-横向切片中评估的收敛映射，分别为 \((s, p_s)\) 和 \((x, p_x)\)。深蓝色区域对应强收敛解，表明与附近的准周期环面行为一致，而黄红色区域代表收敛的丧失，与共振穿越或非常大振幅相关。图中观察到许多橙色/红色图案，代表穿越某些同步-回旋共振线的轨迹。

**图3.** EIC HSR在 \((s, p_s)\) (a) 和 \((x, p_x)\) (b) 平面的收敛映射分析结果。从蓝色到红色的颜色刻度表示向纯旋转的收敛误差从小到大的变化。

\((x, p_x)\) 平面中的收敛映射分析 [图4(a)左面板] 也显示出明显的图案。图4(a)中的红色图案展示了与 \((x, p_x)\) 空间中DA边界很好一致的稳定边界。一些相对于纯旋转具有较大残差收敛误差的轨迹在图4中被高亮显示，其位置与图4(b)中FMA结果观察到的共振结构很好吻合。因此，仅使用单圈传递映射，收敛映射方法有效地探测了稳定区域，证明了其在DA评估中的效率和准确性。

**图4.** 将收敛映射(a)和FMA(b)应用于EIC HSR在 \((x, p_x)\) 平面的结果。所有粒子的初始 \(s\) 固定为 \(6 \, \text{cm}\)。黑点代表一些穿越共振线的选定轨迹。

图5显示了图4中高亮的轨迹在频率空间中的分布。发现这些选定点位于三条不同的共振线上，包括线性横向共振 \(\nu_x = 0.36\)，以及同步-回旋共振如 \(\nu_x + \nu_s = 1\) 和 \(2\nu_x + \nu_s = 1\)。这些共振强烈影响长期束流稳定性，并可能导致粒子损失，表明环中存在高度非线性的动力学。

**图5.** 频率空间中的FMA结果。左图显示 \((p_x/p_0, p_y/p_0)\) 空间的结果，中图显示 \((p_x/p_0, p_s/p_0)\) 空间的结果，右图显示 \((p_y/p_0, p_s/p_0)\) 空间的结果。图中的黑色叉号对应图4中的选定点。

图6提供了收敛映射残差与通过跟踪 \(10^5\) 圈获得的DA边界之间的直接比较。从强收敛到弱收敛的收敛映射解的过渡遵循了跟踪稳定区域的逐渐缩小，尽管收敛映射边界与 \(10^5\) 圈DA并不完全重合。这一比较说明了收敛映射作为快速指标的预期作用，而非长期DA跟踪的替代。

**图6.** HSR的DA边界与收敛映射结果的比较。白色、青色、粉色和黑色线条分别代表跟踪 \(10^2\)、\(10^3\)、\(10^4\) 和 \(10^5\) 圈的DA边界。

为进一步研究螃蟹腔中多极分量的影响，我们将六极强度从 \(K_2 = 1.3 \, \text{m}^{-3/2}\) 增加到 \(K_2 = 5.2 \, \text{m}^{-3/2}\)。随着多极分量的增加，收敛映射和FMA在图7中都显示DA尺寸显著减小，几乎减半。这一观察与先前的研究结果 [5,40] 一致，揭示了束流动力学对螃蟹腔中多极分量引入的非线性的敏感性。由于螃蟹腔的多极分量是时间相关的，传统磁铁无法补偿其非线性效应。因此，在螃蟹腔设计期间控制多极强度或使用外部磁铁来消除这些效应以维持足够的DA非常重要。

**图7.** 将收敛映射方法(a)和FMA(b)应用于螃蟹腔中多极分量增加的HSR的结果。螃蟹腔中六极分量的强度增加到 \(K_2 = 5.2 \, \text{m}^{-3/2}\)。

**V. 结论**

基于方阵的收敛映射被扩展到完整的6D相空间，以研究环形加速器中的非线性束流动力学。通过特征分解将单圈映射重构为方阵表示，构建了一组近似作用-角变量。将映射变换为纯旋转的残差收敛误差被用作轨迹稳定性的指标。

我们证明，在具有螃蟹踢的玩具模型中，6D收敛映射复现了相应FMA分析中观察到的主要共振结构，并突出了与设计共振条件相关的额外结构。随后将该方法应用于EIC HSR晶格，有效识别了对长期束流稳定性有关键影响的共振结构。通过增加螃蟹腔中多极分量的强度，观察到DA显著减小。收敛映射识别了与FMA结果定性一致的主要共振模式和稳定边界相关结构。与可能需要超过 \(10^5\) 圈跟踪的粒子跟踪模拟相比，收敛映射方法允许使用单圈传递映射高效评估长期束流稳定性，并可作为DA的快速指标。

本研究确立了6D收敛映射方法作为非线性束流动力学分析的快速且有用的补充方法。其检测高阶共振的能力以及仅使用单圈映射的高效率，使其成为未来加速器设计、优化和长期稳定性研究的快速指标。