斯格明子弦中阻尼磁振子激发的点隙拓扑

《Physical Review B》：Point-gap topology of damped magnon excitations in skyrmion strings

　　我们理论上研究了由吉尔伯特阻尼导致的具有有限寿命的磁振子的非厄米拓扑。通过结合自旋波理论和包含非局域阻尼项的朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程的微扰理论，我们解析地评估了点隙的谱绕数，这指示了非厄米趋肤效应（NHSE）的存在。我们发现，在非共线磁结构中，即使没有非局域阻尼，NHSE也可能发生，这是由于磁振子本征模的粒子和空穴分量的动量依赖混合所致，而这种混合在具有单磁振子带的共线磁体中是不存在的。在沿一个方向存在非局域阻尼的情况下，我们表明对于具有唯一最小值的能带，其绕数由能带最小值处的波数符号决定。我们通过一个以斯格明子弦晶格为稳态的模型来演示这些结果。我们进一步研究了由磁场脉冲激发的自旋波传播动力学，并表明传播方向根据局部和非局域阻尼的存在而从一个能带到另一个能带发生剧烈变化，这与非平凡绕数一致。

I. 引言

最近，非厄米物理引起了越来越多的关注[1–7]。为了考虑向环境的耗散，控制物理系统时间演化的有效哈密顿量自然变得非厄米。哈密顿量的非厄米性允许复能谱，导致在复能量平面中非厄米系统特有的能隙结构，即所谓的点隙[5]。非平凡的点隙拓扑可以产生非厄米趋肤效应（NHSE），其中能谱对边界条件变得极其敏感，并且宏观数量的本征态局域在边界上[6–8]。NHSE已在各种物理平台中被实验观察到，包括光子[9,10]、机械[11–13]、声学[14]、电路[15]和冷原子系统[16]。

这种非厄米情况也在磁振子中遇到[17–20]。在没有耗散的情况下，自由磁振子的时间演化由玻色子博戈柳博夫-德热纳（BdG）哈密顿量描述，该哈密顿量本质上不是厄米的，而是伪厄米的，以满足玻色统计[17,21]。由于这一性质，包括磁振子在内的玻色子系统为研究非厄米拓扑现象提供了一个独特的平台，即使在没有增益或损耗的情况下也是如此。尽管如此，考虑磁振子系统中不可避免的阻尼效应仍然很重要。阻尼的存在通常会破坏磁振子的玻色统计，从而也破坏BdG哈密顿量的伪厄米性[19,22,23]。内在玻色子性质与外在阻尼效应之间的相互作用可能丰富阻尼磁振子的非厄米拓扑相。

为了描述存在真实阻尼效应时的自旋动力学，朗道-利夫希茨-吉尔伯特（LLG）方程被广泛使用[24]。虽然原始的LLG方程仅包含局域吉尔伯特阻尼，但可以推广为包含非局域阻尼项，这些项已被理论研究[25–29]。我们注意到，这种非局域吉尔伯特阻尼不同于由共享环境介导的耗散自旋-自旋耦合[30,31]。后者仅在围绕共线平衡的小角度动力学中呈现非局域吉尔伯特阻尼的形式[30,32]，而本文考虑的共线结构并非如此。先前关于磁性系统中NHSE的研究采用了一种基于能谱有限寿命展宽的现象学方法，而不是内在吉尔伯特阻尼[33]。另一项工作研究了由包含非局域阻尼项的LLG方程描述的铁磁多层系统中的NHSE[20]。参考文献[20]中对特定铁磁多层模型的分析表明，非局域阻尼对于NHSE的发生是必不可少的。然而，以前的研究仅关注场极化态，尚未进行系统的绕数计算。因此，对各种自旋态的磁振子NHSE的理论理解仍不完整。

在本文中，我们在包含非局域阻尼的LLG方程的线性自旋波理论框架内，阐明了受吉尔伯特阻尼作用的磁振子NHSE的机制。使用非简并微扰理论，我们表明阻尼的存在导致磁振子本征能量出现虚部。值得注意的是，由虚部定义的有效阻尼可能与原始吉尔伯特阻尼不同，具体取决于磁振子本征态。这一结果已经在仅存在局域吉尔伯特阻尼项的情况下导出，例如在参考文献[23]中，而我们的推导扩展到同时存在非局域阻尼项的情况。当有效阻尼依赖于波数时，复能谱可以在复能量平面中形成回路，这指示了NHSE的发生。在某些条件下，动量空间中的有效阻尼由两个因素组成：吉尔伯特阻尼和，后者由磁振子本征态的粒子和空穴分量的相对权重决定。因此，NHSE的发生不仅可能由于非局域阻尼的存在，还可能由于的非平凡依赖性，即使在不存在非局域阻尼的情况下也是如此。由局域耗散本身引起的NHSE已在文献[34–36]中讨论过。在我们的案例中，的动量依赖性源于底层磁结构：在诸如斯格明子弦的非共线自旋构型中，磁振子能谱由多个能带组成，其本征模根据能带和动量混合粒子和空穴分量。这种混合在具有单磁振子带的共线铁磁体中不会出现。我们通过基于微扰获得的磁振子本征能量表达式推导谱绕数公式来明确讨论这一观察结果。在存在非局域阻尼的情况下，我们表明每个能带的绕数由能带最小值点的符号决定，这也为参考文献[20]中的非平凡谱绕线提供了直观的解释。我们基于一个以斯格明子弦晶格[37]为稳态的具体经典自旋模型，数值验证了这些解析结果。我们看到非平凡绕数本质上决定了由磁场脉冲激发的自旋波的阻尼传播行为。

本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们使用线性自旋波理论推导了具有非局域阻尼的LLG方程的非厄米BdG哈密顿量。在第三节中，使用非简并微扰理论，我们获得了复特征值的表达式并推导了绕数公式。在第四节中，基于一个以斯格明子弦晶格为稳态的经典自旋晶格模型，我们验证了绕数公式并研究了NHSE与自旋波传播之间的关系。最后，在第五节中，我们对本工作进行了总结。

II. LLG方程的线性自旋波理论

在本节中，我们发展了一种基于具有非局域阻尼的LLG方程的自旋波理论，并推导了相应的非厄米BdG哈密顿量。我们使用微扰理论来评估阻尼对磁振子能谱的影响。

A. 从线性化LLG方程得到的非厄米博戈柳博夫-德热纳哈密顿量

在本文中，我们考虑零温度下晶格上的局域自旋。每个位于位点的自旋被假设为大小为的经典矢量，记为，哈密顿量泛函写为。每个自旋的时间演化由LLG方程的广义形式描述，

(1)

其中是旋磁比（对于电子，）。方程(1)右侧的第一项表示围绕由定义的有效磁场的相干进动。第二项负责自旋弛豫，可由瑞利耗散泛函导出，

(2)

其中表示与之间的唯象非局域吉尔伯特阻尼系数。

更一般地，是自旋空间中的张量，只能通过微观方法确定，并且通常甚至依赖于自旋构型本身[38]。然而，这里我们将其视为独立于自旋取向的标量，作为最简阻尼模型，因为我们的目标是阐明阻尼对磁振子激发的影响，而不是定量描述特定材料。矩阵（其元素由位点标记）不一定对称：其非局域分量可能包含反对称部分[38]。然而，反对称部分对瑞利耗散泛函(2)没有贡献，因此不引起能量耗散。由于我们的重点是耗散效应，此后我们假设是实对称的，即。为了使方程(1)描述能量递减动力学，必须是半正定的，记为。当阻尼是局域的，即，方程(1)退化为常规LLG方程[24]。一般的情况已在文献[25–29]中进行了理论研究。我们注意到，这里考虑的非局域阻尼是广义LLG方程中的内在阻尼，其微观来源例如导电电子的非局域响应[25–29]。由共享环境介导的自旋之间的耗散耦合，例如自旋泵浦进入公共储库[30,31]，在物理上是不同的，不属于本工作的范围。此后，我们将方程(1)作为起点，并在第三节和第四节中讨论其非厄米拓扑的后果。

为方便起见，我们引入一个局域坐标系，使得其轴与方程(1)的稳态解的方向对齐，即。围绕的自旋涨落可以用复标量场参数化，

(3)

其中。通过将方程(1)关于线性化，我们得到以下非厄米博戈柳博夫-德热纳（BdG）方程（详见附录A）：

(4)

其中是一个分量由位点索引标记的矢量，且

(5)

是非厄米BdG哈密顿量，其中是作用在玻戈柳博夫准粒子空间上的泡利矩阵。这里，方程(5)中的和定义如下。是自旋哈密顿量在处求值的厄米Hessian矩阵，

(6)

其中

(7)

Hessian矩阵通过控制无阻尼磁振子动力学。线性依赖于并定义为

(8)

这里，由得出。我们还注意到，的厄米性由的对称性得出。如果包含反对称部分，则方程(8)将对产生反厄米贡献，即对方程(5)中的产生厄米贡献。这样的贡献仅移动磁振子能量的实部，这与反对称部分不引起耗散的事实一致。

我们注意到，无阻尼的BdG哈密顿量(5)，即，已经是非厄米的，并且可以具有复特征值。在存在阻尼的情况下，即使的所有特征值都是实数，的谱也通常变得复数，并且它们的虚部由决定，如使用微扰理论得到的方程(12)所示。

在进行特征值的微扰计算之前，我们从对称性角度讨论方程(5)的一般谱性质。对于任何根据构造，具有反常粒子-空穴对称性（），即满足，其中是复共轭算符[5]。由此可知，的谱关于虚轴对称；因此，我们只关注具有正实部的本征能量（另见第二节B）。

在没有阻尼的情况下，还拥有伪厄米性，即满足，其中，因为是厄米的[5]。由此可知，的谱关于实轴对称，即的特征值要么是实数，要么以复共轭对出现。因此，如果的谱中出现复特征值，则必然存在一个具有正虚部的特征值，并且相应的模式在无限小扰动下会增长。这意味着初始制备的稳态是动力学不稳定的。然而，在存在阻尼的情况下，伪厄米性通常被破坏，因此的复谱不一定意味着不稳定性。

B. 粒子带和空穴带

这里，我们评论一下BdG系统中粒子带和空穴带的概念。由于的，能带本身具有平凡的冗余性。即，对于的每个本征态具有本征能量，其粒子-空穴共轭对应物是具有本征能量的本征态。因此，对于实部非零的特征值，只需知道或之一即可。在本文中，如果不定内积为正（负），我们将本征模称为粒子（空穴）模。这个定义可以通过在无阻尼情况下从稳态出发的自旋波激发能量来证明，如下所示。与 相关的自旋涨落激发能写为 的 的最低阶形式，其中 是Nambu旋量。根据构造，只有满足 的粒子-空穴对称Nambu旋量才对应于由式(3)定义的自旋涨落。利用与 的本征值 相关联的本征模 ， 可以分解为Bogoliubov模，由 给出。与Bogoliubov模 相关的激发能为 ，这意味着具有本征能量 的粒子模激发等价于具有本征能量 的空穴模激发。注意，对于复数 ， ，表明动力学不稳定模式可以在不改变能量的情况下增长。在适当的归一化下，对于具有实本征能量 的粒子模， ；因此，我们将粒子模视为物理模。

基于上述考虑，我们现在讨论无阻尼情况下稳态周围激发能的热力学稳定性条件。为此，我们考虑 的完全实特征值 ，并关注满足 的粒子带。如果存在负能量 ，则系统的总能量可以通过激发此类负能量模式而降低，这意味着系统是热力学不稳定的。尽管这种激发在孤立系统中因能量守恒而被禁止，但在开放系统中可以通过固有的耗散过程发生，例如自旋系统中的Gilbert阻尼。因此，对于稳定的稳态自旋态，粒子带的所有激发能必须非负。这一结论也可以从下一小节中考虑阻尼时本征能的微扰计算中明确看出。

C. 磁振子本征值的微扰分析

我们通过假设 来微扰计算存在阻尼时式(5)的磁振子本征值。在此假设下，非厄米BdG哈密顿量矩阵(5)可以展开为关于 的收敛幂级数，如下所示 (9)
我们考虑本征值问题 (10) (11)
其中 和 分别是 的右本征态和左本征态，归一化为 。我们考虑未微扰哈密顿量 的一个非简并本征值 ，并计算其在 时的延拓 。在下文中，我们将 一般视为复数，随后专门讨论实数情形。

根据非简并微扰理论，对于足够小的 ， 、 和 可以展开为 的幂级数[39]。为简单起见，我们直接使用这一事实而不加证明；其证明及不假设非简并性的更一般讨论见参考文献[39]。结果，我们得到本征值 的一阶修正为 (12)
其中 是本征模 的有效阻尼，定义为 (13)
这里，我们假设 是非简并的，因此其复共轭 也是非简并的。将与特征值 相关的指标定义为 ，即 ，我们发现（详见附录B） (14)
这可以用于从式(13)中消去 ，得到 (15)

这里，我们重新推导上一小节提到的存在阻尼时的热力学稳定性条件。对于对应于实本征能量 的 ，即无动力学不稳定性的情形， 变为实数。为了使稳态自旋态稳定， 对所有 必须非正。由于 ，可知 和 同号。这与热力学稳定性条件一致，即满足 （ ）的粒子（空穴）模具有非负（非正）本征值。

现在我们考虑周期性自旋结构，并将晶格位置分解为 ，其中 表示磁性原胞的Bravais晶格矢量， 表示磁性原胞内晶体原胞的位置。在平移对称性假设下对 进行傅里叶变换，我们得到 (16) (17)
其中 是Bloch动量， 表示能带指标。这里， 的矩阵元由 给出。

在下文中，我们进一步假设：(i) 非局域阻尼 仅耦合具有相同 的晶格位点，以及 (ii) 耦合系数与亚晶格位置 无关，即 。假设(i)使 对角化，假设(ii)使其与单位矩阵成正比。这些假设，如同 的标量处理一样，是为了使有效阻尼在解析上易于处理而进行的简化。这两个假设对第IV节中考虑的非局域阻尼均成立，该阻尼仅沿 方向耦合相邻晶格位点，而在此方向上斯格明子弦晶格是均匀的。在这种情况下， 与单位矩阵成正比，因此可以写为非负标量 ，从而得到 (18) (19)

从现在起，我们假设所有本征能 都是实数。在这种情况下， 变为实数，并表示磁振子粒子分量和空穴分量的相对权重。就自旋动力学而言， 可以解释为表征自旋轨迹椭圆度的参数[23,40,41]。由Cauchy-Schwarz不等式， ，且 当且仅当 是 的本征态时成立，即 ，这对应于粒子空间和空穴空间完全解耦的情形。由此可知，根据 的值，阻尼可能被有效增强，但绝不会降低到低于 。

式(16)和(18)告诉我们，当 或 具有非平凡的 依赖关系时，能谱可以在复能量平面中形成环。尽管非局域阻尼的存在对于满足前一个条件是必要的，但对于后一个条件并非必要。

III. 谱绕数与能带最小值之间的关系

A. 点隙的绕数

在这里，我们简要回顾点隙拓扑与NHSE之间的关系。如果哈密顿量 的能谱不包含 ，即 ，则称 在 处有点隙[4,5]。在下文中，我们选出特定方向，例如 ，并考虑在 方向施加周期性边界条件(PBC)时由Bloch动量 参数化的Bloch哈密顿量 。当 在 处有点隙时，可以定义谱绕数如下[4–7] (20)
其中 是磁结构沿 方向的周期。它可以分解为每个能带 的绕数之和： 其中 (21)
根据参考文献[6,7]，在 方向施加开边界条件（ -OBC）时，当且仅当存在 使得在PBC下 时，才会出现NHSE。具有本征能 且 （ ）的趋肤模局域在 方向（ ）的边界上，我们称之为上（下）边界。我们注意到，并非所有具有本征能 且位于PBC能谱内部的模都必定在有限系统尺寸下成为 -OBC下的趋肤模（关于这些微妙之处，参见例如参考文献[3,6]）。

B. 局域和非局域阻尼的绕数计算

我们使用通过微扰理论获得的解析本征能表达式(16)来评估式(21)对于BdG哈密顿量(5)的结果。在推导中，我们假设无阻尼时的能带色散 是实的，并在 处具有唯一的最小值 。此外，我们假设 在 附近不与其它能带交叉，使得式(16)在该区域可以使用。在这些假设下，我们可以证明存在 使得 (22)
其中 是使 成立的最小非负整数。这里，对于 我们指定 （详见附录C）。

为了进一步进行，我们需要 的具体表达式。下面，我们假设 并考虑两种特殊情况，在这两种情况下我们可以分离 中两项的贡献：(i) 在 附近几乎不变，即 在 处，以及 (ii) 在 附近几乎不变，即 在 处。

情况(i)在不存在非局域阻尼时精确满足，如传统LLG方程中 。在情况(i)中，非平凡谱绕数归因于 的非平凡 依赖关系，因为 。尽管除非知道 的具体表达式，否则无法计算 ，但如果 在 附近是单调的，则对某些 满足 。

情况(ii)对场极化态精确成立，其中粒子空间和空穴空间完全解耦。在情况(ii)中，我们只需考虑 ，因为 可以通过选择粒子带或空穴带来固定。下面，我们采用如下阻尼具体模型 (23)
它表示沿 方向的局域（ ）和非局域（ ）阻尼项。非局域阻尼耦合彼此位移为 的位点，即最近邻磁性原胞中的对应位点。在这种情况下，由于 对于 且 否则，存在 使得 ，其中 (24)
仅当 时。这里，对于热力学稳定稳态中的粒子带， 和 （见第II B节）。

IV. 斯格明子弦中非平凡绕数的数值计算

A. 模型

为了展示第III节获得的结果，我们考虑在 平面中由原初平移矢量 张成的三角晶格上的电子自旋模型（ ）。我们将讨论沿 方向的NHSE。哈密顿量由下式给出 (25)
其中我们只考虑最近邻相互作用： 是最近邻交换相互作用（或Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida (RKKY)相互作用）， 是最近邻Dzyaloshinskii-Moriya (DM)矢量。 是外加磁场。对于自旋哈密顿量(25)，Hessian矩阵(6)的块为 (26) (27) (28)
我们假设Bloch型DM相互作用， 。我们还假设各向异性耦合强度；当 位于 平面时， 的大小为 ，当 沿 方向时， 的大小为 。我们考虑沿 方向的均匀外磁场， ，并将磁场单位定义为 。

我们使用式(23)给出的动量相关阻尼系数。在以下小节中，我们考虑两种情况：(i) 纯局域阻尼和 (ii) 沿 方向的额外非局域阻尼。前一种情形模拟三维体材料系统，后一种情形模拟沿 方向的堆叠多层系统。

对于 的场极化态，只有一个磁振子粒子带，其色散为 [20]，它决定了趋肤模的局域位置，由 通过式(24)确定。对于斯格明子弦晶格（其自旋方向随空间变化），情况并非如此；事实上，承载局域在上边界和下边界的趋肤模的能带的存在可以从图4中看到。

在以下小节中，我们详细考察稳态斯格明子弦晶格态中的NHSE。这种稳态是通过LLG方程弛豫 平面中的三重螺旋叠加（沿 方向均匀）而获得的。换句话说，均匀斯格明子弦沿 方向的磁周期与晶格常数一致， 。我们考虑由单个磁性原胞组成的系统，包含 个自旋，在面内方向上施加PBC。因此，我们的分析限于面内动量为零的磁振子模， ，谱绕数关于 考虑。正如我们在第IV C节所解释的，这一限制足以描述本工作中考虑的传播动力学。我们固定 和 。 时的稳态自旋态如图1所示。我们注意到，所获得的斯格明子弦稳态不一定是基态。然而，这种亚稳态可以通过淬灭外磁场和温度来实现[42]。

图1. 时稳态斯格明子弦晶格态的自旋构型。我们固定 和 。位点 处的每个箭头表示电子（ ）的磁矩 方向。绿线表示斯格明子的中心。磁性原胞显示为灰色平行六面体。

B. 磁振子谱

我们通过对角化 来计算无阻尼时的磁振子能带结构。图2显示了在布里渊区中沿动量 获得的低能磁振子能带结构：(a) 和 (b) 。由于激发谱是实数且非负，潜在的稳态自旋态是稳定的。在高磁场 下，所有能带在 处达到最小值。相反，在低磁场 下，一些能带在正动量处达到最小值；特别是第七个最低能带如此[见图2(b)]。我们已经确认，在存在小阻尼（例如 和 ）的情况下，本征能的实部在图2所示的尺度上几乎保持不变，从而支持了式(16)中微扰获得的特征值的有效性。

图2. 布里渊区中沿动量 的无阻尼磁振子能带结构。磁场为 (a) 和 (b) 。颜色表示每个本征态由式(19)定义的值。图2中的颜色表示在每个本征态处、在\(k\)处计算的式(19)的值。有两个模表现出强烈的\(k\)依赖性：最低能带（\(n=1\)）和第三低能带（\(n=3\)）。前者对应于与斯格明子弦晶格中自发破缺的平移对称性相关联的南部-戈德斯通模[43]，其中斯格明子的质心绕\(z\)轴顺时针振荡。后者是我们在后续计算中主要关注的模，被称为逆时针模[37,44]，其特征是斯格明子质心做逆时针运动。类似地，在\(k=0\)（\(k=\pi\)）处的第六（第七）低能带被称为顺时针模[37,44]，其特征是斯格明子质心做顺时针运动。逆时针模的\(\nu\)作为\(k\)的函数偏离1，并在动量大于\(k_0\)（能带达到其最小值的点）处达到最大值。因此，\(\nu\)在\(k_0\)附近单调增加。因此，在存在局域阻尼的情况下，该模预计在周期性边界条件下表现出非平凡的绕数\(\nu\)，并在\(x\)-开边界条件下表现出非厄米趋肤效应。我们在下文中明确地证明这一点。我们注意到，在\(k=0\)处，即使手性斯格明子纹理破坏了\(x\)方向之间的对称性，在\(x\)-开边界条件下也不会出现边界局域模：谱完全是实的，系统在点和线隙方面都是拓扑平凡的。我们还确认了所有本征模保持扩展。因此，下面讨论的局域化完全是由阻尼引起的。

我们现在讨论阻尼的影响。我们首先考虑情况(i)，即只存在局域阻尼，即\(\alpha_0=0\)和\(\alpha_1\neq0\)。图3(a)和3(b)显示了在\(k=0\)和\(k=\pi\)下，在(a)周期性边界条件和(b)\(x\)-开边界条件下的复磁振子谱。由于非零局域阻尼，谱获得了虚部，但几乎所有的带在复能量平面中都不显示环结构。其中，只有逆时针模的谱形成了一个具有绕数\(\nu=1\)的环，这在环内部满足\(\nu\neq0\)[见图3(a)]。正如从复周期性边界条件谱的行为所预期的那样，大多数带保持为扩展布洛赫波，而逆时针模和一些具有非零绕数的其他模成为局域在\(x\)-开边界条件下底部边界的趋肤模（见图3(b)，其中颜色表示本征模沿\(x\)方向的位置期望值）。图3(c)显示了源自逆时针模的三个趋肤模的空间分布。除了快速振荡外，这些分布从底部边界向外呈指数衰减。虽然这里只展示了仅存在\(\alpha_0\)时的谱，但整体的谱结构对于\(\alpha_0=0\)几乎相同。

图3. (a)、(b)在仅存在局域阻尼（\(\alpha_0=0\)）时，\(k=0\)处的磁振子复谱：(a)周期性边界条件；(b)沿\(x\)方向的开边界条件，其中沿\(y\)方向有\(L_y\)个格点。在(a)中，颜色表示动量\(k\)。在(b)中，颜色表示\(\langle x\rangle/L_x\)，其中\(|R\rangle\)是右本征态。(c)由(b)中箭头指示的代表性趋肤模的振幅平方的空间分布。

接下来，我们基于式(24)考虑情况(ii)，即局域和非局域阻尼同时存在。由于在\(k=0\)处的所有带都在负动量处达到其最小值[见图2(a)]，它们具有正绕数（\(\nu>0\)），因此局域在底部边界，这与铁磁多层膜的情况[20]相同。然而，对于\(k=\pi\)情况并非如此，因为第七低能带在正动量处达到其最小值[见图2(b)]，这给出负绕数\(\nu=-1\)。图4(a)和4(b)显示了在\(k=\pi\)处，当\(\alpha_0=0\)和\(\alpha_1\neq0\)时的磁振子复谱。由于非局域阻尼，所有带都表现出非零绕数，其中大多数为正，导致底部边界局域的趋肤模。相反，第七低能带具有负绕数，导致顶部边界局域的趋肤模。这两种类型趋肤模的空间分布如图4(c)所示。来自具有正绕数（\(\nu=1\)）能带的模的分布从底部边界向外呈指数衰减，而来自第七低能带（\(\nu=-1\)）的模从顶部边界向外衰减。如上所示，在多带非共线自旋系统（如斯格明子弦晶格）中，即使在固定阻尼下，趋肤模局域的边界也可能因能带而异。这种能带依赖性是多带系统固有的。

图4. (a)、(b)在具有非局域阻尼（\(\alpha_0=0\)，\(\alpha_1\neq0\)）时，\(k=\pi\)处的磁振子复谱。(a)和(b)分别对应周期性边界条件和沿\(x\)方向的开边界条件（\(L_x=81\)个格点）。颜色编码与图3相同。(c)由(b)中箭头指示的代表性趋肤模的振幅平方的空间分布。

在此，我们评论一下广义布里渊区在非布洛赫能带理论中的适用性[8,45]，它提供了每个趋肤模的局域化长度。在标准方法中，广义布里渊区是通过求解特征方程作为关于\(\beta\)（\(k\)的解析延拓）的代数方程，在按模长排序的两个中间根共享相同模长的条件下获得的[45]。然而，对于我们的磁振子哈密顿量，这个过程由于两个原因而困难。首先，磁单胞包含81个自旋，因此BdG哈密顿量有162个内部自由度，特征多项式的次数甚至对于沿\(x\)方向的最近邻耦合也达到\(2\times162=324\)次。如此高的次数使得广义布里渊区的数值确定不稳定。其次，广义布里渊区的精确符号计算需要模型参数以精确形式给出，例如作为有理数[45,46]，而我们的哈密顿量系数是由数值获得的静态自旋构型确定的，无法以封闭形式获得。因此，我们依赖于点隙绕数，它可以在不计算广义布里渊区的情况下诊断非厄米趋肤效应的发生[6,7]。

C. 阻尼存在下的自旋波传播

非平凡的谱绕数意味着正群速度和负群速度模之间的不对称阻尼[47]。为了在我们的系统中检测这种非平凡拓扑，我们通过从静态斯格明子弦晶格态开始求解方程(1)来研究体自旋波传播。我们沿\(x\)方向设置系统尺寸为\(L_x=81\)并施加周期性边界条件。我们在沿\(z\)轴的中心平面施加一个额外的面内振荡磁场脉冲，\(z=z_0\)：
\[
\mathbf{B}_{\text{pulse}}(z,t)=\mathbf{B}_0\cos(\omega_{\text{d}}t)e^{-(t-t_0)^2/(2\sigma^2)}\delta_{z,z_0},
\tag{29}
\]
其中\(e^{-(t-t_0)^2/(2\sigma^2)}\)是包络函数，\(\pm\)号分别对应左旋和右旋圆偏振波。由于驱动脉冲(29)在\(xy\)平面内空间均匀，它只激发\(k=0\)的磁振子模。这种激发是最简单的一种，并已在实验上实现[37]。此外，静态纹理、阻尼项和边界条件都保持面内磁平移对称性，因此激发的自旋波在时间演化过程中保持在\(k=0\)扇区内。因此，与传播动力学相关的点隙拓扑是在\(k=0\)处评估的绕数\(\nu(k=0)\)。我们通过隐式中点法[28]数值求解方程(1)。参数固定为\(J=1\)和\(D=0.5\)。沿\(z\)轴的总自旋波振幅（或磁振子占据数）\(N_{\text{sw}}(z)\)被评估为式(3)定义的\(n_i\)在固定\(z\)处磁单胞内格点\(i\)上的求和。我们还计算磁振子数\(N_{\text{sw}}(k)\)作为\(k\)的函数，方式与\(N_{\text{sw}}(z)\)相同，只是将\(n_i\)替换为其沿\(z\)轴的傅里叶变换\(n_k\)。此外，我们通过\(N_{\text{sw}}(z)\)在时间方向上的傅里叶变换计算频域中的磁振子数\(N_{\text{sw}}(z,\omega)\)。

我们施加左旋旋转场\(\mathbf{B}_{\text{pulse}}\)，频率为\(\omega_{\text{d}}=0.3\)，以激发\(k=0\)处的逆时针模（第三低能模）。图5显示了由驱动脉冲激发的自旋波传播，其中\(\omega_{\text{d}}=0.3\)。在无阻尼的情况下，即\(\alpha_0=\alpha_1=0\)，正群速度和负群速度模都被激发，并且在驱动脉冲结束后，总磁振子数保持守恒，前提是其振幅足够小[见图5(a)–5(c)]。相反，在存在局域阻尼的情况下（\(\alpha_0=0.005\)和\(\alpha_1=0\)），向上传播的磁振子随时间耗散，而向下传播的磁振子持续更长时间[见图5(d)–5(f)]。它们的寿命差异源于非平凡的点隙拓扑不变量\(\nu\)[47]。

图5. 由左旋旋转磁场脉冲\(\mathbf{B}_{\text{pulse}}\)激发的自旋波传播，脉冲频率为\(\omega_{\text{d}}=0.3\)，仅施加在\(z=z_0\)单层，在所有方向上施加周期性边界条件，系统沿\(x\)方向有\(L_x=81\)个格点，在\(k=0\)处。颜色表示磁振子数，在每个时间\(t\)归一化（a、b、d、e）。脉冲参数为\(B_0=0.01\)，\(t_0=200\)，\(\sigma=50\)。吉尔伯特阻尼为(a)–(c)\(\alpha_0=\alpha_1=0\)和(d)–(f)\(\alpha_0=0.005\)，\(\alpha_1=0\)。(a)、(d)磁振子数沿\(z\)轴的时间演化。(b)、(e)相应的动量空间时间演化。(c)、(f)相应的动量和频率空间中的磁振子数，由\(t>1000\)的数据计算得到。在(d)–(f)中，向下传播的模（\(k<0\)）持续更长时间，反映了非平凡的点隙拓扑不变量\(\nu(k=0)=-1\)。

为了研究非局域阻尼的影响，我们接下来关注\(k=\pi\)处的顺时针模（第七低能模）。因此，我们施加右旋圆偏振磁场\(\mathbf{B}_{\text{pulse}}\)，频率为\(\omega_{\text{d}}=1.05\)。图6(a)–6(c)和6(d)–6(f)分别显示了在没有（\(\alpha_0=\alpha_1=0\)）和存在（\(\alpha_0=0\)，\(\alpha_1=0.05\)）非局域阻尼的情况下，由该脉冲感应的自旋波传播，其中\(L_x=81\)。最初，向下传播的模比向上传播的模被更强烈地激发[见图6(a)和6(b)]。然而，这些模迅速衰减，且非共振的低能模在\(t\gg t_0\)时变得占主导。相反，在图6(d)–6(f)中，其中存在非局域阻尼，只有向上传播的模存活。这种行为归因于非平凡绕数\(\nu(k=\pi)=-1\)。有趣的是，磁振子的传播方向取决于绕数的符号，因此根据激发的模而不同。图6(g)–6(i)显示了与图6(d)–6(f)相同条件下获得的结果，但系统由左旋圆偏振磁场脉冲\(\mathbf{B}_{\text{pulse}}\)驱动。在这种情况下，第七顺时针模不被激发；相反，具有\(\nu(k=0)=-1\)的第三逆时针模被激活，并且磁振子专门在向下方向传播。在图6(e)和6(h)中，动力学最终由\(k=0\)处的模主导[见图6(f)和6(i)]，该模具有最小的\(|\nu|\)[见图4(a)]。

图6. 由圆旋转磁场脉冲激发的自旋波传播，脉冲频率为\(\omega_{\text{d}}=1.05\)，仅施加在\(z=z_0\)单层，在周期性边界条件下，在\(k=\pi\)处。脉冲的旋转方向为(a)–(f)右旋（\(+\)）和(g)–(i)左旋（\(-\)）。阻尼参数为(a)–(c)\(\alpha_0=\alpha_1=0\)和(d)–(i)\(\alpha_0=0\)，\(\alpha_1=0.05\)。(c)、(f)和(i)由\(t>1000\)的数据计算得到。其他参数与图5相同，除了脉冲参数\(B_0=0.02\)，\(t_0=200\)，\(\sigma=50\)。

最后，我们讨论静态斯格明子纹理的手性、磁振子模的旋转特性、绕数以及不对称传播方向之间的关系。我们已数值确认，反转DM相互作用符号\(D\)，即\(D\to-D\)，会反转斯格明子弦晶格的手性，将磁振子色散映射为\(\omega(k)\to\omega(-k)\)，并反转所有绕数\(\nu\to-\nu\)。因此，趋肤模局域的边界和存活的传播方向也被反转，而磁振子模的逆时针和顺时针特性保持不变。这些关系总结在表I中。这些结果源于以下事实：具有相反\(D\)符号的模型通过关于\(xz\)平面的镜像反射相互映射，在此映射下\(y\to-y\)，而\(xz\)平面内的旋转方向保持不变。对于固定的\(J\)和\(D\)符号，这种镜像对称性被打破，这允许磁振子色散关于\(k\)不对称，并允许带最小值出现在非零动量处。事实上，这种对称性破缺对于沿\(z\)方向的非厄米趋肤效应是必要的：如果系统具有将\(k\to-k\)映射的西对称性，则\(\omega(k)\)将是\(k\)的偶函数，并且对于所有\(k\)，绕数都将为零。因此，不对称传播的方向由静态纹理的手性通过式(24)中带最小动量\(k_0\)的符号决定。相反，磁振子模的旋转特性本身并不决定传播方向：成为顺时针模既不是带最小值出现在正动量处的必要条件，也不是充分条件。尽管如此，在所计算的低能模式中，CW模式最容易在磁场降低时发生符号反转。这一趋势可以从文献[37]中识别的机制理解：由DM相互作用引起的色散非互易部分受静态自旋织构的面外自旋分量与每个模式的进动振幅分布之间重叠的支配。在我们的模型中，CCW模式的进动振幅集中在外围区域，而CW模式的进动振幅则分布在斯格明子核心和外围区域，这与文献[37]中计算的结果一致。由于在核心和外围区域取相反的符号，CCW模式的重叠仍然可观，而CW模式的重叠则大部分相互抵消。因此，CW模式的色散非互易部分比CCW模式更小，使得CW能带最小值更接近，而CCW能带最小值则更远。由于核心和外围贡献之间的平衡取决于磁场，随着磁场降低，CW模式的重叠符号，进而的符号，可能发生反转。表一：在DM相互作用符号反转下，相关物理量的行为，这等价于关于平面的镜像反射。物理量 静态斯格明子织构的手性 反转 磁振子色散 能带最小值动量 绕数 边界承载趋肤模式 顶部 底部 存活的传播方向 反转 磁振子模式的CCW/CW特性 不变 V. 结论与展望我们在理论上研究了存在阻尼时磁振子能带的非厄米点隙拓扑。利用包含局域和非局域阻尼项的线性化LLG方程，我们在微扰理论框架内解析地评估了谱绕数，该绕数预测了NHSE的发生。我们的分析表明，即使在仅存在局域阻尼的情况下，只要磁振子的粒子和空穴分量的相对权重展现出非平凡的依赖关系，NHSE也能发生。这种依赖于动量的粒子-空穴混合自然出现于非共线织构的磁振子本征模式中，而在具有单一磁振子能带的共线磁体中则不存在。当在最简单的最近邻模型中包含沿方向的非局域阻尼时，我们解析地表明，给定能带的绕数由该能带达到最小能量时波数的符号决定。这些结果通过采用经典自旋模型作为稳态来演示，该模型承载斯格明子弦晶格。此外，我们研究了由脉冲磁场激发的自旋波传播动力学，并表明传播方向根据局域和非局域阻尼项以及被激发的能带而显著变化，这反映了底层非平凡的绕数。这里，我们简要讨论如何将最低阶非简并微扰理论得到的绕数公式（22）推广到具有简并点的能带。如果未微扰的能带彼此分离良好，则高阶修正预计可以忽略，因此方程（22）应仍然有效。值得注意的是，即使未微扰的实本征能量简并，由于的差异，简并也可以在复能带虚部被解除。相反，在简并点，复能带通常不能唯一确定。此外，如果在微扰论的高阶发生能带杂化，通常不可能将能带指标分配给未微扰能带，使得精确的复能带平滑。在这种情况下，绕数应从投影到相关能带张成子空间上的哈密顿量计算。尽管存在这些困难，但对于本文所考虑的斯格明子弦晶格，只要每个能带对应于不同的旋转和振荡模式，杂化预计足够小。将当前表述扩展到强能带杂化或对称保护简并的系统将是有趣的，这些系统可能需要超越非简并微扰理论的更一般处理。此外，探索这些系统中非厄米拓扑与动力学不稳定性之间的相互作用仍是未来工作的重要方向。虽然我们已经指出的依赖关系在NHSE出现中起重要作用，但其物理起源仍不清楚。粒子和空穴分量的混合是必要的，但并非所有非共线自旋构型都表现出非平凡的依赖关系。需要进一步研究以确定精确条件。另一个重要方向是提出一个能够直接展示磁性系统中NHSE特征的实验方案。激光的周期性驱动可能是调节阻尼参数（包括非局域阻尼）的一种可能方法，如文献[48]中理论上所示。