用格点有效场论研究核物质中从结合能与饱和性到临界性的问题

《Physical Review C》：From binding and saturation to criticality in nuclear matter with lattice effective field theory

　　我们研究了有限温度晶格有效场论中对称核物质液-气临界点的相互作用依赖性。在针孔迹算法的基础上，我们基准测试了代表性哈密顿量分解的一阶微扰处理，然后计算了一系列符号友好型晶格哈密顿量的有限温度状态方程，这些哈密顿量从SU(4)对称相互作用到具有物理1S?和3S?通道依赖性的哈密顿量，以及三个改进的领头阶哈密顿量。有限温度分析辅以同一晶格框架内对称物质饱和点和选定原子核结合能的零温度计算。我们发现，所基准测试的微扰策略在所研究的热力学区域内定量可靠。在这一哈密顿量序列中，领头阶哈密顿量改进了有限核结合能的整体描述，并将零温度饱和点移向经验区域，同时将临界温度从15.33(6)降低到13.50(17)–13.71(19) MeV。这些计算表明，有限温度临界性并非仅由零温度饱和与结合能决定，并为未来晶格相互作用发展提供了补充基准。

I. 引言

理解核物质偏离零温度的状态方程(EoS)是核多体理论的核心问题[1–3]。在等自旋对称物质中，液-气相变及其临界点探究了核相互作用如何在亚饱和密度下塑造自由能面。这一区域与中等能量重离子碰撞中的多重碎裂现象的解释[4]以及天体物理环境中温稀物质的描述[5,6]相关。同时，关于临界区域的实验信息是间接的，因为它是从有限的、动力学的、受库仑效应影响的系统中提取的，而不是来自均匀无限物质本身[4]。

近二十年来，核物质的微观有限温度计算取得了显著进展。手性多体微扰理论及相关热力学研究为均匀对称物质提供了定量的状态方程和液-气临界参数，而自洽格林函数(SCGF)计算阐明了相变对核哈密顿量和多体近似的依赖性[1,2,7–11]。在低密度下，维里和量子统计方法进一步强调了温稀物质中关联和轻团簇的作用[5,6,12]。综合来看，这些研究既显示了该领域的进展，也显示了有限温度可观测量对相互作用及其处理细节的持续敏感性[1,8–11]。

在手性有效场论(EFT)框架内，核物质的热力学以及π介子交换和多体机制在EoS中的作用已在文献[13,14]中讨论。手性两体和三体核子相互作用对中子物质和核物质的影响，包括核饱和和等自旋不对称物质，在文献[15–18]中进一步探讨。文献[1]提出了对称核物质及其液-气相变的定量有限温度计算，而文献[19]将分析扩展到等自旋不对称物质，并显示了共存区域随中子过剩增加而系统性收缩。EoS中的热效应和有限温度中子物质在文献[11,20]中进一步研究，文献[2]给出了任意质子分数和温度下的EoS，包括对称核物质液-气临界区域的初步微观范围。最新综述文献[3]总结了这一系列工作及其对对称和富中子核物质中液-气相变的影响。

晶格有效场论为这一问题提供了补充途径。其主要优势在于非微扰关联，包括团簇化和相分离，在蒙特卡洛计算中动态出现，而不是通过准粒子或团簇假设强加。早期核热力学的晶格研究受到大体积有限温度模拟计算成本的限制[21,22]。这一瓶颈被针孔迹算法克服，该算法使正则从头算晶格热力学变得可行，并在此框架内首次实现了对称物质状态方程、液-汽共存线和临界点的有限温度晶格测定[23]。同一工作还首次报道了核团簇化对温度和密度依赖性的从头算晶格研究[23]。最近，有限温度核晶格有效场论(NLEFT)也通过轻团簇蒸馏应用于热稀核物质中的团簇化[24]。这些研究确立了有限温度晶格热力学作为一个可行的从头算纲领。

更广泛地说，近年来NLEFT作为核结构、反应、热力学和超核系统的通用从头算框架取得了显著进展[25]。除了早期对轻核、团簇化、散射和热物质的应用外，高保真晶格手性相互作用和波函数匹配技术的发展使得在大质量范围内精确描述核子-核子相移、结合能和电荷半径成为可能，包括对称核物质的饱和性质和中子物质EoS[26]。同一框架随后被应用于热中子物质的结构和热力学性质[27]、硅[28]和氧同位素[29]的电荷半径、质子丰裕系统如[30]、铍同位素的光谱和几何结构[31]、碳和氧同位素中的对关联[32]，以及接近质子滴线的Sn同位素的基态能量[33]。NLEFT也已扩展到超核系统、超中子和超核物质[34–37]，以及最近通过中子-α散射和核衰变研究扩展到反应和响应可观测量[38–40]。与此同时，正在开展的方法论发展表明，NLEFT不仅在物理覆盖面方面，而且在算法复杂性方面都在进步，包括微扰量子蒙特卡洛[41]、部分针孔[29]和用于半径的秩一算子方法[27]、多参考试探态[42]和用于弱束缚系统的膨胀坐标方法[43]。

在早期的有限温度针孔迹研究中，热力学结果是对单个符号友好型晶格相互作用获得的[23,24]。下一个自然的重要问题是：当底层晶格哈密顿量变得更真实时，对称核物质的液-气临界区域是否演化，或者临界区域是否探测相互作用的不同方面。标准的零温度基准主要通过基态结合和饱和性质，以及有限的一组低能自旋-等旋通道来约束相互作用。相比之下，液-气临界点由对称物质在有限温度和亚饱和密度下的自由能面控制。因此，没有先验理由期望在基态扇区表现更好的相互作用也能更好地描述有限温度临界区域。确定这种关联是否存在，对于核热力学本身和用多体观测量约束核相互作用的更广泛纲领都至关重要。

在这项工作中，我们在晶格框架内通过将符号友好型哈密顿量与针孔迹算法的微扰实现相结合来解决这个问题。我们从计算非微扰部分所使用的SU(4)对称相互作用出发，然后引入和通道依赖算子以及三个具有不同局域和非局域涂抹结构及不同标定结果的领头阶哈密顿量。在共同的晶格框架内，我们分析了对称核物质的有限温度EoS以及有限核和对称核物质中的选定零温度观测量。目标是确定有限温度临界可观测量如何响应不同的相互作用设计选择，以及这些响应与有限核结合能和对称核物质零温度饱和点相应变化的比较。

本文组织如下。第II节定义了本工作中使用的哈密顿量。第III节给出了微扰针孔迹处理的基准计算。第IV节讨论了有限温度和零温度结果。第V节总结了主要结论。

II. 哈密顿量

在这项工作中，我们通过使用一类符号友好型哈密顿量及其微扰扩展，在晶格上研究对称核物质和选定的有限核。我们的主要目标是理解热力学可观测量，特别是液-气临界点，如何随着相互作用从简单的SU(4)对称形式演变为现实哈密顿量而演化。

我们在空间晶格间距为的周期晶格上工作，这对应于动量截断。在本工作中，我们使用单位为。哈密顿量写为(1)其中是使用快速傅里叶变换(FFT)产生精确色散关系的自由核子哈密顿量，表示相互作用部分。

在本工作中，我们使用正规序传递矩阵(2)其中时间晶格间距为，冒号表示关于核子产生和湮灭算符的正规序。热力学可观测量用针孔迹形式计算，而零温度能量从欧几里得时间外推中提取，更多细节见文献[23,44,45]。对于有限温度计算，我们使用时间晶格间距。逆温度为总欧几里得时间范围，其中是时间晶格步数。时间步长和100分别对应于温度和20 MeV。对于零温度欧几里得时间投影计算，我们使用，投影时间为。外推所用的欧几里得时间在附录中给出。

为使符号透明，在以下内容中，我们首先定义进入所有相互作用项的涂抹密度算子，然后引入SU(4)对称哈密顿量和自旋-等旋依赖波算子，最后指定三个领头阶(LO)哈密顿量。我们首先定义纯粹非局域涂抹的总核子密度算子，(3)其中是自旋指标，是等旋指标，具有强度的非局域涂抹湮灭和产生算子定义为(4)(5)接下来，我们定义纯粹局域涂抹的总核子密度算子如下：(6)这里，指定局域涂抹的范围。涂抹晶格点与中心点的最大距离为对于本工作中使用的晶格间距，对于和对于。局域涂抹密度在坐标空间占据数中保持对角，但在中心晶格点周围具有有限的空间支撑。最后，我们将局域和非局域涂抹的总核子密度算子定义如下：(7)在方程(7)中，第一个参数表示局域涂抹强度，第二个参数表示非局域涂抹强度。我们注意到，在方程(4)、(5)和(7)中，局域和非局域涂抹的范围都设为一个晶格间距，而在方程(6)中，局域涂抹的范围是一个自由参数。

使用上述定义的动能，我们采用文献[46]中的SU(4)对称两体和三体核子相互作用项。得到的哈密顿量为(8)它是符号友好的，因此可以用高精度非微扰处理。在紧凑形式中，该相互作用可以写为(9)参数和分别控制该哈密顿量的局域和非局域涂抹强度。在本工作中，我们使用表I中给出的参数集。

表I.本工作中哈密顿量所用的耦合常数和涂抹参数。耦合常数和以晶格单位给出。相互作用分量符号值SU(4)两体耦合SU(4)三体耦合局域涂抹0.061非局域涂抹0.5耦合0.00338耦合

下一个细化层次是添加两个领头自旋-等旋依赖波算子，(10)这些项在相关和通道中打破人为的SU(4)对称性。在晶格上，它们由阶算子表示(11)(12)耦合常数和通过将晶格相移拟合到Nijmegen分波分析[47]的相移来确定，结果与本研究使用的相应SU(4)对称相互作用的相移一起呈现在图1中。这些耦合常数的确定值在表I中给出。以晶格对算子表示，在和通道中的相互作用为(13)(14)这里，是分波投影的非局域涂抹两核子对湮灭算子。标签和分别表示核子对的总自旋、轨道角动量和总角动量，而是的投影。类似地，和表示总等旋及其投影。上标指定晶格有限差分的阶数，是非局域涂抹强度。自旋和轨道角动量通过Clebsch-Gordan系数耦合。

图1. 物理和通道中的晶格相移以及本工作中使用的相应SU(4)对称相互作用。黑色实线和虚线表示Nijmegen分波分析(PWA)[47]的相移。

因此，方程(13)对应于并投影到通道，而方程(14)对应于并投影到通道。在这两种情况下，。这些算符纯粹是非局域涂抹的，涂抹强度见表I。更多细节可参见文献[48]。此外，我们在无π介子EFT框架下构造了三个LO哈密顿量，分别记为、和， (15)它们在SU(4)对称相互作用之上包含了物理的和依赖于道的算符，但它们在SU(4)对称三核子修正上有所不同，这些修正使用不同的局域和非局域涂抹结构构造如下： (16) (17) (18)这些三核子相互作用的显式形式为 (19) (20) (21) (22) (23) (24)其中局域涂抹的强度见表I。进入这些LO三体相互作用的数值系数使用文献[49]中给出的优化方法确定。我们注意到，局域涂抹使这些三核子算符具有有限的空间范围。对于密度，离中心格点的最大距离为，而对贡献到的两个核子之间的最大两两间距为。对于和，这些距离分别为2.29和。该相互作用在坐标空间占据数中是局域且对角的，但它在空间上是涂抹的，而不是严格在格点上。此外，具有最大两两间距的构型只有一个共同的涂抹中心，如果第三个核子在中心格点，则权重为；如果三个核子都在涂抹格点上，则权重为。对于，这些因子分别为和。因此，最大间距的贡献被强烈抑制，相互作用具有紧支撑，而非长程渐近尾部。关于在当前格点公式中术语LO无π介子EFT的含义，需要加以说明[44,50]。上面引入的哈密顿量受到LO无π介子EFT的领先波结构和相关低能自旋-同位旋道的启发。然而，实际的格点相互作用包含局域和非局域涂抹，并且SU(4)不变三体扇区也被用来吸收格点伪影和改进多体描述。因此，将当前计算的系统误差与严格连续LO无π介子EFT计算的系统误差等同起来是具有误导性的。在实践中，这里使用的相互作用应被视为符号友好的格点哈密顿量，它们保留了领先的低能波物理，同时针对有限原子核和核物质的从头计算进行了优化。在下一节中，我们介绍用于基准化第一阶针孔迹处理精度的示意性微扰分裂，然后再转向物理结果。III. 基准化在呈现有限温度物理结果之前，我们首先进行一组基准计算，以验证微扰针孔迹形式体系在与本工作相关的密度和温度范围内保持在定量可控的范围内。此外，在本节末尾，我们对零温系统也进行了类似的基准计算。该分析的主要目的不是从基准哈密顿量本身提取物理结论，而是测试第一阶微扰处理是否准确再现了相应完整哈密顿量的结果。这一步至关重要，因为所有后续热力学计算都依赖于相同的微扰策略。为此，我们考虑表II中列出的哈密顿量分解族。在每种情况下，哈密顿量写为 (25)其中在针孔迹计算中被非微扰地处理，而则作为第一阶微扰修正被包括进来。基准集旨在探究在两体和三体相互作用强度中，在非微扰和微扰扇区之间分配的不同方式。这样，可以测试微扰处理是否不仅在单一特定分裂选择下保持准确，而且在一系列有代表性的分解下也保持准确。表II.基准计算中使用的哈密顿量形式。 (非微扰) (微扰) 0 在正则形式体系中，化学势从粒子插入和移除观测量中提取。遵循适用于针孔迹算法[23]的Widom插入策略[51]，化学势由下式得到 (26)其中是核子数，是温度，和分别表示插入和移除估计量。我们用表示单粒子量子数，其中是格点坐标，是自旋，是同位旋。我们使用缩写表示多体构型，表示辅助场构型，其中是时间格点步数。量表示相应的蒙特卡洛采样权重。对于纯非微扰计算，我们定义 (27)而第一阶贡献写作 (28)这里对的和遍历插入核子的单粒子量子数，而表示构型中已存在的一个核子。类似地，对于归一化因子，我们写作 (29)将微扰展开到第一阶得到 (30)对于、14和16 MeV的基准结果分别如图2-4所示。在每个面板中，我们比较三个量，即使用完整哈密顿量获得的结果、仅使用非微扰部分获得的结果，以及加入第一阶微扰修正后获得的结果，记为。主要观察结果是，非微扰参考哈密顿量可能与完整结果显著不同，这是预期的，因为忽略了相互作用项。然而，一旦包含第一阶贡献，相应的曲线在所考虑的整个密度范围内紧密跟随完整哈密顿量的结果。图2.在MeV时微扰针孔迹计算的基准结果。化学势作为约化核子密度的函数，针对哈密顿量分裂（左）和（右）给出，定义于表II，其中。在每个面板中，蓝色点和曲线表示使用完整哈密顿量获得的结果，绿色点和曲线表示使用非微扰参考哈密顿量获得的结果，红色点和曲线对应于第一阶修正结果。图3.与图2相同，但在MeV时。图4.与图2相同，但在MeV时。这种模式正是受控微扰处理所需的。微扰修正并非人为地小，因为它相对于产生了可见且物理上有意义的偏移，表明被忽略的项确实很重要。同时，第一阶修正结果仍然非常接近完整计算，这表明微扰展开在当前热力学机制下是收敛且定量可靠的。换句话说，基准证实了所选择的非微扰参考哈密顿量足够接近完整相互作用，可以作为微扰针孔迹计算的稳定起点。由于上述基准分析是针对有限温度观测量制定的，因此有必要验证相同的微扰策略在零温对称核物质中接近饱和区域时也保持准确。表III展示了对于密度为和的两个基准系统的此类测试，两者都接近经验饱和区域。表中所有值均在欧几里得时间处评估。如附录中给出的对称核物质每核子能量的欧几里得时间外推所示，到该投影时间结果已达到基本收敛的平台，因此在与本基准相关的水平上，预期不会有显著的欧几里得时间残留污染。与有限温度基准类似，非微扰参考哈密顿量与完整结果有显著差异，而包含第一阶微扰修正则使能量与完整哈密顿量重新达到很好的一致性。对于，和之间的残余差异仅为1.35和2.81 MeV，而对于它们分别为4.7和9.7 MeV，对应于每核子约0.03-0.12 MeV。表III.接近饱和的零温对称核物质的基准结果。对于每个基准系统，表格比较了完整哈密顿量结果、非微扰参考以及第一阶修正结果。修正后的能量在密度下保持非常接近完整哈密顿量值，表明微扰处理在零温饱和区域也是定量可靠的。所有值均取在欧几里得时间处。如对称核物质的欧几里得时间外推所示，到该欧几里得时间每核子能量已接近其渐近平台（见附录）。哈密顿量 (MeV) (MeV) ?781.83(85) ?16.288(18) ?613.91(59) ?12.790(12) ?780.48(61) ?16.260(13) ?557.41(59) ?11.613(12) ?779.02(61) ?16.230(13) ?1300.4(12) ?16.255(15) ?1022.8(11) ?12.785(14) ?1295.7(11) ?16.196(14) ?930.67(102) ?11.633(13) ?1290.7(10) ?16.134(13) 总的来说，基准计算提供了有力的证据，表明微扰针孔迹形式体系对于这里考虑的一类哈密顿量是受控的。这一验证步骤证明了在后续章节中给出的有限温度和零温计算中使用相同框架的合理性。IV. 结果与讨论表IV总结了对本工作中考虑的所有哈密顿量获得的临界点和饱和性质。SU(4)对称哈密顿量给出最大的临界温度，MeV。包含物理的和相互作用略微将其降低至15.13(18) MeV，同时对临界压力和密度只产生微小变化。对于三个LO无π介子EFT哈密顿量，我们发现，13.54(18)和13.50(17) MeV，同时和的值更低。表IV.对本工作中考虑的哈密顿量获得的临界点和饱和性质。显示的量包括临界温度、临界压力、临界密度、饱和密度、无量纲临界压缩因子以及饱和能量每核子。理论结果引用的不确定度是自助法误差。经验现象学估计值在最后一列中针对临界点观测量给出。饱和点比较在图5中单独显示。文献[4] (MeV) 15.33(6) 15.13(18) 13.71(19) 13.54(18) 13.50(17) 17.9(4) () 0.274(4) 0.279(16) 0.181(11) 0.172(10) 0.166(9) 0.31(7) () 0.0884(30) 0.0983(64) 0.0720(46) 0.0689(35) 0.0657(26) 0.06(1) 0.202(8) 0.188(16) 0.183(16) 0.184(14) 0.187(13) 0.29(8) () 0.2188(2) 0.2177(2) 0.1818(2) 0.1783(2) 0.1717(5) — (MeV) ?17.0930(41) ?16.4885(46) ?15.9253(56) ?15.7592(84) ?15.8317(261) — 图5.本工作中考虑的哈密顿量的零温对称核物质状态方程。能量每核子作为核子数密度的函数绘制，单位为。黑色和品红色曲线分别对应于SU(4)对称和SU(4) + S哈密顿量。绿色、蓝色和红色曲线分别对应于，和哈密顿量。灰色框显示了经验饱和区域（MeV）[52]。在零温下，相同的哈密顿量序列将饱和点移向经验区域。SU(4)对称哈密顿量给出和MeV，而LO无π介子EFT哈密顿量给出，0.1783(2)，以及，和MeV。最后一列引用的经验临界点值应解释为现象学参考估计，因为它们是从有限的、动态的、受库仑影响的系统中间接推断出来的，而非来自均匀无限物质本身。表V和图5展示了相同的哈密顿量序列在零温下在有限原子核和对称核物质中的行为。SU(4)对称哈密顿量对较轻原子核给出合理的整体描述，但随着质量数增加，原子核逐渐变得结合得越来越弱。单独包含和相互作用并不能消除这一趋势。三个LO无π介子EFT哈密顿量带来了明显的改进，并在本工作考虑的全质量范围内给出了更一致的结合能描述。图5显示了相同的模式。LO无π介子EFT哈密顿量将饱和点移向经验区域，而和保持更深的结合并在更大的密度下饱和。三个LO样本之间的离散性与从和到LO哈密顿量的整体偏移相比仍然很小。表V.计算的基态结合能（以MeV为单位）与实验值的比较。、和列是LO结果。原子核 ?8.396(69) ?7.773(69) ?8.330(15) ?8.335(15) ?8.472(16) ?8.48 ?28.315(11) ?26.864(11) ?30.1280(30) ?30.1512(26) ?30.8375(47) ?28.30 ?30.31(24) ?26.34(25) ?29.636(56) ?29.653(55) ?30.372(56) ?29.27 ?29.39(43) ?29.90(43) ?33.206(97) ?33.225(97) ?33.942(98) ?31.99 ?56.27(12) ?53.30(12) ?59.878(27) ?59.917(26) ?61.318(28) ?56.50 ?57.3(14) ?55.9(14) ?62.42(32) ?62.44(32) ?63.89(32) ?64.75 ?84.34(15) ?79.83(15) ?89.538(33) ?89.566(33) ?91.697(35) ?92.16 ?119.06(41) ?112.65(41) ?124.144(93) ?123.886(92) ?126.761(95) ?127.62 ?149.85(11) ?141.85(11) ?155.955(26) ?155.622(25) ?159.189(35) ?160.65 ?180.84(18) ?171.11(18) ?188.034(43) ?187.594(42) ?191.917(52) ?198.26 ?213.57(30) ?202.05(30) ?221.132(69) ?220.474(68) ?225.503(79) ?236.54 ?248.55(51) ?235.33(51) ?256.11(12) ?255.15(12) ?260.81(13) ?271.78 ?285.67(29) ?270.18(29) ?291.952(67) ?290.590(67) ?296.769(93) ?306.72 ?328.89(22) ?311.30(23) ?332.758(55) ?330.823(57) ?337.29(10) ?342.05 相互作用依赖性的第一个指示如图1所示。在较大的相对动量下，SU(4)对称相互作用产生的吸引力明显强于物理和道中的相互作用，如图1中的格点相移所示。一旦相互作用被分解到物理的 \(s\) 波通道中，相移就会更接近经验行为，并且在高动量下过大的吸引力会有所减弱。这为区分两体通道依赖效应与额外三核子相互作用效应提供了一个有用的参考。对于每个哈密顿量，通过用五阶类维里展开拟合固定温度下的格点结果来分析有限温度化学势等温线，

\[
\mu(\rho, T) = \sum_{k=1}^{5} a_k(T) \rho^k, \tag{31}
\]

系数 \(a_k(T)\) 通过加权最小二乘拟合分别对每条等温线确定，权重来自格点数据的蒙特卡洛不确定度。对于模拟温度之间的温度值，每个系数通过三次样条函数作为温度的函数进行插值。这样，我们就在本研究所涵盖的完整密度和温度范围内获得了化学势的平滑表示。方程 (31) 在此仅用作格点等温线的便捷参数化，拟合系数不被解释为物理上的维里系数。利用拟合的化学势，我们解析地构造了自由能密度和压力，并通过公切线麦克斯韦构造确定了液-汽共存线。\(T_c\)、\(\rho_c\) 和 \(P_c\) 的引用不确定度通过格点结果的 bootstrap 重采样提取，因此反映了蒙特卡洛误差的统计传播。它们不包括与拟合假设、样条插值、麦克斯韦构造或 EFT 截断相关的系统效应。

图 6–10 展示了本研究所考虑的不同哈密顿量下化学势随约化密度 \(\rho/\rho_0\) 的变化，其中 \(\rho_0 = 0.16\ \text{fm}^{-3}\)。符号是离散温度下的格点结果，而实线曲线来自各等温线的五阶类维里拟合。虚线曲线表示从麦克斯韦构造中提取的液-汽共存线，星号标记对应的临界点。

**图 6.** SU(4) 对称哈密顿量 \(H_{\text{SU(4)}}\) 的化学势作为约化核子密度 \(\rho/\rho_0\) 的函数，其中 \(\rho_0 = 0.16\ \text{fm}^{-3}\)。符号显示不同温度下的格点结果，而实线曲线来自使用方程 (31) 的五阶类维里展开对各等温线的加权拟合。虚线曲线表示从麦克斯韦构造中提取的液-汽共存线，星号标记计算得到的临界点。

**图 7.** 同图 6，但针对 \(H_{\text{SU(4)}} + H_{\text{OPE}} + H_{\text{TPE}}\)。

**图 8.** 同图 6，但针对 LO 无π介子 EFT 哈密顿量 \(H_{\text{LO}}^{a}\)。

**图 9.** 同图 6，但针对 LO 无π介子 EFT 哈密顿量 \(H_{\text{LO}}^{b}\)。

**图 10.** 同图 6，但针对 LO 无π介子 EFT 哈密顿量 \(H_{\text{LO}}^{c}\)。

与文献 [23] 比较时，我们注意到在表述和实现上有两个差异。在本文的图中，约化密度使用固定的参考密度 \(\rho_0 = 0.16\ \text{fm}^{-3}\) 定义，而文献 [23] 使用其计算的饱和密度 \(\rho_{\text{sat}}\) 作为密度标度。此外，尽管 SU(4) 对称相互作用项及其参数相同，文献 [23] 使用了有限差分动能算符，而本文使用第 II 节定义的 FFT 动能算符。当以物理单位表示时，所得临界密度非常一致：本文为 \(\rho_c = 0.09\ \text{fm}^{-3}\)，文献 [23] 为 \(\rho_c = 0.08\ \text{fm}^{-3}\)。

第 III 节中给出的基准分析表明，一阶微扰针孔迹线处理在本研究所涉及的温度和密度范围内在定量上是可控的。因此，物理哈密顿量之间观察到的差异应被解释为相互作用效应，而非微扰过程的伪影。

哈密顿量序列阐明了连续相互作用修正的实际作用。包含物理的 \(^{1}S_{0}\) 和 \(^{3}S_{1}-^{3}D_{1}\) 相互作用改善了两体相移，但对临界观测量只产生微小变化，并且本身并未改善有限核结合能的系统行为。主要变化出现在额外的三核子相互作用包含在 \(H_{\text{LO}}^{a,b,c}\) 哈密顿量中时。这些项改善了有限核结合能的整体描述，将零温饱和点移向经验区域，同时将液气临界点移向更低的温度和密度。因此，改善零温多体描述的三核子扇区同时也改变了液-汽共存区域终止的位置。

临界压力的行为可以通过考虑无量纲临界压缩因子来理解：

\[
Z_c = \frac{P_c}{\rho_c T_c}. \tag{32}
\]

对于本文考虑的五种哈密顿量，\(Z_c\) 保持在 0.18–0.20 的较窄范围内，如表 IV 所示。因此，沿哈密顿量序列 \(Z_c\) 的减小主要与 \(\rho_c\) 和 \(T_c\) 的同时减小有关，而 \(P_c\) 的变化相对较小。特别是，LO 哈密顿量使 \(T_c\) 更接近唯象估计，但降低了 \(P_c\)，导致 \(Z_c\) 低于唯象参考值。

因此，改进的结合能和较低的临界压力并不矛盾。结合能和饱和性质约束了零温多体系统，而临界点探测了亚饱和密度区域中的有限温度状态方程。当前结果表明，改进结合能和饱和描述本身并不能确定临界端点的温度和密度。从这个意义上说，临界区域提供了与常规零温基准互补的信息，并为格点相互作用的发展构成了额外的约束。

我们的有限温度结果可以与若干早期微观计算进行比较。在文献 [7] 中，使用 Argonne \(v_{18}\) 相互作用在 Bloch–De Dominicis/Brueckner-Hartree-Fock (BHF) 框架中的有限温度状态方程计算得到 \(T_c = 18\ \text{MeV}\)，当包含唯象三体力时仅略微降低到 \(T_c = 17\ \text{MeV}\)。相比之下，使用 CD-Bonn 或 Nijmegen 相互作用加上平均 Urbana 三体力的热力学一致自洽格林函数计算发现了更强的降低：仅 \(NN\) 力时 \(T_c = 18\ \text{MeV}\)，包含 \(3N\) 力后 \(T_c = 12–14\ \text{MeV}\) [8]。Carbone 等人 [10] 在 SCGF 和 BHF 中研究了五种手性 \(NN+3N\) 哈密顿量，发现哈密顿量依赖性主导了多体不确定度，给出了 \(T_c = 12–18\ \text{MeV}\) 的整体估计。Keller 等人 [2] 在有限温度手性多体微扰理论中报告了 \(T_c = 15–17\ \text{MeV}\)。因此，我们的格点结果位于微观预测的 \(T_c\) 的较大离散范围内。在当前格点哈密顿量族中，额外的三核子相互作用改善了零温描述，同时将临界端点移至更低的温度和密度。这进一步说明液气临界区域对相互作用性质敏感，而这些性质不能仅由结合能和饱和性确定。

**V. 总结**

本工作探讨的主要问题是：当符号友好型格点哈密顿量被细化时，对称核物质的液气临界点是否遵循与标准零温基准相同的相互作用趋势。为了回答这个问题，我们将针孔迹线算法与一阶微扰处理相结合，研究了从 \(H_{\text{SU(4)}}\) 到具有物理 \(^{1}S_{0}\) 和 \(^{3}S_{1}-^{3}D_{1}\) 通道依赖性的哈密顿量以及三种改进的领头阶相互作用的哈密顿量序列。针对代表性哈密顿量劈裂的基准计算表明，在与本分析相关的密度和温度范围内，微扰处理在定量上是可靠的。

利用这一框架，我们提取了对称核物质的有限温度状态方程和液气临界点，并将这些结果与对称核物质的零温饱和点和选定原子核的结合能进行了比较。在当前符号友好型格点哈密顿量族中，SU(4) 对称相互作用产生最高的临界温度 \(T_c = 19\ \text{MeV}\)。包含 \(^{1}S_{0}\) 和 \(^{3}S_{1}-^{3}D_{1}\) 项将其降低到 \(T_c = 15\ \text{MeV}\)，而三种改进的领头阶哈密顿量给出 \(T_c = 12–14\ \text{MeV}\)。同时，这些 LO 哈密顿量改善了有限核结合能的整体描述，并将零温饱和点移向经验区域。然而，用于比较的经验临界点值应被视为从有限的、动力学的、受库仑影响的系统中间接提取的唯象参考估计。因此，我们的分析表明，改进基态扇区并不会自动改善有限温度临界区域，液气临界性为未来格点相互作用设计提供了补充的热力学基准。

自然的后续步骤包括将有限温度计算扩展到更高阶和更高保真度的格点相互作用，在可行的情况下检查更高阶微扰修正，并更系统地量化剩余的理论不确定度。同样重要的是，确定本文发现的相互作用趋势是否在不对称物质以及更直接探测团簇和临界行为的观测量中持续存在。这些方向将增强有限温度临界性作为未来格点相互作用设计基准的作用。