多通道超导体中电流驱动的拓扑保护减弱

《Physical Review B》：Current-driven reduction of topological protection in multichannel superconductors

　　我们研究了在有限电荷电流的扰动影响下，由两条耦合超导链组成的Kitaev梯子中拓扑相的鲁棒性。通过引入一个依赖于电流诱导的准粒子动量的有效哈密顿量，我们表明孤立梯子中存在的双模拓扑相对有限电流通量是脆弱的。为了表征这种行为，我们将体拓扑不变量与实空间诊断相结合，包括边缘-边缘量子条件互信息??????，它提供了拓扑序的纠缠基特征。我们进一步将有能隙的D类区域与电流诱导的无能隙超导区区分开来，后者当上Bogoliubov–de Gennes (BdG)分支在一般动量处穿过零点时出现，此时标准的有能隙拓扑不变量不再适用。我们的结果为描述电流注入和测量过程如何影响超导纳米结构中的拓扑保护提供了一个有效的框架。

在过去二十年中，拓扑超导引起了持续增长的兴趣，主要由于其在量子技术中的潜在应用[1-4]。特别地，一维p波超导体承载马约拉纳束缚态（MBSs），即局域在系统边缘的零能激发，它们服从非阿贝尔统计，被视为容错量子计算的关键组成部分[5]。

在支持拓扑超导的最简单且最具典型性的模型中，Kitaev链是其中之一[6]。尽管其结构最小，该模型捕捉了马约拉纳模的基本物理，并为研究拓扑相在扰动、无序和几何扩展下的鲁棒性提供了有力的框架[7-16]。在此背景下，由耦合的Kitaev链组成的梯子几何结构代表了一种自然的推广，允许出现更丰富的拓扑相，包括以每边多于一个马约拉纳模为特征的多模区域[17-23]。

在平衡条件下，平均场哈密顿量的拓扑相自然地在Altland-Zirnbauer十重分类方案[24]中由体拓扑不变量描述。十个对称类允许根据系统维度和粒子-空穴、时间反演和手性对称的同时存在或不存在来识别给定体哈密顿量的适当拓扑不变量。这些不变量捕获了体能带结构的拓扑性质，在热力学极限下提供了相应的相图，并识别了与拓扑相变相关的能隙关闭点。

尽管关于承载MBSs的封闭拓扑系统的文献丰富，但一个关键问题涉及它们在现实工作条件下的稳定性。在大多数实验装置中，马约拉纳模的检测依赖于输运测量，如隧道光谱[25-28]或约瑟夫森效应[29-32]，这些必然涉及向系统中注入电流。这引入了真正的非平衡扰动，可能影响系统的拓扑性质。因此，理解拓扑相如何响应电流诱导效应，从概念和应用角度来看都至关重要。

在此背景下，若干研究调查了与外部库、耗散和非平衡条件的耦合如何改变超导系统的拓扑结构并改变体-边对应关系[33,34]。这些观察也激发了寻找能够超越标准动量空间分类来表征拓扑相的实空间量，特别是在有限尺寸系统或存在测量诱导扰动的情况下。基于纠缠的观测量[35,36]，如边缘-边缘量子条件互信息[37-40]，为探测与拓扑边缘模相关的非局域关联提供了特别合适的框架。

然而，尽管有这些努力，对电流驱动的拓扑超导体的完整非平衡处理仍然具有挑战性。为此，针对单个Kitaev链引入了一种有效且物理上透明的策略[37]，即在线度振幅中引入有限的准粒子动量。在该框架中，跳跃相位因子模拟了电荷电流的存在，移动了能带色散，并且在存在p波超导关联的情况下，诱导了库珀对的有限动量[37]，平行于电流方向。这种方法类似于Peierls替换，在静态哈密顿描述中捕捉了电流流动的基本效应。在参考文献[37]中，单链谱已被证明在临界准粒子动量以上发展出一般动量的零能交叉，超过该动量，有能隙的马约拉纳相就消失了。相同的能带重叠区域随后在参考文献[41]中被讨论为与Lifshitz转变和未配对粒子与空穴口袋出现相关的无能隙超导相。然而，在单个Kitaev链中，拓扑不变量仅限于两个值，限制了可能相的丰富性，从而限制了的影响。

在本工作中，我们将这种有效描述扩展到Kitaev梯子[20]，并研究电流诱导的对称性破缺与拓扑分类之间的相互作用。特别地，我们表明有限的破坏了时间反演对称性，从而破坏了手性对称性，将系统从以整数（ ）不变量为特征的BDI类驱动到D类，其中有能隙区域以 不变量为特征。这种对称性降低在梯子系统中有直接影响，在平衡状态下允许多模拓扑相。特别地，支持每边两个马约拉纳模的相被电流抑制，为测量诱导扰动下较高拓扑扇区的鲁棒性降低提供了清晰的信号。

梯子几何结构还允许我们探索额外对称性出现的区域，导致对D类的非平凡偏离。特别地，在沿链作用电流且没有额外的通量或横向超导相位梯度的情况下，我们确定了系统有效分解为独立通道的条件，即使在存在有限电流的情况下也能保持较高的拓扑扇区。

为了表征拓扑相，我们结合了体和实空间方法。一方面，我们首先从体谱中识别可能的无能隙区域，然后从适当的体不变量确定剩余有能隙扇区的拓扑性质。另一方面，我们采用实空间诊断，包括边缘-边缘量子条件互信息[39,40]，它量化了系统边缘之间的非局域关联，并提供了拓扑序的稳健纠缠基特征。

本文组织如下。在第二节中，我们介绍模型并讨论其对称性质和体拓扑不变量。在第三节中，我们给出数值结果，包括相图和体-边对应分析。在第四节中，我们讨论我们发现的含义。一般梯子的有能隙和无能隙超导区域之间的区别在附录A中讨论。实空间哈密顿量的规范等价表示，明确表明库珀对获得的有限动量，在附录B中给出。广义交换对称极限在附录C中讨论。

第二节 模型和对称性分析

参考文献[20,42]中引入的Kitaev梯子由两条无自旋的p波超导链组成，它们通过链间跳跃和链间配对项耦合，在有限电荷电流的扰动影响下。根据参考文献[37]，电流通过引入纵向跳跃振幅中的有限准粒子动量来建模。得到的实空间哈密顿量为(1) 这里标记两条链，是化学势，是跳跃振幅，是纵向p波配对。在本工作中，我们取和为实数。这一选择对应于没有横向磁通或两腿之间外部施加的超导相位差的梯子。相位因子有效地考虑了由电荷电流引起的有限准粒子动量，将能带色散移动为[37]。在附录B中给出的等效规范表示明确表明库珀对获得了有限动量，从而表明链内配对和链间配对都对载流凝聚体有贡献。

当时，哈密顿量满足粒子-空穴（）、时间反演（）和手性（）对称性。因此，系统属于Altland-Zirnbauer分类[24]的BDI类，以整数（）拓扑不变量为特征，并允许每边多个马约拉纳模[20]。

当引入有限电流时，情况发生变化。相位通过选择准粒子的优先传播方向明确地打破了时间反演对称性。由于手性对称性定义为，后者对称性也被破坏。因此，系统的对称类降低到D类，其中只有粒子-空穴对称性幸存。只要体谱保持有能隙，相应的拓扑分类为，且预期每边至多一个受保护的马约拉纳模。然而，有限的也可能在一般动量处产生间接的能隙关闭，导致无能隙超导相，此时标准的有能隙十重不变量未定义。

从同伦理论的角度来看，上述对称分类可以用与相应Clifford扩展问题相关的分类空间来表述。对于一维有能隙的自由费米子哈密顿量，稳定的拓扑分类由确定，其中标记实AltlandZirnbauer类，是空间维数[43]。在没有电流的情况下，梯子属于BDI类，对应于(2) 这说明了整数绕数以及每边可能存在多个马约拉纳模。当有限电流破坏时间反演和手性对称性时，系统降至D类，其(3) 对于有能隙的D类谱，Pfaffian不变量提供了D类空间两个不连通分量的显式实现。更一般地，拓扑电荷可以解释为映射到相应分类空间的同伦类[43,44]。

这些观察可以通过引入Nambu旋量来明确化，它允许哈密顿量在动量空间中写成Bogoliubov–de Gennes (BdG)形式：(4) 其中 (5) 其中 和 。

容易验证，当时，哈密顿量满足关系、和，其中、和，其中表示复共轭。对于，在仅存在的情况下，适当的体拓扑不变量由在Majorana基中写出的反对称哈密顿量的Pfaffian给出：(6) 然后，不变量为 (7) 其中 。

因此，公式(7)仅在验证体谱有能隙后使用。在有限下，BdG谱中与单位矩阵成比例的项改变了准粒子带的占据，并可能将上支驱动到一般动量处的负能量以下，产生参考文献[37,41]中讨论的载流Kitaev链的无能隙超导区域。对于一般梯子，我们通过条件(8)识别该区域，其中是上BdG支，在附录A中显式给出。因此，对于有限电流相图，我们引入以下相标签，它补充——而不是替代——有能隙拓扑不变量：(9) 因此，和0分别表示拓扑和普通有能隙D类区域，而无能隙超导相。条件标志了无能隙超导区域的开始，通过一般动量处的零能交叉。该条件必须与在粒子-空穴不变动量处的能隙关闭区分开来，后者确定Pfaffian不变量的符号变化。

有趣的是，当三个耦合、或中至少有一个消失时，梯子可能具有额外的离散交换对称性。在每个特殊极限中，适当的广义成键/反键变换将BdG哈密顿量块对角化为两个对称扇区。变换的显式形式取决于哪个耦合被设为零。

当、和时，附加对称性对应于梯子两腿的普通交换，在动量空间中由算符描述。在这种情况下，我们验证了，因此哈密顿量可以分解为成键和反键扇区。这种附加对称性对拓扑分类具有非平凡的影响，因为它即使在有限电流存在的情况下也保护双模拓扑相。

通过对成键/反键基进行酉变换，这些变得清晰，它导致以下表示：(10) 其中 和 。

对于，公式(10)变为块对角，描述两个完全解耦的Kitaev链，具有有效化学势。因此，尽管电流破坏了时间反演对称性，梯子有效地分解为两个独立的D类系统。每个通道只要保持有能隙，就由参考文献[37]中研究的载流Kitaev链的相同不变量表征，在移动的化学势处评估。因此，根据没有、一个或两个通道是拓扑的，梯子可以每边承载0、1或2个马约拉纳模。无能隙区域的出现也可以在这个解耦极限下解析确定：在临界动量处出现一般动量的零能交叉，如文献[37,41]所述。相应地，为两个解耦通道引入的拓扑不变量可以写成，其中。当时，相关的能隙闭合发生在粒子-空穴不变的动量处，而当时则出现一般动量的能带交叉，系统进入无能隙超导区域。在附录C中我们证明，当且时，腿间配对仅在粒子-空穴不变的动量处充当质量项，从而阻止拓扑能隙在那里闭合。这并不排除一般动量处的零能交叉：取决于其余参数，该极限要么是平庸的有能隙超导体，要么是无能隙超导体。因此，这样的极限不支持具有马约拉纳边缘态的非平庸有能隙拓扑相。III. 数值结果我们现在讨论数值结果，重点关注电流诱导的对称性破缺、拓扑分类和体-边对应之间的相互作用。为了突出相图的丰富性，我们考虑扩展的参数范围，原则上这可以在冷原子平台中比在传统凝聚态实现中更广泛地探索[45,46]。事实上，在冷原子实现中，有效的波配对可以通过合成相互作用来设计[47,48]，而这里考虑的有限电流可以通过合成规范通量穿过的环几何结构自然实现[49]，该通量直接产生进入我们哈密顿量的佩尔斯相位。在整篇论文中，所有能量均以纵向跃迁为单位表示，我们固定。这一代表性选择使我们能够探索广泛的拓扑相图，同时与先前Kitaev梯子及相关几何结构研究中采用的参数范围保持一致[13,18,20]。尽管该比率大于传统凝聚态系统中通常遇到的数值，但它在合成量子平台（如超冷原子）中易于实现，其中跃迁和配对强度可以独立设计。图1总结了在有限链间配对存在下Kitaev梯子的相图，比较了平衡情况（）和载流状态（）。在没有电流的情况下[图(a)]，系统支持多个有能隙拓扑扇区，包括每个边缘具有两个MBS、一个MBS以及平庸相的区域，与潜在的分类一致。图1. 面板(a)和(b)为Kitaev梯子在时的相图，分别在和处计算。相图使用标签构建。在面板(a)中，标签0、1和2表示有能隙BDI相中每个边缘的马约拉纳模数量。在面板(b)中，0和1分别表示平庸和有能隙拓扑类D扇区，而标识由第II节和附录A中讨论的能带重叠准则定义的无能隙超导区域。面板(c)–(h)显示了从相图中选取的代表点的最低能量BdG模的概率密度。实空间计算在由两条链组成的梯子上进行，每条链的长度为。相应的BdG模能量报告在插图中。当引入有限电流[图1(b)]时，由第II节中引入的得到的相图发生了实质性修改。双马约拉纳扇区被完全抑制，留下相作为唯一的有能隙拓扑区域，其特征是每个边缘具有单个马约拉纳模。图的其余部分重新分布为有能隙平庸区域和无能隙超导区域，两者都不支持受保护的马约拉纳边缘模。关于相图在更宽范围内演化的更系统分析，特别强调无能隙区域的出现和扩展，在附录A中给出。体-边对应在面板(c)–(h)中得到验证，其中显示了从相图中选取的代表点的最低能量Bogoliubov–de Gennes (BdG)模的概率密度。在BDI区域[面板(a)]中，两个局域边缘模清晰可见[面板(c)]，而面板(e)对应于单个MBS，面板(g)对应于体态。在载流状态中，双模构型被提升[面板(d)]，只有单个局域边缘模存活[面板(f)]，而平庸相基本保持不变[面板(h)]。这些结果为相图提供了直接的实空间确认。通过图2获得进一步见解，其中显示了沿图1中高亮的水平和垂直切割的最接近零能量的四个BdG本征值。面板(a)和(b)分别对应于在和的水平切割，而面板(c)和(d)显示了相应的垂直切割。在时，零能平台再现了具有两个、一个和零个MBS的BDI扇区。在时，面板(b)揭示了当切割进入无能隙区域时质上不同的谱结构。在有能隙平庸扇区中，最低体激发与零能保持有限的能隙分离。相反，在内部，密集的准零能态序列发展。这些态是热力学极限中出现的零能体交叉的有限尺寸对应物。更精确地说，无能隙条件从获得，当有实数解时承认非平凡解。相应的实动量标识体无能隙点。这种行为必须与有能隙拓扑扇区的孤立零能级区分开来，后者对应于真正的马约拉纳边缘模。有限处双重简并零能态的分裂突出了双模相在有限电流下鲁棒性的降低，与先前对开放系统的研究一致[42,50]。图2. 面板(a)和(b)分别显示了沿图1(a)和1(b)中红线指示的相图的水平切割，而面板(c)和(d)显示了相应的垂直切割。在所有面板中，对于由两条链组成的梯子，每条链的长度为，绘制了最接近零的四个BdG本征值。光谱在无电流情况下，面板(a)和(c)中，以及载流状态下，面板(b)和(d)中均显示。链间配对在所有面板中固定为。面板(b)中穿过区域的低能体能级的积累是无能隙体谱的有限尺寸对应物。我们现在转向的情况，其中第II节讨论的额外交换对称性变得相关。在图3–5中，我们刻意将分析限制在，以保持在有能隙区域内并隔离电流诱导对称性破缺对马约拉纳扇区的影响。事实上，对于那里使用的参数，和，相应的阈值为。图3(a)、3(c)和3(e)显示了对于电流通量递增的值，从动量空间不变量获得的相图。与情况相反，即使在有限时，支持两个马约拉纳模的区域仍然存在，反映了系统有效解耦成两个独立通道。图3. 面板(a)、(c)和(e)：对称保护极限的相图，由第II节中引入的量构建，分别对应电流通量的递增值为0.3和0.6。面板(b)、(d)和(f)：相应的从边-边量子条件互信息获得的相图。两组面板之间的一致性凸显了动量空间和实空间基于纠缠的表征之间的一致性。纠缠计算在由两条链组成的梯子上进行，每条链的长度为，边缘尺寸固定为每条链的个格点。图4. 面板(a)显示了水平切割，而面板(b)显示了从图3中的边-边量子条件互信息获得的相图的垂直切割。切割在面板(a)中固定处取，在面板(b)中固定处取。虚线指示对应于不同拓扑扇区的理想量化值。随着电流通量的增加，这些量化平台的偏差变得更加显著，反映了有限尺寸效应日益增长的相关性。图5. 面板(a)显示了图3在和的相图，以及用于计算面板(b)和(c)中显示的光谱的水平垂直切割。面板(b)显示了作为在固定处的函数的光谱，而面板(c)显示了作为在固定处的函数的光谱。在两种情况下，对于由两条链组成的梯子，每条链的长度为，绘制了最接近零能量的四个BdG本征值。能隙闭合与相边界之间的一致性确认了体-边对应。相同的结构由边-边量子条件互信息[37–40]再现，显示在面板(b)、(d)和(f)中。该量定义为，其中不同项对应于通过将系统划分为左边缘、右边缘和体而获得的适当约化密度矩阵的冯·诺依曼熵。最后一项是总基态冯·诺依曼熵，每当基态是纯态时为零[39,40]。这种特定组合去除经典相关性，并隔离两个边缘之间的真正量子相关性。因此，充当非局域拓扑序参量，取与边缘模数量成正比的量化值。特别地，已证明对于具有开放边界条件且承载真正MBS的Kitaev链，在精确基态拓扑简并点处，即最大贝尔对纠缠的一半[39,40]。在动量空间不变量与基于纠缠的相图之间观察到清晰的一致性，建立了两种描述之间的直接对应关系。特别地，不同的拓扑扇区通过的不同值被无歧义地识别，证实了纠缠估计器在存在电流通量的梯子中指示拓扑相的有效性。在图4中，显示了纠缠相图的水平和垂直切割。面板(a)对应于作为函数的切割，而面板(b)作为函数的切割。当时，在处的良好定义平台清晰可见，一致地识别三个拓扑扇区。然而，随着值的增加，这些平台逐渐变得不太明显，并偏离理想的量化值。这种行为与拓扑结构的修改无关，而是与有限尺寸效应有关。事实上，纠缠计算在由两条链组成的梯子上进行，每条链个格点，这是出于计算便利而限制的尺寸。在该区域中，边缘态之间的重叠变得不可忽略，导致杂化效应，从而降低了的量化。为了阐明这一点，在图5中我们将处的体相图与相应的实空间能谱进行比较，后者可以针对更大的系统尺寸进行计算。面板(a)显示了相图以及用于提取光谱的切割，而面板(b)和(c)显示了每条链具有个格点的梯子中最接近零的BdG本征值。在相边界与沿切割的能量隙闭合之间观察到清晰的一致性，确认了体描述的准确性。IV. 讨论与结果近年来，在多个系统中报告了与MBS兼容的签名，包括具有强自旋轨道耦合并被传统超导体邻近化的半导体纳米线[51,52]、平面约瑟夫森结[53,54]、磁性吸附原子链[55]以及基于氧化物的超导纳米结构[30]。在所有上述平台中，拓扑相的实验表征本质上基于输运测量，这意味着注入电流并将系统耦合到外部探针。因此，理解这些扰动如何修改多通道孤立超导系统的拓扑性质，是解释实验观察结果的重要问题。从这个角度来看，本工作中采用的有效电流驱动描述提供了一个简单框架，用于研究测量过程如何影响拓扑保护。特别是，我们的结果表明，电流不仅仅微扰低能谱，还可以通过破坏保护对称性来定性地修改系统的拓扑分类。此外，足够强的电流诱导能带倾斜可以间接地闭合激发能隙，产生无能隙超导区域，该区域必须与有能隙类D拓扑扇区区分开来。这种效应在梯子几何结构和多通道超导体中变得尤为重要，因为在平衡态下可能存在更高的拓扑扇区，并且它们可以在电流流动下被选择性地抑制。同时，在对称性保护区域中双模相的持续存在表明，额外的离散对称性即使在非平衡条件下也能稳定拓扑扇区。这表明电流诱导的对称性破缺与通道对称性之间的相互作用可能构成设计稳健多通道拓扑超导体的重要因素。尽管我们的分析是在最小两腿Kitaev梯子上进行的，但有限准粒子动量改变对称性类别及相应拓扑分类的潜在机制预计可推广到更一般的耦合超导系统。特别是，多腿梯子和多带Kitaev模型为研究电流诱导对称性破缺与超越传统十重Altland-Zirnbauer分类的丰富拓扑结构之间的相互作用提供了自然框架。在这方面，我们的工作可能作为未来研究更复杂超导网络中电流驱动拓扑相变的起点[43,44,56]。更一般地说，体拓扑不变量、基于纠缠的估计量以及低能BdG谱之间观察到的一致性进一步支持使用实空间诊断来表征实际条件下的拓扑相，其中有限尺寸效应、环境耦合和测量诱导扰动可能使标准动量空间描述失效。